第2章实数考题分析+达标训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版

**基本信息** 以“考题分析+达标训练”构建实数单元复习体系，通过典例提炼二次根式运算、整体代入等方法，形成从概念到应用的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考题分析|3道综合题|二次根式混合运算“化简-运算”步骤、方程思想（设未知数）、整体代入法、分母有理化|从二次根式性质到运算，结合几何（T型走道）与代数求值，体现数与形的联系| |达标训练|20题（8选6填6解答）|平方根立方根性质应用、数轴与实数对应、三角形三边关系化简|覆盖无理数识别、二次根式意义、运算及实际应用，形成“概念-性质-应用”完整链条|

第2章实数考题分析+达标训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 考题分析 1．（2026春•邹城市期末）计算： （1）； （2）． 【思路导航】（1）先根据二次根式性质化简，然后再按照二次根式的加减运算法则计算即可； （2）先根据二次根式性质化简，然后再按照二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详细解析】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝1． 【画龙点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 2．（2026春•宜昌期中）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为5：3． （1）求这块长方形空地的周长； （2）如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为2：1，花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ （参考数据： 【思路导航】（1）设这块长方形的长为5x米，则宽为3x米，由题意得，3x•5x＝1500，解得x的值，可得这块长方形的长、宽，根据长方形的周长公式可得这块长方形空地的周长； （2）设花坛1的边长为2a米，则花坛2的长为2a米，宽为a米，由题意得，（2a）2+2a•a＝1200，算得花坛1的边长、花坛2的宽，算“T字型”走道的宽度，进行比较，可得宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 【详细解析】解：（1）设这块长方形的长为5x米，则宽为3x米， 由题意得，3x•5x＝1500， 解得：x＝10， ∴这块长方形的长为50米，宽为30米， 这块长方形空地的周长＝（30+50）×2＝160（米）， 答：这块长方形空地的周长为160米； （2）设花坛1的边长为2a米，则花坛2的长为2a米，宽为a米， 由题意得，（2a）2+2a•a＝1200， 解得：a＝10， ∴花坛1的边长为20米，花坛2的宽为10米， 30﹣201.7米＜2.5米， ∴宽度为2.5米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 【画龙点睛】本题考查了算术平方根，关键是掌握正确计算． 3．（2026春•阳谷县期末）已知，求2a2﹣8a+1的值，小明是这样思路导航与详细解析的： 因为， 所以， 所以（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3， 所以a2﹣4a＝﹣1， 所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的思路导航过程，解决下列问题： （1）化简：　　 ； （2）计算：； （3）若，求3a2﹣18a+1的值． 【思路导航】（1）直接分母有理化即可得到答案； （2）可求出（n为正整数），据此把所求式子的每一项分母有理化，再计算即可； （3）分母有理化得到，则，进而得到a2﹣6a＝﹣1，再利用整体代入法求解即可． 【详细解析】解：（1）； 故答案为：； （2）设n为正整数， 则， ∴原式 ； （3）∵， ∴， ∴，a2﹣6a+9＝8， ∴a2﹣6a＝﹣1， ∴3a2﹣18a+1＝3（a2﹣6a）+1＝3×（﹣1）+1＝﹣2． 【画龙点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 达标训练 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•望江县期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.202626 D． 2．（2026春•赛罕区期末）在下列代数式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2026春•西湖区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C．4 D． 4．（2026春•海东市期末）当x＝12时，二次根式的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026春•乌兰浩特市期末）下列化简结果正确的是（　　） A．8 B．±8 C．64 D．8 6．（2025秋•通州区期末）下列结论①﹣3是9的平方根；②27的立方根是±3；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 7．（2026春•宿城区校级期末）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣a+c B．a+c C．﹣a﹣c D．a+2b+c 8．（2026春•合肥校级期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•长宁县期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是　 　 ． 10．（2026春•官渡区期末）若一个正数的两个平方根分别是4﹣a和2a﹣6，则a的值是　 　 ． 11．（2026春•海淀区校级期中）若，则a+b＝ 　 　 ． 12．（2026•鼓楼区校级模拟）计算的结果等于　 　 ． 13．（2025秋•株洲校级期末）某正数的两个不相等的平方根分别是a﹣2和18+a，则a的立方根为　 　 ． 14．（2025秋•扬州校级月考）【教材变式】已知n为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值与最大值的和是　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．（2026•西城区校级开学）二次根式计算： （1）； （2）． 16．（2026•内江校级开学）求下列各式中的x： ①（x+1）2+8＝72； ②（2x﹣1）3﹣27＝0． 17．（2026春•合肥校级期末）已知2a﹣b的算术平方根是3，3a+b﹣3的立方根是2，c是平方根等于本身的数． （1）求a，b，c的值； （2）求5a+4b﹣c的平方根． 18．（2026秋•同步）在如图所示的边长为1的正方形网格中画出以下三角形． ①在图1中画一个格点三角形，满足只有两边的长是有理数； ②在图2中画一个格点三角形，满足三边的长都不是有理数． 19．（2026秋•同步）如图，细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题． 2，面积S1； 3，面积S2； 4，面积S3； … ①推算OA10的长； ②求的值． 20．（2026秋•同步）【阅读材料】 化简：． 解：隐含条件2﹣3x≥0，解得， ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（2﹣3x）﹣（1﹣x） ＝2﹣3x﹣1+x ＝1﹣2x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，化简：（结果保留π）； 【类比迁移】 （2）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，化简：； （3）已知a，b，c为△ABC三边的长，化简：． 第2章实数考题分析+达标训练-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026春•望江县期末）下列实数中，属于无理数的是（　　） A． B． C．0.202626 D． 【解答】解：A．是无理数，符合题意； B．，是整数，属于有理数，不符合题意； C．0.202626是分数，属于有理数，不符合题意； D．是分数，属于有理数，不符合题意， 故选：A． 2．（2026春•赛罕区期末）在下列代数式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，是二次根式，故此选项不合题意； B、，是二次根式，故此选项不合题意； C、，是二次根式，故此选项不合题意； D、，不是二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（2026春•西湖区期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：A、原式＝23，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项错误； C、原式4，所以C选项正确； D、原式2，所以D选项错误． 故选：C． 4．（2026春•海东市期末）当x＝12时，二次根式的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：当x＝12时，3． 故选：C． 5．（2026春•乌兰浩特市期末）下列化简结果正确的是（　　） A．8 B．±8 C．64 D．8 【解答】解：A、8，正确； B、8，计算不正确； C、64，计算不正确； D、±8，计算不正确． 故选：A． 6．（2025秋•通州区期末）下列结论①﹣3是9的平方根；②27的立方根是±3；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【解答】解：①﹣3是9的平方根，正确； ②27的立方根是3，原说法错误； ③式子表示的是4的算术平方根，原说法错误； ④2的平方根是，正确； ⑤16的算术平方根是4，正确． 其中正确的结论是①④⑤， 故选：B． 7．（2026春•宿城区校级期末）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣a+c B．a+c C．﹣a﹣c D．a+2b+c 【解答】解：由数轴可知：a+b＜0，b﹣c＜0， ∴ ＝﹣a﹣b﹣（c﹣b） ＝﹣a﹣b﹣c+b ＝﹣a﹣c， 故选：C． 8．（2026春•合肥校级期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵， ∴点A是以（﹣1，0）为圆心，以为半径的圆与x轴的交点， ∴a＝﹣1． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•长宁县期末）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是x＜3　 ． 【解答】解：根据二次根式有意义和分式有意义的条件得， 所以3﹣x＞0， 解得x＜3， 故答案为：x＜3． 10．（2026春•官渡区期末）若一个正数的两个平方根分别是4﹣a和2a﹣6，则a的值是　2　 ． 【解答】解：由题意得：（4﹣a）+（2a﹣6）＝0，解得：a＝2， 故答案为：2． 11．（2026春•海淀区校级期中）若，则a+b＝ 　1　 ． 【解答】解：∵， ∴a﹣3＝0，b+2＝0， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴a+b＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 12．（2026•鼓楼区校级模拟）计算的结果等于　12　 ． 【解答】解： ＝12． 故答案为：12． 13．（2025秋•株洲校级期末）某正数的两个不相等的平方根分别是a﹣2和18+a，则a的立方根为　﹣2　 ． 【解答】解：根据题意得a﹣2+18+a＝0， 解得a＝﹣8， ∵﹣8的立方根是﹣2， ∴a的立方根为﹣2， 故答案为：﹣2． 14．（2025秋•扬州校级月考）【教材变式】已知n为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值与最大值的和是　78　 ． 【解答】解：∵是大于1的整数， ， 即为大于1的整数， ∴n最小为3， ∵是大于1的整数， ∴越小，越小，则n越大， 当时，， ∴n＝75，即n最大为75， 故n的最小值与最大值的和是78， 故答案为：78． 三．解答题（共6小题） 15．（2026•西城区校级开学）二次根式计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 16．（2026•内江校级开学）求下列各式中的x： ①（x+1）2+8＝72； ②（2x﹣1）3﹣27＝0． 【解答】解：①由原方程整理得：（x+1）2＝64， 则x+1＝±8， 解得：x＝7或﹣9； ②由原方程整理得：（2x﹣1）3＝27， 则2x﹣1＝3， 解得：x＝2． 17．（2026春•合肥校级期末）已知2a﹣b的算术平方根是3，3a+b﹣3的立方根是2，c是平方根等于本身的数． （1）求a，b，c的值； （2）求5a+4b﹣c的平方根． 【解答】解：（1）由条件可知2a﹣b＝9； 因为3 a+b﹣3的立方根是2， 所以3a+b﹣3＝8，即3a+b＝11， 联立得， 解得． 因为c是的平方根等于本身的数， 所以c＝0． （2）因为a＝4，b＝﹣1，c＝0， 所以5a+4b﹣c＝5×4+4×（﹣1）﹣0＝16， 所以16的平方根是±4． 18．（2026秋•同步）在如图所示的边长为1的正方形网格中画出以下三角形． ①在图1中画一个格点三角形，满足只有两边的长是有理数； ②在图2中画一个格点三角形，满足三边的长都不是有理数． 【解答】解：①如图，△ABC即为所求（答案不唯一）； ②如图，△ABC即为所求（答案不唯一）． 19．（2026秋•同步）如图，细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题． 2，面积S1； 3，面积S2； 4，面积S3； … ①推算OA10的长； ②求的值． 【解答】解：（1）由题知， 2， 3， 4， … 所以n； 所以10， 所以OA10； （2）由（1）知， ． 20．（2026秋•同步）【阅读材料】 化简：． 解：隐含条件2﹣3x≥0，解得， ∴1﹣x＞0， ∴原式＝（2﹣3x）﹣（1﹣x） ＝2﹣3x﹣1+x ＝1﹣2x． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，化简：（结果保留π）； 【类比迁移】 （2）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，化简：； （3）已知a，b，c为△ABC三边的长，化简：． 【解答】解：（1）根据题意得3﹣x≥0， 解得x≤3， ∴原式＝|x﹣π|﹣（3﹣x） ＝π﹣x﹣3+x ＝π﹣3； （2）根据题意得m＜0＜n且m+n＜0， ∴原式＝|m|﹣|m+n|﹣|n﹣m| ＝﹣m﹣[﹣（m+n）]﹣（n﹣m） ＝﹣m+m+n﹣n+m ＝m； （3）根据题意得a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a， ∴原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a| ＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）+b﹣a﹣c﹣（c﹣b﹣a） ＝a+b+c﹣a+b+c+b﹣a﹣c﹣c+b+a ＝4b． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $