5.2.1二次函数的图象(1) 教案 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

分课时教学设计 第2课时《5.2.1二次函数的图象(1) 》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 在上一节课，学生对二次函数的概念有了一定认识.基于此，本节课的主要内容是运用描点法画出最简单的二次函数y=x²与y=-x²的图象，并引出抛物线的概念，在此基础上进一步研究函数图像，认识、归纳、理解、掌握y=x²与y=-x²的性质.通过这节课的学习，充分运用数形结合思想，学生进一步积累研究函数性质的经验，提高类比学习能力，发展几何直观和求同存异思维，为下一课时探索较复杂的二次函数的图象及性质乃至以后学习研究新的函数做好铺垫. 学习者分析 学生在八年级上册和九年级上册已经学习过一次函数、反比例函数，学会了用描点法画函数图象的方法，已具备了一定的作图能力，并积累了利用函数图象探索函数性质的经验.在本章第一节课中，学生学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验. 教学目标 1.会画二次函数y=x²与y=-x²的图象． 2.通过对二次函数y=x²与y=-x²图象的探究，理解并掌握y=x²与y=-x²的性质，进一步学习研究函数的基本思想方法． 教学重点 能够利用描点法作出二次函数y=x²与y=-x²的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=x²与y=-x²的性质，分析二者的异同点. 教学难点 理解并掌握运用函数图像研究函数性质的基本思想方法. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？ ① 一次函数 y = kx + b (k≠0) 2. 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线. 通过研究一次函数性质，利用类比的方法来研究二次函数的性质。先研究什么?二次函数的图象是什么呢? 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础. 环节二：新知探究 二次函数 y=x2 和 y= -x2 的图象和性质 合作探究 你会用描点法画二次函数 y = x2 的图象吗? 师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接. 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … 2. 描点：根据表中 x， y 的数值在坐标平面中描点(x，y) 3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象． 观察思考 问题1 你能描述图象的形状吗？ 二次函数 y = x2 的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. 问题2 图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 有，(0，0). 问题3 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大. 问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？ x = 0 时，ymin= 0. 问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案. 合作探究 做一做：画出函数 y = －x2 的图象，并仿照 y = x2 的性质说出 y = －x2 有哪些性质？ 师生活动：学生亲自动手操作，画出函数图象，然后小组讨论、交流得出答案. 1.图象是一条开口向下的抛物线. 2. 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x = 0 时，ymax = 0. 3.抛物线关于 y 轴对称. 4. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点. 要点归纳 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。 学生自主解答，教师适时的进行提示 小组交流，引导学生从 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，类比研究 y = x2 图形性质的方法研究y = －x2的图形性质，让学生初步体会二次函数系数与函数性质的关系，同时体会这两个图象是关于中心对称. 环节三：典例精析 例1：已知二次函数y=x2.求： （1）当x=5时，y的值；（2）当y=4时，x的值； （3）当x为何值时，y随x的增大而增大？ 解：（1）把x=5代入，得y=52=25. （2）把y=4代入，得x2=4， 解得x=±2. （3）当x＞0时，y随x的增大而增大. 例2：若点A(-3，y1)，B(-2，y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________。 y2＞y1 学生活动3： 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，巩固所学知识，加深对二次函数增减性的理解.加深对二次函数的性质的理解，培养数形结合思想. 板书设计 2.2.1 二次函数的图象与性质（1） 1．二次函数y=x2的图象与性质 2．二次函数y=-x2的图象与性质 3．二次函数y=x2y=-x2的图象区别 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.抛物线y=x2与抛物线y=−x2 相同的性质是( ) A.开口向上 B.有最高点 C.顶点是原点 D.当x<0时，y随x 的增大而增大 选做题： 2.已知y=(2-a) xa2−7是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________。 【综合拓展类作业】 3.在二次函数y=x2的图象上任取一点P(x0，x02)，请写出点P关于y轴对称的点P′的坐标，并说明点P′在二次函数y=x2的图象上。 课堂总结 课堂小结，自我完善 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知二次函数y=x2的图象上有三个点A(−2,y1) ， B(1,y2)，C(3,y3) ，则( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y1<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3 2.如图，由y=−x2的图象可以看出，当−1≤x≤2 时，y 的取值范围是( ) A.−4≤y≤−1 B.−4≤y<0 C.−4≤y≤0 D.−4<y<−1 选做题： 3.若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 　　　． 【综合拓展类作业】 4.已知点A(1，a)在抛物线y＝x2上。 (1)求点A的坐标； (2)在x轴上是否存在点P，使得△OAP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 答案： 【课堂练习】 1. C 2. 3 解：根据题意，得点P′的坐标是(-x0，x02)。 因为当x=-x0时，y=(-x0)²=x02， 故点P′(-x0，x02)在二次函数y=x²的图象上。 【作业设计】 1. D 2.C 3.(-2，4) 解：(1)将点A(1，a)代入y＝x2，得a＝1， ∴点A的坐标为(1，1)。 (2)存在。分以下3种情况讨论： ①当OP＝PA时，P(1，0)； ②当OA＝OP时，P(－，0)或P( ，0)； ③当OA＝AP时，P(2，0)。 综上所述，符合条件的点P的坐标为 (1，0)，(－  ，0)，( ，0)或(2，0)。 教学反思 本节课通过教学情景创设和优化课堂教学设计，经历探索二次函数y=x2图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣。 学科网（北京）股份有限公司 $