第一章、第二章综合测试卷（成都专用）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2026-2027学年九年级数学上学期第 1-2 章综合测试卷（成都专用） （考试时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：北师大版九年级数学上册第1-2章 注意事项 1. 答题前，考生务必准确填写姓名、准考证号等信息，并认真核对答题卡粘贴的条形码信息。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂答题卡对应题号，修改时须用橡皮擦擦拭干净，不得留有痕迹；非选择题须使用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出答题区域、书写在试卷及草稿纸上的答案无效。 3. 保持答题卡卷面整洁、字迹工整，严禁折叠、污损答题卡，严禁使用涂改液、修正带等涂改工具。 4. 考试结束后，考生只需上交答题卡，试卷自行保管。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 选择题（共32分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 3．如图，在中，，D为中点，且，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程根的情况是（    ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 第Ⅱ卷 非选择题（共68分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是______． 10．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____．    11．已知，且，则______． 12．如图，在矩形纸片中，，E为边上的一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则的长为________． 13．如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 15．（满分10分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 16．（满分10分）如图，在中，，D，E分别为，的中点，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 17．（满分10分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． （1）的长用含的代数式表示为 m； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 18．（满分10分）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形的对角线，交于点O，过点D作，且，连接． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图②，若四边形是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   20．关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 21．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 22．如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_______________． 23．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有______个． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 25．（满分10分）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若此方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 26．（满分12分）我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）； （2）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，．求证：四边形是等角线四边形； （3）如图2，在中，已知，，， 点D为线段的垂直平分线l上的一动点，直线l与交于点E．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第 1-2 章综合测试卷（成都专用） （考试时间：120分钟 满分：150分） 测试范围：北师大版九年级数学上册第1-2章 注意事项 1. 答题前，考生务必准确填写姓名、准考证号等信息，并认真核对答题卡粘贴的条形码信息。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂答题卡对应题号，修改时须用橡皮擦擦拭干净，不得留有痕迹；非选择题须使用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，超出答题区域、书写在试卷及草稿纸上的答案无效。 3. 保持答题卡卷面整洁、字迹工整，严禁折叠、污损答题卡，严禁使用涂改液、修正带等涂改工具。 4. 考试结束后，考生只需上交答题卡，试卷自行保管。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷 选择题（共32分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：对于A选项，∵当时，方程二次项系数为0， ∴不是一元二次方程． 对于B选项，∵方程的未知数为， ∴不是关于的方程． 对于C选项，整理得， ∵仅含未知数，的最高次数为2，二次项系数不为0， ∴是关于的一元二次方程． 对于D选项，整理得， ∵当时，二次项系数为0，方程为一元一次方程， ∴不一定是一元二次方程． 2．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形的性质，根据各图形的性质逐一判断选项正误即可得到答案． 解：∵菱形的对角相等、邻角互补，四个内角不都相等， ∴A错误； ∵矩形的对角线相等但不互相垂直，∴B错误； ∵正方形的每一条对角线平分一组对角，符合正方形的性质，∴C正确； ∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴D错误． 3．如图，在中，，D为中点，且，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定和性质，熟记“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可． 解：在中，，D为的中点， 则， ， ， 为等边三角形， ． 故选：． 4．用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 解：∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 5．如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出其长是解题的关键．先依据菱形“对角线互相垂直平分”的性质，求出对角线一半的长度 （），再在中用勾股定理算出菱形边长，最后根据菱形四边相等的性质，计算出周长为． 解：∵菱形的对角线与相交于点， ∴ ∵， ∴ 在中： ∵菱形的四条边相等， ∴该菱形的周长是， 故选：C． 6．一元二次方程根的情况是（    ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．通过计算判别式的值，判断一元二次方程根的情况即可． 解：∵， ∴，   ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据平均增长率的公式，分别表示出11月、12月的营业额，再结合第四季度总营业额的等量关系列方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则11月营业额为万元，12月营业额为万元， ∵按计划第四季度的总营业额要达到9100万元， ∴， 故选：B． 8．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 解：四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 第Ⅱ卷 非选择题（共68分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是______． 【答案】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的一般式，解答此题的关键在于掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义解答此题． 解：原方程去括号整理得：， 则二次项系数，一次项系数及常数项的和是． 故答案为：． 10．如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为_____．    11．已知，且，则______． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次方程，根据，可得或． 解：∵， ∴或． ∴或． 故答案为：或． 12．如图，在矩形纸片中，，E为边上的一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查矩形的折叠问题，由折叠前后对应边相等可得，再用勾股定理解即可． 解：四边形是矩形， ， 由折叠知，， 在中，， 故答案为：8． 13．如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）解方程．其中（1）、（2）小题按指定方法解，（3）、（4）小题选择适当的方法解． （1）（配方法） （2）（公式法） （3） （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】（1）根据配方法解方程的基本步骤，求解即可． （2）利用公式法解方程的基本步骤，求解即可． （3）利用直接开平方法，求解即可． （4）利用因式分解法求解即可． （1）解：， 配方，得，即． 两边开平方，得， 解得，． （2）解：, ， ， ∴， 解得，． （3）解：∵， ∴， ∴或者， 解得． （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 15．（满分10分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作对角线的垂线，交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ∴，． ． ， ， ． ∴， 又， 四边形是平行四边形． （2）50 【分析】（1）由菱形的性质得，，再证明，根据两组对边分别平行可证四边形是平行四边形； （2）利用菱形的性质和勾股定理计算的长，结合平行四边形的性质即可求解． 解：（1）略； （2）解：四边形是菱形，，， ，，， ． 由（1）得四边形是平行四边形， ，， 的周长． 16．（满分10分）如图，在中，，D，E分别为，的中点，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：在中，，E为的中点， ， ， , 又， 四边形是平行四边形； （2） 【分析】（1）根据直角三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形中位线定理可得，，从而得到，，再由四边形的面积的面积的面积，即可求解． 解：（1）略 （2）解：，E分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ， ∵，， ∴，， 的面积为，的面积为， 四边形的面积的面积的面积． 17．（满分10分）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． （1）的长用含的代数式表示为 m； （2）现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． （1）解：设， 则； （2）略． 18．（满分10分）问题情境：通过对《平行四边形》一章内容的学习，我们认识到矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自的特殊性质．根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定定理．数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形的对角线，交于点O，过点D作，且，连接． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图②，若四边形是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，若四边形是正方形，四边形又是什么特殊的四边形？请说明理由． 【答案】（1）解：四边形是菱形 理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 所以四边形是菱形 ； （2）解：（1）中的结论不成立； 理由如下： 同（1），得四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 （3）解：四边形是正方形； 理由如下： 同（1），得四边形是平行四边形， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形和正方形的判定方法． （1）根据矩形的性质和菱形的判定方法进行证明即可； （2）根据菱形的性质和矩形的判定方法进行证明即可； （3）根据正方形的性质和判断进行证明即可． 解：（1）略 （2）略 （3）略 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．将连接四边形对边中点的线段称为“中对线”．如图，四边形的对角线，且两条对角线的夹角为，则该四边形较短的“中对线”的长为______．   【答案】3 【分析】此题考查的是三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理可得菱形，然后根据菱形的性质及等边三角形的性质可得答案． 解：如图，取四边的中点，依次连接起来，设与交点M， ∴是的中位线， ，， 同理， ，，， ，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 较短的“中对线”长度为． 故答案为：． 20．关于的一元二次方程（，，为常数，）有两个相等的实数根． （1）若，，则代数式的值为________． （2）若，为不相等的非零实数，当，，时，代数式的值为________． 【答案】 / 【分析】（1）利用一元二次方程有两个相等实数根的判别式条件，代入a与b、c的关系，变形得到所求代数式的值． （2）先由系数和为0得是方程的根，结合重根条件与根与系数的关系，推导m与n的数量关系，代入代数式计算． 解：（1）一元二次方程有两个相等的实数根， ， ，， ， ， ； （2）， 是方程的一个根， 方程有两个相等的实数根， 方程的两个根均为1， 根据根与系数的关系，两根之和为， ， 将，代入得， 整理得， ，为非零实数， ． 21．若方程的两根分别是方程的两根的相反数，则__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到关于的方程组，求解得到的值后即可计算出的结果． 解：设方程的两根为， 由题意可知，方程的两根为， 根据一元二次方程根与系数的关系， 对可得，； 对可得，， 整理得，； 联立得方程组， 解得， 因此． 22．如图，在矩形中，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为_______________． 【答案】 【分析】延长到G，使，连接，，证明，得出， ，根据两点之间线段最短，得出当G、F、C共线时，最小，最小值为，根据勾股定理求出最小值即可． 解：延长到G，使，连接，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当G、F、C共线时，最小，最小值为， ∴最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴最小值为． 23．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”．若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有______个． 【答案】2 【分析】根据“的倒立数对”的定义得到，再将，，代入分式得到新的分式，求解即可． 解：是“的倒立数对”， ， ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， ∴，是关于的方程的实数根， 方程有实数根的条件是判别式， 解得或，即的整数值有，，共个． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，方程是“伴根方程”． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）判断方程是否为“伴根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“伴根方程”， ①求m的值； ②在①的条件下，若，解关于的方程． 【答案】（1）是“伴根方程”；（2）①或；② 【分析】（1）首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义判断； （2）①首先求出方程的解，然后根据“伴根方程”的定义求解； ②首先由得到，然后代入求解即可． （1）解：， ， 或， 解得，， ∵， ∴方程是“伴根方程”； （2）解：①∵， ∴或， ∴，， ∵方程（m是常数）是“伴根方程”， ∴， ∴或； ②∵， ∴， ∴关于t的方程为， ∴， ∴． 25．（满分10分）已知：平行四边形的两边的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ （3）若此方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】（1），边长为；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可知方程有两个相等的实数根，由根的判别式求出m，进而可求出方程的根； （2）由的长为2，可知2是方程的一个根，代入方程求出m，进而求出方程的根，即可求出平行四边形的周长； （3）利用一元二次方根与系数的关系得到，，将变形为，再将，代入求解即可． （1）解：根据题意：四边形是菱形时，则， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， ， 解得：， ，四边形是菱形，边长； （2）解：根据题意得：， 解得：，则， 解得：， 的长为2， ， 平行四边形的周长是； （3）解：方程的两个实数根分别为， ，， ， ， 解得：． 【点拨】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，一元二次方程根的判别式以及根据系数的关系，解一元二次方程，综合运用各知识点是解答本题的关键． 26．（满分12分）我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是 （填序号）； （2）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接，．求证：四边形是等角线四边形； （3）如图2，在中，已知，，， 点D为线段的垂直平分线l上的一动点，直线l与交于点E．若以点A，B，C，D为顶点的四边形是等角线四边形，求出的长． 【答案】（1）②④；（2）证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ， ∴四边形是等角线四边形； （3）的长为2或 【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解； （2）利用正方形的性质证明，用全等三角形的性质得出． （3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解． （1）解：∵矩形、正方形的对角线相等，平行四边形，菱形的对角线不一定相等， ∴矩形和正方形是“等角线四边形”， 故答案为：②④； （2）证明：略； （3）解：当点D在的上方时，如图， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为等角线四边形， ∴， ∴； 当点D在的下方时，如图，过点D作，交的延长线于F， ∵四边形为等角线四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或． 学科网（北京）股份有限公司 $