27.3（第3课时）建立反比例函数模型解决实际问题（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 27.3第3课时反比例函数应用同步练，分层设计梯度清晰，从基础模型识别到跨学科综合应用，强化数学建模与实际问题解决能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A.夯实基础|反比例函数概念识别、简单表达式求解|以表格数据辨析为主，如气体压强与体积关系，强化抽象能力与符号意识| |B.提升能力|实际情境中的函数应用与计算|结合生活情境（近视眼镜度数、湿地压强），培养模型意识与推理能力| |C.拓展培优|综合问题解决与跨学科建模|通过项目式学习（测量盒子质量）、跨学科案例（电磁波、机器人速度），发展应用意识与创新思维|

27.3（第3课时）建立反比例函数模型解决实际问题（原卷版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 3 C.拓展培优 9 1．在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 3．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（ ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 4．为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N） 24 12 8 6 …… 动力臂x（cm） 1 2 3 4 …… 5．研究发现：近视眼镜的度数y（度）与近视眼镜焦距x（cm）的关系如表： 焦距x（cm） … 10 20 25 50 … 度数y（度） … 1000 500 400 200 … 已知y与x的函数关系是我们学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种，则y与x的函数关系式是______． 6．已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为__________精确到 7．密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 8．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000 镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 9．小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 10．如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 11．2025年3月是第十个全国近视防控宣传教育月，3月29日，湖南省儿童青少年近视防控技术指导中心联合中国人口与健康出版社，举办“近视防控追光计划科普教育行动”公益活动．某眼镜店的验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（）的对应数据如表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（） 根据数据，可得y关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 12．气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（   ） V … 64 48 38.4 32 24 … p … 1.5 2 2.5 3 4 … A． B． C． D．且 13．小颖在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数x/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离y/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的距离为0.6m，则这副老花镜的度数约为__________． 14．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 15．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 16．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 17．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 18．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 19．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 20．某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 21．在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 22．探索人形机器人的速度问题． 2026年央视春晚节目《武》中，二十余台宇树科技人形机器人与河南塔沟武校的少年们同台表演，完成了全球首次全自主人形机器人集群武术表演．其中“豫武”人形机器人的最快移动速度v（米/秒）与总质量m（千克）部分数据如下表所示： 总质量m（千克） 50 60 80 90 100 120 180 … 最快速度v（米/秒） 7.2 6 4.5 4 3.6 3 2 … 该机器人自身质量为70千克．在春晚彩排时，它需从A候场区出发，携带5千克的红缨枪道具前往B主舞台（全程约400米），卸下道具后立即原路返回A候场区（装卸时间忽略不计），此时该机器人完成任务． (1)根据学习经验，判断ν是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式； (2)请在图中画出v与m的函数图象； (3)求该机器人完成任务所用的最短时间．（结果保留整数） 23．小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 24．某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 25．科学家麦克斯韦在1864年建立了完整的电磁波理论，1887年物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在，现在电磁波已经应用到了通信、医疗、能源等领域．已知电磁波的本质完全相同，只是波长和频率有差别，下表是数学兴趣小组通过实验收集到的部分电磁波的波长和频率的对应数据： 项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 … 波长 300 500 600 1000 1500 … 频率 1000 600 450 300 200 … (1)根据表中的数据特征可判断频率f是波长的___________函数（填“一次”“二次”“反比例”），表中数据收集错误的是第___________组． (2)求频率关于波长的函数关系式． (3)若手机的电磁波的波长范围是，可见光的波长范围大约是，请你判断手机的电磁波的频率与可见光的频率的大小关系，并说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3（第3课时）建立反比例函数模型解决实际问题（解析版） 目 录 A.夯实基础 1 B.提升能力 6 C.拓展培优 21 1．在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据压强与容器体积的乘积是定值可以确定两变量之间成反比例关系，设函数解析式为，把点代入函数解析式求出k值即可． 【详解】解：根据表中数据可知，理想气体压强与体积成反比， 设，把点代入， 得， ∴， 故这个函数的解析式为， 故选：C． 2．已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：）之间的关系如表所示，则I与R之间的关系式是（   ） … 5 4 2.5 2 1 0.5 0.25 … … 20 25 30 40 50 100 200 400 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，熟练掌握电流电压电阻是解决此题的关键．根据等量关系“电流电压电阻”，即可求出反比例函数解析式，再利用反比例函数性质分析得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，， 则电流与电阻的乘积恒为定值，即满足， 因此与的关系式为， 故选：B． 3．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（ ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的知识，根据表格的信息确定该函数是反比例函数是解题的关键． 由表格可得，得该函数是反比例函数，设解析式为，把x、y代入得到k的值即可解答． 【详解】解：由表格可得，得该函数是反比例函数， ∴设解析式为， ∴， 把代入，可得， ∴． 故选：C． 4．为激发青少年对科学知识的探索热情，培养其动手实践能力和严谨的科学思维，某校成功举办了“杠杆平衡的条件”科学实验活动．下表是某小组记录的部分实验数据，由表中数据关系可知，动力F和动力臂x（）的函数关系是_________． 动力F（N） 24 12 8 6 …… 动力臂x（cm） 1 2 3 4 …… 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．由表中数据计算可得动力与动力臂的乘积为定值，该定值为24，故F与x的函数关系为反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由表中数据：， ∴，即F与x的函数关系为反比例函数， 关系式为， 故答案为：． 5．研究发现：近视眼镜的度数y（度）与近视眼镜焦距x（cm）的关系如表： 焦距x（cm） … 10 20 25 50 … 度数y（度） … 1000 500 400 200 … 已知y与x的函数关系是我们学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种，则y与x的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查的是函数关系的探究以及利用待定系数法求解函数的解析式.先探究函数的关系式，分别计算横纵坐标的积，发现积是个常数，从而可得函数为反比例函数，再利用待定系数法求解函数关系式即可. 【详解】解：， 是的反比例函数， 设， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 故答案为：. 6．已知近视眼镜镜片的焦距单位：是镜片度数单位：度的反比例函数，下表记录了一些数据： 度 利用表格中的数据推测：当镜片的度数为度时，镜片的焦距为__________精确到 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求出关于的函数关系式是解题的关键． 先根据表格数据求出关于的函数关系式，再代入求解． 【详解】解：根据表格数据可得，， ∴焦距y（单位：米）和度数x（单位：度）之间满足的关系为， 将代入关系式， 得， 故答案为：． 7．密度计是一种重要的密度分析仪表，用于连续测量液体的密度，进而可以计算液体浓度、固液比等工艺参数，广泛应用于化工生产装置中，其检测精度和稳定性直接影响到产品质量．如图，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的函数，其函数关系的部分对应值如下表： 密度 1 2 3 4 … 高度 18 9 6 4.5 … 当液体密度时，浸在液体中的高度______． 【答案】/1.5/ 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式和求自变量的值等知识．利用待定系数法求出函数解析式为，再把代入求解即可． 【详解】解：∵由表格数据可知，浸在液体中的高度h是液体的密度的反比例函数， ∴可设， ∵当密度计悬浮在密度为的水中时，， ∴， 解得 ∴， ∴当时，． 故答案为：． 8．一组关于近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数（度） 200 500 800 1000 镜片焦距（米） 0.50 0.20 0.125 0.10 (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)小苍同学原先配的眼镜镜片的焦距为0.40米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜，验光师测得新镜片的焦距为0.25米，问小苍同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ 【答案】(1)猜想函数模型是反比例函数， (2)上升了，上升了150度 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）根据每组与的乘积都相等猜想函数模型是反比例函数，再利用待定系数法求解即可得； （2）分别求出当时和当时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：观察表格数据可知，每组与的乘积都相等， 则猜想函数模型是反比例函数． 设关于的函数表达式为， 将点代入得：， 所以关于的函数表达式为． （2）解：当时，， 当时，， 因为（度）， 所以小苍同学的眼镜度数是上升了，上升了150度． 9．小王在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的水平距离，得到如下数据： 老花镜的度数/度 … 100 125 200 … 镜片与光斑的水平距离 … 1 0.8 0.5 … 若按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的水平距离为，则这副老花镜的度数为（     ） A．75度 B．150度 C．250度 D．275度 【答案】C 【分析】根据表格数据找出老花镜度数和镜片与光斑距离的关系，计算可得二者乘积为定值，成反比例关系，代入计算即可得到度数． 【详解】由表格已知数据计算得： ∵ ，，， ∴ 可得与满足关系， 当时，代入得， ∴ 这副老花镜的度数为250度． 10．如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（  ） A．压强与受力面积的关系式为 B．压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C．若压强不超过，则受力面积至少要 D．若受力面积最大是，则压强最小为 【答案】B 【分析】根据表格数据求出与的函数关系式，再结合反比例函数的性质及实际意义对各选项进行判断即可． 【详解】解：由表格数据可知：，，，， 与成反比例关系，且， 即，故A选项正确； 表示受力面积， ， 函数图象只分布在第一象限，故B选项不正确； 当时，， 解得，故C选项正确； 当时，， 在第一象限内随的增大而减小， 当时，， 即压强最小为， 故D选项正确． 11．2025年3月是第十个全国近视防控宣传教育月，3月29日，湖南省儿童青少年近视防控技术指导中心联合中国人口与健康出版社，举办“近视防控追光计划科普教育行动”公益活动．某眼镜店的验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（）的对应数据如表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（） 根据数据，可得y关于x的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数解析式． 计算表中各组数据，均得，因此函数表达式为． 【详解】解：第一组：． 第二组：； 第三组：； 第四组：； 第五组：； 所有值均为100， ∴． 故选：B． 12．气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：千帕）随体积V（单位：立方米）的变化情况如下表所示．那么在这个温度下，当时，V的取值范围是（   ） V … 64 48 38.4 32 24 … p … 1.5 2 2.5 3 4 … A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数解析式，由表中数据判断出与的函数关系是解题的关键．根据所给出的数据可得是的反比例函数，根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴在第一象限内，随着p的增大而减小， 而时，， ∴时，， 故选：C． 13．小颖在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对太阳光，上下移动镜片，直到地上的光斑最小，此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据： 老花镜的度数x/度 100 120 200 250 300 镜片与光斑的距离y/m 1 0.8 0.5 0.4 0.3 如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的距离为0.6m，则这副老花镜的度数约为__________． 【答案】160度~170度都可以 【分析】根据表格中的数据发现，x与y的积在90到100之间，且出现最频繁的是100，可得结论． 【详解】解：由表格数据得：老花镜的度数越高，镜片与光斑的距离越近； 且100×1=100=100，120×0.8=96，200×0.5=250×0.4=100，300×0.3=90， x与y的积大约90到100之间，且出现最频繁的是100，取出现最频繁的估算， ∴100÷0.6≈166.7， ∴这幅老花镜的度数为160度~170度都可以． 故答案为160度~170度都可以； 【点睛】本题主要考查了反比例函数、图像的信息获取能力，根据数据找函数关系是解题的关键 14．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热：；第一次降温： (3)能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【详解】（1）略 （2）解：第一次加热：是关于的一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：是关于的反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， 当时，则，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； （3）略 15．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 16．项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【答案】(1)减小，反比例函数； (2)这个空牛奶盒的质量为； (3)右边托盘应向左边移动 【分析】（1）根据表格数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小，根据，猜想：l与m满足怎样的函数关系：反比例函数； （2）先设l关于m的函数解析式为，运用待定系数法，求出反比例函数的解析式为，再设空牛奶盒的质量为，根据题意得：，解方程，从而求出这个空牛奶盒的质量； （3）含水的牛奶盒质量为，牛奶盒与砝码的位置互换后，要使天平左边与右边平衡，则有，求出l，并根据任务二，求出右边托盘应向左边移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 17．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2)9.6×10-3 m2 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 18．“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】(1) (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可； （2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可； （3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围． 【详解】（1）略 （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 19．为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系： 时间x（天） 3 5 6 9 …… 硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 …… (1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式； (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？ 【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）； (2)y＝（x≥3）； (3) 该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L， 理由如下： 当x=15时，y==0.9， 因为0.9＜1， 所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L． 【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可； （2）设函数的表达式为：y=，把C点坐标代入，求出k的值即可； （3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可． 【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b 把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ， 解得：k=﹣2.5，b=12 ∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12； （2）解：当x≥3时，设y=， 把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=， 解得k=13.5， ∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ； （3）略 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键． 20．某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． (2)已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． (3)若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 【答案】(1)； (2)不能， ∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ， ∴可用于行驶的时间为 ， 当 时，所需行驶时间 ， ， 小芳不能在预定的时间内到达火车站； (3) 【分析】（1）根据表格数据判断 与 满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式，再结合 的限制得到自变量 的取值范围； （2）先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为 时所需的行驶时间，比较后判断是否能按时到达； （3）利用反比例函数的性质，当 在给定范围内时，计算得到对应 的取值范围． 【详解】（1）观察表格数据可知 与 的乘积为定值， ∴设，     将 ， 代入得 ， 由题知 ， ∴ ， 解得 ， ∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ； （2）略； （3）， ∴当 时， 随 的增大而减小， ∵ ， ， 即 ． 21．在环境科学领域的一定条件下，某污染区域的净化时间（单位：小时）与净化设备的功率（单位：千瓦）存在着某种函数关系，部分对应值如表所示： 净化设备的功率（千瓦） ．．． 90 60 45 36 ．．． 净化时间t（小时） ．．． 2 3 4 5 ．．． (1)请根据表中给出的数据，求与之间的函数关系式． (2)若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要多少千瓦？ 【答案】(1) (2)18千瓦 【分析】（1）由表格中的数据可知，，据此可得答案； （2）求出时P的值，再结合反比例函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，， ∴； （2）解：在中，当时，， ∵， ∴t随P的增大而减小， ∴当时，， 答：若要求净化时间不超过10小时，则净化设备的功率至少需要18千瓦． 22．探索人形机器人的速度问题． 2026年央视春晚节目《武》中，二十余台宇树科技人形机器人与河南塔沟武校的少年们同台表演，完成了全球首次全自主人形机器人集群武术表演．其中“豫武”人形机器人的最快移动速度v（米/秒）与总质量m（千克）部分数据如下表所示： 总质量m（千克） 50 60 80 90 100 120 180 … 最快速度v（米/秒） 7.2 6 4.5 4 3.6 3 2 … 该机器人自身质量为70千克．在春晚彩排时，它需从A候场区出发，携带5千克的红缨枪道具前往B主舞台（全程约400米），卸下道具后立即原路返回A候场区（装卸时间忽略不计），此时该机器人完成任务． (1)根据学习经验，判断ν是m的哪种函数类型，并求出该函数表达式； (2)请在图中画出v与m的函数图象； (3)求该机器人完成任务所用的最短时间．（结果保留整数） 【答案】(1)v是m的反比例函数， (2)函数图象如图： (3)机器人完成任务所用的最短时间为161秒 【分析】（1）由表格可知总质量越大，最快移动速度越慢，所以v是m的反比例函数，假设，根据待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据数据描点，再画出平滑曲线即可； （3）先求出机器人当时和当时的最快速度，再根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：由表格分析知v是m的反比例函数， 设，将，代入，得， ∴该函数表达式为． （2）略 （3）解：当时，（米/秒）， 当时，（米/秒）， ∴秒， 答：机器人完成任务所用的最短时间为161秒． 23．小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)720 (3)15 (4)是定值，比值为 【分析】(1)根据表格数据描点、连线即可． (2) 观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，将代入求值． (3) 分别令和，求出对应的弦长，再求差． (4) 由代入两个反比例函数表达式，化简后判断与的比值是否为定值． 【详解】（1）由数据表验证： 解： ， 与成反比例关系，， 在坐标系中描点、、、、、、、、， 用光滑曲线依次连接各点，得到的图象． （2）解：观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，， 当cm时， （Hz）， 琴弦1的振动频率为． （3）解：由数据表验证：， ， 当Hz时，（cm）， 当Hz时，（cm）， （cm）， 即琴弦2与琴弦1的长度之差为． （4）解：设琴弦1的长度为，琴弦2的长度为， 由题意：， ， ， 琴弦1与琴弦2的长度之比为定值，比值为． 24．某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律． 上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40 指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30 (1)由表格和图象可知，当时，是的__________函数；当时，是的__________函数；（填“一次”“二次”或“反比例”） (2)求的值； (3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．请你根据图表中给出的信息，结合测量学，求出学生学习解综合题效果显著的状态能持续多长时间？ 【答案】(1)一次，反比例 (2) (3)29.5分钟 【分析】（1）根据表格，函数图象分析即可； （2）运用待定系数法求解即可； （3）根据函数解析式，分别求出时的时间，求差即可． 【详解】（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数； （2）解：当时，是的一次函数， 设解析式为， 当时，，当时，， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，；当时， 是的反比例函数，当时，， ∴设反比例函数解析式为， ∴，解得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； 综上所述，， （3）解：当时，一次函数解析式为， 当时，，解得，， 当时，反例函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∵， ∴学生学习解综合题效果显著的持续时间是29.5分钟 25．科学家麦克斯韦在1864年建立了完整的电磁波理论，1887年物理学家赫兹用实验证实了电磁波的存在，现在电磁波已经应用到了通信、医疗、能源等领域．已知电磁波的本质完全相同，只是波长和频率有差别，下表是数学兴趣小组通过实验收集到的部分电磁波的波长和频率的对应数据： 项目 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 … 波长 300 500 600 1000 1500 … 频率 1000 600 450 300 200 … (1)根据表中的数据特征可判断频率f是波长的___________函数（填“一次”“二次”“反比例”），表中数据收集错误的是第___________组． (2)求频率关于波长的函数关系式． (3)若手机的电磁波的波长范围是，可见光的波长范围大约是，请你判断手机的电磁波的频率与可见光的频率的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)反比例，三 (2) (3)，理由如下： ， ∴当时，随的增大而减小． ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据波长与频率的乘积是定值可判断频率f是波长的反比例函数，据此再判断表中数据收集错误是哪组即可； （2）设频率关于波长的函数关系式为，把代入求解即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴频率f是波长的反比例函数． ∵， 表中数据收集错误的是第三组； （2）解：设频率关于波长的函数关系式为． 把代入，得， ． ∴频率关于波长的函数关系式为； （3）略． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $