5.2.1 代入消元法 （教学课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

# 北师大版八年级上册数学5.2.1 代入消元法专项练习（1321字） ## 一、核心知识点梳理 代入消元法，简称代入法，是解二元一次方程组最基础的方法。它的基本思路是**消元**：把“二元”转化为“一元”，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。 代入消元法解题步骤： 1. **变形**：选方程组里系数比较简单的方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，写成$\(\(y=\)ax+b\)$或者$\(x=ay+b\)$的形式。优先选择未知数系数为$\boldsymbol{\pm1}$的方程，减少计算量。 2. **代入**：把变形后的式子代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。⚠注意：不能代回原来变形的方程，否则会得到恒等式，无法求解。 3. **求解一元一次方程**，算出其中一个未知数的值。 4. **回代**：把求出的值代入变形后的代数式，求出另一个未知数的值。 5. **写解**：用大括号联立两个未知数的值，写出方程组的解。 6. **检验**：把解代入原方程组两个方程，验证左右两边是否相等。 易错提醒：①变形时移项要变号；②代入消元时，代数式要添加括号，避免符号出错；③方程组的解是一组成对的值，必须用大括号书写。 ## 二、基础过关（选择题） 1. 用代入法解方程组$\begin{cases}\(y=\)2x-3&①\\3x+2\(y=\)8&②\end{cases}$，将①代入②，正确的是（） A.$3x+4x-3=8$ B.$3x+4x-6=8$ C.$3x+2x-3=8$ D.$3x+2x-6=8$ 2. 解方程组$\begin{cases}x+3\(y=\)10&①\\x-2\(y=\)5&②\end{cases}$，比较简便的变形是（） A.由①得$x=10-3y$ B.由①得$\(y=\)\dfrac{10-x}{3}$ C.由②得$\(\(x=5\)+2y\)$ D.由②得$\(y=\)\dfrac{x-5}{2}$ 3. 方程组$\begin{cases}x+\(y=\)6\\x-2\(y=\)3\end{cases}$的解是（） A.$\begin{cases}\(x=5\)\\\(y=\)1\end{cases}$ B.$\begin{cases}x=4\\\(y=\)2\end{cases}$ C.$\begin{cases}x=3\\\(y=\)3\end{cases}$ D.$\begin{cases}x=7\\\(y=\)-1\end{cases}$ 4. 已知$\begin{cases}\(x=2\)\\\(y=\)1\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax+b\(y=\)5\\bx+a\(y=\)1\end{cases}$的解，则$a-b$的值为（） A.$-1$ B.$2$ C.$3$ D.$4$ ## 三、能力提升（填空题） 5. 把方程$2x-\(y=\)5$改写成用含$x$的式子表示$y$：________；用含$y$的式子表示$x$：________。 6. 若方程组$\begin{cases}\(y=\)x+1\\\(y=\)-2x+b\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=1\\\(y=\)2\end{cases}$，则$\(b=\)$______。 7. 已知$x-2\(y=\)3$，则代数式$6-x+2y$的值为________。 8. 用代入法解方程组$\begin{cases}2x+\(y=\)7\\x-2\(y=\)1\end{cases}$，由第一个方程变形得$\(y=\)$________，代入第二个方程得一元一次方程：________。 ## 四、解答题（计算+应用题） 9. 用代入消元法解下列方程组： （1）$\begin{cases}\(y=\)3x\\x+\(y=\)8\end{cases}$ （2）$\begin{cases}2x+\(y=\)5\\x-\(y=\)1\end{cases}$ 10. 应用题：学校组织知识竞赛，共20道题。答对一题得5分，答错一题扣2分。小明最终得分72分。设答对$x$道，答错$y$道，先列出二元一次方程组，再用代入消元法求解。 ## 五、参考答案与解析 1. B。解析：把$\(y=\)2x-3$代入②，$3x+2(2x-3)=8$，去括号：$3x+4x-6=8$。 2. C。解析：方程②中$x$系数为1，变形$\(\(x=5\)+2y\)$，不含分数，计算最简单。 3. A。解析：由②得$\(x=3+2y\)$，代入①，$3+2y+\(y=\)6$，$3\(y=\)3$，$\(y=\)1$，回代得$\(x=5\)$。 4. C。解析：将$\begin{cases}\(x=2\)\\\(y=\)1\end{cases}$代入，$\begin{cases}2a+\(b=\)5\\2b+a=1\end{cases}$，解得$a=3,\(b=\)-1$，$a-\(b=\)4$。 5.$\(y=\)2x-5$；$x=\dfrac{y+5}{2}$ 6.$4$。解析：把$x=1,\(y=\)2$代入$\(y=\)-2x+b$，$2=-2+b$，$\(b=\)4$。 7.$3$。解析：$x-2\(y=\)3$，$-x+2\(y=\)-3$，原式$=6-3=3$。 8.$7-2x$；$x-2(7-2x)=1$ 9.（1）解：把$\(y=\)3x$代入$x+\(y=\)8$，$\(x+3x=8\)$，$\(4x=8\)$，$\(x=2\)$。把$\(x=2\)$代入$\(y=\)3x$，得$\(y=\)6$。∴方程组解$\begin{cases}\(x=2\)\\\(y=\)6\end{cases}$。 （2）解：由②得$\(x=y+1\)$，代入①：$2(y+1)+\(y=\)5$，$2y+2+\(y=\)5$，$3\(y=\)3$，$\(y=\)1$。回代$\(x=2\)$。∴$\begin{cases}\(x=2\)\\\(y=\)1\end{cases}$。 10.解：列方程组$\begin{cases}x+\(y=\)20\\5x-2\(y=\)72\end{cases}$。由第一个方程得$\(y=\)20-x$，代入第二个方程： $5x-2(20-x)=72$，$5x-40+2x=72$，$\(7x=112\)$，$\(x=16\)$。把$\(x=16\)$代入$\(y=\)20-x$，得$\(y=\)4$。 答：答对16道，答错4道。 ## 练习小结 代入消元法核心思想就是**消元转化**，是解二元一次方程组的基础，也是后续学习加减消元法、二元一次方程组应用题的前提。做题时优先选择系数为$\pm1$的方程变形，减少分数运算，细心处理括号与符号问题。很多同学容易在去括号、移项时符号出错，做完一定要代入原方程组检验，保证结果正确。通过本节课练习，要熟练掌握代入消元完整步骤，建立“二元化一元”的数学转化思想，提升方程计算能力。 （全文：1321字） 要不要我再出一份同节的**简易版课堂小测（不带解析）**，可以直接打印给学生做？ 北师大版（新教材）数学八年级上册 5.2.1代入消元法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/24 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二元一次方程 通过解决实际问题，结合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想. 会用代入法解二元一次方程组，提高解题能力；在解题过程中渗透代入消元法的化归思想. 初步体会化归思想在数学学习中的运用. 03 问题导入 小明和小颖课外参加植树活动，他们分别种了若干株绿植，小明比小颖多2棵，如果小颖种植的给小明1棵，那么小明种植的小颖种植的2倍，问小明小颖各种多少棵？ 解：设小明种植的绿植x棵，小颖种植的绿植y棵， x-y=2， x+1=2(y-1) 两个方程中x、y含义一样吗？ 能否用x表示y,或用y表示x 意义相同；x表示小明种的绿植数，y表示小颖种的绿植数。 x=2+y y=x-2 03 新知探究 探究一 用代入消元法解二元一次方程组 x-y=2， ① x+1=2(y-1) ② 解：由①得y=x-2 ③ ③代入②中得x+1=2（x-2-1） 即 x+1=2x-6 解得x=7 把x=7代入③中得y=5 ∴方程组 的解是 x-y=2， x=7 x+1=2(y-1) y=5 方法1 03 新知探究 探究一 用代入消元法解二元一次方程组 x-y=2， ① x+1=2(y-1) ② 解：由①得x=y+2 ③ ③代入②中得y+2+1=2（y-1） 即 y+3=2y-2 解得y=5 把y=5代入③中得x=7 ∴方程组 的解是 x-y=2， x=7 x+1=2(y-1) y=5 方法2 03 新知探究 小明种植的绿植7棵，小颖种植的绿植5棵 验证 1、小明比小颖多2棵， 7-5=2，正确 如果小颖种植的给小明1棵，那么小明种植的小颖种植的2倍, （7+1）=2（5-1）正确 03 典例精析 例1：解方程组 3x+2y=14 ① x=y+3 ② 解：将②代入① ，得3（y+3）+2y=14 代 3y+9+2y=14 求 y=1 将y=1代入②，得 x=4 所以原方程组的解是 写 x=4 y=1 知识点1 直接代入消元法 1.用代入消元法解方程组 时，消去y，得到关于x的方程是(　　) A.2x－(1＋x)＝5　　 B.2x－1＋x＝5 C.2x＋1＋x＝5　　 D.2x＋5＝1＋x 返回 A 基础提优题 中考考法 2.二元一次方程组的解为　 　　　. 返回 基础提优题 中考考法 3. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，若点E的坐标为(2m，n)，其关于y轴对称的点F的坐标为(1＋3n，m＋8)，则m－4n＝　　　　. 返回 －17 基础提优题 中考考法 03 典例精析 例2 解方程组 2x+3y=16 ① x+4y=13 ② 解：由② ，得 x=13 - 4y ③ 变 将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16 代 26 –8y +3y =16 求 y=2 将y=2代入③ ，得 x=5。 所以原方程组的解是 写 x=5 y=2 知识要点1 将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法. 代入消元法 二元 一元 转化 03 典例精析 探究二 整体代入消元 解下列方程 解：把①代入②得 5x-2×8=-1 解得X=3 把x=3代入①，求得y=5 ∴原方程的解是 x+y=8 ① 5x-2(x+y)=-1 ② ① 2(x+1)-y=11 ② 解：①整理得x+1=6y ③ 把③代入②得 12y-y=11 解得y=1 把y=1代入③，求得x=5 ∴原方程的解是 x=5 y=1 x=3 y=5 03 新知探究 解下列方程 通过整理后再求解： 请同学们自己解答 当二元一次方程组中的系数或未知数的系数较为复杂时，可先将方程组整理成二元一次方 程组的标准形式 这里a1，b1，c1，a2，b2，c2是整数，x，y是未知数. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1. 已知2x-y=3 ，用含 x 的式子表示y ，则 y=  ． 2x-3 2.已知2x-y=3,用含有y的式子表示x , 3.用代入法解方程组 由②得 y= ----③, 把③代入①得： 解得 再把求得的X值代入③ 得 原方程的解: x=1 y=3 4x-1 x+2(4x-1)=7 x=1 y=3 x+2y=7 ① 4x-y=1 ② 1. 把下列方程分别用含 x 的式子表示 y，含 y 的式子表示 x： （1）2x－y＝3；　　　　（2）3x＋2y ＝1. 当堂检测 y = 2x，　　 x + y = 12；　 (1) (2) 2x = y - 5， 4x + 3y = 65. 解： (1) x = 4， y = 8. (2) 2.用代入消元法解下列方程组. x = 5， y = 15. 当堂检测 解：(1)将①代入②得 3(5－2y)－y＝1， 整理得 15－7y＝1， 解得 y＝2， 将y＝2代入①得 x＝5－4＝1， 所以方程组的解为 3. 解下列方程组： (2)由①得y＝2x＋4③， 将③代入②得 4x－5(2x＋4)＝－23， 解得 x＝ ， 将x＝2(1)代入③得 y＝1＋4＝5. 所以方程组的解为 3x－y＝1 ②； x＝5－2y ①， (1) 4x－5y＝－23 ②； 2x－y＝－4 ①， (2) x = 1， y = 2. x = ， y = 5. 当堂检测 4. 若方程 5x2m+n + 4y3m-2n = 9 是关于 x、y 的二元 一次方程，求 m 、n 的值. 解： 由题意可列方程组 2m + n = 1 3m - 2n = 1 ① ② 由①得 把③代入②得 n = 1 - 2m. ③ 3m – 2(1 – 2m) = 1. 把 m 代入 ③，得 当堂检测 知识点2 先变形，再代入消元 4.用代入消元法解方程组的最佳策略是(　　) A.消y，由②得y＝(23－9x) B.消x，由①得x＝5y＋2 C.消x，由②得x＝(23－2y) D.消y，由①得y＝(x－2) 返回 B 基础提优题 中考考法 5.下面是小颖同学解方程组  的过程： 解：由①，得y＝3x－7.③ 第一步 把③代入①，得3x－(3x－7)＝7， 第二步 即7＝7. 第三步 所以此方程组无解. 第四步 其中，开始出现错误的是第　　　步. 返回 二 基础提优题 中考考法 6.下面是小明同学解方程组的过程的框图表示，请你帮他补充完整： 其中，①为　　　　，②为　　　　，③为　　　　. 返回 代入 消去x 解得x 基础提优题 中考考法 7.用代入消元法解下列方程组： (1) 返回 【解】 由①得b＝.③　 基础提优题 中考考法 将③代入②，得5a－2(13－3a)＝7，解得a＝3. 把a＝3代入③，得b＝2. 所以原方程组的解是 返回 基础提优题 中考考法 (2) 返回 【解】整理，得 由①得x＝5y－6，③ 基础提优题 中考考法 05 课堂小结 1、解二元一次方程组的步骤是：【变、代、求、写】 2、你如何理解代入消元法？ 3、一个方程组的解是否正确，你是如何检验的？ 4、本节课运用了什么数学思想？【转化】 谢谢观看 THANKS $