期中复习（第二十五～二十七章）题型精讲讲义 -2026-2027学年人教版九年级上册数学

人教版·九年级上册·期中复习（第二十五～二十七章）·题型精讲讲义 期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共96题）-2026-2027学年九年级上册数学人教版 人教版（2024年版）九年级数学上册　期中复习　第二十五章　一元二次方程（25.1～25.3）·第二十六章　二次函数（26.1～26.4）·第二十七章　反比例函数（27.1～27.3） 含 12 个考点例题　/　共 96 题（变式 48 · 易错 8 · 作业 28）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能把一元二次方程、二次函数、反比例函数三类式子按各自的判定口径归位，会由同一个情境分别列出方程与两类函数的解析式，并会写出自变量的取值范围。 2．会按方程的形状在直接开平方、配方、公式、因式分解四条路里挑最短的一条；会用Δ=-4ac判断根的情况、由根的情况反求字母的取值范围，并把同一个式子迁移到抛物线与x轴公共点个数的判断上；会用x1+x2=与x1x2=作整体代入。 3．会用三种设法求二次函数的解析式，会由解析式读出开口、对称轴与顶点并写出平移后的式子，会在指定范围上判断最值落在顶点还是端点；会由一对对应值求反比例函数的解析式，会由k的正负判断双曲线所在的象限与每一个象限内的增减性，会用矩形面积等于|k|解题。 4．会把抛物线与直线、双曲线与直线的公共点问题转化成方程或方程组，会由图象读出不等式的解集，并能在增长率、面积、利润、总量分配这四类情境里选对模型、求解并按情境取舍结果。 学习重难点 重点：四种解法的选路顺序；Δ的三种用法；根与系数的关系的整体代入；二次函数三种设法的选用、对称轴与顶点的读取、限定范围上的最值；反比例函数中k的正负与|k|的几何含义；把交点问题化成方程（组），把实际情境化成模型。 难点：代求根公式前必须先化成一般形式且系数连符号一起取；含字母系数时先写“二次项系数不为0”；由“有两个实数根”列条件时Δ≥0的等号不能丢；限定范围上的最值要先比较对称轴与范围的位置；反比例函数说增减性必须带上“在每一个象限内”；由面积求k时正负两个候选要用象限排除。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　三类式子怎样归位：方程一家与函数两家的判定口 2 知识点 02　解一元二次方程：四条路的分工与选路顺序 3 知识点 03　判别式的三重身份：判根、定字母、定交点 4 知识点 04　两根之和与两根之积：整体代入的三步与常用变形 5 知识点 05　二次函数的三种写法与三要素：看条件选设法 6 知识点 06　限定范围上的最值：先把对称轴与范围比一比 7 知识点 07　反比例函数里k管三件事：象限、增减与面积 8 知识点 08　三章的交汇口：函数、方程与图象怎样互相翻译 9 考点 1　从同一个情境里读出三类式子 10 考点 2　解一元二次方程：按方程的形状挑最短的路 11 考点 3　判别式的三重身份：判根、定字母、数公共点 13 考点 4　两根之和与两根之积：整体代入求值 14 考点 5　求二次函数的解析式：三种设法各管一种条件 15 考点 6　抛物线的开口、对称轴、顶点与平移后的式子 17 考点 7　在一段范围上求最值：先把对称轴摆到范围里比一比 18 考点 8　抛物线与直线、与坐标轴的公共点 20 考点 9　反比例函数的解析式、所在象限与增减性 22 考点 10　比例系数的几何意义：垂线围出的矩形与三角形 24 考点 11　双曲线与直线相交：交点、面积与由图象读不等式 26 考点 12　跨章综合：情境里的方程模型与函数最值 28 易错专练 30 课后作业（一）选择题 31 课后作业（二）填空题 32 课后作业（三）解答题 33 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　三类式子怎样归位：方程一家与函数两家的判定口径 期中的三章里，一家是方程，两家是函数，它们各有各的判定口径，放在一起对照着认最省事。方程这一家要同时守住三条：未知数只有一个、含未知数的式子都是整式、整理化简后未知数的最高次数是2，它的一般形式写作+bx+c=0（a≠0）；系数按位置取名，处叫二次项系数，bx处叫一次项系数，末尾的常数叫常数项。二次函数这一家的形状是y=+bx+c（a≠0），认它只看两处，一处是自变量的最高次数是不是2，另一处是二次项系数是不是不为0。反比例函数这一家的形状是y=（k为常数，k≠0），认它看的是右边有没有把一个非零常数整个搭在自变量身上，分母是自变量的平方或者是含自变量的和差式都不算，它的自变量不能取0。三家还有一条共同纪律：先整理化简再看形状，系数里出现字母时第一笔先写“不为0”这个条件。即时小例：由xy=15整理得y=，属于反比例函数一家；把y=(x-4)(x+4)-乘开得y=-16，它是一个常数，三家都不属于。 方程一家：+bx+c=0（a≠0），三个系数按位置取名 二次函数一家：y=+bx+c（a≠0）；反比例函数一家：y=（k≠0） 带字母系数的题，第一笔先写二次项系数或比例系数不为0 小提示：整理化简这一步不能跳。y=-乘开只剩4x+4，它不是二次函数；xy=7除过去才看得出是反比例函数。归位错了，后面每一步都白算。 知识点　02　解一元二次方程：四条路的分工与选路顺序 解方程的四种办法不是四选一的偏好，而是按方程长什么样分工的。缺一次项、或者一边已经是一个完全平方式而另一边是非负数，走直接开平方这条路，依据是平方根的意义，开出来一定带正负两个值。缺常数项、或者一边能整体提出公因式、或者能把它拆成两个一次因式的积（常数项拆成两个数的积、这两个数的和等于一次项系数，教材里叫分解因式，习惯上也称十字相乘），走因式分解这条路，依据是两个因式的积等于0则至少有一个因式等于0。左右都不特殊时走配方或者公式：配方按移项、二次项系数化1、两边加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式、开方降次这个次序推；公式则先化一般形式、连符号写出a与b与c、算出-4ac，再代进x=。选路的口诀可以记成一句：先看能不能一步开方，再看能不能一步分解，都不行才动笔配方或代公式。即时小例：=27一步开方得y-2=±3；=8z一步分解得z(5z-8)=0；-6w-2=0两条捷径都走不通，代公式最稳。 一步开方：缺一次项或形如=非负数 一步分解：缺常数项、能提公因式、能十字相乘 都不特殊：配方五步或代x= 小提示：两边同时除以含未知数的式子会丢根，=8z千万不要两边除以z。代公式前没化成一般形式，是期中失分最集中的一处。 知识点　03　判别式的三重身份：判根、定字母、定交点 同一个式子在三处露面，把它们串起来记，能省下三分之二的力气。第一重身份在方程里：Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ<0时没有实数根。第二重身份是把这三句倒过来用：题目说“有两个不相等的实数根”，就等于给了不等式Δ>0；说“有实数根”，等号不能丢，条件是Δ≥0；说“没有实数根”，条件是Δ<0；若方程里还带着字母系数，动手之前必须先写上二次项系数不为0。第三重身份跨到二次函数那一章：把y=+bx+c的函数值取成0，得到的就是方程+bx+c=0，于是抛物线与x轴公共点的个数与方程根的个数一一对应——Δ>0两个公共点，Δ=0一个公共点，Δ<0没有公共点。三重身份共用一次计算，算的时候把a、b、c连同符号一起代进去。即时小例：对y=-6x+10，Δ=36-40=-4，它小于0，所以这条抛物线与x轴没有公共点，方程-6x+10=0也没有实数根。 判根：Δ>0两个不等实根，Δ=0两个相等实根，Δ<0无实数根 定字母：由根的情况列出关于字母的不等式，并先写二次项系数不为0 数交点：抛物线与x轴的公共点个数＝对应方程实数根的个数 小提示：“有实数根”与“有两个不相等的实数根”差一个等号，这个等号年年考。Δ只回答有没有、有几个，不回答根是正是负，问正负要另外用两根之积与两根之和去判断。 知识点　04　两根之和与两根之积：整体代入的三步与常用变形 求根公式写出的两个根相加时根号部分互相抵消，相乘时用平方差把根号消掉，于是得到只用系数就能写出的两个等式：x1+x2=，x1x2=。用它有固定的三步：先把方程化成一般形式，再写出这两个值，最后把要求的式子整体变形成只含这两个值的样子代进去。常用的变形清单值得单独抄一遍：两根的平方和等于两根之和的平方减去两根之积的2倍；两根倒数的和等于两根之和除以两根之积；两根之差的平方等于两根之和的平方减去两根之积的4倍；含1的式子如(x1+1)(x2+1)先乘开成x1x2+x1+x2+1再代。用之前还有一道暗门槛：必须先确认Δ≥0，没有实数根就无所谓两根之和与两根之积。即时小例：把+5u-4=0化成一般形式后直接读出u1+u2=，u1u2=。 x1+x2=，x1x2=（先化一般形式，且Δ≥0） 平方和的算法：先把两根之和平方，再减去两根之积的2倍 倒数和的算法：两根之和除以两根之积；差的平方的算法：两根之和的平方减去两根之积的4倍 小提示：里的负号是公式自带的，b本身又可能是负数，两处负号要一次算清。含字母的题先由Δ≥0框出字母的范围，再把用两根关系解出的值放回这个范围里筛一遍。 知识点　05　二次函数的三种写法与三要素：看条件选设法 同一条抛物线可以有三种写法，选哪一种由题目给的条件决定。给的是三个普通点，设一般式y=+bx+c，代三点解三元一次方程组；给的是顶点或者对称轴，设顶点式y=+k，顶点就是(h，k)，对称轴就是直线x=h；给的是与x轴的两个公共点，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)，再用第三个点定a。三种写法之间互相能换：一般式配方就得到顶点式，也可以直接用对称轴公式x=求出顶点的横坐标，再把它代回原式算纵坐标，这比背纵坐标的公式省事。三要素则是读图的钥匙：a的正负定开口朝向，|a|越大开口越小；对称轴定左右位置；顶点定最高点或最低点。平移只搬家不变形，a保持不变，上下移改的是k，左右移改的是h，括号里写的是x-h，所以左移时h反而减小。即时小例：把y=-8x+5配方得y=-3，顶点是(2，-3)，对称轴是直线x=2；把它向左平移1个单位长度得y=-3。 三点用一般式y=+bx+c；顶点或对称轴用顶点式y=+k；两交点用交点式y=a(x-x1)(x-x2) 对称轴x=，顶点横坐标代回原式即得纵坐标 平移：上加下减改k，左加右减改h，a不变 小提示：y=里的h是-5不是5。用对称轴公式时b连符号代入，y=+10x里b=10，对称轴是直线x=5，不要顺手写成它的相反数。 知识点　06　限定范围上的最值：先把对称轴与范围比一比 抛物线以对称轴为界，一侧升一侧降：a>0时左降右升，谷底在顶点；a<0时左升右降，峰顶在顶点。所以自变量可以取遍全体实数时，最值必定在顶点处取到。可是期中最爱考的是自变量被框在一段范围里的情形，这时要先算出对称轴的位置，再与范围比一比，分三种情况落笔。第一种，对称轴落在范围之内：a>0时最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的那个端点处；a<0时反过来。第二种，对称轴落在范围左边：范围整段都在上升一侧或下降一侧，函数在范围上单调，最值全落在两个端点上。第三种，对称轴落在范围右边：同样单调，最值仍在两个端点上。三种情况共用一句判据：先定对称轴，再看单调，最后比端点。即时小例：y=-4x+1的对称轴是直线x=2，若范围是3≤x≤6，对称轴落在范围左边，函数在这段上是升的，最小值在x=3处等于-2，最大值在x=6处等于13。 a>0：对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大；a<0反过来 对称轴在范围内：顶点给出一个最值，另一个最值在离对称轴较远的端点 对称轴在范围外：函数在范围上单调，两个最值都在端点 小提示：写增减性一定要带上“在对称轴的哪一侧”，只说“y随x的增大而增大”不完整。实际问题还要先写出自变量的取值范围，顶点的横坐标掉到范围外时，最值只能在端点上取。 知识点　07　反比例函数里k管三件事：象限、增减与面积 反比例函数y=的全部性质都挂在这个k上，分三件事记。第一件事管位置：k>0时双曲线的两支分别落在第一、第三象限，k<0时两支分别落在第二、第四象限；反过来，看见图象落在哪两个象限，立刻就能判定k的正负。第二件事管升降：k>0时在每一个象限内y随x的增大而减小，k<0时在每一个象限内y随x的增大而增大——“在每一个象限内”这六个字是结论的一部分，去掉就不成立，因为两支之间并不连通。由此比较两点的函数值也分两种走法：两点的横坐标同号，落在同一支上，用增减性；横坐标一正一负，分属两支，改比正负号。第三件事管面积：在图象上任取一点，过它向两条坐标轴作垂线，垂足与原点围成的矩形面积恒等于|k|，连接原点后得到的三角形面积恒等于|k|的一半，这两个值与点取在哪里无关。即时小例：y=的两支在第二、四象限，任取一点向两轴作垂线围出的矩形面积都是20。 位置：k>0在第一、三象限；k<0在第二、四象限 升降：在每一个象限内，k>0时y随x的增大而减小，k<0时反之 面积：矩形面积＝|k|，与原点围成的三角形面积＝|k|的一半 小提示：面积只给出|k|，k的正负要由图象所在象限再定一次，这里最容易只写一个答案。比较大小前先判断两个横坐标的符号，符号不明就要分情况。 知识点　08　三章的交汇口：函数、方程与图象怎样互相翻译 期中卷的压轴多半出在三章的接缝处，接缝一共只有三个。第一个接缝：把函数值定成一个具体的数，函数问题立刻变成方程问题。令y=0得到的是抛物线与x轴公共点的横坐标，令y等于别的数得到的是抛物线与一条水平直线公共点的横坐标；反比例函数同样如此，令y等于某个值就解出对应的x。第二个接缝：两个图象的公共点坐标，就是把两个解析式联立后所得方程组的解。抛物线与直线联立会消成一个一元二次方程，双曲线与直线联立要先去分母再整理成一元二次方程，Δ的正负就回答了“有几个公共点”。第三个接缝：由图象直接读不等式的解集。求哪一段图象在另一段的上方，就是求哪一段自变量使一个式子大于另一个式子，先找出两个交点的横坐标，再对着图象读出区间。即时小例：由y=与y=x+2联立得-x-2=0，解得x=-1或x=2，所以两条图象的公共点是(-1，1)与(2，4)；当-1<x<2时抛物线在直线下方。 函数值定死→方程：令y=0得与x轴的公共点，令y=m得与水平直线的公共点 两图象公共点→方程组：联立消元，抛物线与直线、双曲线与直线都归到一元二次方程 图象上下位置→不等式：先求交点横坐标，再读区间 小提示：双曲线与直线联立去分母后一定要检验x≠0。读不等式的解集时看的是图象的上下关系而不是左右关系，端点处两条图象相交，取不取等号由题目里的符号决定。 【题型1】从同一个情境里读出三类式子 期中的第一件事是归位：一个情境里往往同时藏着方程、二次函数与反比例函数，谁是谁由“不变的是什么”决定。总量固定、两个量的积不变，得到的是反比例函数；一个量由两条边相乘得来，得到的是二次函数；把这个量定死成一个具体的数，二次函数立刻变成一元二次方程。 例1　学校要在教学楼前铺一条走道。(1) 走道的总面积固定为，用面积为x 的同款方砖去铺，需要方砖y块，写出y关于x的函数解析式，并说出它属于哪一类函数；(2) 若这条走道是一个长比宽多5m的矩形，宽为x m，面积为y ，写出y关于x的函数解析式，并说出它属于哪一类函数；(3) 在(2)的条件下，若走道的面积是，列出关于x的方程并化成一般形式。 【分析】第(1)问抓“总面积不变”，即每块砖的面积与块数的积是定值；第(2)问抓“面积＝长×宽”，把长用含x的式子表示；第(3)问把第(2)问的函数值定死成一个数。 【解答】(1) 每块方砖的面积与所用块数的积等于走道的总面积，所以xy=54。 两边同时除以x，得y=。它的右边是一个非零常数除以自变量，所以它是反比例函数（x>0）。 (2) 矩形的宽是x m，长比宽多5m，所以长是(x+5)m。 由面积等于长乘宽，得y=x(x+5)，去括号并整理，得y=+5x。 整理后自变量的最高次数是2，二次项系数是1，不等于0，所以它是二次函数（x>0）。 (3) 把y=84代入(2)中的解析式，得+5x=84。 移项，得一般形式+5x-84=0。 十字相乘，得(x-7)(x+12)=0，解得x=7或x=-12；因为x是矩形的宽，必须为正数，所以x=7，x=-12不合题意，舍去。 【方法小结】三类式子的分岔口只有一处：看“不变的量”是积还是别的。积不变写成反比例函数，两条含x的边相乘写成二次函数，把函数值定死就退回方程。写完式子别忘了补一句自变量的取值范围，长度类的量都要求为正。 题型1　变式：由情境列式、由式子归类与由字母定类型 四道变式依次练：由总量不变列反比例函数、在四个情境里挑出二次函数、由字母的取值决定方程的次数、以及在同一个销售情境里先后列出一次函数与二次函数。 变式1　某打印室要装订一批讲义，总页数是1260页。设每小时装订x页，装订完这批讲义需要y小时，则y关于x的函数解析式是____，y是x的____函数（填“一次”或“反比例”）。 变式2　在下列四种量的关系里，属于二次函数的是（　　）。 A．边长为x的正方形的周长y B．边长为x的正方形的面积y C．周长为28的矩形，一边长x与邻边长y D．面积为28的矩形，一边长x与邻边长y 变式3　方程(k-3)+4x-1=0中，x是未知数，k是字母系数。(1) 当k满足什么条件时，它是一元二次方程？(2) 当k取什么值时，它是关于x的一元一次方程？此时求出这个方程的解。 变式4　某文创店进了一批帆布包，每个的进价是19元。(1) 若每个的售价定为x元，每个的利润为w元，写出w关于x的函数解析式，并指出它是哪一类函数；(2) 若每天的销售量是(78-2x)个，每天的总利润为y元，写出y关于x的函数解析式，并指出它是哪一类函数。 【题型2】解一元二次方程：按方程的形状挑最短的路 四种解法按形状分工。缺一次项或一边已经是完全平方式，一步开方；缺常数项或一边能提出公因式、能十字相乘，一步分解；两条捷径都走不通，才动笔配方或代求根公式。选路之前先把方程整理成一般形式或整理到能看清形状为止。 例1　下面四个方程各挑一条最短的路求解：(1) =49；(2) =11z；(3) -9w+14=0；(4) -6t+1=0。 【分析】(1)左边已经是一个完全平方式而右边是正数，一步开方；(2)缺常数项，一步提公因式；(3)常数项能拆成两个数的积而这两个数的和等于一次项系数，十字相乘；(4)两条捷径都走不通，代求根公式。 【解答】(1) 由平方根的意义，得2y-5=±7。 当2y-5=7时，2y=12，y=6；当2y-5=-7时，2y=-2，y=-1。所以y1=6，y2=-1。 (2) 移项，得-11z=0。 提取公因式z，得z(3z-11)=0，所以z=0或3z-11=0，解得z1=0，z2=。 (3) 因为(-2)×(-7)=14，(-2)+(-7)=-9，所以左边分解为(w-2)(w-7)=0。 于是w-2=0或w-7=0，解得w1=2，w2=7。 (4) 这里a=2，b=-6，c=1，先算判别式：Δ=-4×2×1=28，它大于0，方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式，得t===。 【方法小结】第(2)题最容易出错：两边同时除以z会把z=0这个根丢掉，正确做法是全部移到一边再提公因式。第(4)题代公式前先算判别式，算出负数就直接下结论，不必再往下代。 题型2　变式：一步开方、整体分解、配方与四法选路 四道变式依次练：把系数化掉再开方、把公因式当整体提出来、配方到底以及两条捷径都不通时的常规解法。每道题动笔前先花三秒判断方程属于哪一种形状。 变式1　把方程=40两边同时除以5后直接开平方，可求得x=____（结果保留根号）。 变式2　方程3x(x-4)=2(4-x)的根是（　　）。 A．x=4 B．x= C．x1=4，x2= D．x1=4，x2= 变式3　解方程：(1) =；(2) +8x-2=0（用配方法）。 变式4　解方程：(1) (2y+1)(y-3)=y-3；(2) -2z-7=0。 【题型3】判别式的三重身份：判根、定字母、数公共点 Δ=-4ac在期中卷里出现三次：直接判断方程根的情况；把根的情况倒过来读成关于字母的不等式；跨到二次函数那一章去数抛物线与x轴公共点的个数。三处共用一次计算，关键是把a、b、c连同符号一起代进去。 例1　(1) 不算出根，判断-7x+2=0有没有实数根、有几个；(2) 若+5x+k=0的两个实数根重合，求k；(3) 关于x的一元二次方程+4x+c=0有两个不相等的实数根，字母c的取值范围是什么？ 【分析】三问都从算判别式起步：第(1)问算完直接读结论；第(2)问把结论倒过来写成方程；第(3)问把“有两个不相等的实数根”写成不等式Δ>0。 【解答】(1) 这里a=3，b=-7，c=2，所以Δ=-4×3×2=49-24=25。 因为25大于0，所以这个方程有两个不相等的实数根。 (2) 这里a=1，b=5，c=k，所以Δ=-4×1×k=25-4k。 两个根相等对应着Δ=0，所以25-4k=0，解得k=。 (3) 方程+4x+c=0要有两个不相等的实数根，对应着Δ>0。 由Δ>0，得-4×4×c>0，即16-16c>0，解得c<1。 【方法小结】三问共用一条链：根的情况↔Δ的符号（到了二次函数那一章，根的个数又对应抛物线与x轴公共点的个数）。倒过来用时先判断该写等号、大于号还是小于号；含字母的题若字母出现在二次项系数上，还要先补一句“二次项系数不为0”。 题型3　变式：算判别式、由公共点反推根、含字母的范围 四道变式依次练：把判别式当成一个要算的量、由图象与x轴的位置关系反推方程根的情况、由“有两个不同公共点”定字母的范围、以及带二次项系数字母时必须先写的那一句话。 变式1　方程-3x+5=0的根的判别式Δ=____，它____0（填“>”“<”或“=”），因此这个方程____实数根（填“有”或“没有”）。 变式2　在下列四条抛物线中，与x轴没有公共点的是（　　）。 A．y=-4x+7 B．y=-2x-3 C．y=-6x+9 D．y=+x-2 变式3　抛物线y=(m-1)-4x+2与x轴有两个不同的公共点。(1) 求m的取值范围；(2) 在(1)所求的范围内写出一个符合条件的整数m的值。 变式4　关于x的方程+3x-1=0。(1) 若它是一元二次方程且有实数根，求n的取值范围；(2) 若它只有一个实数根，求n的值并解出这个根。 【题型4】两根之和与两根之积：整体代入求值 凡是交换两个根的位置以后不改变的式子，都能先变形成只含两根之和与两根之积的样子再整体代入。用之前有两道门槛：方程必须先化成一般形式；含字母时还要用Δ≥0把不该要的字母值筛掉。 例1　方程-(k+2)x+3k-1=0（k是常数）的两个根记作a与b。(1) 用含k的式子分别表示a+b与ab；(2) 当a+b=2ab时，求k的值；(3) 检验(2)中求得的k能否使这个方程有实数根。 【分析】方程已经是一般形式，二次项系数是1，所以两根之和是一次项系数的相反数，两根之积就是常数项；第(2)问把关系式翻译成关于k的一元一次方程；第(3)问把k代回判别式检验。 【解答】(1) 这里二次项系数是1，一次项系数是-(k+2)，常数项是3k-1。 由两根之和等于一次项系数除以二次项系数再取相反数，得a+b=k+2。 由两根之积等于常数项除以二次项系数，得ab=3k-1。 (2) 把(1)的结果代入a+b=2ab，得k+2=2(3k-1)。 去括号，得k+2=6k-2；移项、合并同类项，得5k=4，解得k=。 (3) 这个方程的判别式Δ=-4(3k-1)=+4k+4-12k+4=-8k+8。 把k=代入，得Δ=-+8=。 因为大于0，所以k=时这个方程确实有两个不相等的实数根，第(2)问的答案可以保留。 【方法小结】第(3)步是这一类题的分水岭：只解出k就作答，一旦这个k使Δ小于0，方程根本没有两个根，前面的关系式也就无从谈起。凡是先用两根关系解出字母的题，收尾都要回头验一次判别式。 题型4　变式：直接读两根关系、由两根反写方程与整体求值 四道变式依次练：从一般形式直接读出两根之和与两根之积、由已知的两个根反写方程、把两根的对称式化成只含和与积的形式，以及把根与系数的关系用到几何情境里。 变式1　设方程+7x-6=0的两个根是p与q，则p+q=____，pq=____。 变式2　若一元二次方程的两个根是-3与5，则这个方程可以是（　　）。 A．-2x-15=0 B．+2x-15=0 C．-2x+15=0 D．+8x+15=0 变式3　已知m与n是方程+7x-9=0的两个根，求(m+1)(n+1)与+的值。 变式4　抛物线y=-7x+c过点(3，0)。(1) 求c，再求它与x轴另一个公共点的坐标；(2) 用两根之和的关系验证(1)里的两个横坐标。 【题型5】求二次函数的解析式：三种设法各管一种条件 给三个普通点，设一般式；给顶点或对称轴，设顶点式；给与x轴的两个公共点，设交点式。设错形式不是做不出来，而是要多解一个方程组，考场上就是多花五分钟。 例1　分别求下列抛物线对应的函数解析式：(1) 顶点是(-1，8)，且经过点(1，0)；(2) 经过(0，-5)、(1，-8)与(-2，7)三点；(3) 与x轴交于(-4，0)、(2，0)两点，且经过点(0，-8)。 【分析】给了顶点就设顶点式，给了三个普通点就设一般式，给了与x轴的两个公共点就设交点式，三条路各走各的。 【解答】(1) 顶点是(-1，8)，设y=+8。 把点(1，0)的坐标代入，得0=a×+8，即4a+8=0，解得a=-2。 所以这条抛物线是y=+8。 (2) 三个点都不是顶点，设y=+bx+c。 把(0，-5)代入，得c=-5；把(1，-8)代入，得a+b-5=-8，即a+b=-3。 把(-2，7)代入，得4a-2b-5=7，即4a-2b=12，两边同时除以2得2a-b=6。 把a+b=-3与2a-b=6相加，得3a=3，解得a=1，再由a+b=-3得b=-4。 所以这条抛物线是y=-4x-5。 (3) 与x轴的两个公共点已知，设y=a(x+4)(x-2)。 把点(0，-8)代入，得-8=a×4×(-2)，即-8a=-8，解得a=1。 所以这条抛物线是y=(x+4)(x-2)，去括号整理得y=+2x-8。 【方法小结】三种设法之间是可以互相验算的：第(3)问的结果配方后是y=-9，顶点(-1，-9)正好落在两个公共点的正中间下方，说明没有算错。习惯上最后都把答案整理成一般式，方便与后面的题目衔接。 题型5　变式：由顶点与形状定式、由三点定系数、由对称性定顶点 四道变式依次练：由顶点加形状写式子、由三点定二次项系数、由两个纵坐标相同的点找对称轴再定顶点、以及把平移与顶点位置结合起来。 变式1　顶点是(2，-9)、开口向上且形状与抛物线y=相同的抛物线，对应的函数解析式是____。 变式2　抛物线y=+bx+c经过(-1，0)、(3，0)、(0，-6)，则a=（　　）。 A．-2 B．-1 C．1 D．2 变式3　已知一个二次函数的图象经过点A(-3，-1)与点B(-1，-1)，且这个函数的最小值是-3。求它的解析式。 变式4　把抛物线y=平移，使它的顶点落在直线y=x-6上，且顶点的横坐标是4。(1) 写出移动后的解析式；(2) 求它与y轴的交点。 【题型6】抛物线的开口、对称轴、顶点与平移后的式子 一般式看不出顶点，先配方或者先用对称轴公式x=算出横坐标再代回原式。平移只搬家不变形，二次项系数一直不动，改的只是顶点的位置。 例1　(1) 把二次函数y=+6x-7配方，指出开口方向、对称轴与顶点；(2) 求与y轴的交点；(3) 若把顶点搬到点(5，7)处而形状与开口都不变，写出新抛物线的解析式。 【分析】配方时先把二次项系数提到括号外面，注意提出的是-1，括号里各项都要变号；平移按“顶点跟着走”的思路处理最快。 【解答】(1) y=+6x-7=-6x)-7。 括号里一次项系数的一半是-3，它的平方是9，所以y=-6x+9)+9-7。 整理，得y=+2。 二次项系数-1小于0，所以开口向下；对称轴是直线x=3；顶点是(3，2)，它是抛物线的最高点。 (2) 令x=0，得y=-0+0-7=-7，所以图象与y轴交点的坐标是(0，-7)。 (3) 形状与开口都不变，说明二次项系数仍是-1，只有顶点换了位置。 新顶点是(5，7)，代入顶点式，得新抛物线是y=+7；它相当于把原抛物线向右移2个单位长度、再向上移5个单位长度。 【方法小结】配方时提负号是最容易出错的一步，提完以后一定要把括号里的每一项都检查一遍。平移题不必把式子整体展开再移，盯住顶点走一遍最快，也最不容易把左右加减弄反。 题型6　变式：顶点随平移走、读对称轴、由对称性定系数 四道变式依次练：顶点跟着平移走、用公式读一般式的对称轴、由两个纵坐标相同的点定一次项系数、以及把顶点搬到指定位置后反推平移的方向与格数。 变式1　把抛物线y=-4沿y轴方向向下移动7个单位长度，新抛物线的顶点坐标是____。 变式2　抛物线y=+5x-3的对称轴是（　　）。 A．x= B．x= C．x=-5 D．x=5 变式3　抛物线y=+bx+c与y轴交于点(0，-2)，图象上的两点P(-1，m)与Q(5，m)纵坐标相等。(1) 由P、Q两点确定对称轴，进而写出抛物线的解析式；(2) 求m的值，再把解析式配成顶点式，读出顶点坐标。 变式4　抛物线C1：y=-2x+3。(1) 配方，写出顶点；(2) 保持形状不变，把C1的顶点挪到点(-1，-3)处得到C2，写出C2的解析式，并指出C1是经过怎样的两次平移得到C2的。 【题型7】在一段范围上求最值：先把对称轴摆到范围里比一比 自变量取遍全体实数时最值一定在顶点处；一旦被框在一段范围里，就要先算对称轴，再看它落在范围之内还是之外。落在范围之内，顶点给出一个最值，另一个最值在离对称轴较远的那个端点；落在范围之外，函数在这段上单调，两个最值都在端点。 例1　(1) 把y=+8x+7化成顶点式，并指出图象的对称轴与顶点；(2) 若-5≤x≤-1，求函数值y的取值范围；(3) 若-9≤x≤-7，求函数值y的取值范围。 【分析】先把顶点算出来，再把对称轴分别与两段范围比一比：第(2)问的对称轴落在范围之内，第(3)问的对称轴落在范围之外。 【解答】(1) 配方，得y=+8x+16-16+7=-9。 所以图象的对称轴是直线x=-4，顶点是(-4，-9)。 (2) 对称轴x=-4落在-5≤x≤-1之内，而二次项系数1大于0，抛物线开口向上，顶点是最低点，所以最小值是-9。 两个端点到对称轴的距离分别是-4-(-5)=1与-1-(-4)=3，右端点更远，最大值在右端点处取到。 把x=-1代入，得y=1-8+7=0，所以最大值是0，函数值y的取值范围是-9≤y≤0。 (3) 对称轴x=-4落在-9≤x≤-7的右边，这一段整个位于对称轴左侧，函数在这一段上y随x的增大而减小。 把x=-9代入，得y=81-72+7=16；把x=-7代入，得y=49-56+7=0。 所以最大值是16，最小值是0，函数值y的取值范围是0≤y≤16。 【方法小结】求一段范围上函数值的取值范围，本质是找这一段上的最大值与最小值。第(2)问的常见错误是只算两个端点的函数值，忘了顶点也在范围里。判断“哪个端点更远”只需比较两个端点与对称轴的横坐标之差，不必算函数值。 题型7　变式：单调段上取端点、范围内取顶点与由最值反求字母 四道变式依次练：范围整段落在对称轴一侧时由端点定函数值范围、开口向下时两个最值分居顶点与端点、由最大值反求常数项、以及先求交点再求函数值的取值范围。 变式1　点P(a，b)在抛物线y=+7上，且2≤a≤4，则b的取值范围是____。 变式2　二次函数y=+12x-5的自变量只在0≤x≤5内取值，它取到的最大值与最小值之差是（　　）。 A．27 B．20 C．13 D．7 变式3　二次函数y=+2x+n，当它取得最大值时，这个最大值等于7。(1) 求n的值；(2) x的取值被限制在-3≤x≤1内时，y最小是多少？ 变式4　(1) 求二次函数y=-4x-6的图象与两坐标轴的交点；(2) 求-1≤x≤4上y的取值范围。 【题型8】抛物线与直线、与坐标轴的公共点 求与x轴的公共点就是令y=0解方程；求与另一条图象的公共点就是把两个解析式联立；问“哪一段图象在上方”就是对着图象读区间。三件事共用一步：先把公共点的横坐标算出来。 例1　如图，抛物线y=-4x-12与直线y=3x-4画在同一个平面直角坐标系里。(1) 求它与两坐标轴的交点；(2) 求抛物线与这条直线公共点的坐标；(3) 由图象判断：x取哪些值时抛物线比直线低？ 【分析】第(1)问令y=0与令x=0；第(2)问把两个解析式联立消去y；第(3)问不必再计算，对着图象读出抛物线在直线下方的那一段。 【解答】(1) 令y=0，得-4x-12=0，左边分解因式，得(x-6)(x+2)=0。 解得x=6或x=-2，所以抛物线与x轴的交点是(-2，0)与(6，0)。 令x=0，得y=-12，所以抛物线与y轴的交点是(0，-12)。 (2) 由公共点既在抛物线上又在直线上，得-4x-12=3x-4。 移项、合并同类项，得-7x-8=0，左边分解因式，得(x-8)(x+1)=0，解得x=8或x=-1。 把x=-1代入直线的解析式，得y=-7；把x=8代入，得y=20。 所以两个公共点是(-1，-7)与(8，20)。 (3) 两个公共点把图象分成三段。由图象可以看出，当x在两个公共点的横坐标之间时，抛物线落在直线的下方。 所以所求的取值范围是-1<x<8。 【方法小结】联立时把两个解析式的右边直接相等，这一步等价于解方程组。第(3)问看的是上下位置而不是左右位置，端点处两条图象相交，题目要求“下方”而不是“不在上方”，所以两端不取等号。 题型8　变式：两交点的距离、与水平线的位置、由交点定系数 四道变式依次练：由两个根算出两交点之间的距离、由水平直线与抛物线只交于一点读出这个点就是顶点、由已知交点反求系数并读出函数值为正的区间、以及由“只有一个公共点”列判别式方程。 变式1　已知抛物线y=-4x-21，它与x轴的两个公共点分别是(x1，0)、(x2，0)（x1<x2），那么x2-x1的值是____。 变式2　直线y=m与抛物线y=+6x-4恰好只有一个公共点，这个公共点是（　　）。 A．(-3，5) B．(3，-4) C．(0，-4) D．(3，5) 变式3　抛物线y=+bx+c的图象过点(0，3)，且与x轴相交于(-3，0)。(1) 求b与c；(2) 求另一个交点；(3) 当x取何值时，图象在x轴上方？ 变式4　已知抛物线y=+2x-3与直线y=-2x+m。(1) 当m=2时，求抛物线与直线的公共点坐标；(2) 若直线与抛物线只有一个公共点，求m的值。 【题型9】反比例函数的解析式、所在象限与增减性 一对对应值就能定下k：把它们代进y=解出k即可，因为k本来就等于横纵坐标的积。定下k以后，正负决定两支落在哪两个象限，也决定在每一个象限内的升降方向；“在每一个象限内”这六个字不能漏。 例1　如图，在同一个平面直角坐标系里，正比例函数y=的图象与某个反比例函数的图象都经过点M(4，2)。(1) 求它的解析式；(2) 指出图象落在哪两个象限，以及同一支上是升还是降；(3) 求这两个图象另一个公共点的坐标。 【分析】点M在反比例函数的图象上，把它的坐标代入y=就能定下k；两个图象的公共点由两个解析式联立求出。 【解答】(1) 设这个反比例函数是y=。把点M(4，2)的坐标代入，得2=。 两边同时乘4，得k=8，所以这个反比例函数是y=。 (2) 因为k=8大于0，所以图象的两支分别位于第一、第三象限。 由反比例函数的性质，k>0时在每一个象限内y随x的增大而减小。 (3) 公共点既在直线上又在双曲线上，所以=。 两边同时乘2x（x≠0），得=16，解得x=4或x=-4。 x=4对应的正是已知的点M，把x=-4代入y=，得y=-2。 所以另一个公共点是(-4，-2)。 【方法小结】反比例函数与正比例函数的两个公共点关于原点对称，这是由两条图象都关于原点对称决定的，算完可以用它检查：(-4，-2)恰是(4，2)的相反坐标。说增减性时“在每一个象限内”不能省，因为两支之间并不连通。 题型9　变式：由点定k、比较三个函数值、由描点表补坐标 四道变式依次练：由一个点同时读出k与升降方向、已知纵坐标比较分居两支的三个点的横坐标、由描点时算出的几个坐标反求字母、以及在同一支上比较大小时该讲清的依据。 变式1　已知点(-3，8)是反比例函数y=图象上的一点：比例系数k等于____；这个点到x轴、y轴的距离分别是8和3，这两个距离的乘积是____。 变式2　双曲线y=上有三点P(x1，9)、Q(x2，-5)、R(x3，-15)，这三点的横坐标x1、x2、x3的大小关系是（　　）。 A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x3<x1<x2 D．x2<x3<x1 变式3　在描点画反比例函数y=的图象时，先算出了三个点的坐标：(-4，3)、(2，n)与(m，-1)。(1) 求k的值；(2) 求m与n的值；(3) 指出这个函数的图象经过哪两个象限。 变式4　在反比例函数y=的图象上取两点P(x1，y1)与Q(x2，y2)，且x1<x2<0。(1) 判断这两点落在第几象限；(2) 比较y1与y2的大小。 【题型10】比例系数的几何意义：垂线围出的矩形与三角形 图象上任取一点，向两条坐标轴作垂线，围出的矩形面积恒等于|k|，与原点围成的三角形面积恒等于|k|的一半。这两个值与点取在哪里无关，所以面积题往往一步就能定下|k|；至于k是正是负，要由图象所在的象限再确定一次。 例1　如图，双曲线y=（k<0）经过点A，过点A作AB垂直于x轴，垂足是B，连接OA，三角形AOB的面积是5。(1) 求k的值；(2) 若点A的纵坐标是2，求点A的坐标与线段OB的长；(3) 在这条双曲线上另取一点C，过点C作CD垂直于y轴，垂足是D，直接写出三角形COD的面积。 【分析】三角形AOB的两条直角边分别是点A的横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值，它们的积就是|k|，所以面积是|k|的一半。 【解答】(1) 设点A的坐标是(x0，y0)，则OB=|x0|，AB=|y0|。 由三角形面积公式，得x0||y0|=5，所以|x0y0|=10。 而点A在双曲线上，所以x0y0=k，于是|k|=10。 又已知k<0，所以k=-10。 (2) 把y0=2代入y=，两边同时乘x0，得2x0=-10，解得x0=-5。 所以点A的坐标是(-5，2)，线段OB的长是|-5|=5。 (3) 点C也在这条双曲线上，过点C向y轴作垂线，三角形COD的两条直角边同样是点C的横坐标与纵坐标的绝对值。 所以它的面积仍等于|k|的一半，即5。 【方法小结】这类题的第一步永远是把面积换算成|k|：矩形面积就是|k|，与原点围成的三角形面积是|k|的一半。求出|k|后一定要回头看象限，把k的符号定下来，只写一个正值是最常见的失分。 题型10　变式：由面积定k、由面积与象限定坐标、面积与点的位置无关 四道变式依次练：由矩形面积与象限定k、由面积与一个已知坐标定另一个坐标、在同一条双曲线上比较两个三角形的面积、以及由面积反推k的两个候选值再逐一说明图象的位置。 变式1　双曲线y=的两支落在第二、第四象限。图象上一点、原点与这一点在y轴上的垂足围成的三角形的面积是7，则k=____。 变式2　双曲线y=经过点(-3，m)，这一点与两条坐标轴围成的矩形面积是21。若图象过第二象限，则m=（　　）。 A．-7 B．7 C．±7 D．21 变式3　如图，A、B是双曲线y=（x>0）上的两点，纵坐标分别是6与2。连接OA、OB，并记A、B在y轴上的垂足为E、F。(1) 写出A、B的坐标；(2) 求这两个三角形的面积；(3) 由(2)的两个结果归纳出三角形的面积与比例系数之间的关系。 变式4　反比例函数y=的图象与直线y=2有一个公共点，过这个公共点向y轴作垂线，垂足、原点与这个公共点围成的三角形面积是9。(1) 求k的所有可能的值；(2) 分别写出这两种情况下图象所在的象限。 【题型11】双曲线与直线相交：交点、面积与由图象读不等式 双曲线与直线联立要先去分母，整理成一元二次方程后再解，最后别忘了检验横坐标不等于0。求三角形面积常用的办法是以直线与坐标轴的交点为分界，把它拆成两个小三角形。读不等式的解集则完全看图象的上下位置。 例1　如图，A(3，2)是直线y=x-1与双曲线y=的一个公共点，另一个公共点记作B。(1) 求k与点B的坐标；(2) 求三角形AOB的面积；(3) 对照图象指出直线落在双曲线上方的那些x。 【分析】把点A代入反比例函数求k；联立两个解析式求另一个交点；求面积时用直线与x轴的交点把三角形拆成两块。 【解答】(1) 把点A(3，2)的坐标代入y=，得2=，所以k=6。 由x-1=，两边同时乘x（x≠0），得-x=6。 移项，得-x-6=0，左边分解因式，得(x-3)(x+2)=0，解得x=3或x=-2。 x=3对应的是已知点A，把x=-2代入y=x-1，得y=-3，所以点B的坐标是(-2，-3)。 (2) 直线y=x-1与x轴的交点是C(1，0)，所以OC=1。 三角形AOB被线段OC分成三角形AOC与三角形BOC两块。 三角形AOC以OC为底，点A到x轴的距离2为高，面积是×1×2=1。 三角形BOC以OC为底，点B到x轴的距离3为高，面积是×1×3=。 所以三角形AOB的面积是1+=。 (3) 直线落在双曲线上方，就是x-1>成立的那一段。 由图象可以看出，这样的x分成两段：一段在-2与0之间，另一段在3的右边。 所以所求的取值范围是-2<x<0或x>3。 【方法小结】第(3)问不要去解不等式，对着图象读区间又快又稳，但要记得把x=0这个断点挖掉——双曲线在这里没有定义，直线却是连续的，两段必须分开写。 题型11　变式：由一个交点定坐标、由只有一个交点定字母、交点与面积 四道变式依次练：由交点的横坐标补全坐标、由“只有一个公共点”列出判别式方程、由一个已知交点求另一个交点与三角形面积、以及双曲线上横纵坐标相等的点。 变式1　双曲线y=与直线y=x+1的一个公共点的横坐标是3，则这个公共点的坐标是____。 变式2　由-x+m=消去分母后所得的一元二次方程，只有两个相等的实数根，这样的m值是（　　）。 A．4 B．-4 C．±4 D．0 变式3　已知双曲线y=经过点A(2，4)，直线y=-x+6与这条双曲线交于A、B两点。(1) 求k的值；(2) 求点B的坐标；(3) 求三角形AOB的面积。 变式4　如图，点P在直线y=2x上，它的纵坐标是6，并且P也在双曲线y=（x>0）上。(1) 求点P的坐标与k的值；(2) 过点P作PQ垂直于x轴，垂足是Q，求三角形OPQ的面积；(3) 在这条双曲线上是否存在横坐标与纵坐标相等的点？若存在，写出它的坐标。 【题型12】跨章综合：情境里的方程模型与函数最值 同一个情境里往往先要用方程算出一个量，再用函数求出一个最值。做题的次序是固定的：设自变量、按等量关系列式、写出取值范围、求顶点或解方程、把结果翻译回情境并检验是否合理。 例1　某研学基地前年接待学生4000人次，今年接待学生5760人次，这两年接待人次的年平均增长率相同。(1) 求这个年平均增长率；(2) 基地的文创小店销售一款书签，每枚的进价是3元。按每枚5元出售时每天能卖出200枚，售价每提高1元，每天的销售量就减少20枚。设每枚的售价提高x元，每天的销售利润为y元，写出y关于x的函数解析式；(3) 求(2)中每天销售利润的最大值。 【分析】第(1)问是平均变化率模型，两次增长写成一个平方；第(2)问用“每枚的利润×每天的销售量”列式；第(3)问求顶点。 【解答】(1) 设这个年平均增长率是r。 前年的人次经过两年增长后等于今年的人次，所以=5760。 两边同时除以4000，得=1.44，开方，得1+r=1.2或1+r=-1.2。 增长率不能使1+r为负数，所以舍去1+r=-1.2，得r=0.2，即年平均增长率是20%。 (2) 售价提高x元后，每枚的利润是(5+x-3)元，即(2+x)元。 每天的销售量是(200-20x)枚。 所以y=(2+x)(200-20x)。 去括号，得y=400-40x+200x-，合并同类项，得y=+160x+400。 (3) 这里二次项系数-20小于0，抛物线开口向下，顶点是最高点。 对称轴是直线x==4，它落在允许的范围内。 把x=4代入解析式，得y=-320+640+400=720。 所以每天销售利润的最大值是720元，此时每枚的售价是5+4=9元。 【方法小结】第(1)问解出两个根后必须回到情境取舍：负的那个使售价或增长率失去意义。第(3)问求出对称轴后要先确认它落在自变量允许的范围内，落在范围外时最值只能在端点处取到。 题型12　变式：增长率、面积最大、总量分配与利润不低于某个数 四道变式依次练：由两次增长求年平均增长率、由周长定值求面积的最大值、总量一定时的反比例分配、以及既求最大利润又要回答“利润不低于某个数”的取值范围。 变式1　某社区图书室前年有藏书2万册，今年达到3.38万册。若这两年藏书量的年平均增长率相同，则这个增长率是____。 变式2　一个矩形的周长是24cm，设它的一边长为x cm，面积为S ，则S的最大值是（　　）。 A． B． C． D． 变式3　某社团把一批同款笔记本平均分给各个小组，笔记本共360本。设共有x个小组，每组分y本。(1) 把y用x表示出来，并指出x只能取哪一类数；(2) 若每组分8本，求小组的个数；(3) 若小组的个数比(2)中多15个，求这时每组分到的本数。 变式4　某工艺品店卖一款陶杯，进价每个24元。售价定为每个32元时每月能卖出150个，售价每上涨1元，每月的销售量就减少5个。把售价上涨的钱数记作x元（x是非负整数），每月的销售利润记作w元。(1) 用x表示w；(2) 每月利润最多是多少？此时售价定为多少元？(3) 若要使每月的销售利润不低于1200元，直接写出x的取值范围。 　易错专练 期中的失分集中在八处：两边同时除以含未知数的式子、代公式前不化一般形式、含字母时漏掉“二次项系数不为0”与判别式的等号、用两根关系求出字母后不回头验判别式、顶点式里h的符号看反、限定范围求最值直接搬顶点、说反比例函数的增减性漏掉“在每一个象限内”、由面积求比例系数只写一个正值。下面八题各守一处，做完请逐条对照答案里的错解与错因。 易错1　解方程=5(x-6)。 易错2　先化成一般形式，再用求根公式求解：=7x+6。 易错3　当a取什么值时，方程(a-2)+2x+1=0至少有一个实数根？ 易错4　关于x的一元二次方程+(2k-3)x+=0有两个实数根，且这两个根的平方和等于41，求k的值。 易错5　把抛物线y=平移，使顶点落在点(-9，4)处，写出平移后的解析式与对称轴。 易错6　当x只能在1≤x≤4内取值时，求y=+2x-5的最小值。 易错7　点A(-1，y1)与点B(2，y2)都落在双曲线y=上，比较y1与y2的大小。 易错8　点P在反比例函数y=的图象上，连接OP，并作PH垂直于x轴于点H。若三角形OPH的面积是8，求k的值。 　课后作业（一）选择题 第1～8题每题给出四个选项，其中只有一个符合题意，把它的字母写进题后的括号。八题依次覆盖解方程、判别式、抛物线的顶点与平移、二次函数的性质、双曲线的位置与增减，用来自查期中三章的最低要求。 1．由(x+2)(x-5)=0可以得到（　　）。 A．x=-2 B．x=5 C．x=-2或x=5 D．x=2或x=-5 2．方程3x(x-2)=7化成一般形式+bx+c=0后，b等于（　　）。 A．-6 B．6 C．-2 D．3 3．关于方程-5x+4=0，下列判断正确的是（　　）。 A．Δ=-7，它在实数范围内无解 B．Δ=7，它有两个根 C．Δ=57，它有两个根 D．Δ=-7，它有两个根 4．下列抛物线中，顶点在第二象限的是（　　）。 A．y=+1 B．y=-1 C．y=-1 D．y=+1 5．把y=的图象整体上移5个单位长度，得到的抛物线是（　　）。 A．y=+5 B．y=-5 C．y= D．y= 6．二次函数y=-6x+5取得最大值时，对应的自变量的值与这个最大值分别是（　　）。 A．x=1，最大值-4 B．x=-1，最大值5 C．x=-1，最大值8 D．x=-2，最大值5 7．双曲线y=的两支各在哪个象限？（　　） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 8．双曲线y=的两支都落在第一、第三象限，则m应满足（　　）。 A．m<5 B．m>5 C．m≥5 D．m≤5 　课后作业（二）填空题 第9～16题只写结果，不要求过程。这一组把解方程、由一个根定系数、读对称轴、由公共点个数定字母、由一个点定反比例函数的解析式与列增长率方程串在一起。 9．方程=9x的两个根是____。 10．已知2是方程+px-8=0的根，则p=____。 11．对于二次函数y=+10x-2，当x=____时函数值最小。 12．抛物线y=-2x+c的顶点落在x轴上，则c=____。 13．点(2，-7)在某个反比例函数的图象上，这个函数是y=____。 14．在反比例函数y=的图象上，当x>0时总有y<0，则k的取值范围是____。 15．直线y=3x上横坐标为2的点也在双曲线y=上，则k=____。 16．某款旧型号平板电脑的售价由每台3200元连续两次降价后变成每台1800元。若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是____。 　课后作业（三）解答题 第17～28题按“会做—做对—说清”三层递进，卷面上要留下完整的推理链：解方程标明所选的方法，定解析式先写所设的形式，含字母的题收尾要回验判别式，情境题必须交代自变量能取哪些值并把结论翻译回情境。末题为拓展题。 17．解下列方程：(1) =32；(2) -x-20=0。 18．把+5x-1=0的左边配成完全平方式，再求出它的根。 19．已知抛物线y=-(k-1)x-k。(1) 求出判别式并把它写成完全平方式，由此说明这条抛物线与x轴一定有公共点；(2) 若它与x轴的两个公共点关于y轴对称，求k的值与这两个公共点的坐标。 20．已知一条抛物线经过(1，0)、(5，0)与(0，10)三点。(1) 求它的解析式；(2) 求它的顶点坐标；(3) 若点(x1，y1)与(x2，y2)都在这条抛物线上，且x1<x2<3，比较y1与y2的大小。 21．对于二次函数y=+6x+7：(1) 配方，并写出顶点坐标；(2) 求它的图象与x轴的两个交点之间的距离；(3) 当x取何值时，y随x的增大而减小？ 22．点A(-4，3)在双曲线y=上。(1) 求k的值；(2) 点B(6，-2)在不在这个图象上？(3) 当-6≤x≤-2时，求y的取值范围。 23．如图，直线y=-2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，双曲线y=经过线段AB的中点M。(1) 写出A、B、M三点的坐标；(2) 求k的值；(3) 求三角形OAM的面积。 24．某超市销售一款保鲜盒，每个的进价是18元。按每个28元出售时每天能卖出60个，售价每降低1元，每天可以多卖出10个。把降价的钱数记作x元，每天的销售利润记作y元。(1) 用x表示y；(2) x等于几时利润最高？最高利润是多少？ 25．-1和6恰好是一元二次方程+bx+c=0的两个根。(1) 求b、c；(2) 抛物线y=+bx+c的图象与两条坐标轴共有三个交点，求以这三点为顶点的三角形的面积；(3) 当x取何值时，抛物线位于x轴上方？ 26．已知关于x的方程-(m+3)x+m+2=0。(1) 求证：无论m取什么实数，x=1总是这个方程的一个根；(2) 另一个根小于0时，m应满足什么条件？ 27．如图，点P是直线y=x+5与双曲线y=（x>0）的公共点，它的横坐标是1。(1) 求点P的坐标与k的值；(2) 双曲线上另有一点Q，横坐标是6，求Q的坐标；(3) 比较点P与点Q到x轴的距离的大小。 28．某农场用一段长为36m的篱笆，靠一面足够长的墙围成一个矩形试验田，并在中间用同样的篱笆隔出一道与墙垂直的隔墙。设与墙垂直的每一段篱笆长为x m，试验田的面积为S 。(1) 与墙平行的那条边长多少米？请用x表示；(2) 用x表示S，并注明x的允许范围；(3) 求试验田面积的最大值，并写出此时与墙垂直的一段篱笆的长。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版·九年级上册·期中复习（第二十五～二十七章）·题型精讲讲义 期中复习·题型精讲讲义 期中复习 题型精讲讲义（知识梳理+12考点例题+易错专练+分层作业 共96题）-2026-2027学年九年级上册数学人教版 人教版（2024年版）九年级数学上册　期中复习　第二十五章　一元二次方程（25.1～25.3）·第二十六章　二次函数（26.1～26.4）·第二十七章　反比例函数（27.1～27.3） 含 12 个考点例题　/　共 96 题（变式 48 · 易错 8 · 作业 28）　/　原卷版＋解析版 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能把一元二次方程、二次函数、反比例函数三类式子按各自的判定口径归位，会由同一个情境分别列出方程与两类函数的解析式，并会写出自变量的取值范围。 2．会按方程的形状在直接开平方、配方、公式、因式分解四条路里挑最短的一条；会用Δ=-4ac判断根的情况、由根的情况反求字母的取值范围，并把同一个式子迁移到抛物线与x轴公共点个数的判断上；会用x1+x2=与x1x2=作整体代入。 3．会用三种设法求二次函数的解析式，会由解析式读出开口、对称轴与顶点并写出平移后的式子，会在指定范围上判断最值落在顶点还是端点；会由一对对应值求反比例函数的解析式，会由k的正负判断双曲线所在的象限与每一个象限内的增减性，会用矩形面积等于|k|解题。 4．会把抛物线与直线、双曲线与直线的公共点问题转化成方程或方程组，会由图象读出不等式的解集，并能在增长率、面积、利润、总量分配这四类情境里选对模型、求解并按情境取舍结果。 学习重难点 重点：四种解法的选路顺序；Δ的三种用法；根与系数的关系的整体代入；二次函数三种设法的选用、对称轴与顶点的读取、限定范围上的最值；反比例函数中k的正负与|k|的几何含义；把交点问题化成方程（组），把实际情境化成模型。 难点：代求根公式前必须先化成一般形式且系数连符号一起取；含字母系数时先写“二次项系数不为0”；由“有两个实数根”列条件时Δ≥0的等号不能丢；限定范围上的最值要先比较对称轴与范围的位置；反比例函数说增减性必须带上“在每一个象限内”；由面积求k时正负两个候选要用象限排除。 　目　录 知识梳理 2 知识点 01　三类式子怎样归位：方程一家与函数两家的判定口 2 知识点 02　解一元二次方程：四条路的分工与选路顺序 3 知识点 03　判别式的三重身份：判根、定字母、定交点 4 知识点 04　两根之和与两根之积：整体代入的三步与常用变形 5 知识点 05　二次函数的三种写法与三要素：看条件选设法 6 知识点 06　限定范围上的最值：先把对称轴与范围比一比 7 知识点 07　反比例函数里k管三件事：象限、增减与面积 8 知识点 08　三章的交汇口：函数、方程与图象怎样互相翻译 9 考点 1　从同一个情境里读出三类式子 10 考点 2　解一元二次方程：按方程的形状挑最短的路 11 考点 3　判别式的三重身份：判根、定字母、数公共点 12 考点 4　两根之和与两根之积：整体代入求值 13 考点 5　求二次函数的解析式：三种设法各管一种条件 14 考点 6　抛物线的开口、对称轴、顶点与平移后的式子 15 考点 7　在一段范围上求最值：先把对称轴摆到范围里比一比 16 考点 8　抛物线与直线、与坐标轴的公共点 18 考点 9　反比例函数的解析式、所在象限与增减性 19 考点 10　比例系数的几何意义：垂线围出的矩形与三角形 21 考点 11　双曲线与直线相交：交点、面积与由图象读不等式 23 考点 12　跨章综合：情境里的方程模型与函数最值 24 易错专练 26 课后作业（一）选择题 26 课后作业（二）填空题 27 课后作业（三）解答题 28 参考答案与解析 30 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　三类式子怎样归位：方程一家与函数两家的判定口径 期中的三章里，一家是方程，两家是函数，它们各有各的判定口径，放在一起对照着认最省事。方程这一家要同时守住三条：未知数只有一个、含未知数的式子都是整式、整理化简后未知数的最高次数是2，它的一般形式写作+bx+c=0（a≠0）；系数按位置取名，处叫二次项系数，bx处叫一次项系数，末尾的常数叫常数项。二次函数这一家的形状是y=+bx+c（a≠0），认它只看两处，一处是自变量的最高次数是不是2，另一处是二次项系数是不是不为0。反比例函数这一家的形状是y=（k为常数，k≠0），认它看的是右边有没有把一个非零常数整个搭在自变量身上，分母是自变量的平方或者是含自变量的和差式都不算，它的自变量不能取0。三家还有一条共同纪律：先整理化简再看形状，系数里出现字母时第一笔先写“不为0”这个条件。即时小例：由xy=15整理得y=，属于反比例函数一家；把y=(x-4)(x+4)-乘开得y=-16，它是一个常数，三家都不属于。 方程一家：+bx+c=0（a≠0），三个系数按位置取名 二次函数一家：y=+bx+c（a≠0）；反比例函数一家：y=（k≠0） 带字母系数的题，第一笔先写二次项系数或比例系数不为0 小提示：整理化简这一步不能跳。y=-乘开只剩4x+4，它不是二次函数；xy=7除过去才看得出是反比例函数。归位错了，后面每一步都白算。 知识点　02　解一元二次方程：四条路的分工与选路顺序 解方程的四种办法不是四选一的偏好，而是按方程长什么样分工的。缺一次项、或者一边已经是一个完全平方式而另一边是非负数，走直接开平方这条路，依据是平方根的意义，开出来一定带正负两个值。缺常数项、或者一边能整体提出公因式、或者能把它拆成两个一次因式的积（常数项拆成两个数的积、这两个数的和等于一次项系数，教材里叫分解因式，习惯上也称十字相乘），走因式分解这条路，依据是两个因式的积等于0则至少有一个因式等于0。左右都不特殊时走配方或者公式：配方按移项、二次项系数化1、两边加上一次项系数一半的平方、写成完全平方式、开方降次这个次序推；公式则先化一般形式、连符号写出a与b与c、算出-4ac，再代进x=。选路的口诀可以记成一句：先看能不能一步开方，再看能不能一步分解，都不行才动笔配方或代公式。即时小例：=27一步开方得y-2=±3；=8z一步分解得z(5z-8)=0；-6w-2=0两条捷径都走不通，代公式最稳。 一步开方：缺一次项或形如=非负数 一步分解：缺常数项、能提公因式、能十字相乘 都不特殊：配方五步或代x= 小提示：两边同时除以含未知数的式子会丢根，=8z千万不要两边除以z。代公式前没化成一般形式，是期中失分最集中的一处。 知识点　03　判别式的三重身份：判根、定字母、定交点 同一个式子在三处露面，把它们串起来记，能省下三分之二的力气。第一重身份在方程里：Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时有两个相等的实数根，Δ<0时没有实数根。第二重身份是把这三句倒过来用：题目说“有两个不相等的实数根”，就等于给了不等式Δ>0；说“有实数根”，等号不能丢，条件是Δ≥0；说“没有实数根”，条件是Δ<0；若方程里还带着字母系数，动手之前必须先写上二次项系数不为0。第三重身份跨到二次函数那一章：把y=+bx+c的函数值取成0，得到的就是方程+bx+c=0，于是抛物线与x轴公共点的个数与方程根的个数一一对应——Δ>0两个公共点，Δ=0一个公共点，Δ<0没有公共点。三重身份共用一次计算，算的时候把a、b、c连同符号一起代进去。即时小例：对y=-6x+10，Δ=36-40=-4，它小于0，所以这条抛物线与x轴没有公共点，方程-6x+10=0也没有实数根。 判根：Δ>0两个不等实根，Δ=0两个相等实根，Δ<0无实数根 定字母：由根的情况列出关于字母的不等式，并先写二次项系数不为0 数交点：抛物线与x轴的公共点个数＝对应方程实数根的个数 小提示：“有实数根”与“有两个不相等的实数根”差一个等号，这个等号年年考。Δ只回答有没有、有几个，不回答根是正是负，问正负要另外用两根之积与两根之和去判断。 知识点　04　两根之和与两根之积：整体代入的三步与常用变形 求根公式写出的两个根相加时根号部分互相抵消，相乘时用平方差把根号消掉，于是得到只用系数就能写出的两个等式：x1+x2=，x1x2=。用它有固定的三步：先把方程化成一般形式，再写出这两个值，最后把要求的式子整体变形成只含这两个值的样子代进去。常用的变形清单值得单独抄一遍：两根的平方和等于两根之和的平方减去两根之积的2倍；两根倒数的和等于两根之和除以两根之积；两根之差的平方等于两根之和的平方减去两根之积的4倍；含1的式子如(x1+1)(x2+1)先乘开成x1x2+x1+x2+1再代。用之前还有一道暗门槛：必须先确认Δ≥0，没有实数根就无所谓两根之和与两根之积。即时小例：把+5u-4=0化成一般形式后直接读出u1+u2=，u1u2=。 x1+x2=，x1x2=（先化一般形式，且Δ≥0） 平方和的算法：先把两根之和平方，再减去两根之积的2倍 倒数和的算法：两根之和除以两根之积；差的平方的算法：两根之和的平方减去两根之积的4倍 小提示：里的负号是公式自带的，b本身又可能是负数，两处负号要一次算清。含字母的题先由Δ≥0框出字母的范围，再把用两根关系解出的值放回这个范围里筛一遍。 知识点　05　二次函数的三种写法与三要素：看条件选设法 同一条抛物线可以有三种写法，选哪一种由题目给的条件决定。给的是三个普通点，设一般式y=+bx+c，代三点解三元一次方程组；给的是顶点或者对称轴，设顶点式y=+k，顶点就是(h，k)，对称轴就是直线x=h；给的是与x轴的两个公共点，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)，再用第三个点定a。三种写法之间互相能换：一般式配方就得到顶点式，也可以直接用对称轴公式x=求出顶点的横坐标，再把它代回原式算纵坐标，这比背纵坐标的公式省事。三要素则是读图的钥匙：a的正负定开口朝向，|a|越大开口越小；对称轴定左右位置；顶点定最高点或最低点。平移只搬家不变形，a保持不变，上下移改的是k，左右移改的是h，括号里写的是x-h，所以左移时h反而减小。即时小例：把y=-8x+5配方得y=-3，顶点是(2，-3)，对称轴是直线x=2；把它向左平移1个单位长度得y=-3。 三点用一般式y=+bx+c；顶点或对称轴用顶点式y=+k；两交点用交点式y=a(x-x1)(x-x2) 对称轴x=，顶点横坐标代回原式即得纵坐标 平移：上加下减改k，左加右减改h，a不变 小提示：y=里的h是-5不是5。用对称轴公式时b连符号代入，y=+10x里b=10，对称轴是直线x=5，不要顺手写成它的相反数。 知识点　06　限定范围上的最值：先把对称轴与范围比一比 抛物线以对称轴为界，一侧升一侧降：a>0时左降右升，谷底在顶点；a<0时左升右降，峰顶在顶点。所以自变量可以取遍全体实数时，最值必定在顶点处取到。可是期中最爱考的是自变量被框在一段范围里的情形，这时要先算出对称轴的位置，再与范围比一比，分三种情况落笔。第一种，对称轴落在范围之内：a>0时最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的那个端点处；a<0时反过来。第二种，对称轴落在范围左边：范围整段都在上升一侧或下降一侧，函数在范围上单调，最值全落在两个端点上。第三种，对称轴落在范围右边：同样单调，最值仍在两个端点上。三种情况共用一句判据：先定对称轴，再看单调，最后比端点。即时小例：y=-4x+1的对称轴是直线x=2，若范围是3≤x≤6，对称轴落在范围左边，函数在这段上是升的，最小值在x=3处等于-2，最大值在x=6处等于13。 a>0：对称轴左侧y随x的增大而减小，右侧y随x的增大而增大；a<0反过来 对称轴在范围内：顶点给出一个最值，另一个最值在离对称轴较远的端点 对称轴在范围外：函数在范围上单调，两个最值都在端点 小提示：写增减性一定要带上“在对称轴的哪一侧”，只说“y随x的增大而增大”不完整。实际问题还要先写出自变量的取值范围，顶点的横坐标掉到范围外时，最值只能在端点上取。 知识点　07　反比例函数里k管三件事：象限、增减与面积 反比例函数y=的全部性质都挂在这个k上，分三件事记。第一件事管位置：k>0时双曲线的两支分别落在第一、第三象限，k<0时两支分别落在第二、第四象限；反过来，看见图象落在哪两个象限，立刻就能判定k的正负。第二件事管升降：k>0时在每一个象限内y随x的增大而减小，k<0时在每一个象限内y随x的增大而增大——“在每一个象限内”这六个字是结论的一部分，去掉就不成立，因为两支之间并不连通。由此比较两点的函数值也分两种走法：两点的横坐标同号，落在同一支上，用增减性；横坐标一正一负，分属两支，改比正负号。第三件事管面积：在图象上任取一点，过它向两条坐标轴作垂线，垂足与原点围成的矩形面积恒等于|k|，连接原点后得到的三角形面积恒等于|k|的一半，这两个值与点取在哪里无关。即时小例：y=的两支在第二、四象限，任取一点向两轴作垂线围出的矩形面积都是20。 位置：k>0在第一、三象限；k<0在第二、四象限 升降：在每一个象限内，k>0时y随x的增大而减小，k<0时反之 面积：矩形面积＝|k|，与原点围成的三角形面积＝|k|的一半 小提示：面积只给出|k|，k的正负要由图象所在象限再定一次，这里最容易只写一个答案。比较大小前先判断两个横坐标的符号，符号不明就要分情况。 知识点　08　三章的交汇口：函数、方程与图象怎样互相翻译 期中卷的压轴多半出在三章的接缝处，接缝一共只有三个。第一个接缝：把函数值定成一个具体的数，函数问题立刻变成方程问题。令y=0得到的是抛物线与x轴公共点的横坐标，令y等于别的数得到的是抛物线与一条水平直线公共点的横坐标；反比例函数同样如此，令y等于某个值就解出对应的x。第二个接缝：两个图象的公共点坐标，就是把两个解析式联立后所得方程组的解。抛物线与直线联立会消成一个一元二次方程，双曲线与直线联立要先去分母再整理成一元二次方程，Δ的正负就回答了“有几个公共点”。第三个接缝：由图象直接读不等式的解集。求哪一段图象在另一段的上方，就是求哪一段自变量使一个式子大于另一个式子，先找出两个交点的横坐标，再对着图象读出区间。即时小例：由y=与y=x+2联立得-x-2=0，解得x=-1或x=2，所以两条图象的公共点是(-1，1)与(2，4)；当-1<x<2时抛物线在直线下方。 函数值定死→方程：令y=0得与x轴的公共点，令y=m得与水平直线的公共点 两图象公共点→方程组：联立消元，抛物线与直线、双曲线与直线都归到一元二次方程 图象上下位置→不等式：先求交点横坐标，再读区间 小提示：双曲线与直线联立去分母后一定要检验x≠0。读不等式的解集时看的是图象的上下关系而不是左右关系，端点处两条图象相交，取不取等号由题目里的符号决定。 【题型1】从同一个情境里读出三类式子 期中的第一件事是归位：一个情境里往往同时藏着方程、二次函数与反比例函数，谁是谁由“不变的是什么”决定。总量固定、两个量的积不变，得到的是反比例函数；一个量由两条边相乘得来，得到的是二次函数；把这个量定死成一个具体的数，二次函数立刻变成一元二次方程。 例1　学校要在教学楼前铺一条走道。(1) 走道的总面积固定为，用面积为x 的同款方砖去铺，需要方砖y块，写出y关于x的函数解析式，并说出它属于哪一类函数；(2) 若这条走道是一个长比宽多5m的矩形，宽为x m，面积为y ，写出y关于x的函数解析式，并说出它属于哪一类函数；(3) 在(2)的条件下，若走道的面积是，列出关于x的方程并化成一般形式。 【分析】第(1)问抓“总面积不变”，即每块砖的面积与块数的积是定值；第(2)问抓“面积＝长×宽”，把长用含x的式子表示；第(3)问把第(2)问的函数值定死成一个数。 【解答】(1) 每块方砖的面积与所用块数的积等于走道的总面积，所以xy=54。 两边同时除以x，得y=。它的右边是一个非零常数除以自变量，所以它是反比例函数（x>0）。 (2) 矩形的宽是x m，长比宽多5m，所以长是(x+5)m。 由面积等于长乘宽，得y=x(x+5)，去括号并整理，得y=+5x。 整理后自变量的最高次数是2，二次项系数是1，不等于0，所以它是二次函数（x>0）。 (3) 把y=84代入(2)中的解析式，得+5x=84。 移项，得一般形式+5x-84=0。 十字相乘，得(x-7)(x+12)=0，解得x=7或x=-12；因为x是矩形的宽，必须为正数，所以x=7，x=-12不合题意，舍去。 【方法小结】三类式子的分岔口只有一处：看“不变的量”是积还是别的。积不变写成反比例函数，两条含x的边相乘写成二次函数，把函数值定死就退回方程。写完式子别忘了补一句自变量的取值范围，长度类的量都要求为正。 题型1　变式：由情境列式、由式子归类与由字母定类型 四道变式依次练：由总量不变列反比例函数、在四个情境里挑出二次函数、由字母的取值决定方程的次数、以及在同一个销售情境里先后列出一次函数与二次函数。 变式1　某打印室要装订一批讲义，总页数是1260页。设每小时装订x页，装订完这批讲义需要y小时，则y关于x的函数解析式是____，y是x的____函数（填“一次”或“反比例”）。 变式2　在下列四种量的关系里，属于二次函数的是（　　）。 A．边长为x的正方形的周长y B．边长为x的正方形的面积y C．周长为28的矩形，一边长x与邻边长y D．面积为28的矩形，一边长x与邻边长y 变式3　方程(k-3)+4x-1=0中，x是未知数，k是字母系数。(1) 当k满足什么条件时，它是一元二次方程？(2) 当k取什么值时，它是关于x的一元一次方程？此时求出这个方程的解。 变式4　某文创店进了一批帆布包，每个的进价是19元。(1) 若每个的售价定为x元，每个的利润为w元，写出w关于x的函数解析式，并指出它是哪一类函数；(2) 若每天的销售量是(78-2x)个，每天的总利润为y元，写出y关于x的函数解析式，并指出它是哪一类函数。 【题型2】解一元二次方程：按方程的形状挑最短的路 四种解法按形状分工。缺一次项或一边已经是完全平方式，一步开方；缺常数项或一边能提出公因式、能十字相乘，一步分解；两条捷径都走不通，才动笔配方或代求根公式。选路之前先把方程整理成一般形式或整理到能看清形状为止。 例1　下面四个方程各挑一条最短的路求解：(1) =49；(2) =11z；(3) -9w+14=0；(4) -6t+1=0。 【分析】(1)左边已经是一个完全平方式而右边是正数，一步开方；(2)缺常数项，一步提公因式；(3)常数项能拆成两个数的积而这两个数的和等于一次项系数，十字相乘；(4)两条捷径都走不通，代求根公式。 【解答】(1) 由平方根的意义，得2y-5=±7。 当2y-5=7时，2y=12，y=6；当2y-5=-7时，2y=-2，y=-1。所以y1=6，y2=-1。 (2) 移项，得-11z=0。 提取公因式z，得z(3z-11)=0，所以z=0或3z-11=0，解得z1=0，z2=。 (3) 因为(-2)×(-7)=14，(-2)+(-7)=-9，所以左边分解为(w-2)(w-7)=0。 于是w-2=0或w-7=0，解得w1=2，w2=7。 (4) 这里a=2，b=-6，c=1，先算判别式：Δ=-4×2×1=28，它大于0，方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式，得t===。 【方法小结】第(2)题最容易出错：两边同时除以z会把z=0这个根丢掉，正确做法是全部移到一边再提公因式。第(4)题代公式前先算判别式，算出负数就直接下结论，不必再往下代。 题型2　变式：一步开方、整体分解、配方与四法选路 四道变式依次练：把系数化掉再开方、把公因式当整体提出来、配方到底以及两条捷径都不通时的常规解法。每道题动笔前先花三秒判断方程属于哪一种形状。 变式1　把方程=40两边同时除以5后直接开平方，可求得x=____（结果保留根号）。 变式2　方程3x(x-4)=2(4-x)的根是（　　）。 A．x=4 B．x= C．x1=4，x2= D．x1=4，x2= 变式3　解方程：(1) =；(2) +8x-2=0（用配方法）。 变式4　解方程：(1) (2y+1)(y-3)=y-3；(2) -2z-7=0。 【题型3】判别式的三重身份：判根、定字母、数公共点 Δ=-4ac在期中卷里出现三次：直接判断方程根的情况；把根的情况倒过来读成关于字母的不等式；跨到二次函数那一章去数抛物线与x轴公共点的个数。三处共用一次计算，关键是把a、b、c连同符号一起代进去。 例1　(1) 不算出根，判断-7x+2=0有没有实数根、有几个；(2) 若+5x+k=0的两个实数根重合，求k；(3) 关于x的一元二次方程+4x+c=0有两个不相等的实数根，字母c的取值范围是什么？ 【分析】三问都从算判别式起步：第(1)问算完直接读结论；第(2)问把结论倒过来写成方程；第(3)问把“有两个不相等的实数根”写成不等式Δ>0。 【解答】(1) 这里a=3，b=-7，c=2，所以Δ=-4×3×2=49-24=25。 因为25大于0，所以这个方程有两个不相等的实数根。 (2) 这里a=1，b=5，c=k，所以Δ=-4×1×k=25-4k。 两个根相等对应着Δ=0，所以25-4k=0，解得k=。 (3) 方程+4x+c=0要有两个不相等的实数根，对应着Δ>0。 由Δ>0，得-4×4×c>0，即16-16c>0，解得c<1。 【方法小结】三问共用一条链：根的情况↔Δ的符号（到了二次函数那一章，根的个数又对应抛物线与x轴公共点的个数）。倒过来用时先判断该写等号、大于号还是小于号；含字母的题若字母出现在二次项系数上，还要先补一句“二次项系数不为0”。 题型3　变式：算判别式、由公共点反推根、含字母的范围 四道变式依次练：把判别式当成一个要算的量、由图象与x轴的位置关系反推方程根的情况、由“有两个不同公共点”定字母的范围、以及带二次项系数字母时必须先写的那一句话。 变式1　方程-3x+5=0的根的判别式Δ=____，它____0（填“>”“<”或“=”），因此这个方程____实数根（填“有”或“没有”）。 变式2　在下列四条抛物线中，与x轴没有公共点的是（　　）。 A．y=-4x+7 B．y=-2x-3 C．y=-6x+9 D．y=+x-2 变式3　抛物线y=(m-1)-4x+2与x轴有两个不同的公共点。(1) 求m的取值范围；(2) 在(1)所求的范围内写出一个符合条件的整数m的值。 变式4　关于x的方程+3x-1=0。(1) 若它是一元二次方程且有实数根，求n的取值范围；(2) 若它只有一个实数根，求n的值并解出这个根。 【题型4】两根之和与两根之积：整体代入求值 凡是交换两个根的位置以后不改变的式子，都能先变形成只含两根之和与两根之积的样子再整体代入。用之前有两道门槛：方程必须先化成一般形式；含字母时还要用Δ≥0把不该要的字母值筛掉。 例1　方程-(k+2)x+3k-1=0（k是常数）的两个根记作a与b。(1) 用含k的式子分别表示a+b与ab；(2) 当a+b=2ab时，求k的值；(3) 检验(2)中求得的k能否使这个方程有实数根。 【分析】方程已经是一般形式，二次项系数是1，所以两根之和是一次项系数的相反数，两根之积就是常数项；第(2)问把关系式翻译成关于k的一元一次方程；第(3)问把k代回判别式检验。 【解答】(1) 这里二次项系数是1，一次项系数是-(k+2)，常数项是3k-1。 由两根之和等于一次项系数除以二次项系数再取相反数，得a+b=k+2。 由两根之积等于常数项除以二次项系数，得ab=3k-1。 (2) 把(1)的结果代入a+b=2ab，得k+2=2(3k-1)。 去括号，得k+2=6k-2；移项、合并同类项，得5k=4，解得k=。 (3) 这个方程的判别式Δ=-4(3k-1)=+4k+4-12k+4=-8k+8。 把k=代入，得Δ=-+8=。 因为大于0，所以k=时这个方程确实有两个不相等的实数根，第(2)问的答案可以保留。 【方法小结】第(3)步是这一类题的分水岭：只解出k就作答，一旦这个k使Δ小于0，方程根本没有两个根，前面的关系式也就无从谈起。凡是先用两根关系解出字母的题，收尾都要回头验一次判别式。 题型4　变式：直接读两根关系、由两根反写方程与整体求值 四道变式依次练：从一般形式直接读出两根之和与两根之积、由已知的两个根反写方程、把两根的对称式化成只含和与积的形式，以及把根与系数的关系用到几何情境里。 变式1　设方程+7x-6=0的两个根是p与q，则p+q=____，pq=____。 变式2　若一元二次方程的两个根是-3与5，则这个方程可以是（　　）。 A．-2x-15=0 B．+2x-15=0 C．-2x+15=0 D．+8x+15=0 变式3　已知m与n是方程+7x-9=0的两个根，求(m+1)(n+1)与+的值。 变式4　抛物线y=-7x+c过点(3，0)。(1) 求c，再求它与x轴另一个公共点的坐标；(2) 用两根之和的关系验证(1)里的两个横坐标。 【题型5】求二次函数的解析式：三种设法各管一种条件 给三个普通点，设一般式；给顶点或对称轴，设顶点式；给与x轴的两个公共点，设交点式。设错形式不是做不出来，而是要多解一个方程组，考场上就是多花五分钟。 例1　分别求下列抛物线对应的函数解析式：(1) 顶点是(-1，8)，且经过点(1，0)；(2) 经过(0，-5)、(1，-8)与(-2，7)三点；(3) 与x轴交于(-4，0)、(2，0)两点，且经过点(0，-8)。 【分析】给了顶点就设顶点式，给了三个普通点就设一般式，给了与x轴的两个公共点就设交点式，三条路各走各的。 【解答】(1) 顶点是(-1，8)，设y=+8。 把点(1，0)的坐标代入，得0=a×+8，即4a+8=0，解得a=-2。 所以这条抛物线是y=+8。 (2) 三个点都不是顶点，设y=+bx+c。 把(0，-5)代入，得c=-5；把(1，-8)代入，得a+b-5=-8，即a+b=-3。 把(-2，7)代入，得4a-2b-5=7，即4a-2b=12，两边同时除以2得2a-b=6。 把a+b=-3与2a-b=6相加，得3a=3，解得a=1，再由a+b=-3得b=-4。 所以这条抛物线是y=-4x-5。 (3) 与x轴的两个公共点已知，设y=a(x+4)(x-2)。 把点(0，-8)代入，得-8=a×4×(-2)，即-8a=-8，解得a=1。 所以这条抛物线是y=(x+4)(x-2)，去括号整理得y=+2x-8。 【方法小结】三种设法之间是可以互相验算的：第(3)问的结果配方后是y=-9，顶点(-1，-9)正好落在两个公共点的正中间下方，说明没有算错。习惯上最后都把答案整理成一般式，方便与后面的题目衔接。 题型5　变式：由顶点与形状定式、由三点定系数、由对称性定顶点 四道变式依次练：由顶点加形状写式子、由三点定二次项系数、由两个纵坐标相同的点找对称轴再定顶点、以及把平移与顶点位置结合起来。 变式1　顶点是(2，-9)、开口向上且形状与抛物线y=相同的抛物线，对应的函数解析式是____。 变式2　抛物线y=+bx+c经过(-1，0)、(3，0)、(0，-6)，则a=（　　）。 A．-2 B．-1 C．1 D．2 变式3　已知一个二次函数的图象经过点A(-3，-1)与点B(-1，-1)，且这个函数的最小值是-3。求它的解析式。 变式4　把抛物线y=平移，使它的顶点落在直线y=x-6上，且顶点的横坐标是4。(1) 写出移动后的解析式；(2) 求它与y轴的交点。 【题型6】抛物线的开口、对称轴、顶点与平移后的式子 一般式看不出顶点，先配方或者先用对称轴公式x=算出横坐标再代回原式。平移只搬家不变形，二次项系数一直不动，改的只是顶点的位置。 例1　(1) 把二次函数y=+6x-7配方，指出开口方向、对称轴与顶点；(2) 求与y轴的交点；(3) 若把顶点搬到点(5，7)处而形状与开口都不变，写出新抛物线的解析式。 【分析】配方时先把二次项系数提到括号外面，注意提出的是-1，括号里各项都要变号；平移按“顶点跟着走”的思路处理最快。 【解答】(1) y=+6x-7=-6x)-7。 括号里一次项系数的一半是-3，它的平方是9，所以y=-6x+9)+9-7。 整理，得y=+2。 二次项系数-1小于0，所以开口向下；对称轴是直线x=3；顶点是(3，2)，它是抛物线的最高点。 (2) 令x=0，得y=-0+0-7=-7，所以图象与y轴交点的坐标是(0，-7)。 (3) 形状与开口都不变，说明二次项系数仍是-1，只有顶点换了位置。 新顶点是(5，7)，代入顶点式，得新抛物线是y=+7；它相当于把原抛物线向右移2个单位长度、再向上移5个单位长度。 【方法小结】配方时提负号是最容易出错的一步，提完以后一定要把括号里的每一项都检查一遍。平移题不必把式子整体展开再移，盯住顶点走一遍最快，也最不容易把左右加减弄反。 题型6　变式：顶点随平移走、读对称轴、由对称性定系数 四道变式依次练：顶点跟着平移走、用公式读一般式的对称轴、由两个纵坐标相同的点定一次项系数、以及把顶点搬到指定位置后反推平移的方向与格数。 变式1　把抛物线y=-4沿y轴方向向下移动7个单位长度，新抛物线的顶点坐标是____。 变式2　抛物线y=+5x-3的对称轴是（　　）。 A．x= B．x= C．x=-5 D．x=5 变式3　抛物线y=+bx+c与y轴交于点(0，-2)，图象上的两点P(-1，m)与Q(5，m)纵坐标相等。(1) 由P、Q两点确定对称轴，进而写出抛物线的解析式；(2) 求m的值，再把解析式配成顶点式，读出顶点坐标。 变式4　抛物线C1：y=-2x+3。(1) 配方，写出顶点；(2) 保持形状不变，把C1的顶点挪到点(-1，-3)处得到C2，写出C2的解析式，并指出C1是经过怎样的两次平移得到C2的。 【题型7】在一段范围上求最值：先把对称轴摆到范围里比一比 自变量取遍全体实数时最值一定在顶点处；一旦被框在一段范围里，就要先算对称轴，再看它落在范围之内还是之外。落在范围之内，顶点给出一个最值，另一个最值在离对称轴较远的那个端点；落在范围之外，函数在这段上单调，两个最值都在端点。 例1　(1) 把y=+8x+7化成顶点式，并指出图象的对称轴与顶点；(2) 若-5≤x≤-1，求函数值y的取值范围；(3) 若-9≤x≤-7，求函数值y的取值范围。 【分析】先把顶点算出来，再把对称轴分别与两段范围比一比：第(2)问的对称轴落在范围之内，第(3)问的对称轴落在范围之外。 【解答】(1) 配方，得y=+8x+16-16+7=-9。 所以图象的对称轴是直线x=-4，顶点是(-4，-9)。 (2) 对称轴x=-4落在-5≤x≤-1之内，而二次项系数1大于0，抛物线开口向上，顶点是最低点，所以最小值是-9。 两个端点到对称轴的距离分别是-4-(-5)=1与-1-(-4)=3，右端点更远，最大值在右端点处取到。 把x=-1代入，得y=1-8+7=0，所以最大值是0，函数值y的取值范围是-9≤y≤0。 (3) 对称轴x=-4落在-9≤x≤-7的右边，这一段整个位于对称轴左侧，函数在这一段上y随x的增大而减小。 把x=-9代入，得y=81-72+7=16；把x=-7代入，得y=49-56+7=0。 所以最大值是16，最小值是0，函数值y的取值范围是0≤y≤16。 【方法小结】求一段范围上函数值的取值范围，本质是找这一段上的最大值与最小值。第(2)问的常见错误是只算两个端点的函数值，忘了顶点也在范围里。判断“哪个端点更远”只需比较两个端点与对称轴的横坐标之差，不必算函数值。 题型7　变式：单调段上取端点、范围内取顶点与由最值反求字母 四道变式依次练：范围整段落在对称轴一侧时由端点定函数值范围、开口向下时两个最值分居顶点与端点、由最大值反求常数项、以及先求交点再求函数值的取值范围。 变式1　点P(a，b)在抛物线y=+7上，且2≤a≤4，则b的取值范围是____。 变式2　二次函数y=+12x-5的自变量只在0≤x≤5内取值，它取到的最大值与最小值之差是（　　）。 A．27 B．20 C．13 D．7 变式3　二次函数y=+2x+n，当它取得最大值时，这个最大值等于7。(1) 求n的值；(2) x的取值被限制在-3≤x≤1内时，y最小是多少？ 变式4　(1) 求二次函数y=-4x-6的图象与两坐标轴的交点；(2) 求-1≤x≤4上y的取值范围。 【题型8】抛物线与直线、与坐标轴的公共点 求与x轴的公共点就是令y=0解方程；求与另一条图象的公共点就是把两个解析式联立；问“哪一段图象在上方”就是对着图象读区间。三件事共用一步：先把公共点的横坐标算出来。 例1　如图，抛物线y=-4x-12与直线y=3x-4画在同一个平面直角坐标系里。(1) 求它与两坐标轴的交点；(2) 求抛物线与这条直线公共点的坐标；(3) 由图象判断：x取哪些值时抛物线比直线低？ 【分析】第(1)问令y=0与令x=0；第(2)问把两个解析式联立消去y；第(3)问不必再计算，对着图象读出抛物线在直线下方的那一段。 【解答】(1) 令y=0，得-4x-12=0，左边分解因式，得(x-6)(x+2)=0。 解得x=6或x=-2，所以抛物线与x轴的交点是(-2，0)与(6，0)。 令x=0，得y=-12，所以抛物线与y轴的交点是(0，-12)。 (2) 由公共点既在抛物线上又在直线上，得-4x-12=3x-4。 移项、合并同类项，得-7x-8=0，左边分解因式，得(x-8)(x+1)=0，解得x=8或x=-1。 把x=-1代入直线的解析式，得y=-7；把x=8代入，得y=20。 所以两个公共点是(-1，-7)与(8，20)。 (3) 两个公共点把图象分成三段。由图象可以看出，当x在两个公共点的横坐标之间时，抛物线落在直线的下方。 所以所求的取值范围是-1<x<8。 【方法小结】联立时把两个解析式的右边直接相等，这一步等价于解方程组。第(3)问看的是上下位置而不是左右位置，端点处两条图象相交，题目要求“下方”而不是“不在上方”，所以两端不取等号。 题型8　变式：两交点的距离、与水平线的位置、由交点定系数 四道变式依次练：由两个根算出两交点之间的距离、由水平直线与抛物线只交于一点读出这个点就是顶点、由已知交点反求系数并读出函数值为正的区间、以及由“只有一个公共点”列判别式方程。 变式1　已知抛物线y=-4x-21，它与x轴的两个公共点分别是(x1，0)、(x2，0)（x1<x2），那么x2-x1的值是____。 变式2　直线y=m与抛物线y=+6x-4恰好只有一个公共点，这个公共点是（　　）。 A．(-3，5) B．(3，-4) C．(0，-4) D．(3，5) 变式3　抛物线y=+bx+c的图象过点(0，3)，且与x轴相交于(-3，0)。(1) 求b与c；(2) 求另一个交点；(3) 当x取何值时，图象在x轴上方？ 变式4　已知抛物线y=+2x-3与直线y=-2x+m。(1) 当m=2时，求抛物线与直线的公共点坐标；(2) 若直线与抛物线只有一个公共点，求m的值。 【题型9】反比例函数的解析式、所在象限与增减性 一对对应值就能定下k：把它们代进y=解出k即可，因为k本来就等于横纵坐标的积。定下k以后，正负决定两支落在哪两个象限，也决定在每一个象限内的升降方向；“在每一个象限内”这六个字不能漏。 例1　如图，在同一个平面直角坐标系里，正比例函数y=的图象与某个反比例函数的图象都经过点M(4，2)。(1) 求它的解析式；(2) 指出图象落在哪两个象限，以及同一支上是升还是降；(3) 求这两个图象另一个公共点的坐标。 【分析】点M在反比例函数的图象上，把它的坐标代入y=就能定下k；两个图象的公共点由两个解析式联立求出。 【解答】(1) 设这个反比例函数是y=。把点M(4，2)的坐标代入，得2=。 两边同时乘4，得k=8，所以这个反比例函数是y=。 (2) 因为k=8大于0，所以图象的两支分别位于第一、第三象限。 由反比例函数的性质，k>0时在每一个象限内y随x的增大而减小。 (3) 公共点既在直线上又在双曲线上，所以=。 两边同时乘2x（x≠0），得=16，解得x=4或x=-4。 x=4对应的正是已知的点M，把x=-4代入y=，得y=-2。 所以另一个公共点是(-4，-2)。 【方法小结】反比例函数与正比例函数的两个公共点关于原点对称，这是由两条图象都关于原点对称决定的，算完可以用它检查：(-4，-2)恰是(4，2)的相反坐标。说增减性时“在每一个象限内”不能省，因为两支之间并不连通。 题型9　变式：由点定k、比较三个函数值、由描点表补坐标 四道变式依次练：由一个点同时读出k与升降方向、已知纵坐标比较分居两支的三个点的横坐标、由描点时算出的几个坐标反求字母、以及在同一支上比较大小时该讲清的依据。 变式1　已知点(-3，8)是反比例函数y=图象上的一点：比例系数k等于____；这个点到x轴、y轴的距离分别是8和3，这两个距离的乘积是____。 变式2　双曲线y=上有三点P(x1，9)、Q(x2，-5)、R(x3，-15)，这三点的横坐标x1、x2、x3的大小关系是（　　）。 A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x3<x1<x2 D．x2<x3<x1 变式3　在描点画反比例函数y=的图象时，先算出了三个点的坐标：(-4，3)、(2，n)与(m，-1)。(1) 求k的值；(2) 求m与n的值；(3) 指出这个函数的图象经过哪两个象限。 变式4　在反比例函数y=的图象上取两点P(x1，y1)与Q(x2，y2)，且x1<x2<0。(1) 判断这两点落在第几象限；(2) 比较y1与y2的大小。 【题型10】比例系数的几何意义：垂线围出的矩形与三角形 图象上任取一点，向两条坐标轴作垂线，围出的矩形面积恒等于|k|，与原点围成的三角形面积恒等于|k|的一半。这两个值与点取在哪里无关，所以面积题往往一步就能定下|k|；至于k是正是负，要由图象所在的象限再确定一次。 例1　如图，双曲线y=（k<0）经过点A，过点A作AB垂直于x轴，垂足是B，连接OA，三角形AOB的面积是5。(1) 求k的值；(2) 若点A的纵坐标是2，求点A的坐标与线段OB的长；(3) 在这条双曲线上另取一点C，过点C作CD垂直于y轴，垂足是D，直接写出三角形COD的面积。 【分析】三角形AOB的两条直角边分别是点A的横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值，它们的积就是|k|，所以面积是|k|的一半。 【解答】(1) 设点A的坐标是(x0，y0)，则OB=|x0|，AB=|y0|。 由三角形面积公式，得x0||y0|=5，所以|x0y0|=10。 而点A在双曲线上，所以x0y0=k，于是|k|=10。 又已知k<0，所以k=-10。 (2) 把y0=2代入y=，两边同时乘x0，得2x0=-10，解得x0=-5。 所以点A的坐标是(-5，2)，线段OB的长是|-5|=5。 (3) 点C也在这条双曲线上，过点C向y轴作垂线，三角形COD的两条直角边同样是点C的横坐标与纵坐标的绝对值。 所以它的面积仍等于|k|的一半，即5。 【方法小结】这类题的第一步永远是把面积换算成|k|：矩形面积就是|k|，与原点围成的三角形面积是|k|的一半。求出|k|后一定要回头看象限，把k的符号定下来，只写一个正值是最常见的失分。 题型10　变式：由面积定k、由面积与象限定坐标、面积与点的位置无关 四道变式依次练：由矩形面积与象限定k、由面积与一个已知坐标定另一个坐标、在同一条双曲线上比较两个三角形的面积、以及由面积反推k的两个候选值再逐一说明图象的位置。 变式1　双曲线y=的两支落在第二、第四象限。图象上一点、原点与这一点在y轴上的垂足围成的三角形的面积是7，则k=____。 变式2　双曲线y=经过点(-3，m)，这一点与两条坐标轴围成的矩形面积是21。若图象过第二象限，则m=（　　）。 A．-7 B．7 C．±7 D．21 变式3　如图，A、B是双曲线y=（x>0）上的两点，纵坐标分别是6与2。连接OA、OB，并记A、B在y轴上的垂足为E、F。(1) 写出A、B的坐标；(2) 求这两个三角形的面积；(3) 由(2)的两个结果归纳出三角形的面积与比例系数之间的关系。 变式4　反比例函数y=的图象与直线y=2有一个公共点，过这个公共点向y轴作垂线，垂足、原点与这个公共点围成的三角形面积是9。(1) 求k的所有可能的值；(2) 分别写出这两种情况下图象所在的象限。 【题型11】双曲线与直线相交：交点、面积与由图象读不等式 双曲线与直线联立要先去分母，整理成一元二次方程后再解，最后别忘了检验横坐标不等于0。求三角形面积常用的办法是以直线与坐标轴的交点为分界，把它拆成两个小三角形。读不等式的解集则完全看图象的上下位置。 例1　如图，A(3，2)是直线y=x-1与双曲线y=的一个公共点，另一个公共点记作B。(1) 求k与点B的坐标；(2) 求三角形AOB的面积；(3) 对照图象指出直线落在双曲线上方的那些x。 【分析】把点A代入反比例函数求k；联立两个解析式求另一个交点；求面积时用直线与x轴的交点把三角形拆成两块。 【解答】(1) 把点A(3，2)的坐标代入y=，得2=，所以k=6。 由x-1=，两边同时乘x（x≠0），得-x=6。 移项，得-x-6=0，左边分解因式，得(x-3)(x+2)=0，解得x=3或x=-2。 x=3对应的是已知点A，把x=-2代入y=x-1，得y=-3，所以点B的坐标是(-2，-3)。 (2) 直线y=x-1与x轴的交点是C(1，0)，所以OC=1。 三角形AOB被线段OC分成三角形AOC与三角形BOC两块。 三角形AOC以OC为底，点A到x轴的距离2为高，面积是×1×2=1。 三角形BOC以OC为底，点B到x轴的距离3为高，面积是×1×3=。 所以三角形AOB的面积是1+=。 (3) 直线落在双曲线上方，就是x-1>成立的那一段。 由图象可以看出，这样的x分成两段：一段在-2与0之间，另一段在3的右边。 所以所求的取值范围是-2<x<0或x>3。 【方法小结】第(3)问不要去解不等式，对着图象读区间又快又稳，但要记得把x=0这个断点挖掉——双曲线在这里没有定义，直线却是连续的，两段必须分开写。 题型11　变式：由一个交点定坐标、由只有一个交点定字母、交点与面积 四道变式依次练：由交点的横坐标补全坐标、由“只有一个公共点”列出判别式方程、由一个已知交点求另一个交点与三角形面积、以及双曲线上横纵坐标相等的点。 变式1　双曲线y=与直线y=x+1的一个公共点的横坐标是3，则这个公共点的坐标是____。 变式2　由-x+m=消去分母后所得的一元二次方程，只有两个相等的实数根，这样的m值是（　　）。 A．4 B．-4 C．±4 D．0 变式3　已知双曲线y=经过点A(2，4)，直线y=-x+6与这条双曲线交于A、B两点。(1) 求k的值；(2) 求点B的坐标；(3) 求三角形AOB的面积。 变式4　如图，点P在直线y=2x上，它的纵坐标是6，并且P也在双曲线y=（x>0）上。(1) 求点P的坐标与k的值；(2) 过点P作PQ垂直于x轴，垂足是Q，求三角形OPQ的面积；(3) 在这条双曲线上是否存在横坐标与纵坐标相等的点？若存在，写出它的坐标。 【题型12】跨章综合：情境里的方程模型与函数最值 同一个情境里往往先要用方程算出一个量，再用函数求出一个最值。做题的次序是固定的：设自变量、按等量关系列式、写出取值范围、求顶点或解方程、把结果翻译回情境并检验是否合理。 例1　某研学基地前年接待学生4000人次，今年接待学生5760人次，这两年接待人次的年平均增长率相同。(1) 求这个年平均增长率；(2) 基地的文创小店销售一款书签，每枚的进价是3元。按每枚5元出售时每天能卖出200枚，售价每提高1元，每天的销售量就减少20枚。设每枚的售价提高x元，每天的销售利润为y元，写出y关于x的函数解析式；(3) 求(2)中每天销售利润的最大值。 【分析】第(1)问是平均变化率模型，两次增长写成一个平方；第(2)问用“每枚的利润×每天的销售量”列式；第(3)问求顶点。 【解答】(1) 设这个年平均增长率是r。 前年的人次经过两年增长后等于今年的人次，所以=5760。 两边同时除以4000，得=1.44，开方，得1+r=1.2或1+r=-1.2。 增长率不能使1+r为负数，所以舍去1+r=-1.2，得r=0.2，即年平均增长率是20%。 (2) 售价提高x元后，每枚的利润是(5+x-3)元，即(2+x)元。 每天的销售量是(200-20x)枚。 所以y=(2+x)(200-20x)。 去括号，得y=400-40x+200x-，合并同类项，得y=+160x+400。 (3) 这里二次项系数-20小于0，抛物线开口向下，顶点是最高点。 对称轴是直线x==4，它落在允许的范围内。 把x=4代入解析式，得y=-320+640+400=720。 所以每天销售利润的最大值是720元，此时每枚的售价是5+4=9元。 【方法小结】第(1)问解出两个根后必须回到情境取舍：负的那个使售价或增长率失去意义。第(3)问求出对称轴后要先确认它落在自变量允许的范围内，落在范围外时最值只能在端点处取到。 题型12　变式：增长率、面积最大、总量分配与利润不低于某个数 四道变式依次练：由两次增长求年平均增长率、由周长定值求面积的最大值、总量一定时的反比例分配、以及既求最大利润又要回答“利润不低于某个数”的取值范围。 变式1　某社区图书室前年有藏书2万册，今年达到3.38万册。若这两年藏书量的年平均增长率相同，则这个增长率是____。 变式2　一个矩形的周长是24cm，设它的一边长为x cm，面积为S ，则S的最大值是（　　）。 A． B． C． D． 变式3　某社团把一批同款笔记本平均分给各个小组，笔记本共360本。设共有x个小组，每组分y本。(1) 把y用x表示出来，并指出x只能取哪一类数；(2) 若每组分8本，求小组的个数；(3) 若小组的个数比(2)中多15个，求这时每组分到的本数。 变式4　某工艺品店卖一款陶杯，进价每个24元。售价定为每个32元时每月能卖出150个，售价每上涨1元，每月的销售量就减少5个。把售价上涨的钱数记作x元（x是非负整数），每月的销售利润记作w元。(1) 用x表示w；(2) 每月利润最多是多少？此时售价定为多少元？(3) 若要使每月的销售利润不低于1200元，直接写出x的取值范围。 　易错专练 期中的失分集中在八处：两边同时除以含未知数的式子、代公式前不化一般形式、含字母时漏掉“二次项系数不为0”与判别式的等号、用两根关系求出字母后不回头验判别式、顶点式里h的符号看反、限定范围求最值直接搬顶点、说反比例函数的增减性漏掉“在每一个象限内”、由面积求比例系数只写一个正值。下面八题各守一处，做完请逐条对照答案里的错解与错因。 易错1　解方程=5(x-6)。 易错2　先化成一般形式，再用求根公式求解：=7x+6。 易错3　当a取什么值时，方程(a-2)+2x+1=0至少有一个实数根？ 易错4　关于x的一元二次方程+(2k-3)x+=0有两个实数根，且这两个根的平方和等于41，求k的值。 易错5　把抛物线y=平移，使顶点落在点(-9，4)处，写出平移后的解析式与对称轴。 易错6　当x只能在1≤x≤4内取值时，求y=+2x-5的最小值。 易错7　点A(-1，y1)与点B(2，y2)都落在双曲线y=上，比较y1与y2的大小。 易错8　点P在反比例函数y=的图象上，连接OP，并作PH垂直于x轴于点H。若三角形OPH的面积是8，求k的值。 　课后作业（一）选择题 第1～8题每题给出四个选项，其中只有一个符合题意，把它的字母写进题后的括号。八题依次覆盖解方程、判别式、抛物线的顶点与平移、二次函数的性质、双曲线的位置与增减，用来自查期中三章的最低要求。 1．由(x+2)(x-5)=0可以得到（　　）。 A．x=-2 B．x=5 C．x=-2或x=5 D．x=2或x=-5 2．方程3x(x-2)=7化成一般形式+bx+c=0后，b等于（　　）。 A．-6 B．6 C．-2 D．3 3．关于方程-5x+4=0，下列判断正确的是（　　）。 A．Δ=-7，它在实数范围内无解 B．Δ=7，它有两个根 C．Δ=57，它有两个根 D．Δ=-7，它有两个根 4．下列抛物线中，顶点在第二象限的是（　　）。 A．y=+1 B．y=-1 C．y=-1 D．y=+1 5．把y=的图象整体上移5个单位长度，得到的抛物线是（　　）。 A．y=+5 B．y=-5 C．y= D．y= 6．二次函数y=-6x+5取得最大值时，对应的自变量的值与这个最大值分别是（　　）。 A．x=1，最大值-4 B．x=-1，最大值5 C．x=-1，最大值8 D．x=-2，最大值5 7．双曲线y=的两支各在哪个象限？（　　） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 8．双曲线y=的两支都落在第一、第三象限，则m应满足（　　）。 A．m<5 B．m>5 C．m≥5 D．m≤5 　课后作业（二）填空题 第9～16题只写结果，不要求过程。这一组把解方程、由一个根定系数、读对称轴、由公共点个数定字母、由一个点定反比例函数的解析式与列增长率方程串在一起。 9．方程=9x的两个根是____。 10．已知2是方程+px-8=0的根，则p=____。 11．对于二次函数y=+10x-2，当x=____时函数值最小。 12．抛物线y=-2x+c的顶点落在x轴上，则c=____。 13．点(2，-7)在某个反比例函数的图象上，这个函数是y=____。 14．在反比例函数y=的图象上，当x>0时总有y<0，则k的取值范围是____。 15．直线y=3x上横坐标为2的点也在双曲线y=上，则k=____。 16．某款旧型号平板电脑的售价由每台3200元连续两次降价后变成每台1800元。若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率是____。 　课后作业（三）解答题 第17～28题按“会做—做对—说清”三层递进，卷面上要留下完整的推理链：解方程标明所选的方法，定解析式先写所设的形式，含字母的题收尾要回验判别式，情境题必须交代自变量能取哪些值并把结论翻译回情境。末题为拓展题。 17．解下列方程：(1) =32；(2) -x-20=0。 18．把+5x-1=0的左边配成完全平方式，再求出它的根。 19．已知抛物线y=-(k-1)x-k。(1) 求出判别式并把它写成完全平方式，由此说明这条抛物线与x轴一定有公共点；(2) 若它与x轴的两个公共点关于y轴对称，求k的值与这两个公共点的坐标。 20．已知一条抛物线经过(1，0)、(5，0)与(0，10)三点。(1) 求它的解析式；(2) 求它的顶点坐标；(3) 若点(x1，y1)与(x2，y2)都在这条抛物线上，且x1<x2<3，比较y1与y2的大小。 21．对于二次函数y=+6x+7：(1) 配方，并写出顶点坐标；(2) 求它的图象与x轴的两个交点之间的距离；(3) 当x取何值时，y随x的增大而减小？ 22．点A(-4，3)在双曲线y=上。(1) 求k的值；(2) 点B(6，-2)在不在这个图象上？(3) 当-6≤x≤-2时，求y的取值范围。 23．如图，直线y=-2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，双曲线y=经过线段AB的中点M。(1) 写出A、B、M三点的坐标；(2) 求k的值；(3) 求三角形OAM的面积。 24．某超市销售一款保鲜盒，每个的进价是18元。按每个28元出售时每天能卖出60个，售价每降低1元，每天可以多卖出10个。把降价的钱数记作x元，每天的销售利润记作y元。(1) 用x表示y；(2) x等于几时利润最高？最高利润是多少？ 25．-1和6恰好是一元二次方程+bx+c=0的两个根。(1) 求b、c；(2) 抛物线y=+bx+c的图象与两条坐标轴共有三个交点，求以这三点为顶点的三角形的面积；(3) 当x取何值时，抛物线位于x轴上方？ 26．已知关于x的方程-(m+3)x+m+2=0。(1) 求证：无论m取什么实数，x=1总是这个方程的一个根；(2) 另一个根小于0时，m应满足什么条件？ 27．如图，点P是直线y=x+5与双曲线y=（x>0）的公共点，它的横坐标是1。(1) 求点P的坐标与k的值；(2) 双曲线上另有一点Q，横坐标是6，求Q的坐标；(3) 比较点P与点Q到x轴的距离的大小。 28．某农场用一段长为36m的篱笆，靠一面足够长的墙围成一个矩形试验田，并在中间用同样的篱笆隔出一道与墙垂直的隔墙。设与墙垂直的每一段篱笆长为x m，试验田的面积为S 。(1) 与墙平行的那条边长多少米？请用x表示；(2) 用x表示S，并注明x的允许范围；(3) 求试验田面积的最大值，并写出此时与墙垂直的一段篱笆的长。 　参考答案与解析 　题型1　变式：由情境列式、由式子归类与由字母定类型 变式1　【答案】y=；反比例 【解析】总页数保持不变，所以每小时装订的页数与所用小时数的积是定值，即xy=1260。 两边同时除以x，得y=。 它的右边是一个非零常数除以自变量，所以y是x的反比例函数。 变式2　【答案】B 【解析】A中周长y=4x，自变量的最高次数是1，是一次函数。 B中面积y=，自变量的最高次数是2，二次项系数是1，是二次函数。 C中两条邻边之和是周长的一半，y=14-x，仍是一次函数。 D中两条邻边的积等于面积，xy=28，即y=，是反比例函数。 所以能用二次函数刻画的是B。 变式3　【答案】(1) k≠3；(2) k=3，此时x= 【解析】(1) 由一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，所以k-3≠0，解得k≠3。 (2) 二次项消失时才可能降为一元一次方程，所以k-3=0，解得k=3。 把k=3代回原方程，得4x-1=0，解这个一元一次方程得x=。 变式4　【答案】(1) w=x-19，一次函数；(2) y=+116x-1482，二次函数 【解析】(1) 每个的利润等于售价减去进价，所以w=x-19。 整理后自变量的最高次数是1，所以w是x的一次函数。 (2) 每天的总利润等于每个的利润乘以每天的销售量，所以y=(x-19)(78-2x)。 去括号，得y=78x--1482+38x。 合并同类项，得y=+116x-1482，二次项系数是-2，不等于0，所以y是x的二次函数。 　题型2　变式：一步开方、整体分解、配方与四法选路 变式1　【答案】1± 【解析】两边同时除以5，得=8。 由平方根的意义，得x-1=±=±。 所以x=1±。 变式2　【答案】C 【解析】因为4-x=-(x-4)，所以原方程可化为3x(x-4)+2(x-4)=0。 把3x(x-4)+2(x-4)展开合并，得-12x+2x-8=-10x-8=0。 把x-4当作公因式提出来，得(x-4)(3x+2)=0。 所以x-4=0或3x+2=0，解得x1=4，x2=，选C。 D项把右边的2(4-x)直接当成2(x-4)，得3x(x-4)-2(x-4)=0，即(x-4)(3x-2)=0，按此错法真算得x1=4，x2=；B项两边同时除以(x-4)，只剩3x=-2，按此错法真算得x=，丢掉了x=4这个根；A项只写了x-4=0这一支，漏掉了3x+2=0给出的根x=。 变式3　【答案】(1) x1=4，x2=；(2) x=-4± 【解析】(1) 两边都是平方式，由平方根的意义得3x-1=±(x+7)。 当3x-1=x+7时，2x=8，x=4；当3x-1=-(x+7)时，4x=-6，x=。所以x1=4，x2=。 (2) 移项，得+8x=2。 一次项系数的一半是4，两边同时加上，得+8x+16=18，即=18。 开方，得x+4=±，所以x=-4±。 变式4　【答案】(1) y1=3，y2=0；(2) z1=，z2=-1 【解析】(1) 移项，得(2y+1)(y-3)-(y-3)=0。 把y-3当作公因式提出来，得(y-3)(2y+1-1)=0，即2y(y-3)=0，展开合并就是-6y=0。 所以y=0或y-3=0，解得y1=3，y2=0。 (2) 这里a=5，b=-2，c=-7，先算判别式：Δ=-4×5×(-7)=4+140=144。 因为144大于0，方程有两个不相等的实数根，代入求根公式，得z=。 所以z1==，z2==-1。 　题型3　变式：算判别式、由公共点反推根、含字母的范围 变式1　【答案】-31；<；没有 【解析】这里a=2，b=-3，c=5，所以Δ=-4×2×5=9-40=-31。 -31是负数，所以Δ<0。 由判别式与根的情况的对应关系，Δ<0时方程没有实数根。 变式2　【答案】A 【解析】有没有公共点由判别式的符号决定，逐项算一遍即可。 A项：Δ=-4×1×7=16-28=-12，小于0，没有公共点。 B项：Δ=-4×1×(-3)=16，大于0；C项：Δ=-4×1×9=0；D项：Δ=-4×1×(-2)=9，大于0。 所以只有A项与x轴没有公共点，选A。 变式3　【答案】(1) m<3且m≠1；(2) 例如m=2（写0、-1等也可以） 【解析】(1) 这条曲线是抛物线，所以二次项系数不为0，即m-1≠0，m≠1。 抛物线与x轴有两个不同的公共点，说明方程(m-1)-4x+2=0有两个不相等的实数根，即Δ>0，-4(m-1)×2>0。 去括号，得16-8m+8>0，即24-8m>0，解得m<3。 把两个条件合起来，得m<3且m≠1。 (2) 在m<3且m≠1的范围内取整数，例如m=2符合条件。 变式4　【答案】(1) n≥且n≠0；(2) n=0，此时x= 【解析】(1) 它是一元二次方程，所以n≠0。 有实数根对应着Δ≥0，即-4n×(-1)≥0，也就是9+4n≥0，解得n≥。 把两个条件合起来，得n≥且n≠0。 (2) 一元二次方程只要有实数根就有两个（可以相等），所以“只有一个实数根”只能出现在二次项消失的时候。 令n=0，原方程变成3x-1=0，解得x=。 这里要把另一种情形一并排除：若n≠0且Δ=0，即9+4n=0，n=，此时方程有两个相等的实数根x1=x2=，按教材的说法仍是“两个根”，不是“只有一个实数根”，所以本题只取n=0。 　题型4　变式：直接读两根关系、由两根反写方程与整体求值 变式1　【答案】；-2 【解析】方程已经是一般形式，其中a=3，b=7，c=-6。 由两根之和的公式，得p+q=。 由两根之积的公式，得pq==-2。 变式2　【答案】A 【解析】两个根的和是-3+5=2，两个根的积是(-3)×5=-15。 二次项系数取1时，一次项系数是两根之和的相反数，即-2；常数项就是两根之积，即-15。 所以这个方程可以是-2x-15=0，选A。 变式3　【答案】(m+1)(n+1)=-15；+=67 【解析】方程已经是一般形式，所以m+n=-7，mn=-9。 先把第一个式子乘开：(m+1)(n+1)=mn+m+n+1。 整体代入，得(m+1)(n+1)=-9+(-7)+1=-15。 再把第二个式子配成只含和与积的形式：+=-2mn。 整体代入，得+=-2×(-9)=49+18=67。 变式4　【答案】(1) c=12，另一个公共点是(4，0)；(2) 3+4=7，与两根之和的值相同 【解析】(1) 把点(3，0)的坐标代入解析式，得9-21+c=0，解得c=12。 于是抛物线是y=-7x+12，令y=0，得-7x+12=0。 左边分解因式，得(x-3)(x-4)=0，解得x=3或x=4。 所以另一个公共点的坐标是(4，0)。 (2) 在方程-7x+12=0中，二次项系数是1，一次项系数是-7，所以两根之和等于7。 而(1)中求得的两个横坐标之和是3+4=7，两者一致，说明结果没有算错。 　题型5　变式：由顶点与形状定式、由三点定系数、由对称性定顶点 变式1　【答案】y=-9 【解析】形状相同说明二次项系数的绝对值相同，开口向上说明二次项系数是正数，所以a=3。 顶点是(2，-9)，代入顶点式y=+k，得y=-9。 变式2　【答案】D 【解析】前两个点都在x轴上，所以可以设y=a(x+1)(x-3)。 把(0，-6)代入，得-6=a×1×(-3)，即-3a=-6。 解得a=2，选D。 变式3　【答案】y=+8x+5 【解析】A与B的纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，所以对称轴是直线x=，即x=-2。 有最小值说明开口向上，最小值在顶点处取到，所以顶点是(-2，-3)。 设y=-3，把点B(-1，-1)代入，得-1=a-3，解得a=2。 所以y=-3，去括号整理得y=+8x+5。 变式4　【答案】(1) y=-2；(2) (0，-10) 【解析】(1) 顶点在直线y=x-6上且横坐标是4，把x=4代入这条直线，得y=4-6=-2，所以顶点是(4，-2)。 平移不改变形状，二次项系数仍是。 由顶点式，得平移后的抛物线是y=-2。 (2) 令x=0，得y=×-2=-8-2=-10。 所以它与y轴交点的坐标是(0，-10)。 　题型6　变式：顶点随平移走、读对称轴、由对称性定系数 变式1　【答案】(-3，-11) 【解析】原抛物线的顶点是(-3，-4)。 沿y轴方向向下移动7个单位长度，横坐标不变，纵坐标减去7，得-4-7=-11。 所以新抛物线的顶点坐标是(-3，-11)。 变式2　【答案】A 【解析】这里a=1，b=5。 由对称轴公式，对称轴是直线x==，选A。 b要连同符号一起代入，这里b本身是正数，所以对称轴的横坐标是负数。 变式3　【答案】(1) 对称轴是直线x=2，y=-4x-2；(2) m=3，顶点(2，-6) 【解析】(1) P、Q两点纵坐标相等，它们关于对称轴对称，所以对称轴是直线x=，即x=2。 由对称轴公式，=2，解得b=-4；抛物线与y轴交于(0，-2)，所以c=-2。 于是解析式是y=-4x-2。 (2) 把x=-1代入，得m=1+4-2=3；把x=5代入验证，25-20-2=3，两点纵坐标确实相等。 配方，得y=-6，所以顶点坐标是(2，-6)。 变式4　【答案】(1) y=+1，顶点是(2，1)；(2) y=-3，向左平移3个单位长度、向下平移4个单位长度 【解析】(1) 提出二次项系数，得y=-4x)+3。 括号里一次项系数的一半是-2，它的平方是4，所以y=-4x+4)-2+3。 整理，得y=+1，顶点是(2，1)。 (2) 形状不变说明二次项系数仍是，顶点换成(-1，-3)，所以C2是y=-3。 顶点的横坐标由2变成-1，减少了3，说明向左平移了3个单位长度；纵坐标由1变成-3，减少了4，说明向下平移了4个单位长度。 　题型7　变式：单调段上取端点、范围内取顶点与由最值反求字母 变式1　【答案】-18≤b≤-2 【解析】这条抛物线开口向下，对称轴是直线x=-1。 范围2≤a≤4整个落在对称轴右侧，这一段上函数值随自变量的增大而减小。 a=2时，b=+7=-2；a=4时，b=+7=-18。 所以b的取值范围是-18≤b≤-2。 变式2　【答案】A 【解析】这里a=-3，抛物线开口向下，对称轴是直线x==2，它落在0≤x≤5内。 顶点是最高点，把x=2代入，得最大值7。 两个端点与对称轴的距离分别是2与3，右端点更远，把x=5代入，得-75+60-5=-20，这是最小值。 所以两者之差是7-(-20)=27，选A。 变式3　【答案】(1) n=6；(2) -9 【解析】(1) 这里a=-1，开口向下，对称轴是直线x==1，最大值在顶点处取到。 把x=1代入解析式，得y=-1+2+n=n+1。 由n+1=7，解得n=6。 (2) 于是这个函数是y=+2x+6，对称轴仍是直线x=1，它正好是范围的右端点。 范围-3≤x≤1整个位于对称轴左侧，函数在这一段上y随x的增大而增大，最小值在左端点处。 把x=-3代入，得y=-9-6+6=-9，所以最小值是-9。 变式4　【答案】(1) 与x轴交于(-1，0)与(3，0)，与y轴交于(0，-6)；(2) -8≤y≤10 【解析】(1) 令y=0，得-4x-6=0，两边同时除以2，得-2x-3=0。 左边分解因式，得(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1，所以与x轴的交点是(-1，0)与(3，0)。 令x=0，得y=-6，所以与y轴的交点是(0，-6)。 (2) 这里a=2，开口向上，对称轴是直线x==1，它落在-1≤x≤4之内。 把x=1代入，得y=2-4-6=-8，这是最小值。 两个端点到对称轴的距离分别是2与3，右端点更远，把x=4代入，得y=32-16-6=10，这是最大值。 所以y的取值范围是-8≤y≤10。 　题型8　变式：两交点的距离、与水平线的位置、由交点定系数 变式1　【答案】10 【解析】令y=0，得-4x-21=0，左边分解因式，得(x-7)(x+3)=0。 解得x=7或x=-3，所以两个公共点是(-3，0)与(7，0)。 两点都在x轴上，按x1<x2排列，x1=-3，x2=7，所以x2-x1=7-(-3)=10。 变式2　【答案】D 【解析】把y=+6x-4配方，得y=+5，顶点是(3，5)。 二次项系数-1小于0，抛物线开口向下，顶点是最高点，图象上所有点的纵坐标都不大于5。 水平直线y=m在顶点下方时与抛物线交于两点，在顶点上方时没有公共点，只有经过顶点（m=5）时恰好只有一个公共点。 所以这个公共点就是顶点(3，5)，选D。A项把顶点横坐标的符号弄反了；B项把顶点横坐标与常数项-4拼在一起；C项是抛物线与y轴的交点。 变式3　【答案】(1) b=-2，c=3；(2) (1，0)；(3) -3<x<1 【解析】(1) 把点(0，3)代入解析式，得c=3。 把点(-3，0)与c=3代入，得-9-3b+3=0，即-3b=6，解得b=-2。 (2) 于是抛物线是y=-2x+3。令y=0，得+2x-3=0。 左边分解因式，得(x+3)(x-1)=0，解得x=-3或x=1，所以另一个公共点是(1，0)。 (3) 二次项系数-1小于0，抛物线开口向下，图象在两个公共点之间落在x轴上方。 所以使y>0成立的取值范围是-3<x<1。 变式4　【答案】(1) (1，0)与(-5，12)；(2) m=-7 【解析】(1) 把m=2代入直线的解析式，得y=-2x+2。 由+2x-3=-2x+2，移项、合并同类项，得+4x-5=0。 左边分解因式，得(x+5)(x-1)=0，解得x=1或x=-5。 把x=1代入y=-2x+2，得y=0；把x=-5代入，得y=12。所以公共点是(1，0)与(-5，12)。 (2) 一般地，由+2x-3=-2x+m，整理得+4x-3-m=0。 只有一个公共点说明这个方程有两个相等的实数根，所以Δ=0，即-4×1×(-3-m)=0。 去括号，得16+12+4m=0，即28+4m=0，解得m=-7。 　题型9　变式：由点定k、比较三个函数值、由描点表补坐标 变式1　【答案】-24；24 【解析】把点(-3，8)的坐标代入y=，得8=。 两边同时乘-3，得k=-24。 比例系数k=-24；点(-3，8)到x轴的距离是8，到y轴的距离是3，两个距离的乘积是8×3=24（这个乘积恒等于|k|）。 变式2　【答案】B 【解析】由y=得x=，已知纵坐标就能直接算出横坐标。 x1==-5，x2==9，x3==3。 比较这三个数，-5最小，9最大，所以x1<x3<x2，选B。 注意P在第二象限，Q、R在第四象限，三点不在同一支上，不能直接套用增减性，代值计算最稳。 变式3　【答案】(1) k=-12；(2) m=12，n=-6；(3) 第二、四象限 【解析】(1) 把点(-4，3)的坐标代入y=，得3=，两边同时乘-4，得k=-12。 (2) 于是这个函数是y=。把x=2代入，得n==-6。 把y=-1代入，得-1=，两边同时乘m，得-m=-12，解得m=12。 (3) 因为k=-12小于0，所以图象的两支分别位于第二、第四象限。 变式4　【答案】(1) 都在第二象限；(2) y1<y2 【解析】(1) 因为k=-8小于0，所以图象的两支分别位于第二、第四象限。 又因为两点的横坐标都是负数，所以它们都落在第二象限内，也就是同一支上。 (2) 由反比例函数的性质，k<0时在每一个象限内y随x的增大而增大。 两点在同一支上，且x1<x2，所以y1<y2。 也可以取具体的值验算：取x1=-4，x2=-2，得y1=2，y2=4，确实是y1<y2。 　题型10　变式：由面积定k、由面积与象限定坐标、面积与点的位置无关 变式1　【答案】-14 【解析】三角形的两条直角边长分别是这一点纵坐标的绝对值与横坐标的绝对值，面积等于|k|的一半。 所以|k|=2×7=14，k=14或k=-14。 两支落在第二、第四象限说明k是负数，所以k=-14。 变式2　【答案】B 【解析】矩形面积等于这一点横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值的积，所以|-3|×|m|=21，即3|m|=21。 解得|m|=7，于是m=7或m=-7。 图象经过第二象限，这一点的横坐标是负数，所以它的纵坐标应当是正数。 所以m=7，选B。 变式3　【答案】(1) A(1，6)，B(3，2)；(2) 两个三角形的面积都是3；(3) 面积等于|k|的一半，与点取在双曲线上的哪个位置无关 【解析】(1) 由6=得x=1，所以A(1，6)。 由2=得x=3，所以B(3，2)。 (2) 三角形AOE中，OE=6，AE=1，所以面积是×6×1=3。 三角形BOF中，OF=2，BF=3，所以面积是×2×3=3。 (3) 两个三角形的面积相等，都等于比例系数6的一半。 一般地，图象上任取一点，它与它在y轴上的垂足及原点围成的三角形面积都等于|k|的一半，与点的位置无关。 变式4　【答案】(1) k=18或k=-18；(2) k=18时图象在第一、三象限，k=-18时图象在第二、四象限 【解析】(1) 三角形的两条直角边分别是公共点横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值，面积等于|k|的一半。 三角形的面积是|k|的一半，所以|k|=2×9=18，于是k=18或k=-18。 验算：k=18时公共点是(9，2)，k=-18时公共点是(-9，2)，两种情况下三角形的面积都是9，都符合题意。 (2) k=18是正数，图象的两支分别在第一、第三象限；k=-18是负数，图象的两支分别在第二、第四象限。 　题型11　变式：由一个交点定坐标、由只有一个交点定字母、交点与面积 变式1　【答案】(3，4) 【解析】公共点在双曲线上，把x=3代入y=，得y=4。 验算：把x=3代入直线y=x+1，得y=4，两者一致。 所以这个公共点的坐标是(3，4)。 变式2　【答案】C 【解析】由-x+m=，两边同时乘x（x≠0），得+mx=4。 整理成一般形式，得-mx+4=0。 题目说它只有两个相等的实数根，所以Δ=0，即-4×1×4=0。 于是=16，解得m=4或m=-4，选C。 变式3　【答案】(1) k=8；(2) B(4，2)；(3) 6 【解析】(1) 把点A(2，4)的坐标代入y=，得4=，所以k=8。 (2) 由-x+6=，两边同时乘x（x≠0），得+6x=8。 移项，得-6x+8=0，左边分解因式，得(x-2)(x-4)=0，解得x=2或x=4。 x=2对应的是点A，把x=4代入y=-x+6，得y=2，所以B(4，2)。 (3) 直线y=-x+6与y轴的交点是C(0，6)，所以OC=6。 三角形AOB被线段OC分成三角形AOC与三角形BOC两块。 三角形AOC以OC为底，点A到y轴的距离2为高，面积是×6×2=6；三角形BOC以OC为底，点B到y轴的距离4为高，面积是×6×4=12。 点A与点B在y轴同侧，所以三角形AOB的面积等于这两块之差，即12-6=6。 变式4　【答案】(1) P(3，6)，k=18；(2) 9；(3) 存在，坐标是， 【解析】(1) 点P在直线y=2x上且纵坐标是6，由6=2x得x=3，所以P(3，6)。 把点P的坐标代入y=，得6=，所以k=18。 (2) 三角形OPQ的两条直角边分别是OQ=3与PQ=6。 所以它的面积是×3×6=9，这正是|k|的一半。 (3) 设这样的点的坐标是(t，t)（t>0），把它代入y=，得t=。 两边同时乘t，得=18，因为t>0，所以t=。 所以存在这样的点，它的坐标是，。 　题型12　变式：增长率、面积最大、总量分配与利润不低于某个数 变式1　【答案】30% 【解析】设年平均增长率是x，则=3.38。 两边同时除以2，得=1.69，开方，得1+x=1.3或1+x=-1.3。 增长率不能使1+x为负数，舍去1+x=-1.3，得x=0.3，即增长率是30%。 变式2　【答案】D 【解析】周长是24cm，所以两条邻边长之和是12cm，邻边长是(12-x)cm。 由面积等于两条邻边长的积，得S=x(12-x)=+12x。 配方，得S=+36，二次项系数是-1，开口向下，顶点是最高点。 所以当x=6时S取得最大值36，即最大面积是，选D。 变式3　【答案】(1) y=，x取360的正约数（正整数）；(2) 45个；(3) 6本 【解析】(1) 笔记本的总数保持不变，所以小组个数与每组分到的本数的积等于总数，即xy=360。 两边同时除以x，得y=。小组个数是正整数，所以x取正整数，而且要能整除360，否则不能平均分。 (2) 把y=8代入，得8=，两边同时乘x，得8x=360，解得x=45。 所以共有45个小组。 (3) 这时小组的个数是45+15=60。 把x=60代入解析式，得y==6，所以每组分到6本。 变式4　【答案】(1) w=+110x+1200；(2) 最大值是1805元，此时售价是43元；(3) 0≤x≤22，且x为整数 【解析】(1) 售价上涨x元后，每个的利润是(32+x-24)元，即(8+x)元，每月的销售量是(150-5x)个。 所以w=(8+x)(150-5x)。 去括号，得w=1200-40x+150x-，合并同类项，得w=+110x+1200。 (2) 二次项系数-5小于0，开口向下，对称轴是直线x==11。 把x=11代入，得w=-605+1210+1200=1805。 所以每月销售利润的最大值是1805元，此时每个的售价是32+11=43元。 (3) 先求利润恰好等于1200元时的x：令+110x+1200=1200，得+110x=0，即-5x(x-22)=0，解得x=0或x=22。 函数w=+110x+1200的图象开口向下，由图象可知，在x=0与x=22之间（含这两点）的那一段上w≥1200。 又x是非负整数，所以x的取值范围是0≤x≤22，且x为整数。 　易错专练 易错1　【答案】x1=6，x2=11 【解析】错解示例：两边同时除以(x-6)，得x-6=5，所以x=11。 错因：x-6可能等于0，除以一个可能为0的式子会把x=6这个根丢掉。 正解：移项，得-5(x-6)=0。把x-6当作公因式提出来，得(x-6)(x-6-5)=0，即(x-6)(x-11)=0。 所以x-6=0或x-11=0，解得x1=6，x2=11。 提醒：方程两边出现相同的含未知数的因式时，一律移到同一边提公因式，绝不约掉。 易错2　【答案】x1=3，x2= 【解析】错解示例：直接读成a=3，b=7，c=6，算出Δ=49-72=-23，下结论说它没有实数根。 错因：方程还没有化成一般形式就取系数，右边的7x与6都要先移到左边，符号会变。 正解：移项，得一般形式-7x-6=0，此时a=3，b=-7，c=-6。 先算判别式：Δ=-4×3×(-6)=49+72=121，它大于0，方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式，得x=，所以x1=3，x2=。 提醒：代公式前先化一般形式，再连同符号一起写出a、b、c，这两步顺序不能颠倒。 易错3　【答案】a≤3 【解析】错解示例：由Δ>0，得4-4(a-2)>0，解得a<3。 错因：一处是把“有实数根”写成了Δ>0，等号被丢掉；另一处是没有考虑a-2=0的情形，题目只说“方程”，并没有说它是一元二次方程。 正解：当a-2=0，即a=2时，原方程变成2x+1=0，它是一元一次方程，有一个实数根x=，符合题意。 当a-2≠0时，它是一元二次方程，由Δ≥0，得-4(a-2)×1≥0，即4-4a+8≥0，解得a≤3。 把两种情形合起来，a的取值范围是a≤3。 提醒：题目写的是“方程”还是“一元二次方程”，决定要不要讨论二次项系数为0的情形；“有实数根”对应Δ≥0，等号年年考。 易错4　【答案】k=-2 【解析】错解示例：设两根为x1、x2，由两根关系得x1+x2=3-2k，x1x2=，所以两根的平方和等于-2x1x2=-=-12k+9。令-12k+9=41，得-6k-16=0，解得k=8或k=-2，于是写成“k=8或k=-2”。 错因：两个值都没有回头检验判别式。两根之和与两根之积的关系，以“方程确实有两个实数根”为前提。 正解：方程有两个实数根，所以Δ=-=-12k+9≥0，即k≤。 设两根为x1、x2，由两根关系，两根的平方和等于-2x1x2=-=-12k+9。 令-12k+9=41，整理得-6k-16=0，即(k-8)(k+2)=0，解得k=8或k=-2。 k=8不满足k≤（这时Δ=-87<0，方程没有实数根），舍去；k=-2满足条件（这时Δ=33>0）。 所以k=-2。 提醒：凡是先用两根之和与两根之积解出字母的题，收尾一定要把字母放回判别式里验一次，这一步是这一类题真正的考点。 易错5　【答案】平移后的解析式是y=+4，对称轴是直线x=-9，与顶点横坐标一致 【解析】错解示例：顶点的横坐标是-9，于是写成y=+4，对称轴是直线x=9。 错因：顶点式的标准写法是y=+k，括号里必须写成x减去顶点的横坐标。这里h=-9，x-h就是x-(-9)，也就是x+9。 正解：平移不改变形状，二次项系数仍是-2；顶点是(-9，4)，代入顶点式得y=+4，即y=+4。 它的对称轴是直线x=-9。 提醒：先把括号统一成x-h的样子再读数，符号一次定准，后面的题也就不会把左右加减弄反。 易错6　【答案】-2 【解析】错解示例：配方得y=-6，顶点是(-1，-6)，所以最小值是-6。 错因：顶点的横坐标-1并不在1≤x≤4这段范围里，抛物线的最低点根本没有出现在这一段上。 正解：这里a=1，开口向上，对称轴是直线x=-1，它落在范围1≤x≤4的左边。 所以这一段整个位于对称轴右侧，函数在这一段上y随x的增大而增大，最小值在左端点处取到。 把x=1代入，得y=1+2-5=-2，所以最小值是-2。 提醒：限定范围上的最值，第一步永远是把对称轴与范围的两个端点比一比，别一看到顶点就往下写。 易错7　【答案】y1<y2 【解析】错解示例：因为k=5大于0，所以y随x的增大而减小；又因为-1小于2，所以y1大于y2。 错因：增减性只在同一个象限内成立。这两点的横坐标一正一负，分别落在两支上，不能拿增减性去比。 正解：把x=-1代入，得y1==-5；把x=2代入，得y2=。 -5是负数，是正数，所以y1<y2。 提醒：比较反比例函数的两个函数值，先看两个横坐标是否同号：同号才用增减性，异号一律改比正负，符号不明时要分情况讨论。 易错8　【答案】k=16或k=-16 【解析】错解示例：三角形面积等于k的一半，所以k=2×8=16。 错因：两条直角边长是横坐标与纵坐标的绝对值，它们的积等于|k|而不是k，k本身可以是负数。 正解：设点P的坐标是(x0，y0)，则OH=|x0|，PH=|y0|。 由三角形面积公式，得x0||y0|=8，所以|x0y0|=16。 而点P在图象上，所以x0y0=k，于是|k|=16，解得k=16或k=-16。 提醒：面积只给出|k|，题目若没有另外交代图象经过哪两个象限，两个答案都要写上。 　课后作业（一）选择题 1．【答案】C 【解析】两个一次因式的积等于0，说明至少有一个因式等于0。 由x+2=0，得x=-2；由x-5=0，得x=5。 两个值都是原方程的根，缺一不可，所以选C。 2．【答案】A 【解析】去括号，得-6x=7。 移项，得一般形式-6x-7=0。 一次项是-6x，所以一次项系数是-6，选A。 3．【答案】A 【解析】这里a=2，b=-5，c=4。 算得Δ=-4×2×4=25-32=-7。 Δ是负数，方程在实数范围内没有解，所以选A。 D项算对了Δ却读错了结论；B项把减法的前后顺序颠倒，按此错法真算得4×2×4-=32-25=7；C项把-4ac错算成+4ac，按此错法真算得25+32=57。 4．【答案】D 【解析】顶点式y=+k的顶点是(h，k)，四个选项的顶点依次是(2，1)、(-2，-1)、(2，-1)、(-2，1)。 第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正，只有(-2，1)符合。 所以选D。 5．【答案】A 【解析】上下平移改变的是常数项：向上平移就加上平移的格数。 所以所得抛物线是y=+5，选A。 C、D两项改的是括号里的数，那是左右平移的结果。 6．【答案】C 【解析】这里a=-3，小于0，图象开口向下，最大值在顶点处取到。 对称轴是直线x==-1，所以取得最大值时自变量等于-1。 把x=-1代入，得y=-3+6+5=8，所以最大值是8，选C。 7．【答案】B 【解析】这里k=-9，是负数。 k小于0时，双曲线的两支分别落在第二、第四象限，选B。 8．【答案】B 【解析】两支都落在第一、第三象限，对应的条件是比例系数为正数。 所以m-5>0，解得m>5，选B。 取等号时比例系数为0，就不是反比例函数了，所以C项不对。 　课后作业（二）填空题 9．【答案】x1=0，x2=9 【解析】移项，得-9x=0。 提取公因式x，得x(x-9)=0。 所以x=0或x-9=0，解得x1=0，x2=9。 10．【答案】2 【解析】把x=2代入方程，得4+2p-8=0。 移项、合并同类项，得2p=4，解得p=2。 11．【答案】-5 【解析】二次项系数是1，大于0，函数值在顶点处最小。 这里a=1，b=10，由公式算得顶点的横坐标是=-5。 所以当x=-5时函数值最小。 12．【答案】1 【解析】顶点落在x轴上，说明顶点的纵坐标是0，图象与x轴恰好有一个公共点。 于是方程-2x+c=0有两个相等的实数根，即Δ=0。 由-4×1×c=0，得4-4c=0，解得c=1。 13．【答案】 【解析】设这个反比例函数是y=。 把点(2，-7)的坐标代入，得-7=，两边同时乘2，得k=-14。 所以这个反比例函数是y=。 14．【答案】k<1 【解析】当x>0时y<0，说明图象有一支落在第四象限，比例系数是负数。 所以k-1<0，解得k<1。 15．【答案】12 【解析】把x=2代入y=3x，得这个点的纵坐标是6。 这个点也在双曲线上，把(2，6)代入y=，得6=。 两边同时乘2，得k=12。 16．【答案】25% 【解析】设每次降价的百分率是x，第一次降价后的售价是3200(1-x)元，第二次降价后是元。 由题意得=1800，两边同时除以3200，得=0.5625。 开方，得1-x=0.75或1-x=-0.75；降价的百分率不能使1-x为负数，舍去后得x=0.25，即每次降价25%。 　课后作业（三）解答题 17．【答案】(1) x1=9，x2=1；(2) x1=5，x2=-4 【解析】(1) 两边同时除以2，得=16。 由平方根的意义，得x-5=±4，所以x1=9，x2=1。 (2) 因为(-5)×4=-20，(-5)+4=-1，所以左边分解为(x-5)(x+4)=0。 于是x-5=0或x+4=0，解得x1=5，x2=-4。 18．【答案】x= 【解析】移项，得+5x=1。 两边同时除以2，把二次项系数化为1，得+=。 一次项系数的一半是，两边同时加上它的平方，得++=+。 左边写成完全平方式，右边通分相加，得=。 两边同时乘16，得=33，开方得4x+5=±，所以x=。 19．【答案】(1) 判别式等于，它总是非负数；(2) k=1，两个公共点是(-1，0)与(1，0) 【解析】(1) 与x轴的公共点的横坐标是方程-(k-1)x-k=0的根。 它的判别式Δ=-4×1×(-k)=-2k+1+4k=+2k+1。 把它写成完全平方式，得Δ=。 任何实数的平方都不小于0，所以Δ≥0恒成立，这条抛物线与x轴总有公共点。 (2) 两个公共点关于y轴对称，说明它们的横坐标互为相反数，两根之和等于0。 由两根之和等于k-1，得k-1=0，解得k=1。 把k=1代回，得y=-1。令y=0，得=1，解得x=1或x=-1。 所以这两个公共点是(-1，0)与(1，0)。 20．【答案】(1) y=-12x+10；(2) (3，-8)；(3) y1>y2 【解析】(1) 前两个点都在x轴上，设y=a(x-1)(x-5)。 把(0，10)代入，得10=a×(-1)×(-5)，即5a=10，解得a=2。 所以y=2(x-1)(x-5)，去括号整理，得y=-12x+10。 (2) 对称轴是直线x==3。 把x=3代入解析式，得y=18-36+10=-8，所以顶点坐标是(3，-8)。 (3) 二次项系数2大于0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小。 两点的横坐标都小于3，都落在对称轴的左侧。 又x1<x2，所以y1>y2。 21．【答案】(1) y=+16，顶点是(3，16)；(2) 8；(3) x>3 【解析】(1) 提出二次项系数，得y=-6x)+7。 括号里一次项系数的一半是-3，它的平方是9，所以y=-6x+9)+9+7。 整理，得y=+16，顶点是(3，16)。 (2) 令y=0，得+6x+7=0，两边同时乘-1，得-6x-7=0。 左边分解因式，得(x-7)(x+1)=0，解得x=7或x=-1。 两个交点都在x轴上，距离等于两个横坐标之差的绝对值，即7-(-1)=8。 (3) 二次项系数-1小于0，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小。 对称轴是直线x=3，所以当x>3时y随x的增大而减小。 22．【答案】(1) k=-12；(2) 点B在图象上；(3) 2≤y≤6 【解析】(1) 把点A(-4，3)的坐标代入y=，得3=，两边同时乘-4，得k=-12。 (2) 这个函数是y=。把x=6代入，得y==-2，与点B的纵坐标相同。 所以点B在这个函数的图象上。 (3) 因为k=-12小于0，所以在每一个象限内y随x的增大而增大。 范围-6≤x≤-2整个落在第二象限对应的那一支上，函数在这一段上y随x的增大而增大。 把x=-6代入，得y=2；把x=-2代入，得y=6。所以y的取值范围是2≤y≤6。 23．【答案】(1) A(4，0)，B(0，8)，M(2，4)；(2) k=8；(3) 8 【解析】(1) 令y=0，得-2x+8=0，解得x=4，所以A(4，0)。 令x=0，得y=8，所以B(0，8)。 中点M的横坐标是A与B横坐标的平均数=2，纵坐标是=4，所以M(2，4)。 (2) 把点M(2，4)的坐标代入y=，得4=，两边同时乘2，得k=8。 (3) 三角形OAM以OA为底，OA=4；点M到x轴的距离是4，这就是高。 所以三角形OAM的面积是×4×4=8。 24．【答案】(1) y=+40x+600；(2) x=2时利润最大，最大利润是640元 【解析】(1) 降价x元后，每个的利润是(28-x-18)元，即(10-x)元。 每天的销售量是(60+10x)个。 所以y=(10-x)(60+10x)。 去括号，得y=600+100x-60x-，合并同类项，得y=+40x+600。 (2) 二次项系数-10小于0，抛物线开口向下，顶点是最高点。 对称轴是直线x==2，它落在0≤x<10（保证每个仍有利润）之内。 把x=2代入，得y=-40+80+600=640。 所以当x=2时每天的销售利润最大，最大利润是640元。 25．【答案】(1) b=5，c=6；(2) 21；(3) -1<x<6 【解析】(1) 方程两边同乘-1，得-bx-c=0。 由两根之和与两根之积，得两根之和等于b，两根之积等于-c，即b=-1+6=5，-c=(-1)×6=-6，所以c=6。 (2) 抛物线是y=+5x+6，它与x轴的交点就是方程的两根对应的点(-1，0)与(6，0)；令x=0，得y=6，与y轴的交点是(0，6)。 以x轴上两点之间的线段为底，底长6-(-1)=7，高是点(0，6)到x轴的距离6。 所以三角形的面积是×7×6=21。 (3) 二次项系数-1小于0，抛物线开口向下，图象在与x轴的两个交点之间位于x轴上方，此时函数值大于0。 所以当-1<x<6时，抛物线位于x轴上方。 26．【答案】(1) 把x=1代入后左边等于0；(2) m<-2 【解析】(1) 把x=1代入方程的左边，得1-(m+3)+m+2。 去括号，得1-m-3+m+2=0，与右边相等。 所以无论m取什么实数，x=1总是这个方程的一个根。 (2) 设另一个根是t。由两根之积等于常数项除以二次项系数，得1×t=m+2，所以t=m+2。 另一个根是负数，即m+2<0，解得m<-2。 27．【答案】(1) P(1，6)，k=6；(2) Q(6，1)；(3) 点P到x轴的距离大 【解析】(1) 点P在直线上且横坐标是1，把x=1代入y=x+5，得y=6，所以P(1，6)。 把点P的坐标代入y=，得6=，所以k=6。 (2) 这条双曲线是y=。把x=6代入，得y=1，所以Q(6，1)。 (3) 点到x轴的距离等于它的纵坐标的绝对值，点P的是6，点Q的是1，所以点P到x轴的距离大。 也可以由增减性判断：k=6大于0，在第一象限这一支上y随x的增大而减小；点P的横坐标比点Q的小，所以点P的纵坐标比点Q的大。 28．【答案】(1) (36-3x)m；(2) S=+36x，0<x<12；(3) 最大面积是，此时与墙垂直的一段篱笆长6m 【解析】(1) 与墙垂直的篱笆一共有三段：矩形的两条邻边各一段，中间的隔墙一段，每段长x m。 篱笆总长是36m，靠墙的那一边不用篱笆，所以与墙平行的一边的长是(36-3x)m。 (2) 由矩形面积等于两条邻边长的积，得S=x(36-3x)。 去括号，得S=+36x。 两条边长都必须为正，所以x>0且36-3x>0，解得0<x<12。 (3) 二次项系数-3小于0，抛物线开口向下，顶点是最高点。 对称轴是直线x==6，它落在0<x<12之内。 把x=6代入，得S=-108+216=108。 所以试验田面积的最大值是，此时与墙垂直的一段篱笆长6m。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $