5.4.1 二元一次方程与一次函数 课件-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程与一次函数的关系，涵盖方程与函数转化、解与点对应、方程组与交点关系等核心知识点。通过问题链、图片及视频导入，从具体方程解的探究过渡到函数图象与方程组解的关联，搭建数形结合的学习支架。 其亮点在于以数形结合为主线，通过描点验证、图象交点分析等活动培养几何直观与抽象能力，结合归纳小结和易错点总结强化推理意识，多样化练习助力数学语言表达。学生能深化知识理解，教师可依托清晰流程提升教学效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月25日 5.4.1 二元一次方程与一次函数 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.4.1 二元一次方程与一次函数 练习题 本节核心考点：掌握二元一次方程与一次函数的对应关系，理解二元一次方程的解与一次函数图象上点的坐标一一对应，掌握方程组的解与两个一次函数图象交点坐标的关系，实现方程与函数的相互转化，是数形结合核心考点。 核心知识点（必背） 1. 方程与函数的转化：任意一个二元一次方程$$ax+by=c(b e0)$$，都可以变形为一次函数$$y=kx+b$$的形式，对应一条直线。 2. 解与点的对应关系：二元一次方程的每一组解，都是对应一次函数图象上一个点的坐标；反之，一次函数图象上任意一点的坐标，都满足对应的二元一次方程。 3. 方程组与交点关系：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的唯一解。 4. 图象位置与方程组解的情况：两直线相交⇔方程组有唯一解；两直线平行⇔方程组无解；两直线重合⇔方程组有无数组解。 一、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 二元一次方程$$2x+y=3$$可变形为一次函数解析式________。 2. 二元一次方程的所有解，对应其一次函数图象上的________。 3. 两个一次函数图象的交点坐标，就是对应________的解。 4. 若点$$(2,1)$$在直线$$y=kx-1$$上，则二元一次方程$$kx-y=1$$的一组解为________。 5. 两直线平行无交点，则对应的二元一次方程组________。 二、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 关于二元一次方程与一次函数的关系，下列说法正确的是（） A. 二者无任何关联 B. 方程的解对应函数图象上点的坐标 C. 只有一组对应关系 D. 函数图象上的点不满足方程 2. 直线$$y=3x-2$$对应的二元一次方程是（） A. $$3x+y=2$$ B. $$3x-y=2$$ C. $$x+3y=2$$ D. $$3x-y=-2$$ 3. 若方程组$$\begin{cases}y=2x+1\\y=-x+4\end{cases}$$的解为$$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$$，则两直线交点坐标为（） A. $$(3,1)$$ B. $$(1,3)$$ C. $$(2,4)$$ D. $$(4,2)$$ 4. 两条直线重合，则对应二元一次方程组（） A. 无解 B. 唯一解 C. 无数组解 D. 两组解 5. 已知$$\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}$$是方程$$ax+y=9$$的解，则直线$$ax+y=9$$必过点（） A. $$(2,5)$$ B. $$(5,2)$$ C. $$(-2,5)$$ D. $$(2,-5)$$ 三、解答应用题（共60分） 1.（20分）方程函数互化：将下列二元一次方程化为$$y=kx+b$$的形式，并写出任意两组整数解。 （1）$$3x+y=6$$ （2）$$2x-3y=12$$ 2.（20分）利用图象法解方程组：$$\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}$$（可通过求交点坐标解题） 3.（20分）已知直线$$y=2x-1$$和$$y=-x+5$$， （1）求两直线交点坐标；（2）直接写出对应二元一次方程组的解。 四、参考答案与详细解析 填空题答案 1. $$y=-2x+3$$ 2. 所有点的坐标 3. 二元一次方程组 4. $$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$ 5. 无解 选择题答案 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 解答题详细解析 1. 解： （1）由$$3x+y=6$$变形得：$$y=-3x+6$$， 整数解示例：$$\begin{cases}x=0\\y=6\end{cases}$$、$$\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}$$； （2）由$$2x-3y=12$$变形得：$$3y=2x-12$$，即$$y=\dfrac{2}{3}x-4$$， 整数解示例：$$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$$、$$\begin{cases}x=6\\y=0\end{cases}$$。 2. 解： 联立方程组，令两个函数值相等： $$x+1=-2x+4$$，移项得$$3x=3$$，解得$$x=1$$， 将$$x=1$$代入$$y=x+1$$，得$$y=2$$， ∴方程组的解为$$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$$，两直线交点为$$(1,2)$$。 3. 解： （1）联立解析式：$$2x-1=-x+5$$， 移项合并得：$$3x=6$$，解得$$x=2$$， 代入$$y=2x-1$$得：$$y=3$$， ∴两直线交点坐标为$$(2,3)$$； （2）对应二元一次方程组$$\begin{cases}y=2x-1\\y=-x+5\end{cases}$$的解为$$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$$。 五、易错点总结 1. 变形易错：方程转一次函数时，移项忘记变号、系数约分出错，是基础高频错误； 2. 坐标与解混淆：交点坐标(x,y)对应方程组解$$\begin{cases}x=...\\y=...\end{cases}$$，书写格式不能混用； 3. 图象规律记错：相交有唯一解、平行无解、重合无数解，三类对应关系易颠倒； 4. 概念理解片面：二元一次方程有无数组解，对应直线上无数个点，不是单个点； 5. 书写不规范：函数变形、方程组解的书写格式不标准，考试易扣分。 问题导入 1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。 2．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？ 3．在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？ 4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？ 一级标题：黑体， 2 图片导入 同学们，从不同的角度观察下面的图像，你有什么发现？ 一级标题：黑体， 3 视频导入 一级标题：黑体， 4 （1）方程 x+y=5 的解有多少个？ 写出其中的几个. 有无数个 新课探究 知识点一 二元一次方程与一次函数的关系 5 （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y = 5−x 的图象上吗？ 列表 描点 连线 x 2 4 6 7 … y=5−x 3 1 -1 -2 … 画一次函数的图象： y = 5−x 6 在一次函数 y = 5−x 的图象上. y = 5−x （2）在平面直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数 y = 5−x 的图象上吗？ 7 （3）在一次函数 y=5−x 的图象上任取一点，它的坐标满足方程 x+y=5 吗？ （4）以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5−x 的图象相同吗？ 满足 相同 恒等变形 y = 5−x 8 方程 x+y=5 的解有无数个． 以方程 x+y=5 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=5−x 的图象相同，是同一条直线. 9 1. 若以二元一次方程的解为坐标的点 都 在直线上，则常数 ( ) D A. B. 1 C. D. 2 返回 中考考法 10 2. ［2025北京海淀区月考］若直线 与直线 的交点坐标为，则解为 的方程组是 ( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 11 一个二元一次方程对应着平面上的一条直线. 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线. 归纳小结 直线 y=kx+b （k≠0）的表达式是一个关于 x, y 的二元一次方程. 方程的解与对应函数图象上的点的坐标一一对应. 13 以方程 x+3y=2 的解为坐标的点都在一次函数 y= 的图象上. < 小练习 > 解析：以二元一次方程 y=kx+b (k≠0) 的解为坐标的点组成的图象就是一次函数 y= kx+b (k≠0) 的图象，即用含 x 的代数式表示 y，将 变形得 . 14 通过对二元一次方程与一次函数的对比分析，我们发现： 从“数”的角度看，方程与函数描述的是同样的关系； 从“形”的角度看，它们对应解（点）组成的图象相同. 那么二元一次方程组与一次函数之间是否也有数与形上的关系呢？ 15 知识点二 二元一次方程组与一次函数的关系 在同一平面直角坐标系中分别画出一次函数 y=5−x 和 y=2x−1 的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 的解有什么关系？ x+y=5, 2x−y=1 操作·思考 o y x A y=2x-1 y=5-x 16 o y x A y=2x-1 y=5-x 3 2 一次函数 y=5−x 和 y=2x−1 图象的 交点为A(2, 3)，而 就是方程组 的解. x+y=5, 2x−y=1 x=2, y=3 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标. 17 若方程组 的解为 则直线 y=−x+a 与 y=x−b 的交点的坐标为 ； x+y=a, x−y=b x=11, y=4, (11, 4) < 小练习 > 18 在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=x+1 和 y=x−2 的图象有怎样的位置关系？ 方程组 解的情况如何？你 发现了什么？与同伴进行交流. 平行 方程组没有解 x−y=−1, x−y=2 思考·交流 19 规律总结 二元一次方程组的解 两个一次函数的图象上的点 无解 平行（无交点） 有一个解 相交（有一个交点） 有无数个解 重合（有无数个交点） 数 形 20 3. 若关于，的二元一次方程组 无解，则直线 与 的位置关系是( ) A A. 平行 B. 垂直 C. 相交 D. 重合 4.已知关于，的二元一次方程组 的解为 若直线，为常数，且 与直线 相交于点，则点 的坐标为______. 返回 中考考法 21 5.若一次函数 的图象上有一点的坐标是 （___，2），则方程 必有一个解为_ _______. 3 返回 中考考法 22 6.如图，直线 与直线 相交于点 . （1）求 的值. 【解】把点 的坐标代入 ，得 . 中考考法 23 （2）不解关于，的方程组 请你直接写出它的解. 方程组 的解为 中考考法 24 （3）直线是否也经过点 ？ 请说明理由. 直线也经过点 .理由如下： 因为直线经过点 ， 所以 . 所以易知直线也经过 点. 返回 中考考法 25 7. 若关于,的方程组 无解，则直线 不经过( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 26 【点拨】因为方程组 无解，所以直线 与平行,所以 ，解 得 ,则直线 .直线 经过一、二、四象限，不经过第三象限.故选C. 返回 中考考法 8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与的图象分别与 轴交 于点，，则关于， 的二元一次 方程组 的解为( ) A A. B. C. D. 中考考法 28 9.［2025成都天府新区期末］小虎同学在解方程组 的过程中，错把 看成了6，其余的解题过程没 有出错，解得此方程组的解为 又已知直线 过点，则 的值为 _____. 返回 中考考法 29 课堂小结 二元一次方程与一次函数的关系： 每个二元一次方程都可转化为一次函数； 以二元一次方程 的解 为坐标的点(s, t)在一次函数 的图象上. 30 二元一次方程组 两个一次函数 两条直线 解 两个一次函数值相等时的自变量的值及函数值 两条直线的 交点的坐标 转化 对应 二元一次方程组与一次函数的关系： 31 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $