八年级数学上学期9月学情自测（新教材北师大版第一章～第二章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 以二次根式与勾股定理为核心，通过《周髀算经》勾股数、数学测量日等真实情境，考查抽象能力、几何直观与应用意识，适配八年级上册开学初学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式合并、勾股定理与正方形面积|结合黄金分割数估算，培养数感与推理意识| |填空题|6/18|《周髀算经》勾股数规律、折叠问题|设计“海螺图形”周长计算，发展空间观念| |解答题|9/72|风筝高度测量、动态动点问题|融入秦九韶公式应用与新定义“共同体区间”，提升创新意识与应用能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D D C B C D C A B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.210.5 12.-V3 13.41 14.3 15.11 5 16.V3或3 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17 【详解】(1)解： 2(x-1)2=8 两边同除以2得 (x-1)2=4 开平方得x-1=±2， 解得=3专=-1 2分 (2) (x-0.7)3+0.027=0 (x-0.7)3=-0.027 移项得 开立方得x-0.7=-0.3 解得x=0.4 4分 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2a-1=(±3)2=9 (3)解：由题意得 解得45 3a+b-9=43=64 b=58 ,解得 因为3<<4 所y 的整数部分C=3 代入得a+2b+c=5+2×58+3=124 … 6分 18. 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，AB=3,BC=4 AC-+BC-5 .AC=CD. .CD=5; 1分 (2)解：如图，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E, D B 、.∠CED=90°， 由(I)知AC=CD=5,又知AD=5V2, ·AC2+CD2=50,AD2=(5V2=50, .AC2+CD2=AD2, △ACD是直角三角形，∠ACD=90°，3分 .∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECD=90°， ∴∠BAC=∠ECD. 在△ABC和△CED中， ∠ABC=∠CED ∠BAC=∠ECD AC=CD 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABC≌ACED(AAS) 5分 .AB=CE=3,BC=DE=4, .BE BC+CE=7, BD=BE+DE=65 6分 19. 【详解】(1)解：32=9,42=16,32<13<42， .3<13<4 .V13 的整数部分是31分 (2)解：12-1,2=4,12<3<22. .1<3<2 的小数部分是S-】 ,即a=3-1 .2分 .22=432=922<5<32 2<V5<3 5 的整数部分是2，即b=2, 3分 .a+b-V5=V5-1+2-V5=1 .4分 (3)解：由(2)得，1<V5<2 9<8+V3<10 :8+5=+y,其中x是一个正整数，0<y<1, .x=9,y=8+V3-9=V5-1 3/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :2x+(-5)=2×9+(5-1-V5}m=18+1=19 6分 20. (m+W3)2=m2+2m-nV3+(V3)2=m2+3n2+2m√5 【详解】(1)解：将等式右边完全平方展开： ,等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， a=m2+3n2,b=21n.2分 (2)解：对比第(1)问的结论，这里a=13,b=4,即满足：m2+3n2=13,2mn=4, 也就是mn=2」 mn是正整数， ∴.、n的取值有两种情况： 当m=2,n=1时， m2+3n2=22+3×12=7≠13 ,不符合 当m=1,n=2时， m2+3n2=12+3×22=13 ，完全符合， 因此两个空依次填1、 2V3 。。。。。。。。。。。 .4分 (3)解：根据第(1)问的结论，这里b=6, ∴.2mn=6,即mn=3。 :mn都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：m=1,n=3, 代入a=m2+3n2,得a=1+3×9=28: 情况2：m=3,n=1, 代入a=m2+3n2,得a=9+3×1=12 .符合条件的正整数Q为12或28.6分 21. 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解： AB=V32+4=5 1分 BC=V+4=7 2分 AC=V1P+32=V10 3分 3x4-x1x4- 1x3=13 1 △ABC的面积=4×4- 1 2 2 2· .4分 (2)解：如图 D DE=P+2=V5,DF=V32+22=13,FE=V42+2=√20， △DEF符合要求； Ap的面积3x4X1x22x32x440分 2 2 (3)解：将a=5,b=6.c=V 代入秦九韶公式，得 g习 460-4 V26 2 .8分 22. 【详解】(1)解：如图所示，过点A作AE⊥CD于点E, 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E Q D ∴.∠AEC=∠AED=90°， 由题意得，∠ABD=∠BDC=90°， ∴四边形ABDE是矩形， AE=BD=15m AB=DE=1.5m 2分 在RtAEC中，由勾股定理得CE=√AC-AE=72-1=8(m) .CD=CE+DE=8+1.5=9.5(m) 答：风筝离地面的垂直高度CD为9.5m..4分 (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长DC至点F,连接AF,使得CF=Ilm, C 6 D.EF=CE+CF=8+11=19(m) 在RtAEF中，由勾股定理得4F=VAE2+EF=V152+19-586(m) 6分 .AC=17r,余线仅剩7m, 17+7=24(m) 风筝线的总长度为 242=576<586, ,24<V586 不能成功.8分 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23. 【详解】(1)解：图1中4个小长方形的面积为4ab, 图2中4个小长方形的面积为(a+b)'-(a-b), :(（a+b-(a-b=4b x+y=4,y=3, .(x+-(x-=4, :4-(x-2=4x3 :x-y2=4 .X-y=t2 2分 (2)解：设AE=DE=a米，BE=CE=b米， 由题意得，a+b=AE+CE=AC=20米， ,种花区域的面积和为120平方米 a2+8=120,即a+6=240 1 SS.Ec=2 2 S种草区域=S,CDE+S。ABE 1 1 =。ab+5ab 2 2 ab =(a+b-(a2+b) 2 202-240 3N =80(平方米)， 答：种草区域的面积和为80平方米.…。 .4分 ()解：①：长方形4BCD的面积为S,长方形EFG ,S2 的面积为 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S=3b(4b+CE)=12b+3CE,S:-a(a+CE)=d+aCE :8-5=12b+36cE-(a2+aCE）=12b2-a2+(3b-a)cE 5分 :不论MB 的长为何值时， SS水远为定值，且B=CE+6, CE 的值与无关， .3b-a=0, 即1与b之间的数量关系为0=3b;7分 ②由(3)0得8-S,=12b-a2a=36 当b=5时，-S,=12b-(3b)=12b2-9b2=362=3×V3=9 8分 24. 【详解】(1)解：如图， E ■ B .∠C=90°， .4C=4BBCo-6-8(cm) ,BE平分△ABC的面积， .BE是△ABC中线， 4-4c-8=4m), 4 1=22 3分 (2)解：①如图，当AE=BE时， 设AE=BE=x,则CE=8-x, 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CE2+BC2=BE2, 二8-+6=，解得：x=2空 49 :Es25 4 25 f=2=8… 5分 ② AE=AB=10 如图，当 时， .6分 ③，AB=EB=10 时，如图， E .'∠ACB=90° BC⊥AE, .'AC=EC=8, .AE=16, 16-8 1=2-8: 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25 综上可得：当。ABE为等腰三角形时，t的值为8或5或8： .8分 (3)解：如图，作点B关于AC的对称点B',过B作BQ⊥AB于点O,交AC于点P, C 此时BP+PO=B'P+PO=B'O,为最小值， 由轴对称性质可得，B'B=2BC=12Cm,10分 :Ss-8B×AC=号4A6xB0, 1 x12x8-x10x B'Q=9.6(cm) .BP+P的最小值为9.6cm,… ..12分 25, 【详解】(I)解：若点B和顶点A重合，由折叠的性质可得：AE=BE, 设CE=x,则AE=BE=BC-CE=8-x, 由勾股定理得：AC2+CE2=AE2, 6+x2=(8-x 7 解得：x= 4 .CE=7 ;3分 (2)解：：点B'落在直角边AC的中点上， 10/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠的性质可得：BE=BE, 设CE=y,则BE=B'E=BC-CE=8-y, 由勾股定理可得：B'C2+CE2=B'E2, 32+y2=(8-y 解得：y=16,即CE、J了 169 BE=8-55、73 1616……… …6分 作B'F⊥AB于点F,连接BB, B B ,点B落在直角边AC的中点上， 12F8F wB 11 S.4BB=7 BF=12 5, ∴BF=VBB2-BF-4I 509 由折叠的性质可得：BD=B'D, 设BD=BD=a则DF=1& s-a 由勾股定理可得：B'F2+DF2=B'D2, 12)2 12 82,即BD=365 365 解得：a= 82 :S.g=)BD×BF={x365x12_219 )×2×34,S脑=BEXBC--x3 x3219 2 2 216 32, 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 219,21915978 .S四边形DBEB=SDBg+SEBg= 41321312, 由折叠的性质可得：BB'⊥ED, 1 ÷S边0-2×BB'×DE= 15978 1312· DE=7989V73 23944… 12分 12112 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若最简二次根式与能合并，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 5．正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 6．如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 8．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 10．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 12．如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 13．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 14．如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 15．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，若，则整数________． 16．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“三角形”．在中，，若是“三角形”，则的长等于________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解答下列各题 (1)； (2) (3)已知的平方根是，的立方根是4，c是的整数部分，求的值． 18．如图，四边形，，，，连接，且． (1)求的长：(2)若，则_______，________． 19．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 20．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 21．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． (1)“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助边长为1的小正方形网格解决问题． 在图1中，所画的的三边长分别是 ， ， ；的面积为 ． (2)在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积． (3)“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的课本的数学资料： 如果三角形的三边长分别为，，，那么其面积为：  其中（）或 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积． 22．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 23．探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 24．如图，在Rt中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，平分的面积； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)若点分别为上的动点，求的最小值． 25．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若最简二次根式与能合并，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：， ∵最简二次根式与能合并， ∴与的被开方数相同， ∴， 解得． 2．如图，在中，为直角，以为边向外作面积为的正方形，以为边向外作面积为的正方形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，为直角， ， ． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 【答案】C 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 5．正五角星是常见的图案，如图，在画正五角星时需满足．人们把这个数叫做黄金分割数．用你学过的知识估计的值应在（     ） A．0.1和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【详解】解： 即 即 该数值在 和 之间． 6．如图，学校开展“数学测量日”活动，数学兴趣小组决定测量四楼教室到地面的距离的长度，在无法跨越花坛直接测量的情况下，他们采用以下方法： ①甲同学在四楼教室窗户处拉住绳子一端，乙同学在楼下平坦地面上拉直绳子退至离教学楼米的点处，此时手上的绳子还剩米； ②乙同学继续往后退米到达点处，此时手上的绳子刚好用完； ③乙同学拉绳子的手到地面的距离和的长都是米． 则四楼教室到地面的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：根据题意可得， 过点作于， 则点在上， 设米，绳子总长度为米， 由题意得： 乙同学手高米，米，米， 第一次绳长剩余米，故，第二次绳子用完，， 米，米，米，， 在中，， 在中，， 得：，解得， 把代入得：，即，边长为正，故，得米， 因此四楼教室到地面的距离为米． 7．如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）． 8．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．若满足关系式：，求的“共同体区间”是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴的“共同体区间”是， 故选：． 9．如图，在中，，，点D为边上的中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），过点A作交于点F，过点B作交的延长线于点G．若已知的长，则可求出（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【详解】解：延长，交的延长线于， ，， ， ， 点是的中点， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 已知的长， 可求的长， 故选：A． 10．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连结，交于点P，若，且的面积为4，则正方形的面积为（   ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】B 【分析】 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设， 由题意得：， ∴ ∴， ∵的面积为4， ∴， 解得：， ∴在中，由勾股定理得，， ∴正方形的面积为30， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 12．如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 【答案】 【详解】解：由图和题意可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点所表示的数为． 13．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 14．如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 【答案】3 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长是3． 15．如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，若，则整数________． 【答案】 11 【详解】解：由勾股定理得：第1个直角三角形的斜边长为， 第2个直角三角形的斜边长为， 第3个直角三角形的斜边长为， ， 故第7个直角三角形的斜边长为， 观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由8条长度为1的线段和第7个直角三角形的斜边组成， ， ， ，即， ， 即， ， ，即． 16．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“三角形”．在中，，若是“三角形”，则的长等于________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况计算： 当边上的中线等于时，如图1，， ∵，为边上的中线且， ∴， 在中，根据勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）， 可得， 当边上的中线等于时，如图2， 设的长为x，则边上的中线，， 在中，根据勾股定理， ， 代入，，， 得， 解得（边长为正，舍去负根）． 综上所述，的长为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解答下列各题 (1)； (2) (3)已知的平方根是，的立方根是4，c是的整数部分，求的值． 【详解】（1）解：， 两边同除以得， 开平方得， 解得，． 2分 （2） 移项得 开立方得 解得． 4分 （3）解：由题意得，解得， ，解得． 因为，所以的整数部分． 代入得． 6分 18．如图，四边形，，，，连接，且． (1)求的长： (2)若，则_______，________． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 1分 （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， 3分 ∴， ∴． 在和中， ， ∴， 5分 ∴，， ∴， ∴． 6分 19．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； 1分 （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， 2分 ，，， ， 的整数部分是2，即， 3分 ； 4分 （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 6分 20．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； (2)利用所探索的结论，填空：； (3)若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ， ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． 2分 （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、． 4分 （3）解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 6分 21．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． (1)“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助边长为1的小正方形网格解决问题． 在图1中，所画的的三边长分别是 ， ， ；的面积为 ． (2)在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并求出的面积． (3)“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的课本的数学资料： 如果三角形的三边长分别为，，，那么其面积为：  其中（）或 一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积． 【详解】（1）解：， 1分 ， 2分 ， 3分 的面积＝． 4分 （2）解：如图 ∴符合要求； 则的面积； 6分 （3）解：将，，代入秦九韶公式，得 ． 8分 22．风筝起源于中国，是古代劳动人民发明的一种通信工具，后来演变为一项民俗娱乐活动．小明买了一个风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∴， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， 2分 在中，由勾股定理得， ， 答：风筝离地面的垂直高度为． 4分 (2)解：不能成功，说明如下： 如图所示，延长至点，连接，使得， ． 在中，由勾股定理得． 6分 ，余线仅剩， ∴风筝线的总长度为， ∵， ∴， ∴不能成功． 8分 23．探究不同情境，解答下列的问题：       (1)【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． (2)【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． (3)【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【详解】（1）解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 2分 （2）解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． 4分 （3）解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， 5分 ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； 7分 ②由（3）①得，， ∴当时，． 8分 24．如图，在Rt中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，平分的面积； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)若点分别为上的动点，求的最小值． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵平分的面积， ∴是中线， ∴， ∴； 3分 （2）解：如图，当时， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 5分 如图，当时， ∴； 6分 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上可得：当为等腰三角形时，的值为或或； 8分 （3）解：如图，作点关于的对称点，过作于点，交于点， 此时，为最小值， 由轴对称性质可得，， 10分 ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 12分 25．在中，，，，D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长； (2)如图2，如果点落在直角边的中点上，求与折痕的长． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； 3分 （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∴． 6分 作于点，连接， ∵点落在直角边的中点上， ∴，， ∴， ∴， 9分 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴． 12分 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $