5.4.1二元一次方程与一次函数 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

# 北师大版八年级上册数学5.4.1二元一次方程与一次函数专项练习（1321字） ## 一\(k、b\)核心知识点梳理 二元一次方程与一次函数存在紧密的数形结合关系，这是本节核心。任意一个二元一次方程都可以转化成一次函数$\(y=kx+b\)(k≠0)$的形式，所以二元一次方程的无数组解，对应一次函数图像上无数个点的坐标。反过来，一次函数图像上每一个点的横\(k、b\)纵坐标，都是对应的二元一次方程的一组解。 二元一次方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1\\y=k_2x+b_2\end{cases}$的解，就是两个一次函数图像交点的坐标。 1. 两直线相交：有唯一交点，方程组有唯一一组解； 2. 两直线平行（$k$相等，$b$不等）：无交点，方程组无解； 3. 两直线重合（$k\(k、b\)b$都相等）：无数个交点，方程组有无数组解。 解题步骤：①把二元一次方程整理为$\(y=kx+b\)$；②理解方程的解就是点坐标；③利用图像交点求方程组的解；④根据直线位置，判断方程组解的情况。 易错提醒：①变形移项注意符号；②区分“方程的解”和“方程组的解”，单个二元一次方程有无穷多解；③判断平行时，必须同时看斜率$k$和截距$b$，只看$k$容易出错；④交点坐标写成方程组解的大括号形式，坐标顺序不能颠倒。 ## 二\(k、b\)基础过关（选择题） 1. 将二元一次方程$\(2x+\(y=3\)\)$化成$\(y=kx+b\)$形式，正确的是（） A.$\(\(y=2\)x+3\)$ B.$y=-2x+3$ C.$\(y=2\)x-3$ D.$y=-2x-3$ 2. 一次函数$\(y=3\)x-1$图像上某点坐标是$\((2,5)\)$，则对应的二元一次方程$3x-y=1$的一组解是（） A.$\begin{cases}x=5\\\(y=2\)\end{cases}$ B.$\begin{cases}\(x=2\)\\y=5\end{cases}$ C.$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$ D.$\begin{cases}\(x=1\)\\\(y=3\)\end{cases}$ 3. 两个一次函数图像平行，则对应的二元一次方程组（） A.有唯一解 B.无解 C.无数组解 D.无法确定 4. 直线$\(y=x+1\)$与$y=-x+3$的交点坐标是（） A.$\((1,2)\)$ B.$\((2,1)\)$ C.$\((0,1)\)$ D.$\((3,0)\)$ ## 三\(k、b\)能力提升（填空题） 5. 二元一次方程$x-2y=4$，转化为$\(y=kx+b\)$：________。 6. 若方程组$\begin{cases}x+\(y=3\)\\y-\(x=1\)\end{cases}$的解是$\begin{cases}\(x=1\)\\\(y=2\)\end{cases}$，则直线$y=-x+3$与$\(y=x+1\)$的交点坐标为________。 7. 直线$\(y=2\)x-3$与$\(\(y=2\)x+1\)$位置关系是______，对应的方程组________。 8. 已知点$\((a,3)\)$在直线$\(y=2\)x-1$上，则$\(a=\)$________。 ## 四\(k、b\)解答题（计算+数形结合） 9. 把方程$\(3x+2y=6\)$转化为一次函数解析式，并写出这个函数图像上任意两组点坐标，对应写出二元一次方程的两组解。 10. 利用一次函数图像的意义解方程组$\begin{cases}\(x+y=5\)\\2x-y=1\end{cases}$。 ## 五\(k、b\)参考答案与解析 1. B。解析：移项，$y=-2x+3$。 2. B。解析：函数图像上点$\((x,y)\)$就是二元一次方程的一组解。 3. B。解析：两直线平行，没有交点，方程组无解。 4. A。解析：联立$x+1=-x+3$，解得$\(x=1\)$，代入$\(y=x+1\)$，$\(y=2\)$，交点$\((1,2)\)$。 5.$y=\dfrac12x-2$。解析：$-2y=4-x$，$y=\dfrac{x-4}{2}$。 6.$\((1,2)\)$。解析：方程组的解就是两条直线交点坐标。 7.互相平行；无解。解析：斜率$k$都是2，截距不等，无交点。 8.$2$。解析：代入$3=2a-1$，$2\(a=\)4$，$\(a=\)2$。 9.解：$\(3x+2y=6\)$，移项得$2y=-3x+6$，化简：$\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{2}x+3}$。 取$\(x=0\)$，$\(y=3\)$，一组解$\begin{cases}\(x=0\)\\\(y=3\)\end{cases}$；取$\(x=2\)$，$\(y=0\)$，一组解$\begin{cases}\(x=2\)\\\(y=0\)\end{cases}$。 答：解析式$y=-\dfrac32x+3$。（取点答案不唯一） 10.解：先把方程化为一次函数形式： $\(x+y=5\)$变形：$y=-x+5$；$2x-y=1$变形：$\(y=2\)x-1$。 方程组的解就是两条直线交点坐标。联立：$-x+5=2x-1$，$\(3x=6\)$，$\(x=2\)$。 将$\(x=2\)$代入$y=-x+5$，得$\(y=3\)$。 ∴方程组的解$\boldsymbol{\begin{cases}\(x=2\)\\\(y=3\)\end{cases}}$，两条直线交点为$\((2,3)\)$。 ## 练习小结 二元一次方程与一次函数是初中数形结合的典型内容，核心就是理解“方程的解”与“图像上点坐标”的一一对应关系。单个二元一次方程有无穷多组解，对应一条直线上全部点；二元一次方程组的解，就是两条直线交点坐标。判断方程组解的个数，只需要对比两个一次函数的斜率$k$和截距$b$。做题时，第一步熟练完成二元一次方程和一次函数之间的互化，移项\(k、b\)化简是基础，很多同学容易在系数化为1时计算出错。解方程组既可以用代入\(k、b\)加减消元法，也可以借助一次函数图像求解。图像法的优势是直观，但画图会产生误差，精确计算仍要用代数消元。本节搭建起代数方程和几何图像之间的桥梁，是后续学习一次函数综合题\(k、b\)利用函数解决实际问题的基础，也是期末常考考点，要学会用两种视角看待同一个数学问题，体会数形结合思想。 （全文：1321字） 继续写 **5.4.2 用二元一次方程组确定一次函数表达式**，同样1321字专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学八年级上册 5.4.1二元一次方程与一次函数 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/24 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二元一次方程 理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系. 会用画图象的方法解二元一次方程组. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法. 02 知识衔接 1.若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 ，（ ）的形式，则称y是x的一次函数. 2.若两条直线互相平行，则这两条直线中的k . 3.关于x的一元一次方程都可以变形为kx+b=0(k≠0) 的形式，方程kx+b=0的解即为函数 y=kx+b当 时x所对应的值，从图象上看，则为函数图象与x轴交点的 . 4.解二元一次方程组的方法有 . y=kx+b k,b为常数 ，k≠0 相等 y=0 横坐标 代入消元法、加减消元法 03 探究新知 问题1.方程x＋y＝５的解有多少个？写出其中的几个. 问题2.以这些解为坐标的点在一次函数y=-x+5的图象上吗？ O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=-x+5 x=0 x=2 x=3 x=4 y=5 y=3 y=2 y=1 把x=0、2、3、4，代入y=-x+5中求出 y=5、3、2、1，所以这些解都在y=-x+5的图像上。 探究一 二元一次方程与一次函数的关系 有无数个解 03 新知探究 问题3.在一次函数图象上任取几个点，它们的坐标适合方程x＋y＝５吗？它们是方程的解吗？ O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=-x+5 （1，4）、（5，0）（-1，6）。 因为1+4=5, 5+0=5, -1+6=5,所以直线上的点都是方程x+y=的解。 03 新知探究 问题4.以方程x+y=5的解为坐标的所有 点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象 相同吗？ O 4 3 1 2 y x 2 3 4 5 1 -1 -2 -4 -3 -4 -3 -2 -1 -5 y=-x+5 方程x+y=5的解有无数个，以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=-x+5的图象相同，是同一条直线。 即一个二元一次方程对应平面上的一条直线。 03 探究小结 x+y=5是什么 二元一次方程 y=5-x 一次函数 变形 相互转换 试一试：把下列二元一次方程转化为一次函数 （1）y-2x=1； （2）2y+x=4 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 1.直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的直线是(　　) 返回 C 基础提优题 中考考法 2.若以二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－x＋1上，则常数b＝(　　) A.　　 B.1　　 C.－1　　 D.2 返回 D 基础提优题 中考考法 3.一次函数y＝2x－4的图象上有一点的坐标是(　　，2)，则 方程2x－y＝4必有一个解为　　　　. 返回 3 基础提优题 中考考法 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 4.［2026北京海淀区期中］若直线y＝3x＋6与直线y＝2x－4的交点坐标为(a，b)，则解为的方程组是(　　) A.　　 B. C.　　 D. 返回 C 基础提优题 中考考法 03 小试牛刀 1.以方程2x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数 的图像相同. 2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程x-2y=2的解的是（ ） A. B. C. D. y=-2x+5 C 03 新知探究 作y=5-x的图像 取两点（0,5)，(5,0)，作出一次函数y=5-x的图象 作y=2x-1的图像 取两点（0.5,0)，(0,-1)，作出一次函数y=2x-1的图象 用图像法解二元一次方程组 探究二 03 新知探究 １.解方程组 思考：方程组的解和相应的两个函数图象的交点坐标有什么关系? 方程组的解就是两直线的交点坐标 03 小试牛刀 1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图像，所得两条直线（ ） A. 有无数个交点 B.没有交点 C. 只有一个交点 D. 以上都有可能 2.根据下列图象，说出哪些方程组的解. 1 1 -2 1 y 0 x=1 x=-2 y=1 y=1 D 03 新知探究 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？ 方程组 解的情况如何？ 两直线平行 方程组无解 两直线平行于方程组解的关系 探究三 03 新知探究 归纳：对于两条直线 当k1≠k2 时，两直线交于一点，此时对应的二元一次方程组有一组解. 当k1=k2 b1≠b2时，两直线互相平行，无交点，此时对应的二元一次方程组无解. 当k1=k2 b1=b2时，两直线重合，无数个交点，此时对应的二元一次方程组无数个解. 03 小试牛刀 1.已知二元一次方程组 的解 为则函数y=kx+b 和 y=kx 的图象的交点坐标为    ． 2.以2x- y=5方程的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同． 3..图中的直线 y=-x+4和直线y=2x+1的交点 坐标是（1,3），则该坐标可以看作方程组 _____　　的解。 ax-y+b=0 kx-y=0 x=-3 y=1 (-3,1) y=6x-15 y=-x+4 y=2x+1 知识要点1 1、将两个方程化成一次函数形式； 2、画出两个一次函数图象； 3、找到两条直线交点坐标即为方程组的解 若两条直线相交，则交点就是二元一次方程组的解； 若两条直线平行，则二元一次方程组无解. 若两直线重合是二元一次方程组有无数个 利用图像法求二元一次方程组的解一般步骤： 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( ). A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？ 图象之间有何关系？ 3.直线y=ax+b和直线y=bx+3a的交点坐标是(2,-1)，则 . B 平行 没有 a= -1，b= 1 2.若二元一次方程组 的解为 ， 则函数 与 的图象的交点坐标 为 . 1.一次函数 y = 5 - x 与 y = 2x - 1 图象的交点为(2，3)， 则方程组 的解为 . (2，2) 当堂检测 3. 若方程组 没有解，由此一次函数 y = 2 - x 与 y = x 的图象必定( ) 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断 B x +y =2 2x +2y =3 当堂检测 4.一次函数 y = 3x－5 与 y = 2x＋b 的图象的交点的坐标为 P(1，-2)， 试确定方程组 的解和 b 的值. y = 3x－5， y = 2x＋b 解：∵一次函数 y = 3x－5 与 y = 2x＋b 的图象的交点的坐标为 P(1，-2)， ∴方程组 的解是 y = 3x－5， y = 2x＋b x = 1， y =－2. 将 (1，－2) 代入 y = 2x＋b 中，得－2 = 2×1＋b， ∴b = －4. 当堂检测 5.直线y＝ax＋2与直线y＝3x－2平行，下列说法不正确的是(　　) A.a＝3 B.直线y＝ax＋2与y＝3x－2没有交点 C.方程组无解 D.方程组有无穷多个解 返回 D 基础提优题 中考考法 6.［2026绍兴期末］已知关于x，y的方程组所对应的两个一次函数的图象如图所示，则4a－b的值为　　　. 返回 11 基础提优题 中考考法 7. 如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b). (1)求b的值. 返回 【解】把点P(1，b)的坐标代入y＝x＋1，得b＝1＋1＝2. 基础提优题 中考考法 (2)不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解. 返回 【解】方程组 的解为 基础提优题 中考考法 (3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由. 返回 基础提优题 中考考法 【解】直线l3：y＝nx＋m也经过点P.理由如下：因为直线l2：y＝mx＋n经过点P(1，2)，所以m＋n＝2. 所以易知直线y＝nx＋m也经过点P. 返回 基础提优题 中考考法 05 课堂小结 二元一次方程与一次函数的关系 两直线相交；一个解。 两直线平行：无解 两直线重合：无数个解 一次函数图像上点的坐标 二元一次方程组的解 两个一次函数图像交点坐标 无数个解 无数个点 二元一次方程的解 谢谢观看 THANKS $