5.3.2应用二元一次方程组——增收节支（课件）--2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程组的增收节支应用，核心涵盖增长率、降低率及利润等公式。通过新课导入中销售与增长率问题的数量关系表格，搭建从实际问题到数学建模的学习支架，衔接旧知与新知。 其亮点在于以列表法直观梳理数量关系，结合分层练习题（如工厂收支、作物收入等实例），培养学生模型意识与运算能力。课堂小结提炼解题流程，帮助学生形成结构化思维，教师可借助系统资源提升教学效率，学生则能增强用数学语言解决实际问题的能力。

北师大版八年级上册数学5.3.2应用二元一次方程组——增收节支专项练习 一、核心知识点梳理 增收节支问题是二元一次方程组实际应用的高频题型，主要围绕经济利润、收入支出、增长率、降低率展开，核心依旧是数学建模思想，通过梳理题目中的基数、增量、减量、百分率等数量关系，建立二元一次方程组求解。此类题型贴近生活实际，数据关联性强，是考试应用题的重点考查内容。 本节核心公式（解题必备）：1. 增长问题：现量=原量×(1+增长率)；2. 减少问题：现量=原量×(1-降低率)；3. 总收入=各项收入之和，总支出=各项支出之和；4. 利润=总收入-总支出。题目通常给出去年、今年的收入与支出两组对比数据，形成两组独立等量关系，适配二元一次方程组求解。 标准解题步骤：第一步，定未知量，一般设去年的总收入、总支出为两个未知数（设基期量计算更简便，避免复杂分数）；第二步，根据增长率、降低率列式，表示出今年的收入与支出；第三步，依据题目总利润、收支差值等条件，列出二元一次方程组；第四步，消元求解、检验实际意义、规范作答。 二、易错点总结 1. 未知量设错：误将今年收入、支出设为未知数，导致增长率列式繁琐、计算量大且易出错。2. 公式混淆：混淆增长率与降低率公式，出现“1+降低率”“1-增长率”的低级错误。3. 整体拆分失误：题目中多项收入、多项支出未分类汇总，等量关系混乱。4. 审题遗漏条件：忽略“同比增长、同比减少、净利润”等关键限定条件，导致方程组列写错误。5. 结果不检验：忽略收入、支出必须为正数的实际生活意义。 三、分层专项练习题（含完整解析） 基础题（课本基础模型） 1. 某工厂去年总收入与总支出共50万元，今年总收入比去年增加10%，总支出比去年减少20%，今年总收入与总支出共54万元。求去年的总收入、总支出各是多少万元？ 解析：设去年总收入为$$x$$万元，总支出为$$y$$万元。根据题意列方程组：$$\begin{cases} x+y=50 ①\\ (1+10\%)x+(1-20\%)y=54 ② \end{cases}$$ 化简②式得：$$1.1x+0.8y=54$$。由①得$$x=50-y$$，代入化简后的②式：$$1.1(50-y)+0.8y=54$$，展开计算得$$55-0.3y=54$$，解得$$y=\dfrac{10}{3}$$。回代得$$x=\dfrac{140}{3}$$。答：去年总收入$$\dfrac{140}{3}$$万元，总支出$$\dfrac{10}{3}$$万元。 中档题（利润收支模型） 2. 某商铺去年利润为2万元，今年总收入增加15%，总支出减少5%，今年利润达到4.3万元。求该商铺去年的总收入和总支出。（利润=总收入-总支出） 解析：设去年总收入为$$x$$万元，总支出为$$y$$万元。根据利润公式列方程组：$$\begin{cases} x-y=2 ①\\ 1.15x-0.95y=4.3 ② \end{cases}$$ 由①得$$x=y+2$$，代入②式：$$1.15(y+2)-0.95y=4.3$$，展开合并得$$0.2y+2.3=4.3$$，解得$$y=10$$。将$$y=10$$代入①，得$$x=12$$。答：去年总收入12万元，总支出10万元。 提升题（双变量综合应用） 3. 某农场种植甲乙两种作物，去年两种作物总收入30000元。今年甲作物收入增长20%，乙作物收入减少10%，两种作物总收入比去年增加3000元。求去年甲乙两种作物的收入各是多少元？ 解析：设去年甲作物收入$$x$$元，乙作物收入$$y$$元。列方程组：$$\begin{cases} x+y=30000 ①\\ 1.2x+0.9y=33000 ② \end{cases}$$ ①×0.9得$$0.9x+0.9y=27000 ③$$，②-③得$$0.3x=6000$$，解得$$x=20000$$。回代①式得$$y=10000$$。答：去年甲作物收入20000元，乙作物收入10000元。 四、专项总结 增收节支问题的核心解题逻辑是基期量建模，优先设去年、上期等基础量为未知数，利用增长率、降低率公式表示出现期量，再根据收支和、利润、总量变化等条件列方程组。相比于古算问题，此类题型条件更直白，但对公式熟练度和小数、百分数运算能力要求更高。解题时需牢记三大原则：优先设基期量简化运算、严格区分增减公式、利润始终为收入减支出。熟练掌握本专题，可彻底攻克二元一次方程组经济类应用题，夯实初中数学建模解题能力。 北师大版（新教材）数学八年级上册 5.3.2应用二元一次方程组 ——增收节支 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第五章 二元一次方程组 1. 能借助表格、线段图等方法直观分析较为复杂问题中的数量关系，并建立方程组解决问题. 2. 会列二元一次方程组解决“增收节支”“配制(或配套)”类问题. 学习目标 新课导入 类型 数量关系 销售问题 增长率问题 利润 = 售价 - 进价； 销售额 = 售价 × 销量. 增长后的量=增长前的量×（1+增长率） 下降后的量=下降前的量×（1-下降率） 某工厂前年的总利润（总收入 - 总支出）为200万元．去年的总收入比前年增加了20%，总支出比前年减少了10%，去年的总利润为780万元．前年的总收入、总支出各是多少万元? 推进新课 （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 等量关系：总利润 = 总收入 - 总支出 前年的总收入 – 前年的总支出 = 200万元 去年的总收入 – 去年的总支出 = 780万元 去年的总收入 = 前年的总收入 ×（1 + 20%） 去年的总支出 = 前年的总支出 ×（1 - 10%） （2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？ 推进新课 设前年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有： 年份 总收入/万元 总支出/万元 总利润/万元 前年 去年 x y 200 (1+20%)x (1-10%)y 780 根据上表，可以列出方程组： 推进新课 ① ② 解：将①变形得 x = 200 + y ③ 将③代入②得， 1.2（200 + y）-0.9y = 780 y = 1800 将 y = 1800 代入③得 x = 200 + 1800，解得 x = 2000 所以原方程组的解是 答：前年的总收入为2000万元，总支出为1800万元. 方法总结 在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词. 知识点1 百分率问题 1.［教材 问题变式］某公司向银行申请了甲、乙两种贷款,共计50万 元,每年需付 2.295 万元利息,已知甲种贷款每年的利率为 ,乙种贷 款每年的利率为 ,根据题意填写下表: 甲 乙 合计 贷款/万元 ____ 利息/万元 _________ _________ ______ 50 2.295 举一反三 8 则可列方程组为_ ___________________________，解方程组可得该公司 向银行申请了甲种贷款____万元,乙种贷款____万元。 20 30 返回 举一反三 9 2.5月，甲、乙两个工厂用水量共为200吨。进入夏季用水高峰期后，两 工厂积极响应国家号召，采取节水措施。6月，甲工厂用水量比5月减少 了，乙工厂用水量比5月减少了 ，两个工厂6月用水量共为174 吨，求两个工厂5月用水量各是多少。 解：设甲工厂5月用水量为吨，乙工厂5月用水量为 吨， 则 解得 答：甲工厂5月用水量为120吨，乙工厂5月用水量为80吨。 返回 举一反三 10 典例精析 医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要? 分析：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，则有 成分 甲原料 x g 乙原料 y g 所配制的营养品 其中所含蛋白质 其中所含铁质 0.5x 0.7y 35 x 0.4y 40 患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质， 例2 典例精析 解这个方程组，得 解：设每餐用甲原料 x g、乙原料 y g，根据题意，得 所以，每餐用甲原料 28 g、乙原料 30 g可以恰好满足患者的需求. 方法总结 借助列表法分析具体问题中蕴含的数量关系，列出方程组，然后解出二元一次方程组，从而解决实际问题. 思考·交流 在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息？对此你有哪些心得体会？与同伴进行交流. 1. 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％、12％ 的两种配料. 用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？ 解：设需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 x kg、y kg， 根据题意列出方程组得 解方程组，得 答：需含蛋白质为 20%、12% 的配料分别为 37.5 kg、62.5 kg. 当堂检测 15 2. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名? 生产螺钉人数 + 生产螺母人数 = 车间总人数 2螺钉总产量 = 螺母总产量 当堂检测 16 2. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母.1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名? 解：设生产螺钉的 x 人，生产螺母的 y 人. 依题意，可列方程组 所以，应安排生产螺钉的 10 人，生产螺母的 12 人. 当堂检测 17 3. 根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨10%，乙地降价5元，已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元. 求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. 当堂检测 18 解：设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元. 根据题意， 解得 所以，调整前甲、乙两地该商品的销售单价分别为40元，50元. 当堂检测 19 4. 2025年2月23日发布的《中共中央国务院关于进一步深化农村改革 扎实推进乡村全面振兴的意见》，提出千方百计推动农业增效益、农村增活力、农民增收入.在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收.去年出售菠萝的利润是12万元，今年出售菠萝的收入比去年增加了10%，支出减少了5%，预计今年出售菠萝获得的利润比去年多3.12万元.求去年的收入和支出各为多少万元. 当堂检测 20 4. 去年出售菠萝的利润是12万元，今年出售菠萝的收入比去年增加了10%，支出减少了5%，预计今年出售菠萝获得的利润比去年多3.12万元.求去年的收入和支出各为多少万元. 分析：设去年的收入和支出分别为x万元、y万元. 收入/万元 支出/万元 利润/万元 去年 x y 12 今年 (1+10%)x (1-5%)y 12+3.12 当堂检测 21 解：设去年的收入和支出分别为x万元、y万元. 依题意，得 解得 所以，去年的收入和支出分别为24.8万元、12.8万元. 收入/万元 支出/万元 利润/万元 去年 x y 12 今年 (1+10%)x (1-5%)y 12+3.12 当堂检测 22 知识点2 配套问题 3.［教材 例2变式］用甲、乙两种原料配制营养液，已知这两种原料 的维生素C含量及价格如下表所示： 种类 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位· ） 600 100 原料价格／（元· ） 8 4 现要配制一种含5 000单位的维生素C的营养液，且买原料的费用为72元， 则应买甲种原料___,乙种原料___ 。 8 2 返回 举一反三 23 4.1张方桌由1个桌面和4条桌腿组成，如果 木料可以做50个桌面或 300条桌腿，现有 木料，应用多少木料做桌面、多少木料做桌腿恰 好都能配成方桌？能配成多少张方桌？ 解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，则恰好配成 张方桌， 由题意得解得 所以 。 答：应用木料做桌面，用 木料做桌腿，恰好都能配成方桌， 能配成150张方桌。 返回 举一反三 24 5.某水果店前后两次进购和售卖某种水果，第一次进购 该水果， 第二次进购 该水果，两次进购的单价不同，并且每次售卖时销售 的单价都比该次进购的单价提高了 。由于水果易坏，从进购到全部 售完会有部分损耗。第一次进购的该水果有 的损耗，第二次进购的 该水果有 的损耗。已知两次进购的总价之和为1 600元，两次销售 共获利500元，则第一次进购的该水果单价为____元，第二次进购的该 水果单价为___元。 12 2 返回 举一反三 25 6.［2025泉州月考］某教具制造厂准备利用20厘米和30厘米的两种细钢 条制作、两种型号的长方体框架模型，其中 种型号长方体框架的长、 宽、高分别为30厘米、20厘米、20厘米。 种型号长方体框架的长、宽、 高分别为30厘米、30厘米、20厘米。 举一反三 26 （1）请在图中补画出 种型号的长方体框架的直观图； 解：如图。 举一反三 27 （2）如果30厘米的细钢条有520根，20厘米的细钢条有440根，并全部 用于制作这两种型号的长方体框架。请问可以制作、 两种型号的长 方体框架各多少个？ 解：设可以制作种型号的长方体框架个，可以制作 种型号的长方体 框架 个。 由题意，得 解得 答：可以制作种型号的长方体框架30个， 种型号的长方体框架50个。 返回 举一反三 28 课堂小结 生活中的具体问题 二元一次方程组 解决问题 列表分析 求解 化难为简 在“增收节支”型问题中，要理解增加、减少、增长率、降低率等关键词. 谢谢观看 THANKS $