5.3.1古算问题 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

# 北师大版八年级上册数学5.3.1古算问题专项练习（1321字） ## 一、核心知识点梳理 古算问题是应用二元一次方程组的经典题型，源自古代数学典籍，常见类型有鸡兔同笼、盈不足问题、百钱买百鸡等。解题核心思路不变：读懂古文题意，从文字中提取两组等量关系，设两个未知数，列出二元一次方程组，再选用代入消元法或加减消元法求解，最后检验结果是否符合实际意义。 古算题难点在于文言文表述，需要把古文翻译成现代数量关系。解题步骤：①审题，翻译古文，找出已知量；②设两个未知数；\(2x\(+\)2y=50③\)寻找两组等量关系式；④列二元一次方程组；⑤解方程组；⑥检验答案是否符合现实（动物数量、物品个数必须是非负整数）；⑦规范作答。 常见等量关系模型：鸡兔同笼类，总头数=鸡数量\(+\)兔数量，总腿数=鸡腿总数\(+\)兔腿总数。盈不足问题：物品总数不变，两种分配方式下总数相等。易错点：审题时混淆“多、少、盈、不足”含义；求出解后忽略实际背景，保留小数或负数，这类答案要舍去。 ## 二、基础过关（选择题） 1. “鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足”，设鸡$x$只，兔$y$只，方程组正确的是（） A.$\begin{cases}\(x\(+\)y=35\)\\\(2x\(+\)4y=94\)\end{cases}$ B.$\begin{cases}\(x\(+\)y=35\)\\4x\(+\)2y=94\end{cases}$ C.$\begin{cases}x\(+\)y=94\\2x\(+\)4y=35\end{cases}$ D.$\begin{cases}x\(+\)y=94\\4x\(+\)2y=35\end{cases}$ 2. 古题：今有若干人分银，每人7两，多4两；每人9两，少8两。设人数$x$，银$y$两，则（） A.$\begin{cases}7x=y\(+\)4\\9x=y-8\end{cases}$ B.$\begin{cases}7x=y-4\\\(9x=y\(+\)8\)\end{cases}$ C.$\begin{cases}7x=y\(+\)4\\\(9x=y\(+\)8\)\end{cases}$ D.$\begin{cases}7x=y-4\\9x=y-8\end{cases}$ 3. 鸡兔同笼，头共20个，腿共56条，则兔子有（） A.8只 B.10只 C.12只 D.14只 4. 《九章算术》：甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十。设甲有钱$x$，乙有钱$y$，方程组为（） A.$\begin{cases}x\(+\)\dfrac{1}{2}y=50\\y\(+\)\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$ B.$\begin{cases}x\(+\)\dfrac{1}{2}y=50\\y\(+\)\dfrac{1}{3}x=50\end{cases}$ C.$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}y=50\\y-\dfrac{2}{3}x=50\end{cases}$ D.$\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}y=50\\y-\dfrac{1}{3}x=50\end{cases}$ ## 三、能力提升（填空题） 5. 鸡兔同笼，头共12，腿共32，则鸡____只，兔____只。 6. 古题：隔墙听客分银，不知人数不知银。七两分之多四两，九两分之少半斤（古代1斤=16两，半斤=8两）。人数为____，银共____两。 7. 今有大小两种盛米桶，5个大桶加1个小桶可盛3斛米；1个大桶加5个小桶可盛2斛米。设大桶盛$x$斛，小桶盛$y$斛，列方程组：________。 8. 一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共六十六，数腿一共一百九十八。猎人有____人。 ## 四、解答题（古算应用题） 9. 经典鸡兔同笼：今有鸡兔同笼，上有25头，下有70足。问鸡、兔各几何？列方程组并用加减消元法求解。 10. 《九章算术》盈不足题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何。翻译：众人合伙买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱。求人数和物品价格。 ## 五、参考答案与解析 1. A。解析：总头数$\(x\(+\)y=35\)$；鸡2条腿，兔4条腿，总足$\(2x\(+\)4y=94\)$。 2. B。解析：每人7两，多4两，$7x=y-4$；每人9两，少8两，$\(9x=y\(+\)8\)$。 3. A。解析：$\begin{cases}x\(+\)y=20\\2x\(+\)4y=56\end{cases}$，解得$\(y=8\)$。 4. A。解析：乙一半给甲，甲有50；甲三分之二给乙，乙有50。 5. 8；4。解析：$\begin{cases}x\(+\)y=12\\2x\(+\)4y=32\end{cases}$，解得$\(x=8,y=4\)$。 6. 6；46。解析：$\begin{cases}7x=y-4\\\(9x=y\(+\)8\)\end{cases}$，两式相减得$\(2x=12\)$，$\(x=6\)$，$\(y=46\)$。 7.$\begin{cases}5x\(+\)y=3\\x\(+\)5y=2\end{cases}$ 8.33。解析：猎人2条腿，狗4条腿，$\begin{cases}x\(+\)y=66\\2x\(+\)4y=198\end{cases}$，解得$\(x=33\)$。 9.解：设鸡$x$只，兔$y$只。 $\begin{cases}x\(+\)y=25①\\2x\(+\)4y=70②\end{cases}$，①$\times2$得$2x\(+\)2y=50\(2x\(+\)2y=50③\)$，②$-$\(2x\(+\)2y=50③\)得$\(2y=20\)$，$\(y=10\)$。 把$\(y=10\)$代入①，$\(x=15\)$。答：鸡15只，兔10只。 10.解：设人数$x$，物价$y$钱。 $\begin{cases}8x-y=3①\\y-7x=4②\end{cases}$，①$\(+\)$②得$\(x=7\)$。将$\(x=7\)$代入①，$56-y=3$，$\(y=53\)$。 答：一共有7人，物品价格为53钱。 ## 练习小结 古算问题本质就是二元一次方程组的实际应用题，难点在于读懂古文，准确翻译数量关系。很多古题文字简练，“盈”就是多余，“不足”就是缺少，“太半”指三分之二。做题第一步不要急于列式，先把古文转化成现代语言，找出两组不变量作为等量关系。列出方程组后，可以灵活选用代入或者加减消元法计算。古算题答案大多是人和物品数量，必须是正整数，算出结果要检验是否符合现实，如果出现小数、负数就要重新审题。这类题目是二元一次方程组应用的入门，体会古代数学思想，锻炼文字转化数学模型的能力，也为后续行程、工程、利润类应用题打好基础。古算题的考查重点，在于建模思想，把生活或者古文情境抽象成方程，这也是初中数学核心素养要求。 （全文：1321字） 接下来继续写 **5.3.2 行程与工程问题**，同样保持1321字专项练习吗？ 北师大版（新教材）数学八年级上册 5.3.1古算问题 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/24 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二元一次方程 能够找出古代实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组. 经历同方程组解决实际问题的过程，体现方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.( 培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化. 02 复习旧知 1.解二元一次方程组的方法？ 2.解方程组： 2x + 4y = 94 x + y = 35 3.甲数是乙数的2倍，甲数与乙数的和是12，则甲乙两数分别是多少？ 03 古题导入 《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国. 03 古题导入 “鸡兔同笼”题为: 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何? 说一说：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？ 你能用小学学过的知识解决这个问题吗？ 03 古题导入 假设全部是鸡，则：35×2=70， 94-70=24 4-2=2 兔子只数 24÷2=12，鸡的只数35-12=23 所以兔子12只，鸡23只。 假设全部是兔子，则：35×4=140， 140-94=46 4-2=2 鸡只数 46÷2=23，兔子只数35-23=12 所以兔子12只，鸡23只。 04 新知探究 探究一 应用二元一次方程组解古算题 等量关系： 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94. 足 头 总数 解：设笼中有鸡x只、兔y只 35 94 2x x y 4y 04 新知探究 解：设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组 x+y=35 2x+4y=94 解这个方程组，得 x=23 y=12 所以笼中有鸡23只、兔12只。 04 尝试与思考 列方程求解： 若甲从乙出得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍，若乙从甲出得到5第纳尔（货币单位），则乙拥有的第纳尔是甲的5倍，甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？（选自意大利数学家斐波那奇《计算之书》） 解：设甲原来拥有X第纳尔,乙原来拥有y第纳尔,依题意得 x+7=5（y-7） 5(x-5)=（y+5） 解得：x=8 y=10 答：甲原来有8第纳尔，乙原来有10第纳尔. 05 典例精析 例题1：今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱，多乙 余钱五倍，乙得甲十钱，适等，问甲、乙各怀钱几何？ （选自《张丘建算经》） 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得乙的10钱， 那么甲的钱数比乙剩余钱数多5倍，如果乙得甲的10钱，那么 两人的钱数相等，问甲、乙各带了多少钱？ 数量关系：甲+10=6（乙-10） 甲-10=乙+10 05 典例精析 解：设：甲带的钱数是x, 乙带的钱数是y.依题意得 x+10=6(y-10) x-10=y+10 解得 x=38 y=18 所以甲带的钱数是38钱, 乙带的钱数是18钱. 知识点1“鸡兔同笼”问题 1.［2026重庆期中］《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺.”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾1.2米、彩绢5米，每盏小灯用竹篾0.5米、彩绢2米.若工坊恰好用完了120米竹篾和490米彩绢，设制作大灯x盏，小灯y盏，则可列方程组为(　　) A. B. C. D. 返回 A 基础提优题 中考考法 2.［2025盐城］我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　　分. 返回 6 基础提优题 中考考法 知识点2 和差倍分问题 3.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”根据题意可得木材的长为(　　) A.2.5尺　　 B.5.5尺　　 C.6.5尺　　 D.11尺 返回 C 基础提优题 中考考法 03 典例精析 例题2：以绳测井 若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？ 题目大意：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 等量关系 03 典例精析 解：设绳长x尺，井深y尺，依题题意得 x 3 x 4 -y=5, ① -y=1. ② 解得： x=48, y=11. ｛ 答：绳长48尺，井深11尺. 03 典例精析 列方程组解古算题： 例题3、“今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？” 题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”。2头牛、5只羊共价值8两“金”。每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 5头牛钱＋2只羊钱＝10两 2头牛钱＋5只羊钱＝8两 等量关系 03 典例精析 解：设牛值x两，羊值y两,依题意得 5x＋2y＝10 2x+5y＝8 x= y= 解得 答：羊值“金” 两，牛值“金” 两。 知识要点1 （1）审题，找两个等量关系； （2）设两个未知数， （3）根据等量关系列方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1．根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物． 大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．” 小马说：“我还想给你1包呢！” 大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．” 小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一个方程应是（　　） A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1） C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为 . 3.用一根绳子围绕一个大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？只列方程组 . 4. 甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为 . x+y=10 6x+8y=68 3x+4=y 4x-3=y 5x=5y+10 4x=6y 1.《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛(斛，音 hú，是古代一种容量单位)，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛．1 个大桶、1 个小桶分别可以盛酒多少斛？设 1 个大桶可以盛酒 x 斛、1个小桶可以盛酒 y 斛．根据题意，可列方程组 ______________. 当堂检测 2. 《孙子算经》是中国古代重要的数学巨作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有 48 文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱 48 文，甲、乙原来各有多少钱？ 解得 答：甲有 36 文，乙有 24 文. 解：设甲原有 x 文，乙原有 y 文钱. 当堂检测 隔壁听到人分银， 不知人数不知银。 每人五两多六两， 每人六两少五两。 多少人数多少银？ 解：设有 x 个人，y 两银， 由题意得 5x + 6 = y， 6x - 5 = y. 3. 古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证： 解得 x = 11， y = 61. 当堂检测 4.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，其中正确的个数是(　　) 甲：设客房有x间，则7x＋7＝9(x－1)； 乙：设客人有y人，则＝； 丙：设客房有x间，客人有y人，则 A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3 返回 C 基础提优题 中考考法 5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后.甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的质量. 返回 基础提优题 中考考法 【解】设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 所以4x＋4y＝143＋117＝260. 所以黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的质量为260两. 返回 基础提优题 中考考法 6.在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图①、图②中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.如图①表示的方程组是在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为　　　　. 返回 ｜　 综合应用题 05 课堂小结 列二元一次方程组解应用题的基本步骤 （1）审题，找两个等量关系； （2）设两个未知数， （3）根据等量关系列方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答. 谢谢观看 THANKS $