5.3.1古算问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的古算问题应用，通过“雉兔同笼”等经典古题导入，对比算术法、一元一次方程与方程组解法，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生掌握古文翻译与等量关系分析。 其亮点是融合数学文化与核心素养，以《九章算术》等古题培养数学眼光，通过解法对比发展推理意识和运算能力，规范解题步骤强化模型意识。学生能提升建模能力与文化认同，教师可借助分层训练和详细解析提高教学效率。

北师大版数学八年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 5.3.1古算问题 第五章 二元一次方程组 北师大版八年级上册5.3.1古算问题练习题 核心知识点回顾 古算问题是二元一次方程组实际应用的经典题型，以我国古代数学应用题为主，涵盖和差、倍分、盈亏、计量等常见模型。解题核心是古文翻译+找等量关系，将晦涩的古代文字转化为现代数学语言，通过设未知数列二元一次方程组求解。通用解题步骤：1. 通读古文，读懂题意，梳理已知条件；2. 设两个关键未知量；3. 根据两句核心古文语句，列出两组等量关系，构建方程组；4. 选用代入或加减消元法求解；5. 结合实际题意检验答案，舍去不合理解。 一、基础夯实题（共3题，侧重古文理解与基础建模） 1. 古题：今有两数，和为30，差为6，求两数各是多少？设大数为x，小数为y，列出二元一次方程组并求解。 2. 古算题：甲数的2倍与乙数的和为25，甲数与乙数的3倍和为35，求甲、乙两数。 3. 翻译古题并列式：今有二数，倍其一、加其二得18，其一加三倍其二得22，求两数。 二、能力提升题（共2题，侧重经典古算模型） 1. 经典和倍古题：今有牛羊共20头，牛的数量2倍加羊的数量共32头，问牛羊各有多少头？ 2. 盈亏古算题：今有物，每人分5，余3；每人分6，缺4。求人数和物件总数。 三、经典真题应用题（1题，教材高频考点） 我国古代《九章算术》记载一题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？”题意：众人合伙买鸡，每人出9文钱，多余11文；每人出6文钱，缺少16文。求合伙人数和鸡的总价格。 参考答案与解析 一、基础夯实 1. 方程组：$$\begin{cases} x+y=30 \\ x-y=6 \end{cases}$$，加减消元得$$2x=36，x=18$$，回代得$$y=12$$。答：大数18，小数12。 2. 设甲为x，乙为y，方程组：$$\begin{cases} 2x+y=25 \\ x+3y=35 \end{cases}$$，解得$$\begin{cases} x=8 \\ y=9 \end{cases}$$。答：甲数8，乙数9。 3. 设两数为x、y，方程组：$$\begin{cases} 2x+y=18 \\ x+3y=22 \end{cases}$$。 二、能力提升 1. 设牛x头，羊y头，$$\begin{cases} x+y=20 \\ 2x+y=32 \end{cases}$$，两式相减得$$x=12$$，$$y=8$$。答：牛12头，羊8头。 2. 设人数x，物件y，$$\begin{cases} y=5x+3 \\ y=6x-4 \end{cases}$$，解得$$x=7，y=38$$。答：7人，38件物。 三、经典真题应用 设人数为x，鸡价为y文，列方程组：$$\begin{cases} 9x-y=11 \\ y-6x=16 \end{cases}$$。两式相加得$$3x=27$$，解得$$x=9$$，回代得$$y=70$$。答：合伙人数9人，鸡的价格70文。 易错总结：古算问题关键在精准翻译题意，切勿理解偏差；盈亏问题中多余为加、缺少为减，等量关系不要写反；求解后需结合实际意义检验，人数、物件数均为正整数。 能够找出古代实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组. 经历同方程组解决实际问题的过程，体现方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的有效数学模型.( 培养分析、解决问题的能力，体会二元一次方程组的应用价值，感受数学文化. 《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问：雉兔各几何？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流. 新课探究 《孙子算法》中记载的算法： 术曰：上置三十五头，下置九十四足。半其足，得四十七，以少减多，再命之，上三除下三，上五除下五，下有一除上一，下有二除上二，即得。 又术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。 金鸡独立，兔子站起 脚数： 94÷2=47（只） 头数： 兔：47-35=12（只） 鸡：35-12=23（只） 你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？ 35×2 = 70 94 - 70 = 24 兔：24÷2=12 鸡：35-12=23 ① 算术法 ② 一元一次方程 解：设有鸡x只， 则兔有（35 - x）只. 则 2x + 4（35 - x） = 94 解得 x = 23 即 35 - x = 12 答：鸡有23只，兔有12只. ③ 二元一次方程组 等量关系： 鸡头 + 兔头 = 35， 鸡足 + 兔足 = 94. 鸡 兔 总数 头 足 x y 35 2x 4y 94 设笼中有鸡有x只，兔y只 解方程组，得 上有三十五头， 下有九十四足． 归纳 列二元一次方程组解实际问题的一般步骤： （1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系； （2）设：设未知数，可直接设，也可间接设； （3）列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组； （4）解：解方程组，求出未知数的值； （5）验：检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义； （6）答：写出答案，包括单位名称. 尝试·思考 列方程组求解下面的问题： 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[选自意大利数学家斐波纳奇的《计算之书》] 解：设甲原来拥有x第纳尔，乙原来拥有y第纳尔. 由题意，得 解得 答：甲、乙两人原来各拥有 第纳尔. 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数. 甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等. 问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱. 如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 分析：题目中有哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗? 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y. x+10=6（y-10） x-10=y+10 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数. 甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等. 问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱. 如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱? 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y. x+10=6（y-10） x-10=y+10 解这个方程组，得 x=38 y=18 所以，甲带了 38 钱，乙带了18 钱. 列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》） 题目大意是：5头牛、2只羊共价值10两“金”. 2头牛、5只羊共价值8两“金”.问：每头牛、每只羊各价值多少“金”？ 解：设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”. 由题意，得 解得 答：牛值 两“金”，羊值 两“金”. 【选自教材P121 随堂练习】 思考·交流 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流. 巩固训练 1. 一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列出方程组为___________. 随堂练习 2. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉.下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当.下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当.上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？ 解：设上等水稻每捆有稻谷x斗，下等水稻每捆有稻谷y斗， 根据题意，得 解此方程组得 所以，上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗. 随堂练习 3. 《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘.问客及盘各几何？”意思为：现有若干名客人.若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少？请你解答这个问题. 解：设有x名客人，y个盘子，根据题意，得 解此方程组得： 所以，有30名客人，13个盘子. 随堂练习 4. 我国古代有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放， 二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.”其大意如下：甲、乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计.甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍.”乙对甲说：“我得到你的九只羊，我们两家的羊就一样多.”甲、乙各有多少只羊？ 解：设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意，得 解此方程组得 所以，甲有63只羊，乙有45只羊. 随堂练习 知识点1“鸡兔同笼”问题 1.［2026重庆期中］《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺.”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾1.2米、彩绢5米，每盏小灯用竹篾0.5米、彩绢2米.若工坊恰好用完了120米竹篾和490米彩绢，设制作大灯x盏，小灯y盏，则可列方程组为(　　) A. B. C. D. 返回 A 基础提优题 2.［2025盐城］我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分.问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是　　　分. 返回 6 基础提优题 知识点2 和差倍分问题 3.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：“用绳子去量一根木材的长，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木材的长，绳子比木材的长短1尺，问木材的长为多少尺？”根据题意可得木材的长为(　　) A.2.5尺　　 B.5.5尺　　 C.6.5尺　　 D.11尺 返回 C 基础提优题 4.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间客房.据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，其中正确的个数是(　　) 甲：设客房有x间，则7x＋7＝9(x－1)； 乙：设客人有y人，则＝； 丙：设客房有x间，客人有y人，则 A.0　　 B.1　　 C.2　　 D.3 返回 C 基础提优题 5.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后.甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？若丙袋中有4枚黄金和4枚白银，请求出丙袋的质量. 返回 基础提优题 【解】设黄金每枚重x两，白银每枚重y两， 根据题意，得 解得 所以4x＋4y＝143＋117＝260. 所以黄金每枚重两，白银每枚重两，丙袋的质量为260两. 返回 基础提优题 6.在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图①、图②中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.如图①表示的方程组是在图②所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图②所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为　　　　. 返回 ｜　 综合应用题 课堂小结 实际问题 数学问题 二元一次方程组 设未知数、列方程组 转化 数学问题的解 二元一次方程组的解 检验 实际问题 的答案 $