1.1 集合的概念讲义（8个核心题型归纳）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的概念，系统梳理元素与集合的定义、特性（确定性、互异性、无序性）、表示方法（列举法、描述法）、常用数集及元素与集合的关系，通过从基础概念到应用题型的递进，构建完整学习支架。 资料按题型系统编排，含基础知识、方法技巧、典型例题及巩固练习，助力学生用数学眼光辨析元素确定性，用数学思维推理参数问题，用数学语言规范集合表示。课中辅助分层教学，课后帮助强化练习，有效查漏补缺。

1.1 集合的概念 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把___研究对象______统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的_总体____叫做集合（简称为_集_）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的__元素____是一样的，就称这两个集合是相等的． （4）元素的特性：___确定性____、____无序性___、___互异性____． （5）．确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是_确定的__.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. （6）.无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无_先后顺序__，即任何两个元素都是可以交换顺序的. （7）．互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是_互不相同__的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为_一个__元素. 2．集合的表示 （1）列举法：把集合的元素一个一个列举出来，放在____中. （2）描述法 把集合所有元素的性质表示出来，写成，其中称为代表元，表示___元素的属性___________. 3．元素与集合 （1）集合中元素的特性：__确定性_____、___互异性____、__无序性_____. （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a___属于____集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a__不属于_____集合A，记作_______. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 ______N_______ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 4．无限集：元素_无限多_______的集合叫无限集（或无穷集）. 5．有限集：元素个数__有限______的集合叫有限集（或有穷集）. 6．列举法：把集合中的元素__一一列举______出来，这种表示法叫作列举法．常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． 7．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个_特征性质_______.此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为__描述法_______. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断元素是否能构成集合 基础知识 核心知识 集合中元素三大特性 确定性互异性无序性 确定性是判断能否构成集合的核心依据 模糊描述不能确定元素归属则无法形成集合 方法技巧 抓住“确定性”作为第一判断标准 描述模糊主观判断类对象不能构成集合 互异性用来检验集合内部元素 无序性只影响集合书写顺序不影响集合本身 看清题干设问分清“对象”与“元素” 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）(多选)下列说法正确的是（    ） A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 026的所有整数不能组成集合 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． (1)2026年全国高考数学试卷中的所有难题； (2)观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会对接的电视观众； (3)接近1的全体实数； (4)篮球比林书豪打得好的球员． 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【题型2】 描述法表示集合 基础知识 核心知识 描述法格式 竖线前为代表元素竖线后为元素满足约束条件 代表元素不同集合含义完全不同 方法技巧 写集合先找准代表元素 分清代表元素是还是 化简集合条件再分析集合 注意定义域对代表元素的限制 看清竖线前后两部分不可省略代表元素 典型例题 【例题1】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【例题2】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 巩固练习 题型 【巩固练习1】多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有正因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【题型3】 列举法表示集合 基础知识 核心知识 列举法把集合全部元素一一列举写在大括号内 集合元素具备互异性重复元素只写一次 适合元素个数有限的集合 方法技巧 求解方程或不等式后把结果去重再写入集合 注意元素的取值范围只取符合条件的值 元素之间用逗号分隔 无限个元素一般不使用列举法 做完检查集合内不要出现重复元素 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 【例题2】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 巩固练习 题型 【巩固练习1】用列举法表示集合. 【巩固练习2】用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【巩固练习3】已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 【题型4】 元素与集合的关系 基础知识 核心知识 属于符号元素在集合内记作 不属于符号元素不在集合内记作 元素与集合只有属于和不属于两种关系 方法技巧 分清对象是元素还是集合区分与 把元素代入集合条件验证等式或不等式是否成立 符号书写严格区分不能混用 看清代表元素再判断归属 注意数集符号的规范使用 典型例题 【例题1】（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【例题2】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【巩固练习3】（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5】 由元素的互异性求参数 基础知识 核心知识 集合中任意两个元素互不相等 求解参数得到多组解后必须回代检验互异性 参数取值要保证集合每个元素互不相同 方法技巧 先解方程求出参数所有候选解 将解代入集合检验元素是否重复 重复的参数直接舍去 同时兼顾题干其他限制条件 最终写参数取值时要写完整检验后的结果 典型例题 【例题1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【例题2】（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【巩固练习2】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【巩固练习3】（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【题型6】 常见的数集 基础知识 核心知识 自然数集 正自然数集或 整数集 有理数集 实数集 符号均为黑板粗体大写字母 方法技巧 熟记各个数集包含的元素范围 区分与注意0属于自然数集 判断元素归属直接对照数集定义 符号书写不能改成小写 做题时看清数集限定条件 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习2】（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河北·期中）下列选项中描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型7】 数集与点集的区分 基础知识 核心知识 数集代表元素为代表数的集合 点集代表元素为代表坐标平面上点的集合 数集处理数的运算点集处理坐标交点 方法技巧 看大括号内竖线前面的代表元素 对应数集对应点集 数集求交集找公共数值 点集求交集联立方程求方程组解 不要混淆数集与点集运算结果 典型例题 【例题1】平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【例题2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）写出下列方程（方程组）的解集． (1) (2) 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·北京延庆·期中）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·北京延庆·期中）求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 【巩固练习3】（23-24高一上·四川·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型8】 方程类元素个数的判断 基础知识 核心知识 集合元素个数等价于对应方程互不相同实数解的个数 一元一次方程 时方程有唯一实数解 时方程无实数解 时方程有无穷多实数解 一元二次方程判别式 方程有两个不等实数解 方程有一个实数解 方程无实数解 含参方程需要先讨论最高次项系数是否为0区分一次方程与二次方程 方法技巧 遇到含参方程优先讨论最高次项系数 系数等于0时按一元一次方程分析解的情况 系数不等于0时计算判别式判断实数解数量 求出解之后再利用集合互异性筛除重复解 集合元素个数等于互不相同实数解的数量 参数多情况要分类完整不要遗漏 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【例题2】（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高一上·北京海淀·专题练习）设，，若，求集合B． 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【巩固练习3】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2026高一·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{ 为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 12．下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 三、填空题 13．（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示方程的解集为_______． 14．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知是有两个元素的集合，则实数m的取值范围是______． 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合中元素满足，且，求集合中的元素． 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合，若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 17．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 18．（26-27高一上·全国·课后作业）由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值． $1.1 集合的概念 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高一上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．元素与集合的概念 （1）元素：一般地，把___研究对象______统称为元素．元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． （2）集合：把一些元素组成的_总体____叫做集合（简称为_集_）．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． （3）集合相等：只要构成两个集合的__元素____是一样的，就称这两个集合是相等的． （4）元素的特性：___确定性____、____无序性___、___互异性____． （5）．确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是_确定的__.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. （6）.无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无_先后顺序__，即任何两个元素都是可以交换顺序的. （7）．互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是_互不相同__的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为_一个__元素. 2．集合的表示 （1）列举法：把集合的元素一个一个列举出来，放在____中. （2）描述法 把集合所有元素的性质表示出来，写成，其中称为代表元，表示___元素的属性___________. 3．元素与集合 （1）集合中元素的特性：__确定性_____、___互异性____、__无序性_____. （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a___属于____集合A，记作_______；如果a不是集合A中的元素，就说a__不属于_____集合A，记作_______. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 ______N_______ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 4．无限集：元素_无限多_______的集合叫无限集（或无穷集）. 5．有限集：元素个数__有限______的集合叫有限集（或有穷集）. 6．列举法：把集合中的元素__一一列举______出来，这种表示法叫作列举法．常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． 7．描述法一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质称为集合A的一个_特征性质_______.此时，集合A可以用它的特征性质表示为.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为__描述法_______. 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 判断元素是否能构成集合 基础知识 核心知识 集合中元素三大特性 确定性互异性无序性 确定性是判断能否构成集合的核心依据 模糊描述不能确定元素归属则无法形成集合 方法技巧 抓住“确定性”作为第一判断标准 描述模糊主观判断类对象不能构成集合 互异性用来检验集合内部元素 无序性只影响集合书写顺序不影响集合本身 看清题干设问分清“对象”与“元素” 典型例题 【例题 1】（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）(多选)下列说法正确的是（    ） A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 014且小于2 026的所有整数不能组成集合 【答案】AC 【详解】对于A，由于中国的所有直辖市是确定的，所以可以组成一个集合，故A正确； 对于B，由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，故B错误； 对于C，由于正偶数是确定的，所以正偶数的全体可以组成一个集合，故C正确； 对于D，由于大于2 014且小于2 026的所有整数是确定的， 所以大于2 014且小于2 026的所有整数能组成集合，故D错误． 【例题2】（26-27高一上·全国·课堂例题）考查下列每组对象能否组成一个集合，并说明理由． (1)2026年全国高考数学试卷中的所有难题； (2)观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会对接的电视观众； (3)接近1的全体实数； (4)篮球比林书豪打得好的球员． 【答案】(1)试卷中的哪些题才能称为是“难题”，是无法确定的，故不能组成一个集合 (2)观看神舟二十号飞船与神舟二十一号飞船交会对接的电视观众没有明确的判定标准，元素无法确定，不能组成一个集合 (3)接近1的实数没有一个明确的标准，所以这些实数是无法确定的，不能组成一个集合 (4)哪些球员比林书豪打得好是不确定的，所以不能组成一个集合 巩固练习 题型 【巩固练习1】下列各项对象中，能够构成一个确定集合的是（    ） A．班级里身材高挑的学生 B．数值很大的正数 C．的近似小数 D．平方等于的实数 【答案】D 【分析】直接由集合的定义判断可得. 【详解】因为构成集合的核心前提是元素具有确定性. 对A、B、C选项描述模糊，无统一判定标准，因而不能确定哪些对象是集合的元素， 即元素不确定，故A、B、C错误； 对D选项，平方等于的实数只有元素确定，可构成集合，因此D正确. 【巩固练习2】（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列说法：①所有无限接近的数构成集合；②年高考数学新高考卷填空题构成集合；③高端数码产品构成集合；④所有不大于的非负整数构成集合；⑤组成的集合含个元素.其中正确的是（    ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【详解】因为构成集合的核心前提是集合的元素的确定性及互异性. 对①“无限接近的数”无标准，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以①错误； 对②试卷填空题数量、内容确定，即集合的元素的确定且互异，故可成集合,所以②正确； 对③“高端数码产品”定义模糊，即集合的元素不确定，因此不能成集合,所以③错误； 对④不大于的非负整数为确定且互异，因此可成集合,所以④正确； 对⑤因为 元素重复，集合仅有个元素，故⑤错误. 综上所述，②④正确. 【题型2】 描述法表示集合 基础知识 核心知识 描述法格式 竖线前为代表元素竖线后为元素满足约束条件 代表元素不同集合含义完全不同 方法技巧 写集合先找准代表元素 分清代表元素是还是 化简集合条件再分析集合 注意定义域对代表元素的限制 看清竖线前后两部分不可省略代表元素 典型例题 【例题1】用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 【例题2】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】多选）下列描述法表示集合正确的是（    ） A．奇数集： B．小于8的整数： C．大于2的实数： D．不等式的解集： 【答案】ACD 【详解】对A：可表示奇数集，故A正确； 对B：可表示小于8的非负整数，不含负整数，故B错误； 对C：可表示大于2的实数，故C正确； 对D：不等式的解集为，故D正确. 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有正因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 【巩固练习3】（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 【题型3】 列举法表示集合 基础知识 核心知识 列举法把集合全部元素一一列举写在大括号内 集合元素具备互异性重复元素只写一次 适合元素个数有限的集合 方法技巧 求解方程或不等式后把结果去重再写入集合 注意元素的取值范围只取符合条件的值 元素之间用逗号分隔 无限个元素一般不使用列举法 做完检查集合内不要出现重复元素 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数组成的集合； (2)方程的解集； (3)不等式的解的集合； (4)二次函数图象上的所有点组成的集合． 【答案】(1){8} (2) (3) (4) 【详解】（1）比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． （2）方程可化为：， 所以，所以方程的解集为． （3）由，得.故不等式的解集为． （4）“二次函数的图象上的所有点”用描述法可表示为． 【例题2】用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 【巩固练习2】用列举法表示下列集合： (1)； (2)大于2且小于15的所有质数组成的集合； (3)绝对值不大于2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，，元素无穷，. （2）大于2且小于15的质数有，. （3），为整数，得，. 【巩固练习3】已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 【答案】(1) (2)由集合知元素之和为：， 所以集合元素和为. 【分析】（1）解方程即可得出集合； （2）计算元素之和即可验证. 【详解】（1）因为，解得：， 所以. 【题型4】 元素与集合的关系 基础知识 核心知识 属于符号元素在集合内记作 不属于符号元素不在集合内记作 元素与集合只有属于和不属于两种关系 方法技巧 分清对象是元素还是集合区分与 把元素代入集合条件验证等式或不等式是否成立 符号书写严格区分不能混用 看清代表元素再判断归属 注意数集符号的规范使用 典型例题 【例题1】（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 【例题2】（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 【巩固练习2】（25-26高一上·广东河源·期末）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 【巩固练习3】（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 【题型5】 由元素的互异性求参数 基础知识 核心知识 集合中任意两个元素互不相等 求解参数得到多组解后必须回代检验互异性 参数取值要保证集合每个元素互不相同 方法技巧 先解方程求出参数所有候选解 将解代入集合检验元素是否重复 重复的参数直接舍去 同时兼顾题干其他限制条件 最终写参数取值时要写完整检验后的结果 典型例题 【例题1】若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 【例题2】（多选）已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据集合元素的互异性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则________. 【答案】1 【分析】根据进行一一验证可得. 【详解】因，所以 当时，即，此时，元素重复，不符合题意； 当时，即或，由上可知不符合题意， 而时，，元素重复，不符合题意； 当，即或， 由上可知不符合题意，而时，，符合题意. 故答案为：1. 【巩固练习3】（25-26高一上·上海金山·期中）含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，则____________. 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可. 【详解】由题意可知 ，所以根据集合元素的互异性可知， 则，此时需，即，所以. 故答案为： 【题型6】 常见的数集 基础知识 核心知识 自然数集 正自然数集或 整数集 有理数集 实数集 符号均为黑板粗体大写字母 方法技巧 熟记各个数集包含的元素范围 区分与注意0属于自然数集 判断元素归属直接对照数集定义 符号书写不能改成小写 做题时看清数集限定条件 典型例题 【例题1】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列四个关系式：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由于，，，，故②错误，①③④正确. 【例题2】用符号或填空： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______； （5）______. 【答案】 【分析】根据常用数集定义判断. 【详解】0是自然数， ； 是无理数，不属于有理数集， ； -5是整数， ； 是实数， ； 3.14不是正整数， . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示方式，逐一判断，即可得答案. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，所以①正确； 对于②，为整数，而表示整数集合，所以，所以②错误； 对于③，为正整数，而表示正整数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，所以④正确． 故选：C 【巩固练习2】（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数集字母表示可得答案. 【详解】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 【巩固练习3】（25-26高一上·天津河北·期中）下列选项中描述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各符号表示的集合的意义做出判定. 【详解】选项 A： 是圆周率 （无理数）的相反数，仍为无理数，但属于实数集 （实数包括所有有理数和无理数）.因此 ，故A错误； 选项 B： 表示有理数集，定义为可以表示为两个整数之比（分母非零）的数. 中，3 和 7 均为整数，且分母非零，因此属于有理数集.故B正确； 选项 C： 表示整数集，包括正整数、负整数和零, 是无理数，不是整数.因此 ，故C错误； 选项 D： 表示自然数集，在高中数学中通常定义为非负整数集（即 0,1, 2, 3, …），不包括负数.因此 ，故D错误. 故选：B. 【题型7】 数集与点集的区分 基础知识 核心知识 数集代表元素为代表数的集合 点集代表元素为代表坐标平面上点的集合 数集处理数的运算点集处理坐标交点 方法技巧 看大括号内竖线前面的代表元素 对应数集对应点集 数集求交集找公共数值 点集求交集联立方程求方程组解 不要混淆数集与点集运算结果 典型例题 【例题1】平面直角坐标系中，除去、两点的所有点构成的集合为（    ） A．且 B．或或或 C．且 D． 【答案】C 【详解】选项A：表示去掉了直线和上所有点，错误； 选项B：错误保留了需要去掉的点，例如满足，会被包含在集合中，错误； 选项C：表示排除点，表示排除点， 同时满足即可精准剔除两点，正确； 选项D：，会去掉所有横坐标为1、横坐标为3、纵坐标为2、纵坐标为4的点，错误. 【例题2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）写出下列方程（方程组）的解集． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用换元法令，再进行计算. （2） 联立方程求解，最终用点集表示. 【详解】（1）解方程 令，则方程变为： ，因式分解得： 解得或， 当 时，，得； 当 时，，得。 因此，方程的解集为：. （2）解方程组 ，由方程(2) 得；，将其代入方程(1)： 解得或， 当 时，； 当 时，. 因此，方程组的解集为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一上·北京延庆·期中）方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由代入法求解后，再用集合表示出解集即可. 【详解】由，可得， 代入， 得， 整理得， 解得或， 当时，解得； 当时，解得； 所以原方程组的解集为. 故选：D. 【巩固练习2】（24-25高一上·北京延庆·期中）求下列方程（组）的解集： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，方程解集为. (3) (4) 【分析】（1）解一元二次方程即可得解集. （2）对分类讨论即可得方程的解集. （3）利用换元法令，把原方程化为一元二次方程，结合的取值范围即可得到原方程的解集. （4）利用代入消元法即可得到方程组的解集. 【详解】（1）由得，， 解得，故方程的解集为. （2）当时，方程无解，解集为， 当时，解方程得，方程解集为. （3）令，则方程可化为， 解方程得，（舍）， ，故方程解集为. （4）由得，，解得, 方程组的解为，， 故方程组解集为. 【巩固练习3】（23-24高一上·四川·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】集合为一个点集，根据元素与集合的关系得到答案. 【详解】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即. 故选:C. 【题型8】 方程类元素个数的判断 基础知识 核心知识 集合元素个数等价于对应方程互不相同实数解的个数 一元一次方程 时方程有唯一实数解 时方程无实数解 时方程有无穷多实数解 一元二次方程判别式 方程有两个不等实数解 方程有一个实数解 方程无实数解 含参方程需要先讨论最高次项系数是否为0区分一次方程与二次方程 方法技巧 遇到含参方程优先讨论最高次项系数 系数等于0时按一元一次方程分析解的情况 系数不等于0时计算判别式判断实数解数量 求出解之后再利用集合互异性筛除重复解 集合元素个数等于互不相同实数解的数量 参数多情况要分类完整不要遗漏 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 【例题2】（24-25高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2025高一上·北京海淀·专题练习）设，，若，求集合B． 【答案】 【分析】由题可得3是二次方程的两个等根，据此可得，，据此可得集合B. 【详解】，所以3是二次方程的两个等根， 所以，解得，， 所以， 因或. 所以． 【巩固练习2】（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2) 实数的值为或； 当时，；当时，． 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 【巩固练习3】已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 课后过关检测 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．集合中不能只有一个元素 B．3和可以是一个集合中的元素 C．集合可以表示为所有整数组成的集合 D．2.1是整数集中的元素 【答案】B 【详解】对于A：集合中可以只有一个元素，故A错误． 对于B：集合中可以同时包含多种类型的元素，3和可以是一个集合中的元素，故B正确． 对于C：通常约定用大写拉丁字母表示集合，小写字母一般表示集合中的元素，集合不可以表示为所有整数组成的集合，所有整数组成的集合用表示，故C错误． 对于D：2.1不为整数，2.1不是整数集中的元素故D错误． 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 3．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合，集合（A，B中，）．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】由，且，因为，所以，因此，. 集合的元素为有序数对. 当时，当时，所以，. 由此可知，且同时成立. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列关系中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】①∵是无理数，∴，故①错误； ②∵0是非负整数，∴，故②错误； ③∵是实数，∴，故③错误； ④∵是整数，∴，故④正确． 故正确的个数为1个. 5．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，，，. 6．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，列举法表示集合，即可求解. 【详解】集合. 故选：C. 7．（25-26高一上·北京·阶段检测）集合用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程组即可. 【详解】得，故集合为 故选：C 8．（26-27高一上·山东聊城·开学考试）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 9．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 10．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 二、多选题 11．（2026高一·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{ 为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【详解】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 12．下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【详解】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误； D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合； A、C表述正确. 三、填空题 13．（25-26高一上·上海·期中）用列举法表示方程的解集为_______． 【答案】 【分析】根据题意，求得方程的解，进而得到答案. 【详解】由方程，即，解得或， 所以方程的解集为. 故答案为：. 14．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知是有两个元素的集合，则实数m的取值范围是______． 【答案】且 【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式求解即可. 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合中元素满足，且，求集合中的元素． 【答案】2，3，4 【详解】由可知为6的正约数，故的值为1，2，3，6，， 所以的值为4，3，2，其中-1舍去，所以集合中的元素有2，3，4． 16．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合，若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 【答案】 【分析】因为题目中集合A中有至少有一个元素，则集合中有一个或两个元素，则方程有一个解或两个解. 【详解】A 中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 当时，由，得； 当时，由例题解析可知方程有唯一解． 综上，，即的取值范围为． 17．（23-24高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可. 【详解】因为中，为分母，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去. 当时，集合为 . 综上所述，，. 所以 18．（26-27高一上·全国·课后作业）由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值． 【答案】 【分析】由集合相等及分式有意义得，分与两种情形，利用集合元素的互异性逐一验证. 【详解】由有意义可知. 若，则两集合分别为与， 由集合相等得，即. 当时右集合为，不满足互异性，舍去； 当时两集合均为，满足条件. 若，则，左集合不含，而右集合含，两集合不可能相等，舍去. 综上，，所以. $