第二十六章 二次函数 复习与小结教学课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、图象与性质、与方程不等式的联系及实际应用，通过知识主线图将定义、三种表达式互化、数形结合思想等核心内容串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点分块+即时练习+例题精讲”模式，如通过“设—列—求—验”四步法解决利润、面积最值问题，培养数学建模和运算能力，作业分层设计（必做、巩固、选做）让不同学生提升，教师可精准把握复习重点。

第二十六章 二次函数 复习与小结 温故知新 人教版·九年级上册 主张：这是全章的收官课——把四个小节串成一张网。开场点题：本章我们沿着"定义—图象与性质—与方程的联系—实际应用"一路走来，今天把它们连成线、织成网，并做一次全章检测。过渡：先明确本节课的复习目标。 学 习 目 标 1.系统掌握二次函数的定义、图象与性质，会画草图、会读图，熟练进行三种表达式之间的互化.（重点） 2.灵活运用数形结合思想，沟通二次函数与一元二次方程、不等式的联系，会由图象写解集.（重点） 3.能建立二次函数模型解决实际问题，规范"设—列—求—验"的解题步骤，正确处理取值范围.（难点） 素养指向：数形结合、数学建模、数学运算. 主张：复习课的目标是"结构化"——让知识成网而不是散点。支撑：目标1对应考点一、二，目标2对应考点三，目标3对应考点四；向学生说明最后有8道检测题，全程限时。过渡：先看全章知识结构图。 知识梳理 本章知识主线： 26.1 二次函数的概念： 26.2 二次函数的图象与性质：→ 平移 → 26.3 二次函数与一元二次方程：交点横坐标 ⇄ 方程的根 26.4 实际问题与二次函数：建模、求最值 解析式 ⇄ 图象 ⇄ 性质 ⇄ 应用——数形结合贯穿全章. 主张：先给学生一张"地图"，再逐站复习。支撑：请学生合上书说出四个小节标题；强调四节之间是递进关系——定义出对象、图象给形状、方程联代数、应用见真章。过渡：第一站，回顾二次函数的定义。 知识梳理 考点一：二次函数的概念 定义：形如 （ 为常数， ）的函数，叫做二次函数. 判断要点：① 等号右边是 ；② 二次项系数 ；③ 可以为 0（如也是二次函数）. 对比：一次函数 y = kx + b（k≠0）. 特别提醒：判断前先化简整理，再看结构——有些式子化简后二次项被抵消！ 整式 主张：定义是全章的"入口"，也是最容易被轻视的考点。支撑：请学生说出自变量与各项系数的限制；追问"为什么要求a≠0"，为即时练习的第⑤⑥小题埋伏笔。过渡：用6个小题现场检验。 即时练习 考点一：即时练习——下列函数中，哪些是二次函数？ 思考：③ 要不要先展开？⑤ 化简后是什么函数？⑥ 需要补充什么条件？ 答案：①③ 是二次函数（③ 展开得 ）；② 三次；④ 分式；⑤ 化简得 ，一次；⑥ 当 时是. 主张：定义题的正确率取决于"先化简再判断"的习惯。支撑：⑤ (x-2)²-x²=x²-4x+4-x²=-4x+4，二次项被抵消，是最典型的陷阱；⑥ 要分情况讨论 m。过渡：进入考点二——图象与性质，先看三种表达式。 知识梳理 考点二：三种表达式与选择策略 名称 解析式 适用场景 一般式 顶点式 交点式 互化：一般式通过 → 顶点式；交点式 / 顶点式通过 → 一般式. 选择原则：条件里有"顶点"用顶点式，有"交点"用交点式，都不方便就设一般式. 已知任意三点坐标 已知顶点、对称轴或最值 已知与轴两个交点 配方 展开 主张：三种表达式是同一对象的三个"侧面"，选对式子少算一半。支撑：请学生举例说明每种式子的典型题目；强调待定系数法是共同内核。过渡：从最基本的 y=ax² 开始回顾图象与性质。 知识梳理 考点二： 的图象与性质 顶点： ；对称轴： . 时开口 ，时开口 . 越大，抛物线开口 （图象越"瘦"）；越小，开口 . 互为相反数时，两抛物线关于 对称. 的符号定开口方向 向上 向下 越小 越大 轴 主张：y=ax² 是全章图象的"母体"，后面一切抛物线都由它平移而来。支撑：看图说话——三条抛物线中谁开口向上、谁"瘦"；追问"y=½x²与y=-2x²谁的开口大"。过渡：一般抛物线怎么来？靠平移。 知识梳理 考点二：图象的平移 顶点式：顶点 ，对称轴 . 向右平移个单位 → ； 再向上平移个单位 → . 口诀：左加右减（方向）、上加下减（方向） 平移规律看顶点最直观：顶点从 移到. 直线 主张：平移是"考点"也是"工具"——顶点式就是平移的代数记录。支撑：结合右图分两步演示：先右移2（顶点到(2,0)），再上移3（顶点到(2,3)）；让学生上台用手比划方向。过渡：马上做一个平移小例题。 例题精讲 例题：抛物线的平移 例：抛物线向右平移 3 个单位、再向下平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为________. 解：→ 右移 3 → → 下移 2 → . 变式： 是由 经过怎样的平移得到的？ 答：向右平移 1 个单位、向上平移 5 个单位. 要点：平移不改变——开口方向与开口大小不变；"左加右减"只对本身加减，别把中的系数卷进去. 主张：平移题的失分点几乎都在方向搞反。支撑：让学生先说顶点怎么动（(0,0)到(3,-2)）再写解析式，双向各练一次。过渡：平移之后，看一般式抛物线的性质总表。 知识梳理 考点二： 的性质总表 性质 a > 0 a < 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 开口向上，有最低点 开口向下，有最高点 直线 直线 对称轴左侧递减，右侧递增 对称轴左侧递增，右侧递减 最小值 最大值 主张：这张表是全章的"万能公式卡"，但要理解而非死背。支撑：逐行齐读；重点演示由开口方向推增减性、由增减性推最值的过程。过渡：顶点怎么求？两条路——公式法与配方法。 知识梳理 考点二：求顶点的两条路径 路径一（公式法）： ， . 路径二（配方法）： ，顶点. 示例： 　　　= ，∴ 顶点 ，对称轴 . 配方时提出二次项系数，括号内"加上一次项系数一半的平方再减去"——符号别丢. 主张：两条路径必须都会——公式快、配方通用（后面建模常用配方讲最值）。支撑：板书配方全过程，让学生指出"补1再减1"那一步；再用公式法口算验证顶点。过渡：会求顶点，还要会"读图"。 知识梳理 考点二：由图象读 的符号 定 ——上正下负. 抛物线与轴交于 ——交点在正半轴则. 与 定 ——对称轴在轴左侧同号；右侧异号. ：定 交点个数定——两交点大于 0、一交点等于 0、无交点小于 0. 读图顺序：开口 → 对称轴 → 轴交点 → 轴交点. 开口方向 对称轴位置 图象与轴 主张：读图题是中考小题的高频考点，有固定"扫描顺序"。支撑：给学生一条陌生抛物线草图，四人组各报一个量的符号；强调"左同右异"的推导来自对称轴公式。过渡：反过来，给点求解析式。 例题精讲 例1：由图象信息求解析式 题目：抛物线经过点 (-1, 0)、(3, 0)、(0, -3)，求解析式及顶点坐标. 解：设交点式， 代入得， . 解得 ， 顶点 . 主张：设式的选择直接决定计算量——本题设一般式要解三元方程组。支撑：先问"看到两个x轴交点该想到什么"；补充提问：若改过(-1,0)、(3,0)、顶点纵坐标-4呢。过渡：解析式有了，如何快速画图？五点法。 例题精讲 例2：五点法画 的图象 ① 定顶点与对称轴：顶点，直线 ； ② 找与坐标轴交点：(-1, 0)、(3, 0)、(0, 3)； ③ 由对称性补对称点：(2, 3) 与 (0, 3) 关于对称； ④ 用平滑曲线顺次连线（先画对称轴一侧，再翻折另一侧）. 五个关键点 = 顶点 、 两截距 、 一对对称点. 五点定位抛物线 主张：画图题的核心是"找点"，不是描点连线本身。支撑：让学生报出五点坐标并核对右图；提醒连线必须"平滑"，不能用直尺。过渡：图象画好了，它与x轴的交点个数由谁决定？ 深化理解 考点三： 与抛物线及轴的交点 ：与轴有两个交点（方程有两个不等实根）； ：只有一个交点（顶点在轴上，方程有两等根）； ：无交点（方程无实根）. ＞ 0 = 0 ＜ 0 主张：把26.3的核心结论压缩成一句话——"代数看Δ，几何看点"。支撑：三幅图从左到右请学生分别报Δ的符号与方程根的个数；对应例子x²-2x-1、x²-2x+1、x²-2x+3。过渡：Δ<0时方程没有实根，那要"近似解"怎么办？ 例题精讲 例3：用图象法求方程的近似解 题目：利用二次函数的图象，求方程 的近似解（精确到 0.1）. 解：画 的图象，度量它与 轴交点的横坐标： . 验证：2.4² - 2×2.4 - 1 = -0.04 ≈ 0 。 注：本方程的精确解为；图象法求近似解后，代回检验是必要一步. 主张：图象法体现"以形助数"——解不出来的方程，画得出图就有办法。支撑：强调精确到0.1的含义与检验动作；顺带复习求根公式x=1±√2作为对照。过渡：图象还能"读出"不等式的解集。 例题精讲 例4：由图象写不等式的解集 题目：已知 ，借助图象求： （1）时的取值范围； （2）时的取值范围. 解：图象与轴交于 (-1, 0)、(3, 0)， （1） 或 ； （2）. 主张：函数值正负看"图象在x轴上、下方"，这是数形结合的标志性应用。支撑：指图提问——x轴上方的图象对应x哪些范围；强调口诀只在a>0时可靠，a<0要重新看图。过渡：考点三完毕，进入考点四——实际应用建模。 知识梳理 考点四前奏：待定系数的"三选一"与隐含条件 已知顶点 / 对称轴 / 最值 → 设 ； 已知与 x 轴两个交点 → 设 ； 已知任意三点 / 条件分散 → 设 . 三个常用隐含条件： ① 两交点横坐标→ 对称轴 ；② 抛物线过原点 → ；③ 顶点在轴上 → . 顶点式 交点式 一般式 主张：建模之前的最后一块拼图——选对解析式并读出隐含条件。支撑：每条隐含条件让学生说出推导依据；隐含条件常是小题"无字条件"的来源。过渡：正式进入考点四。 实际应用 考点四：实际应用的四类模型 类型 设变量 函数模型 易错点 运动最值 面积最值 利润最值 拱桥建系 共同套路：设 → 列 → 求（含范围）→ 验. 利润 ≠ 销售额：利润 = 销售额 - 成本，建模时成本项必须出现在解析式里. 时间 取值范围、结果取近似 边长 型 边为正、墙长限制 涨（降）价 W = 单件利润 × 销量 忘减成本、整数限制 坐标 （拱顶为原点） 宽度忘乘 2 主张：应用题看起来千变万化，模型只有四类。支撑：逐行带学生回忆26.4对应例题；易错点一列请学生各举一个反例。过渡：四类各做一个典型例题。 例题精讲 例5：小球运动的最大高度 题目：小球竖直上抛，高度（m）与时间 （s）满足：. 何时到达最高点？最大高度是多少？ 解：由，配方得， ∴， ∵ ∴当 s 时，最大为 20 m.（t = 2 在范围内） 主张：运动最值=顶点值，先配方后读顶点最直观。支撑：t=4时h=0即落地，范围两端有实际含义；提醒单位m与s不能混。过渡：第二类——面积最值。 例题精讲 例6：靠墙围出的最大面积 题目：借助一面长 12 m 的墙，用 24 m 长的篱笆围一个矩形菜园（垂直于墙的边为 m），怎样围面积最大？ 解：根据题意，得 ∵ 且 ∴ . ∵ ，∴有最大值， ∴当 m 时，最大为 72 m². 主张：面积题的关键一步仍是范围——墙长限制最容易被忽略。支撑：追问"若墙只有10m，顶点还在范围内吗"，与26.4的练习形成呼应（那时顶点不在范围内，取边界）。过渡：第三类——利润最值。 例题精讲 例7：怎样降价利润最大 题目：某商品成本 50 元/件，售价 80 元时每周卖 100 件；单价每降 1 元，每周多卖 10 件. 定价多少时利润最大？ 解：设降价元， . ∵ ，∴有最大值， ∴当 时， 最大为 4000, 即降价 定价 70 元（降价10 元） 时，W 最大为 4000 元. 检验：70 元 × 200 件 = 14000，成本 50×200 = 10000，差 4000。 主张：利润题建模的两个量都在变——单件利润与销量。支撑：(30-x)与(100+10x)一减一增，让学生分别指出；检验一步把"销售额-成本"落到数字上。过渡：最后一类——拱桥建系。 例题精讲 例8：抛物线形拱桥能过船吗 题目：拱桥水面宽 4 m 时拱顶离水面 2 m. 一艘宽 2 m、顶高 1.4 m 的船居中通过，能通过吗？ 主张：拱桥题的本质是"坐标化+解方程"。支撑：船居中所以边缘在x=±1；净空与船高恰好相等是临界情形；追问"船再高0.1m会怎样"。过渡：四类模型讲完，把解题流程固化成四步法。 例题精讲 例8：抛物线形拱桥能过船吗 解：以拱顶为原点建直角坐标系，有题意，则函数的图象过 。 将代入得，，∴ ∴； ∵船边缘在 处，∴时， ∴净空 。 ∵ 船高 ∴ 恰好能通过（船顶边缘恰好碰到桥拱）. 净空＝拱在该处高度-水面 主张：拱桥题的本质是"坐标化+解方程"。支撑：船居中所以边缘在x=±1；净空与船高恰好相等是临界情形；追问"船再高0.1m会怎样"。过渡：四类模型讲完，把解题流程固化成四步法。 方法归纳 实际应用题的"最值四步法" ① 设：明确两个变量及其实际含义，写清单位； ② 列：列出解析式，同时写出自变量取值范围； ③ 求：配方或用顶点公式；顶点不在范围内 → 看边界；限整数 → 取离对称轴最近的整数； ④ 验：代回检验，并检查结果是否符合实际（边长为正、人数为整数等）. 设 → 列 → 求 → 验：考试时在草稿上写下这四个字，逐步打钩. 主张：把四类应用题收进一套动作，考场不慌。支撑：对照例6—例8回顾每一步在哪里出现；强调第③步的两种特殊情形正是高频失分点。过渡：最后盘点全章五大易错点。 易错警示 全章五大易错点 ① 判断二次函数时漏 a≠0（或忘化简：先整理，再看结构）. ② 平移方向搞反：记牢"左加右减、上加下减"，从顶点移动方向复核. ③ 顶点不在取值范围内时照抄顶点值：应改看边界（离对称轴最近处）. ④ 利润问题忘减成本：把销售额当利润，或漏掉销量随价格变化. ⑤ 拱桥建系后忘乘 2：宽度 = 2 × |横坐标|（对称性）. 主张：易错点清单是复习课最实用的产出，请学生对照自己的错题本打钩。支撑：每条都对应前面出现过的原题（即时练习⑤、例6范围、例7成本、例8宽度）；⑤条让学生说出"半宽"这个词。过渡：全章内容复习完毕，课堂检测8题。 课堂检测 课堂检测（1～4 题） 1. 若 是二次函数，则 = ___ ___. 2. 抛物线 的顶点坐标是 ____ __，最大值是 ______. 3. 抛物线 是由 向____平移____个单位、再向____平移____个单位得到的. 4. 抛物线与轴只有一个公共点，则 = ______. 3 右 2 上 1 1 主张：前4题覆盖概念、顶点、平移、Δ四个小考点。支撑：提醒第1题要分情况讨论并舍去使系数为0的值；第4题"只有一个公共点"即Δ=0。过渡：继续第5～8题。 课堂检测 课堂检测（5～8 题） 5. 将抛物线向右平移 3 个单位、再向下平移 2 个单位，所得抛物线为 __ ____. 6. 已知，当 时，的取值范围是 _ _____. 7. 已知，当 = ______ 时取最大值 ______. 8. 用长 24 m 的篱笆围成一个矩形菜园（四面都围），边长为____m 时面积最大，最大面积是____m². 1 3 6 36 主张：后4题覆盖平移、不等式、范围最值、面积最值。支撑：第7题顶点x=1在[0,3]内，属"顶点即最值"；第8题提示：四面都围时邻边=12-x，不是24-2x。过渡：同桌互批后看讲评。 课堂小结 课堂小结：一条主线、两个公式、一个意识 一条主线： . 两个公式：对称轴 ，顶点 . 一个意识：见二次函数，先想图象——开口、对称轴、顶点、交点，四要素看全再动笔. 定义 → 图象与性质 → 与方程、不等式的联系 → 实际应用 主张：小结不是罗列，是压缩——一条主线两个公式一个意识，三句话带走全章。支撑：请一位学生先复述，教师补漏；两个公式默写进错题本首页。过渡：再看本章承载的数学思想。 课堂小结 本章蕴含的数学思想 数形结合：见式想图、见图读式——图象法解方程、读图写解集. 转化化归：把新问题化归为旧模型——实际问题 → 二次函数 → 顶点最值. 分类讨论：的符号、Δ 的符号、涨价与降价、顶点在不在范围内——都要分情况. 数学建模：设、列、求、验四步，把现实世界的"最优"翻译成数学的最值. 主张：思想方法是知识的"操作系统"。支撑：每种思想让学生举一个本章的例子；数形结合是本章当之无愧的第一思想。过渡：站在中考角度看本章怎么考。 课堂小结 1. 知识成网：以"解析式—图象—性质"为主线，自己动手画全章知识结构图. 2. 图象优先：每道函数题先画草图，把条件标到图上再下笔. 3. 错题归类：按"五大易错点"给错题贴标签，逐类消灭. 主张：方法建议要可执行，不停留在口号。支撑：知识结构图可与本章首页的结构对照；限时训练建议每天一组。过渡：布置作业。 作业布置 1.必做题：课本"复习题 26"中选择、填空部分. 2.巩固题：课堂检测中的错题，每题再自编一道同类型变式并解答. 3.选做题：自编一道"拱桥 + 最值"综合题（给出设计意图与解答）. 作业说明：必做题覆盖全章主干考点；巩固题把检测的漏洞当天补上；选做题面向学有余力的同学，下节课展示优秀自编题。 人教版·九年级上册 感谢聆听! 预习下节课 结束页。可在此页做课堂答疑，提醒作业提交时间与下节课的抽背安排。 $