专题08 认识二次函数、二次函数的图象 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题08 认识二次函数、二次函数的图象 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.二次函数基础概念 二次函数定义、标准一般解析式；二次项、一次项、常数项与对应系数识别； 二次函数核心判定依据与参数取值要求。 2.基础抛物线图象(y=ax2) 描点法绘制抛物线的标准步骤；抛物线基本特征：曲线形态、顶点位置、轴对称性；系数a对抛物线开口方向、开口宽窄的影响；基础二次函数的增减变化规律与最值特征 ✺学习目标 1.基础知识 ◆理解二次函数的本质定义，熟记一般形式，能精准区分一次函数、反比例函数与二次函数。 ◆清晰识别二次函数各项及对应系数，熟练掌握二次函数判定条件，能解决简单参数取值问题。 ◆熟练掌握描点法画y=ax2图象的完整流程，熟知抛物线的几何特征。 ◆理解系数a的几何意义，可快速判断抛物线开口方向、宽窄形态。 ◆熟练掌握y=ax2的对称轴、顶点、增减性、最值四大基础性质。 2. 过程与方法 ◆经历从实际问题抽象出二次函数模型的过程，体会数学建模思想。 ◆通过列表、描点、画图、对比分析图象的探究过程，锻炼数形结合能力与几何直观想象力。 3.核心素养：感知二次函数在生活中的应用价值，掌握初中函数通用学习方法，为后续二次函数综合题型筑牢基础。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=ax2+k的图象和性质 题型5.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型6.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型7.画y=ax2+bx+c的图象 题型8.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型9.y=ax2+bx+c的最值 题型10.二次函数图象与各项系数符号 题型11.根据二次函数的图象判断式子符号 题型12.一次函数、二次函数图象综合判断 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型14.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型15.根据二次函数的对称性求函数值 题型16.利用二次函数对称性求最短路径 题型17.二次函数图象的平移 题型18.待定系数法求二次函数解析式 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，X是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2..特殊形式：当b=0、c=0时，二次函数最简形式：y=ax2； 3.顶点式形式：y=a(x-h)2+k（可直接读出顶点坐标）。 4.自变量取值范围：一般情况下，二次函数自变量x的取值范围是全体实数。 知识点二、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点三、y=a+k的图象性质 知识点四、y=a的图象性质 知识点五、二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 通用特征：图象仍是抛物线，形状、开口大小与y=a完全相同，仅位置发生平移变化。 知识点六、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，-＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” 知识点七、用待定系数法求二次函数的解析式 ▲用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法。 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数，(a≠0)）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0)），其中((h，k)为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式:y=a（x-）(x-)（a，b，c是常数，(a≠0)，其中是图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2. 用待定系数法求二次函数的解析式： ▲在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解. 知识点八、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1.公式法：y=ax2+bx+c=a(x+)2+,顶点坐标是（,）,对称轴是直线x=﹣. 2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a+k的形式，得到顶点坐标为（h,k）,对称轴是直线x=h. 3.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点， 知识点九、二次函数图象与a,b,c的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与a,b,c及－4ac的符号之间的关系如下表： 字母 关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a,b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a,b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 与y轴的正半轴相交 c<0 与y轴的负半轴相交 b2−4ac b2−4ac=0 与x轴有唯一交点 (顶点) b2−4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2−4ac<0 与x轴无交点 ★注意：c的正负看抛物线与y轴的交点的位置。 知识点十、二次函数图象平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 1.左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2. 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 ★易错提醒：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 2．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数的解析式，根据长方形面积公式，将宽表示为长的一半，代入公式求解． 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 3．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 2．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的展开化简及项的系数识别，解题的关键是将二次函数的乘积形式展开为一般式，再确定一次项的系数． 将按多项式乘法法则展开，合并同类项得到二次函数的一般式，进而找出一次项对应的系数． 【详解】解：， 其一次项为，系数是． 故答案为：． 3．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙说法正确，理由： 由题意得：， ∴关于的函数（为常数）一定是二次函数， 所以乙的说法正确． 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】略 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 2．若是二次函数，则________． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出方程与不等式求解即可得到的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义可得， 解方程得，即． 由不等式得， ． 3．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 题型4.y=ax2+k的图象和性质 1．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 2．抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【分析】抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，故在y轴右侧，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线对称轴为y轴，且开口向下， ∴在y轴右侧的部分是下降． 3．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据已知条件判断点A和点B到对称轴的距离大小，根据二次函数的性质比较和的大小． 【详解】解：对于二次函数， ， 抛物线开口向上，对称轴为轴（即直线），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，点到轴的距离为横坐标的绝对值，因此比较与的大小， ，， ， 当时，，可得，即； 当时，，可得，即， 综上可得，即点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，又抛物线开口向上，故． 题型5.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 2．已知函数，当时，y的取值范围____________． 【答案】 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 3．已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 【答案】(1) 解：填表如下， … 0 1 … … 0 2 0 … (2)解：顶点坐标，对称轴是直线，开口向下，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． 【详解】（1）略； （2） 略． 题型6.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大． 2．把二次函数变形为的形式为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，通过配方法完成平方变形即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．用配方法把二次函数化成的形式． 【答案】 【详解】解： ． 题型7.画y=ax2+bx+c的图象 1．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像和性质即可判断． 【详解】解：由A、B的函数的解析式可知抛物线开口向上，故不合题意； C．∵y=-x2-2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==-1，故C不合题意； D．∵y=-x2+2x+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x==1，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图像，熟知二次函数的性质是解题的关键． 2．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由a=2，b>0，c<0，推出-<0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴，由此即可判断． 【详解】解：∵a=2，b>0，c<0， ∴-<0， ∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，交y轴于负半轴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 3．画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为， 无最小值. (2)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最小值为, 无最大值. (3)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最小值为, 无最大值. (4)解：列表如下： 描点画图： 由图象可得：函数最大值为, 无最小值. 【分析】先列表，再描点画图. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型8.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 2．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为，抛物线开口向下，且点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，且， ∴． 3．写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)． 【答案】(1) 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵，， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 题型9.y=ax2+bx+c的最值 1．已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的最大值为0； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查二次函数性质及不等式分析，注意二次函数定义中的条件；①当时，根据不等式的性质以及二次函数的定义即可得出结论；②当时，二次函数的对称轴为：，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别利用二次函数的最值问题讨论证明即可得；③当，，，时，分别求出相应的y的范围，然后当时，可得即可判断③． 【详解】解：①当时， ， ∴， ∵， ∴， ，即， 又∵二次函数隐含， ∴且，故①错误； ②当时， 二次函数的对称轴为：， 当时，即时， 函数在处取得最小值，即 ， ， 函数在处取得最大值，即 ， ， 二者矛盾， ∴这种情况不存在； 当时，即时， ， 函数在处取得最小值，即， ， ∴， 当时，即时，， 时，；时，，不符合题意，舍去； 当时，即时，， 时，；时，， 不符合题意，舍去； ∴， 当时，即时， 函数在处取得最小值，即， ， 函数在处取得最大值，即， ， 二者矛盾， ∴这种情况不存在； ∴综上可得：； ∴当时，c的最大值为0； 故②正确； 对于结论③： ∵ 当时，，且； 当时，，且； 当时，，且； 当时，， ∴ ，，， ∴ ， ∴ 当时，可以取到的最大值为； 故③正确． ∴正确结论为②③． 2．当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 题型10.二次函数图象与各项系数符号 1．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 2．二次函数的图象如图所示，则______ ，______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；抛物线由抛物线开口方向得到，由抛物线对称轴为直线得 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， 故答案为：， 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 题型11.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵当时，， ∴， ∴， ∴结论②错误； ∵当时，， ∴由对称轴知：当时，， ∴， ∴结论③正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴结论④正确． 综上，可得正确的结论有：①③④． 3．如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据二次函数的图象和性质确定各参数的取值范围即可； ②根据对称轴进行求解即可； ③根据对称轴得出点与关于对称轴对称，根据函数图象进行求解即可； ④根据顶点坐标进行求解即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴； ∵对称轴位于轴的左侧， ∴同号， ∴； ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②图象关于直线对称， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③∵图象关于直线对称， ∴点与关于对称轴对称， 当时，， 故③错误； ④当时，值最大， 当时，， ∴， ∴， 故④正确； 综上，正确选项为①②④， 故答案为：①②④． 题型12.一次函数、二次函数图象综合判断 1．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 2．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 【答案】四 【分析】先根据二次函数的开口方向确定a的取值范围，再利用一次函数的图象与性质判断直线经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限． 3．已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是_______ 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，求得函数（k是常数，）的图象过定点，函数（a是常数，）与x轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【详解】解：∵， ∴函数（k是常数，）的图象过定点， ∵， ∴函数（a是常数，）与x轴的交点为，， 当时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论k为何值，函数和的图象总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； ∴无论k为何值，函数和的图象总有公共点，则a的取值范围是或． 故答案为：或． 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可确定反比例函数a的范围，再利用二次函数的性质确定二次函数中字母a的范围，看a的范围是否统一． 【详解】解：A、反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B、二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D、反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 2．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 3．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、反比例函数和正比例函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据二次函数的图象可得，，的符号，再根据反比例函数的图象、正比例函数的图象特点即可得． 【详解】解：抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的正半轴， ，， 抛物线的对称轴位于轴的右侧， ， ， ， 由可知，反比例函数的图象位于第二、四象限， 由可知，正比例函数的图象经过原点，且经过第一、三象限， 故选：B． 题型14.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，得到该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点A、B是该二次函数图像上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：点、是二次函数图像上的两个点， 该二次函数图像的对称轴为直线，且开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选：B． 2．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先根据表格中与的函数值相等求出二次函数的对称轴，再结合判断开口方向，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可判断与的大小关系． 【详解】解：由表格可知，当和时，y值相等， 因此二次函数的对称轴直线为． 因为， 所以抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小． 点到对称轴直线的距离为，点到对称轴直线的距离为． 因为， 所以． 当时，，则，即． 当时，，则，即． 因此点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，可得． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，存在，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）利用二次函数性质存在点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离的情况即可解答． 【详解】（1）解：当，，，， 点和抛物线与y轴的交点关于直线对称， ， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：，， 则，， ， ，， ，， 在的左侧，且点N在对称轴的右侧， 、是抛物线上任意两点，存在， ， ， 题型15.根据二次函数的对称性求函数值 1．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 2．抛物线的对称轴为直线，若抛物线与轴的一个交点的坐标为，则另一个交点坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 直接根据二次函数的对称性求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的两个交点横坐标分别为和，且对称轴为直线，则根据对称性有． ∵一个交点坐标为，即：， ∴将代入得，解得：， ∴另一个交点坐标为． 故答案为． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时，写出m，t的之间的等量关系． (2)当时，均满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性等知识． （1）根据抛物线关于对称轴对待的性质，点M、N到对称轴的距离相等，即可求得m，t的之间的等量关系； （2）将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为．根据，分别考虑及时 m的范围，最后取两个范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：点，是抛物线上两点， 当时，点和点关于抛物线的对称轴直线对称， ， ． （2）解：将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为． ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， ， ， ， ， 当时，均满足， ， ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， ， ， ； 当时，均满足， ， 综上，． 题型16.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与点B，C重合），连接，，，且，，M为的中点，连接，．则下列结论错误的是（　　）    A．若，则 B．若，则四边形的周长为33.6 C．的面积最大为25 D．的面积恒为12 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质即可判断A，证明A、B、P、D四点共圆，得出，再证明，得出，从而即可判断B； 设,用表示出,由此即可判断C； 证明，求出,表示出，由等面积法得出，结合勾股定理得出，证明，求出，再由的面积计算即可得解． 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质, 添加适当的辅助线是解题关键． 【详解】解：在四边形中，，，，P为边上一点（不与点B，C重合）， 由题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，即，故选项A正确； 当时，，即， ∵， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长为，故选项B正确； 设，则，， 即， ∴， ∴当时，的面积最大为，故选项C错误； ∵，， ∴， ∴， ∴, 由题意可得： ， ∵作于E，于F，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得：， ∵∠MPF＝∠APB， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：，故选项D正确； 故选：C． 2．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 3．如图，在边长为6的等边中，D是边上一点，，E是边上一动点，交边于F． （1）找出图中一对相似三角形，并说明理由； （2）在点E从B点运动到C点的过程中： ①求长的最小值； ②线段的中点所经过的路径长为________；线段的中点到的最大距离为________． 【答案】（1），理由见解析；（2）①；②， 【分析】（1）结论：△ADE～△BEF．两个两角对应相等两三角形相似即可证明． （2）①设的中点为G，作于H，于K，由于D是定点，所以是定值，故是定值，可知它们的增减性，即可求解；②设的中点为M，作交于N，于P；得出CN、NP、CF之间的关系即可求解． 【详解】解：（1） ∵为等边三角形， ∴    ∵， ∴， ∴， ∴ （2）①∵， ∴ 设，则， ∴长的最大值为，长的最小值为 ②如图， 设的中点为G，作于H，于K 则 由于D是定点，所以是定值，故是定值 ∴点G的运动路径是一条平行于的线段 当点E与B点重合时，点F与C点重合 随后逐渐增大，直至最大，之后逐渐减小 当点E与C点重合时，点F与C点重合 ∴线段的中点所经过的路径长即为长的最大值，为 如图，设的中点为M，作交于N，于P 则， ∴线段的中点到的最大距离即为N点到的最大距离 最大距离为： 故答案为：， 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 题型17.二次函数图象的平移 1．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数的平移的规律是左加右减，上加下减，由此可解． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，自变量变为， 得到的抛物线解析式为． 2．将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是_________． 【答案】向右 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象平移规则“左加右减”求解即可． 【详解】解：根据图象平移规则“左加右减”可知： 平移后的函数为，与原始函数相比，x被替换为， ∴根据平移规则“左加右减”，表示向右平移3个单位长度， 故答案为：向右． 3．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D是BC上方抛物线上的一点，过D作AC的平行线，交BC于点E． (1)求△ABC的面积； (2)连接CD，当CD∥x轴时，求△CDE的面积； (3)求DE的最大值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先令x＝0求得点C的坐标，再令y＝0求得点A和点B的坐标，然后求得△ABC的面积； （2）先由CD∥x轴求得点D的坐标得到线段CD的长度，然后结合DE∥AC得证△CDE∽△BAC，再利用相似三角形的性质得到△CDE的面积； （3）过点D作DF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥DF于点H，然后由DE∥AC可知∠DEF的度数不变，由DF∥y轴可知∠EFD的度数不变，从而知道在点D的移动过程中△DEF的形状保持不变，即有当DF最大时，DE的长度也最大，然后设点D的坐标，进而得到点F的坐标，再表示出DF的长度，得到DF取最大值时的点D的坐标，即可得到直线DE的解析式，最后联立直线DE的解析式和直线BC的解析式求得点E的坐标，进而得到DE长的最大值． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3），OC＝3， 当y＝0时，﹣x2+x+3＝0， 解得：x＝﹣3或x＝6， ∴A（﹣3，0），B（6，0）， ∴AB＝9， ∴S△ABC＝． （2）解：∵C（0，3），CD∥x轴， ∴D（3，3），∠DCE＝∠ABC， ∴CD＝3， ∵DE∥AC， ∴∠DEC＝∠ACB， ∴△DEC∽△ACB， ∴， ∵S△ABC＝， ∴S△DEC＝． （3）解：如图，过点D作DF∥y轴交BC于点F，过点E作EH⊥DF于点H， ∵DE∥AC，DF∥y轴， ∴∠DEF的度数不变，∠EFD的度数不变， ∴在点D的移动过程中△DEF的形状保持不变， ∴当DF最大时，DE的长度也最大， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 则，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， 设点D的坐标（x，﹣x2+x+3），则点F的坐标（x，﹣x+3）， ∴DF＝﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+， ∴当x＝3时，DF有最大值， 此时，点D的坐标为（3，3）， ∴直线DE是由直线AC向右平移3个单位所得， 设直线AC的解析式为y＝mx+n， 则，解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， ∴直线DE的解析式为y＝x+3﹣3＝x， 联立直线DE的解析式和直线BC的解析式，得 ，解得：， ∴点E的坐标为（2，2）， ∴DE最大值＝． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质，解题的关键是会通过平行线的性质得到角度相等进而证明三角形相似． 题型18.待定系数法求二次函数解析式 1．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 2．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 3．已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． ✺巩固测试 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线为， 顶点坐标是． 2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 3．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像性质及共存问题，根据二次函数开口及顶点判断a，c的正负根据反比例函数图像判断k的正负，结合一次函数图像性质即可得到答案； 【详解】解：由图像可得， ，，， ∴一次函数过一、二、四象限， 故选：C． 4．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 5．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 二、填空题 6．把二次函数变形为的形式为_____ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，通过配方法完成平方变形即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念，正确理解二次函数的概念即可解答． 根据二次函数的解析式得出，，的值，再代入即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为： ． 8．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 9．二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 【答案】 1 【分析】利用二次函数的对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，先求对称轴，再根据对称轴求对应的函数值． 【详解】解：从表格中可知，当和时，对应的值都为， ∵二次函数图象上，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴二次函数图象的对称轴为直线， ∵关于对称轴的对称点横坐标为， ∴对应的函数值与对应的函数值相等， ∵由表格可知时，， ∴对应的函数值． 10．将二次函数的图象向下平移个单位，再向右平移个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则的取值范围_____． 【答案】 【详解】由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：， 联立， 即， 整理得， 两函数图象有公共点， ，解得． 三、解答题 11．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在坐标系中画出这条抛物线（不用列表）； (3)过点作x轴的垂线，分别交抛物线于点M，交直线于点N，记点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，若，结合图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 【分析】该题主要考查了二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数图象结合等知识点，解题的关键是数形结合． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中解析式画出图象即可； （3）画出图象，根据图象即可求解； 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， 解得：， ∴此抛物线的解析式为． （2）解：如图： （3）解：如图，∵，， ∴当时， 根据图象可得：或． 13．已知抛物线与x轴交于，B两点． (1)求抛物线的对称轴和点B的坐标． (2)点是抛物线上的一个动点，当时，n的最大值为6，求a的值． (3)点，在抛物线上，若，请直接比较和的大小． 【答案】(1)对称轴为直线，点B的坐标为 (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出点B的坐标； （2）根据抛物线开口向上，当时，y的最大值为6，抛物线对称轴为，即可求出a，的值； （3）根据已知条件分点点M，N到对称轴的距离相等、点M到对称轴的距离较大和点M到对称轴的距离较小三种情况分类讨论，综合比较即可求解． 【详解】（1）由题意，可得抛物线的对称轴为直线． 由抛物线的对称性，可知A，B两点关于直线对称． 又点A的坐标为， 点B的坐标为． （2）把代入，得． ． 抛物线为． ， 抛物线开口向上． 抛物线的对称轴为直线， 当抛物线上的点到对称轴直线的距离越远时，相应点的纵坐标就越大． ， 当时，点P与对称轴的距离最远，此时点P的纵坐标最大． ， 解得． （3）当时，；当时，；当时，． ，抛物线的对称轴为直线， 当抛物线上的点到对称轴的距离越近时，相应点的纵坐标就越小，如解图所示．由题意，可知分三种情况讨论： ①当点M，N到对称轴的距离相等时，，即当时，； ②当时，点M到对称轴的距离较大， ； ③当时，点M到对称轴的距离较小， ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的对称轴公式，增减性，顶点坐标等知识是解题关键． 14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M坐标（1，2） (3)存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，） 【分析】（1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点A与点B关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称轴交点M坐标即可； （3）分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC=CD；②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可； ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3； （2）解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称， 所以设BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，如图， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4； ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵A（-1，0），点A与点B关于抛物线的对称轴对称， ∴B（3，0）， 设直线BC解析式为y=kx+m， 则，解得， ∴直线BC解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=2， ∴M（1，2）． （3）解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴为直线x=1， ∴D（1，0）． 设点P的坐标为（1，t）， ∵C（0，3）， ∴CD2=12+32=10． 分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若PC=CD，则12+（t-3）2=10，解得t=0（舍弃）或6， 所以点P的坐标为（1，6）； ②若PD=CD，则t2=10，解得t=±， 所以点P的坐标为（1，）或（1，-）； ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD， 则1+（t-3）2=t2，解得：t=， 所以点P的坐标为（1，）； 综上所述，点P的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，））或（1，-）或（1，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 认识二次函数、二次函数的图象 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.二次函数基础概念 二次函数定义、标准一般解析式；二次项、一次项、常数项与对应系数识别； 二次函数核心判定依据与参数取值要求。 2.基础抛物线图象(y=ax2) 描点法绘制抛物线的标准步骤；抛物线基本特征：曲线形态、顶点位置、轴对称性；系数a对抛物线开口方向、开口宽窄的影响；基础二次函数的增减变化规律与最值特征。 ✺学习目标 1.基础知识 ◆理解二次函数的本质定义，熟记一般形式，能精准区分一次函数、反比例函数与二次函数。 ◆清晰识别二次函数各项及对应系数，熟练掌握二次函数判定条件，能解决简单参数取值问题。 ◆熟练掌握描点法画y=ax2图象的完整流程，熟知抛物线的几何特征。 ◆理解系数a的几何意义，可快速判断抛物线开口方向、宽窄形态。 ◆熟练掌握y=ax2的对称轴、顶点、增减性、最值四大基础性质。 2. 过程与方法 ◆经历从实际问题抽象出二次函数模型的过程，体会数学建模思想。 ◆通过列表、描点、画图、对比分析图象的探究过程，锻炼数形结合能力与几何直观想象力。 3.核心素养：感知二次函数在生活中的应用价值，掌握初中函数通用学习方法，为后续二次函数综合题型筑牢基础。 ✺题型归纳 题型1.列二次函数关系式 题型2.二次函数的识别 题型3.根据二次函数的定义求参数 题型4.y=ax2+k的图象和性质 题型5.y=a(x-h)2+k的图象和性质 题型6.把y=ax2+bx+c化成顶点式 题型7.画y=ax2+bx+c的图象 题型8.y=ax2+bx+c的图象与性质 题型9.y=ax2+bx+c的最值 题型10.二次函数图象与各项系数符号 题型11.根据二次函数的图象判断式子符号 题型12.一次函数、二次函数图象综合判断 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 题型14.已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型15.根据二次函数的对称性求函数值 题型16.利用二次函数对称性求最短路径 题型17.二次函数图象的平移 题型18.待定系数法求二次函数解析式 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次函数的概念 1.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，X是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2..特殊形式：当b=0、c=0时，二次函数最简形式：y=ax2； 3.顶点式形式：y=a(x-h)2+k（可直接读出顶点坐标）。 4.自变量取值范围：一般情况下，二次函数自变量x的取值范围是全体实数。 知识点二、二次函数 y=ax2的图象与性质 图象特征：图象是一条抛物线，是轴对称图形，对称轴为y轴。 1.参数a的核心作用 （1）决定开口方向：a>0，抛物线开口向上；a<0，抛物线开口向下。 （2）决定开口大小：|a|越大，抛物线开口越小、图象越陡；|a|越小，抛物线开口越大、图象越平缓。 2.基础性质汇总 （1）对称轴：直线 x=0（y轴）； （2）顶点坐标：(0,0)（坐标原点，是抛物线的最高点或最低点）； （3）最值：a>0时，顶点为最低点，当x=0时，=0；a<0时，顶点为最高点，当x=0时，=0。 （4）增减性： ① a>0：当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ② a<0：当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小。 知识点三、y=a+k的图象性质 知识点四、y=a的图象性质 知识点五、二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象与性质 通用特征：图象仍是抛物线，形状、开口大小与y=a完全相同，仅位置发生平移变化。 知识点六、二次函数y=a+bx+c的图象与性质 因为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-,当对称轴在y轴左侧时，-＜0，即＞0，所以a与b 同号；反之，对称轴在y轴右侧时，a与b异号。故可记为“左边同号，右边异号（a与b）” 知识点七、用待定系数法求二次函数的解析式 ▲用待定系数法可求二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同设法。 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）（a，b，c是常数，(a≠0)）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0)），其中((h，k)为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式:y=a（x-）(x-)（a，b，c是常数，(a≠0)，其中是图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2. 用待定系数法求二次函数的解析式： ▲在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解. 知识点八、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1.公式法：y=ax2+bx+c=a(x+)2+,顶点坐标是（,）,对称轴是直线x=﹣. 2.配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a+k的形式，得到顶点坐标为（h,k）,对称轴是直线x=h. 3.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点， 知识点九、二次函数图象与a,b,c的关系 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象特征与a,b,c及－4ac的符号之间的关系如下表： 字母 关系 字母的符号 图象的特征 a a>0 开口向上 a<0 开口向下 b b=0 对称轴为y轴 ab>0（a,b同号） 对称轴在y轴左侧 ab<0（a,b异号） 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c>0 与y轴的正半轴相交 c<0 与y轴的负半轴相交 b2−4ac b2−4ac=0 与x轴有唯一交点 (顶点) b2−4ac>0 与x轴有两个不同的交点 b2−4ac<0 与x轴无交点 ★注意：c的正负看抛物线与y轴的交点的位置。 知识点十、二次函数图象平移 平移本质：y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k，形状不变、位置改变，a值始终不变。 平移口诀：左加右减，上加下减 1.左右平移：针对x： h>0，图象向右平移h个单位；h<0，图象向左平移|h|个单位（左加右减）。 2. 上下平移：针对常数项： k>0，图象向上平移k个单位；k<0，图象向下平移|k|个单位（上加下减）。 ★易错提醒：左右平移是对自变量x本身进行加减，切勿对整体加减。 ✺题型精讲 题型1.列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 3．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 题型2.二次函数的识别 1．下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数化简后，其一次项系数是_________． 3．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？ 题型3.根据二次函数的定义求参数 1．已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 2．若是二次函数，则________． 3．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 题型4.y=ax2+k的图象和性质 1．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 2．抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 3．若点、是函数上的两点，若且，则________．（填“”、“”或“”） 题型5.y=a(x-h)2+k的图象和性质 1．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．已知函数，当时，y的取值范围____________． 3．已知二次函数 … … … … (1)在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象．（标准图） (2)根据函数图象写出顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向和增减性； 题型6.把y=ax2+bx+c化成顶点式 1．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象与x轴有唯一交点 2．把二次函数变形为的形式为_____ 3．用配方法把二次函数化成的形式． 题型7.画y=ax2+bx+c的图象 1．如图所示抛物线可能是下面哪个二次函数的图像（     ） A．y=x2+2x+1 B．y=x2-2x+1 C．y=-x2-2x+1 D．y=-x2+2x+1 2．如果在二次函数的表达式y＝2x2＋bx＋c中，b>0，c<0，那么这个二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的最大值或最小值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.y=ax2+bx+c的图象与性质 1．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 2．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 3．写出下面抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)； (2)． 题型9.y=ax2+bx+c的最值 1．已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论： ①当时，； ②当时，c的最大值为0； ③当时，y可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．当时，二次函数的最大值为________． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 题型10.二次函数图象与各项系数符号 1．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A．B． C． D． 2．二次函数的图象如图所示，则______ ，______ 3．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 题型11.根据二次函数的图象判断式子符号 1．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有________． 3．如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有________．（请填写所有正确的序号） 题型12.一次函数、二次函数图象综合判断 1．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．若二次函数的图象开口向上，则直线不经过第______ 象限． 3．已知函数 是常数，， 是常数，，在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和图象总有公共点，则的取值范围是_______ 题型13.反比例函数、二次函数图象综合判断 1．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 3．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型14.已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数（a，b，c为常数，）中，x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n 2 n … 若，且点，在该二次函数的图象上，则_______．（填“>”“<”或“=”） 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，存在，求t的取值范围． 题型15.根据二次函数的对称性求函数值 1．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A．B． C． D． 2．抛物线的对称轴为直线，若抛物线与轴的一个交点的坐标为，则另一个交点坐标为___________． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时，写出m，t的之间的等量关系． (2)当时，均满足，求m的取值范围． 题型16.利用二次函数对称性求最短路径 1．如图，在四边形中，，，，P为边上一点（不与点B，C重合），连接，，，且，，M为的中点，连接，．则下列结论错误的是（　　）    A．若，则 B．若，则四边形的周长为33.6 C．的面积最大为25 D．的面积恒为12 2．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 3．如图，在边长为6的等边中，D是边上一点，，E是边上一动点，交边于F． （1）找出图中一对相似三角形，并说明理由； （2）在点E从B点运动到C点的过程中： ①求长的最小值； ②线段的中点所经过的路径长为________；线段的中点到的最大距离为________． 题型17.二次函数图象的平移 1．将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是（     ） A．B． C． D． 2．将抛物线平移3个单位长度后得到，则平移方向是_________． 3．如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D是BC上方抛物线上的一点，过D作AC的平行线，交BC于点E． (1)求△ABC的面积； (2)连接CD，当CD∥x轴时，求△CDE的面积； (3)求DE的最大值． 题型18.待定系数法求二次函数解析式 1．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 3．已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． ✺巩固测试 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 5．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 二、填空题 6．把二次函数变形为的形式为_____ 7．已知二次函数，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为，则为______． 8．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 9．二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 由表可知该二次函数的图象对称轴为直线______，对应的函数值______． 10．将二次函数的图象向下平移个单位，再向右平移个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则的取值范围_____． 三、解答题 11．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在坐标系中画出这条抛物线（不用列表）； (3)过点作x轴的垂线，分别交抛物线于点M，交直线于点N，记点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，若，结合图象，直接写出n的取值范围． 13．已知抛物线与x轴交于，B两点． (1)求抛物线的对称轴和点B的坐标． (2)点是抛物线上的一个动点，当时，n的最大值为6，求a的值． (3)点，在抛物线上，若，请直接比较和的大小． 14．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $