2025-2026学年北师大版八年级数学下学期第一阶段综合检测卷（测试范围：第一章至第二章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 （满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北师大版新教材八年级下册第一章至第二章。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E 的度数是 （    ）． A．100° B．90° C．80° D．70° 3．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 5．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 6．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．十二 B．十八 C．十 D．十六 7．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 10．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分 12．已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．关于的不等式的解是______． 14．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为________． 16．对于三个实数a，b，c，定义，定义为a，b，c中最大的数．例如：，，．若，则负整数a的值是________． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程组及不等式： (1)解方程组 (2)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． 18．如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 19．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少购买甲种苹果多少箱． 20．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 21．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 22．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 23．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 24．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 25．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 全解全析 （满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北师大版新教材八年级下册第一章至第二章。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． 2．如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E 的度数是 （    ）． A．100° B．90° C．80° D．70° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出∠EFC的度数，然后再根据三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】如图，设CD交EB于点F， ∵AB∥CD，∠B＝40°， ∴∠EFC＝∠B＝40°， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握相关定理正确推理计算是解题的关键． 3．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：若，两边同时减去得，则A成立，不符合题意， 由得，则B成立，不符合题意， 若，两边同时乘以得，则C成立，不符合题意， 若，当时，，则D不一定成立，符合题意． 4．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 5．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可解答． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：． ∴不等式组的解集在数轴上表示为：向右画空心圈；向右画实心点．即只有A选项符合题意． 6．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．十二 B．十八 C．十 D．十六 【答案】B 【分析】利用正多边形内角与外角互补的性质，结合任意多边形外角和为的知识点，从而计算得到多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的内角与外角互补。 ∴该正多边形的一个外角为 ， ∵任意多边形的外角和恒为，正多边形所有外角都相等， ∴该多边形边数为 ． ∴该多边形的边数是十八． 7．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：∵，的面积为，， ∴， ∴， 过P点作于H，如图： ∵平分，，， ∴， ∵点E是射线上的动点， ∴的最小值为． 8．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，根据总费用列出二元一次方程，求出符合条件的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 根据题意得. 化简得. . 均为正整数（两种奖品都购买）. 是4的正整数倍，且. 与互质， 是的正整数倍， 由得. 满足条件的为，对应分别为，共组正整数解． 即，，，， 共有种购买方案． 9．一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三线合一，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出米，再利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米， ∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度， 过作交半圆于、两点，连接与， ∵， ∴为的中线， ∴，即为卡车的最大宽度， ∵是半圆的直径， ∴米， ∴米， ∴米， 即卡车的宽度不得宽于米， 故选：C． 10．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组无解的问题，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤以及不等式组解的情况． 先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件确定实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； ∵解不等式， 移项得， 即， ∴； ∵不等式组无解； ∴两个解集无公共部分，即， ∴解得， 故选：D． 11．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分 【答案】B 【分析】由基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分；根据证明；根据直角三角形斜边大于直角边判断． 【详解】解：设交于点， 由作图步骤可得：是的角平分线，则，A正确； 根据作图可知：，， ∴点O、E在的垂直平分线上， ∴垂直平分，D正确； ∵， ∴，C正确； 在中，，且， 则，故B错误，符合题意． 12．已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解关于、的方程组，用含的式子表示出、；再计算，结合不等式得到的取值范围；根据“满足条件的正整数仅有3个”确定的具体取值，进而求出的取值范围． 【详解】解：， 得：， 解得， 将代入得：， 解得 ∴， ∵ ∴， 解得， ∵满足条件的正整数仅有3个， ∴这3个正整数为、、， ∴， 解得． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．关于的不等式的解是______． 【答案】 【分析】根据不等式的解法步骤，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ． 14．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 【答案】67 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及直角三角形两锐角互余．根据题意得出，，进而利用定理得出，进而得出答案． 【详解】解：∵两个滑梯的长度相同， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：67． 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，外角性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时，   ， 则顶角为， 此时的底角为； 如图，当顶角为锐角时，     ， 则顶角为， 此时的底角为； 综上所述，底角的度数为或， 故答案为：或， 16．对于三个实数a，b，c，定义，定义为a，b，c中最大的数．例如：，，．若，则负整数a的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了自定义运算、不等式求解和最值判断，掌握根据定义化简表达式，结合条件筛选整数解是解题的关键． 先根据定义分别化简和，再列出不等式求解，最后结合负整数条件确定的值． 【详解】解：由题意， ， ． ∴． 化简得： ∵为负整数， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程组及不等式： (1)解方程组 (2)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，图见解析 【分析】（1）运用加减消元法求解即可； （2）先按解一元一次不等式的方法求解，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：得： 解得：， 将代入得：， 解得：， 所以原方程组的解是； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并得：， 系数化为1得：， 解集在数轴上表示为： 18．如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．由题意分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 19．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少购买甲种苹果多少箱． 【答案】(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元 (2)该公司最少购买甲种苹果6箱 【分析】（1）根据题干给出的两种售价和的条件，设未知数列二元一次方程组求解即可得到结果； （2）根据乙种苹果箱数不超过甲种苹果箱数的不等关系，列一元一次不等式求解，取最小整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价元，乙种苹果每箱售价元， 根据题意得， 解得， 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 根据题意得， 解得， 答：该公司最少购买甲种苹果6箱． 20．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得，再根据得，由此即可得出结论； （2）延长到M，使，连接，先证和全等得，再证明得，则，然后再根据含有角的直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：延长到M，使，连接，如图所示： 由（1）知：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】①一；②解答过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，准确地进行计算是解题的关键．①由题可知，第一步错误；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次不等式即可． 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一； ②解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： 22．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，采购个篮球，则采购个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可作答． （2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出，再结合，则随的增大而增大，故把代入，得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，采购个篮球，则采购个足球， ∴． （2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴， 解得， 由（1）得， ∵， ∴随的增大而增大， 故把代入，得． ∴采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元． 23．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 24．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 25．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 【答案】（1）；；（2），见解析；（3）①见解析；②42 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段中点的性质，三角形的三边关系，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点得出，证明，然后利用三角形的三边关系进行求解即可； （2）延长至点，使，连接，借助（1）的结论，证明，得出相等的边，再证明，得出，即可得出结论； （3）①延长，交于点，证明和，得出相等的边和角，然后利用角的和差得出，即可得出结论； ②根据全等三角形得出相等的边，得出，然后求出其它三角形面积即可． 【详解】解：（1）在中，若，，延长至点，使，连接． 是边上的中线， ． 在和中 ， ． 在中，由三角形三边关系可得 ，即， ， 故答案为：；； （2）．理由如下： 如图1，延长至点，使，连接， 由（1）得， ． ， ， 即． ， ． ． 在和中 ， ． ， ． （3）①证明：如图2，延长，交于点． ， ． ， ， ， ． 在和中 ， ． ， ． 在和中 ， ． ，即， ， ； ②， 由①可知，． ， ． ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 6 7 8 9 10 11 12 C B D C A & B C D B C 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13.x>3. 14.67. 15.20或70°， 16.-1. 三、三、解答题：本题共9小题，共98分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 【详解】(1)解：②×3-①得：11y=22 解得：y=2, 将y=2代入①得：3x-2×2=-1, 解得：x=1, 所以原方程组的解是 2 (5分) (2)解：去分母得： 去括号得：3x+3+2x-2≤6， 移项并合并得：5x≤5， 系数化为1得：x≤1， 解集在数轴上表示为： 4-3-2-101234(10分) 18. 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点 1/8 m (10分，作对一半得5分) 19. 【详解】(1)解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元， 2x+3y=440 根据题意得4X+5y=800 解得 x=100 y=80P 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元；(5分) (2)解：设购买甲种苹果m箱，则购买乙种苹果(12-m)箱， 根据题意得12-m≤m, 解得m≥6， 答：该公司最少购买甲种苹果6箱.(10分) 20: 【详解】(1)证明：.∠BAC=90°，AF平分∠BAC, ∴.∠BAF=∠CAF=45°， ED AF, ∴.∠AEN=∠BAF=45°，∠ANE=∠CAF=45°， ∴.∠AEN=∠ANE=45°， ∴.△AEN是等腰三角形；(4分) (2)证明：延长ED到M,使DM=DE,连接CM,如图所示： 2/8 E FD 由(1)知：∠AEN=∠ANE=45°， .∴.∠CND=∠ANE=45°， DM=DE 在△DCM和△DBE中， ∠CDM=∠BDE CD=BD .△DCM≌△DBE SAS, .∠M=∠AEN=45°，BE=CM, ∴.∠M=∠CND=45°， ∴.CM=CN, ∴.CN=BE, ∴.CN-AE=BE-AE=AB, 在Rt△ABC中，∠ACB=30°， AB-InC. ..CN-AE=BC. (10分) 21. 【详解】①解：第一步，去分母错误， 故答案为：一；(4分) ②解：去分母，得：32+x≥22x-1 去括号，得：6+3x≥4x-2 移项，得：3x-4x≥-2-6 合并同类项，得：-x≥-8 系数化为1，得：x≤8(10分) 22. 3/8 【详解】(1)解：依题意，采购x个篮球，则采购100-x个足球， ∴.y=145-120x+120-100j(100-x=25x+20100-x=5x+2000.(4分) (2)解：·该商家采购的篮球个数不超过足球个数， ∴.x≤100-x, 解得x≤50，(6分) 由(1)得y=5x+2000, .5>0, y随x的增大而增大，(8分) 故把x=50代入y=5x+2000,得y=5×50+2000=2250. .采购篮球50个，足球50个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250元.(12分) 23 【详解】(1)解：OA垂直平分MP, ∴.ME=PE. R 同理：FN=PF. ∴.△PEF的周长iEP+FP+EF=ME+EF+FN=MN=I5;(6分) (2)证明：，PN=PM,OA垂直平分MP,OB垂直平分PN,, QP-IPM,PR-IPN, ∴.PQ=PR. ∴.OP平分∠AOB. (12分) 24. 【详解】(1)解：x-y=3, .x=y+3, .X>2, y+3>2, 4/8 .y>-1, 又.y<1, .-1<y<1…①， 同理可得2<X<4…②， 由①+②得：2-1<x+y<4+1, .x+y的取值范围是1<x+y<5, 故答案为：1<x+y<5;(6分) (2)解：.a-b=4, .a=b+4, .a>1, .b+4>1, .b>-3, 又b<2, ∴.-3<b<2…①， 同理可得1<a<6…(②， 由不等式性质，②乘2得2<2a<12…③，①乘3得-9<3b<6…④， ③+i④，得2-9<2a+3b<12+6, ∴.2a+3b的取值范围是-7<2a+3b<18.(12分) 25. 【详解】解：（1)在△ABC中，若AB=6,BC=4,延长BD至点E,使DE=BD,连接CE. ,BD是AC边上的中线， ∴.AD=CD 在△ABD和△CED中 AD=CD, ∠ADB=∠CDE, BD=ED, .∴△ABD≌△CED SAS, .CE=AB=6. 在△CBE中，由三角形三边关系可得CE-BC<BE<CE+BC, ∴.6-4<BD+DE<6+4,即2<2BD<10, 5/8 .1<BD<5, 故答案为：SAS:1<BD<5;(4分) (2)2BD=AC.理由如下： 如图1，延长BD至点H,使DH=BD,连接NH, H 图1 由(1)得△MBD≌△NHD, ∴.∠MBD=∠H,MB=NH,DB=DH. ,∠ABM=∠NBC=90°， ∴.∠ABC+∠MBN=180°， 即∠ABC+∠MBD+∠HBN=180° .:∠BNH+∠H+∠HBN=180°， '.∠ABC=∠BNH. .'AB=MB,BC=BN, ∴.NH=AB. 在△BNH和△CBA中 NH=BA, ∠BNH=∠CBA, BN=CB, ..△BNH≌△CBASAS, ∴.BH=AC. BH=2 BD, ∴.2BD=AC.(8分) (3)①证明：如图2，延长AF,BC交于点G. 6/8 E B ,△ABC≌△ADE C G 图2 ∴.∠BAC=∠DAE, .∠ABC=∠CAD, ∴.∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB, ∴.BG IAE, ∴.∠G=LEAG. 在△AEF和△GBF中 ∠AFE=∠GFB, ∠EAF=∠BGF, EF=BF, .△AEF≌△GBF AAS, ∴.AE=BG. .'AC=AE, ∴.BG=AC 在△ABG和△DAC中 AB=DA, ∠ABG=∠DAC, BG=AC, '.△ABG≌△DAC SAS, ∴.∠G=∠ACD ,'∠ACG=∠ACB=90°，即∠ACD+∠GCD=90°， ∴.∠G+∠GCD=90°， ∴.AF⊥CD: ②.AE=6,DE=4, 由①可知，BG=AC=AE=6. ,'△ABG≌DAC, 7/8 六5a=5aw=BGAC=号×6x6=18. ,'△ABC≌△ADE, .S△ABC=S△ADE, .S五i边形ABCDE=SAABC+S△ACD+S△ADE SAACD+2SAADE i18+2×1AEDE 18+6×4 元18+24 元42.（12分) 8/8 2026学年八年级数学下学期第一阶段综合检测卷 全解全析 （满分：150分 测试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：北师大版新教材八年级下册第一章至第二章。 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线AB∥CD，∠B＝40°，∠C＝50°，则∠E 的度数是 （    ）． A．100° B．90° C．80° D．70° 3．若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 5．不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 6．若正多边形的一个内角是，则该多边形的边数是（   ） A．十二 B．十八 C．十 D．十六 7．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点E是射线上一动点．则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．为迎接2026年哈尔滨冰灯展，某校开展了以迎冰灯展为主题的演讲活动，计划拿出360元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件18元，乙种奖品每件24元，则购买方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（     ） A．2米 B．米 C．米 D．米 10．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分 12．已知关于、的方程组的解满足不等式，且满足条件的正整数仅有3个，则满足的条件为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．关于的不等式的解是______． 14．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．这两个滑梯的倾斜角是和．若，则______． 15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为________． 16．对于三个实数a，b，c，定义，定义为a，b，c中最大的数．例如：，，．若，则负整数a的值是________． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中，17题至21题10分，22题至25题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．解方程组及不等式： (1)解方程组 (2)解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． 18．如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 19．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少购买甲种苹果多少箱． 20．如图，在中，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 21．下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：．．．．．．．．．．．第一步 去括号，得：．．．．．．．．．．．第二步 移项，得：．．．．．．．．．．．．第三步 合并同类项，得：．．．．．．．．．．．第四步 系数化为1，得：．．．．．．．．．．．．第五步 ①小星同学的解答过程从第_______步开始出错； ②请写出你认为正确的解答过程． 22．随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100个，两种球的进价与售价如下表所示．设采购个篮球，获得的总利润为元． 品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个 篮球 120 145 足球 100 120 (1)求总利润与的函数关系式； (2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 23．如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 24．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 25．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 （1）如图1，在中，若．求边上的中线的取值范围． 以下两位同学是这样思考的： 小聪：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 小明：过点作，交的延长线于点．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． 在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________；中线的取值范围是__________； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，分别过作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，试判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在五边形中，，为中边上的中线． ①求证：； ②若，求五边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $