重难点专题 解一元二次方程（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以根的判别式为基础，系统整合直接开方、配方、公式、因式分解及换元法，构建“概念-解法-综合应用”三阶逻辑体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的判别式应用|5题|根的判别式判定根的情况，强调先化一般式|从判别式概念到根的情况判断，形成基础认知| |字母系数确定|7题|根据判别式建立方程/不等式，关注二次项系数|判别式逆向应用，连接代数推理与参数范围| |直接开方与配方法|6题|直接开平方法适用形式，配方法“化1-移项-配方-开方”四步流程|从特殊形式到一般方法，体现转化思想| |公式法|2题|“化一般式-算判别式-套公式”三步法，注意a、b、c符号|配方法的公式化表达，强化规范运算| |因式分解法|3题|“移项-因式分解-令因式为0”，含十字相乘法|利用整式乘法逆运算，实现降次求解| |换元法及综合|5题|整体思想设元转化，结合判别式与解法综合应用|从单一解法到复杂问题，培养模型意识|

重难点专题 解一元二次方程 重难点一 判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的判别式为.当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.根据根的判别式的值,不解方程可以判定方程根的情况.特别注意：利用根的判别式前必须将一元二次方程化为一般形式. 1.下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意．答案B 2.一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】根据判别式的值判断一元二次方程根的情况. 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴这个方程根的判别式， ∴这个方程有两个不相等的实数根．答案C 3.一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根．答案A 4.在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 【分析】先把原方程整理为一元二次方程一般形式，确定的值后代入计算即可． 【详解】解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ．答案64 5.不解方程判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 【分析】先计算出根的判别式的值，再根据其大于、等于或小于来判断一元二次方程根的情况． 【详解】（1）解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． （2）解：， ，，， ， 方程有两个相等的实数根． （3）解：， ， ，，， ， 方程没有实数根． 重难点二 根据一元二次方程根情况确定字母系数 对于含字母系数的一元二次方程,根据”当时,方程有两个不相等的实数根,当时,方程有两个相等的实数根,当时,方程没有实数根”,建立字母系数的方程或不等式解决问题.特别注意：解题时要关注二次项系数. 1.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意，答案A 2.（2026·山东济南·中考）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，即可求解． 【详解】解：∵ 方程有实数根， ∴ ， 即，解得． 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意．答案C 3.关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 【分析】根据一元二次方程无实数根的条件，可得根的判别式小于0，据此列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程无实数根， ∴ 根的判别式， ∴ ， 解得．答案 4.关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，结合方程有实数根得到根的判别式大于等于，求出的取值范围，即可确定整数的最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 整数的最小值为．答案 5.若关于的一元二次方程有实数根，求实数的取值范围. 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解k的取值范围． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∵ 方程有实数根， ∴，即， 解得； 综上，且． 6.已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，判断的形状. 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得一个关于的等式，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， ∴， ∴， 又∵与不一定相等， ∴是直角三角形，不一定是等腰直角三角形． 7.关于的方程有实数根，求的取值范围． 【分析】分，两种情况讨论，最后合并取值范围． 【详解】解：已知有实数根， 当，方程为，，有实数根； 当，方程有实数根，则，解得， 综上，． 重难点三 直接开方法、配方法 直接开平方法适用形式： ，.配方法是将一元二次方程转化为的形式,再通过直接开平方的方法,求出方程的根; 其一般步骤为:① 把二次项系数化为1；② 移项：常数项移到方程右边；③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 写成完全平方；⑤ 用直接开平方法求解，n<0无实根.用配方法可以求任何一元二次方程的根.特别注意：配方后得到时,n<0无实根;开平方记得不要只取正根. 1.如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据非负数的性质，建立不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程可以用直接开平方法求解，， ∴， 解得．答案D 2.用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 【分析】按配方法解一元二次方程进行配方 【详解】解：．答案A 3.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学.答案B 4.用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再对左侧配方，对比形式即可得到的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∵一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴．答案14 5.用配方法解方程： (1)； (2)． 【分析】利用配方法进行计算即可； 【详解】（1）解：原方程变形为， 即， ．     ． ，； （2）解：原方程变形为， 两边同除以2,得 配方,得 ，     ，． 6.阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤来求. 【详解】（1）解：佳佳解方程的方法是配方法； （2）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加9． （3）解：． 移项，得， 配方，得， 即， ， 或， ． 重难点四 公式法 一元二次方程根的判别式为;当时,方程有两个实数根,当时,方程没有实数根.求根公式法解方程的方法为:先化一般式，找准a b c；算出判别式，正负定根质；Δ非负套公式，Δ负无实值.公式法是最常用的解一元二次方程的方法.特别注意： a、b、c要带前面的正负号，负号很容易漏；先算判别式，不用再套公式，直接写无实数根. 1.用公式法解下列方程． (1)； (2)． 【分析】按公式法解一元二次方程方法求解. 【详解】（1）解：， ， ∴, ∴， ∴， 解得：； （2）解： ， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2.用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式，分别找出二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （2）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程有两个不相等的实数根，再利用公式法求解即可； （3）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别找出方程的二次项系数，一次项系数和常数项，根据判别式的值判断出该方程无实数根． 【详解】（1）解：， 由方程可得：，，， ∵， ∴， 即，； （2）解： ， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴， 即，； （3）解：， 将原方程化为一般形式，得， 由方程一般形式可得：，，， ∵， ∴该方程无实数根． 重难点五 因式分解法 因式分解法原理:如果 AB=0，那么A=0或 B=0.方法是把方程整理成：左边因式分解，右边=0，再令每个因式等于0，求出根.步骤:①移项：把所有项移到左边，使方程右边等于0；②因式分解左边；③令每一个因式分别等于0；④解一元一次方程，得到方程两个根.特别注意：不能两边随便约去含有未知数的式子，会丢根. 1.用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】按因式分解法解一元二次方程步骤解方程. 【详解】（1）解： ∴或， 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 则或， 解得，； （4）解： 整理得， 或， 解得，； 2.用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】因式分解法解一元二次方程. 【详解】（1）解： 或 解得； （2）解： 或 解得； （3）解： 或 解得； （4）解： 或 解得． 3.用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】根据方程特征,选择合适的方法解一元二次方程. 【详解】（1）解：直接开平方法： ， ∴，． （2）解：公式法： ， ∴， ∴，． （3）解：因式分解法： ， ∴，． （4）解：移项，平方差公式： ， ， ， 或， ∴，． 重难点六 换元法（整体思想）及综合应用 换元法（整体思想）核心思想：把方程中重复出现的代数式看成一个整体，设为新未知数y，把复杂方程转化为普通一元二次方程，求出y，再回代求原来的x.步骤1. 观察，找到反复出现的相同整体；2. 换元：令这个整体=y；3. 得到关于y的一元二次方程，解出y；4. 回代，解关于x的方程；5. 写出原方程的根. 依据一元二次方程根的判别式、解法解决与其相关的综合问题. 1.已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 【分析】当时，原方程是一元一次方程，方程有解，符合题意；当时，根据一元二次方程有实数根以及二次根式有意义的条件列出关于k的不等式组求解即可． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得，符合题意； 当，即时， ∵关于x的方程有实数根， ∴， 解得， ∴且， 综上，． 2.在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是，根据这个规则，求方程的解． 【分析】由运算规则可得，结合得出，最后解一元二次方程即可． 【详解】解：∵在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3.阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 【分析】（1）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答； （2）设，将原方程化为一元二次方程，解得的值，再代回即可解答． 【详解】（1）解：设， 原方程可化为， ， ，， 当时，， 经检验，是原方程的根； 当时，， 经检验，是原方程的根； 故原方程的解为． （2）解：设， 原方程可化为 ，， ， ， 舍去， 当时，，， 故原方程解为． 4.阅读材料： 各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似地，解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． (1)问题：方程的解是，______，______； (2)拓展：解方程组． 【分析】（1）根据题意得到和，解方程即可； （2）把方程组变形为，解得，求出，即可求出方程组的解． 【详解】（1）解：一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为， 解方程和，其中， 可得方程的解为，，． （2）解： 由②得，③， 把③代入①得，， 整理得，， 解得， 把分别代入得到，， ∴，. 5.有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 【分析】（1）过程③应该是，出现错误； （2）根据配方法的步骤进行作答即可； （3）根据配方法的步骤进行作答即可. 【详解】(1)解:③ (2)解：移项，得， 配方，得，即， 直接开平方，得， 所以，； (3)解：， ， ， ， ， ∴，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 解一元二次方程 重难点一 判断一元二次方程根的情况 一元二次方程根的判别式为.当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.根据根的判别式的值,不解方程可以判定方程根的情况.特别注意：利用根的判别式前必须将一元二次方程化为一般形式. 1.下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2.一元二次方程根的情况为（       ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定答案C 3.一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4.在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 5.不解方程判断下列方程的根的情况： (1)； (2)； (3)． 重难点二 根据一元二次方程根情况确定字母系数 对于含字母系数的一元二次方程,根据”当时,方程有两个不相等的实数根,当时,方程有两个相等的实数根,当时,方程没有实数根”,建立字母系数的方程或不等式解决问题.特别注意：解题时要关注二次项系数. 1.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 2.（2026·山东济南·中考）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3.关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围为____________． 4.关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 5.若关于的一元二次方程有实数根，求实数的取值范围. 6.已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，判断的形状. 7.关于的方程有实数根，求的取值范围． 重难点三 直接开方法、配方法 直接开平方法适用形式： ，.配方法是将一元二次方程转化为的形式,再通过直接开平方的方法,求出方程的根; 其一般步骤为:① 把二次项系数化为1；② 移项：常数项移到方程右边；③ 配方：两边同时加上一次项系数一半的平方；④ 写成完全平方；⑤ 用直接开平方法求解，n<0无实根.用配方法可以求任何一元二次方程的根.特别注意：配方后得到时,n<0无实根;开平方记得不要只取正根. 1.如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2.用配方法将二次三项式变形，结果是（     ） A． B． C． D． 3.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4.用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 5.用配方法解方程： (1)； (2)． 6.阅读材料，并解答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解：． ，……① ，……② ，……③ ……④ 或． ． 问题： (1)佳佳解方程的方法是______； A．直接开平方法        B．配方法 (2)上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是____________； (3)请写出正确的解答过程． 重难点四 公式法 一元二次方程根的判别式为;当时,方程有两个实数根,当时,方程没有实数根.求根公式法解方程的方法为:先化一般式，找准a b c；算出判别式，正负定根质；Δ非负套公式，Δ负无实值.公式法是最常用的解一元二次方程的方法.特别注意： a、b、c要带前面的正负号，负号很容易漏；先算判别式，不用再套公式，直接写无实数根. 1.用公式法解下列方程． (1)； (2)． 2.用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 重难点五 因式分解法 因式分解法原理:如果 AB=0，那么A=0或 B=0.方法是把方程整理成：左边因式分解，右边=0，再令每个因式等于0，求出根.步骤:①移项：把所有项移到左边，使方程右边等于0；②因式分解左边；③令每一个因式分别等于0；④解一元一次方程，得到方程两个根.特别注意：不能两边随便约去含有未知数的式子，会丢根. 1.用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2.用整式乘法的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫作十字相乘法，即． 例如：分解因式时，，即： 这样我们就可以把分解为．试用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 重难点六 换元法（整体思想）及综合应用 换元法（整体思想）核心思想：把方程中重复出现的代数式看成一个整体，设为新未知数y，把复杂方程转化为普通一元二次方程，求出y，再回代求原来的x.步骤1. 观察，找到反复出现的相同整体；2. 换元：令这个整体=y；3. 得到关于y的一元二次方程，解出y；4. 回代，解关于x的方程；5. 写出原方程的根. 依据一元二次方程根的判别式、解法解决与其相关的综合问题. 1.已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（     ） A． B． 且 C． 且 D． 2.在实数范围内定义一种运算“※”，其规则是，根据这个规则，求方程的解． 3.阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设 那么原方程可化为， 解得， 当时，，，； 当时，，，， 故原方程的解为． 上述解题过程中，将原方程中某个多项式视为整体，并用另一个未知数替换这个整体，从而把高次方程化为低次方程，实现降次的目的，这种解方程的方法称为“换元法”． 解答问题：请用换元法解下列方程： (1)； (2)． 4.阅读材料： 各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似地，解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，． (1)问题：方程的解是，______，______； (2)拓展：解方程组． 5.有m（m是正整数）个方程：；；…；．小明用配方法解方程，过程为： 移项，得……①， 配方，得……②， 即……③， 直接开平方，得……④， 所以……⑤， ，……⑥． (1)小明的解法是从过程_______________开始出现错误； (2)请你帮助小明写出正确的解法； (3)用配方法解第m个方程（用含m的式子表示方程的根）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $