专题01 一元二次方程（期中真题汇编，河南专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 【答案】D 【分析】 把x=1代入方程x2+mx-3=0，得出一个关于m的方程，解方程即可． 【详解】 解：把x=1代入方程x2+mx-3=0得：1+m-3=0， 解得：m=2． 故选：D． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程． 2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）下列是一元二次方程的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】 ∵选项A：中含有分式，不是整式方程，∴不是一元二次方程． ∵选项B：中只含一个未知数，且最高次数为2，是整式方程，∴是一元二次方程． ∵选项C：简化方程，得，即，最高次数为1，∴不是一元二次方程． ∵选项D：中含有两个未知数和，∴不是一元二次方程． 故选：B． 3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）下列属于一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】 解：A．此方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B．此方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C．此方程是一元二次方程，故选项C符合题意； D．是多项式，不是方程，故选项D不符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】 解：A、是二元二次方程； B、是分式方程； C、是一元一次方程； D、符合一元二次方程的定义； 故选D． 【点睛】 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 5．（25-26学年九上·河南郑州·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【详解】 解：A．含2个未知数，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； B．是关于的一元二次方程，故符合题意；        C．当时，变为，不是关于的一元二次方程，故不符合题意；        D．整理得，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； 故选B． 6．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键． 一元二次方程是只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此判断即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、没有说明，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年九上·河南郑州·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】 解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 8．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）一元二次方程 3x2=5x+2 的二次项的系数为 3，则一次项的系数和常数项分别为 （ ） A. 5，2 B. 5，﹣2 C. ﹣5，2 D. ﹣5，﹣2 【答案】D 【分析】将方程整理为一般形式，找出一次项系数及常数项即可． 【详解】解：方程3x2=5x+2， 整理得：3x2-5x-2=0， 则二次项系数，一次项系数和常数项分别是3，-5，-2． 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0）． 9．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（） A. 3，4 B. 3，-5 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，需注意系数包括符号． 根据一元二次方程的一般形式，直接识别二次项系数和一次项系数． 【详解】 ∵一元二次方程中，为二次项系数，为一次项系数， ∴方程中，，， ∴二次项系数和一次项系数分别为和． 故选D． 10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）方程的一次项系数是（　　） A.  B. 4 C. 0 D. 9 【答案】C 【分析】 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；一元二次方程的一般形式为，其中是一次项系数，给定方程中无项，因此一次项系数为0，因此问题可求解． 【详解】 解：∵方程 可化为， ∴一次项系数为0； 故选C． 11．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为　　 A. 4，3 B. 4，7 C. 4， D. ， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式是，先化成一般形式，再求出二次项系数和一次项系数即可. 【详解】， ， 二次项系数和一次项系数分别为、. 故选：. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，能把方程化成一般形式是解此题的关键，注意：系数要带着前面的符号. 12．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】要使方程为一元二次方程，则二次项系数不能为0，所以令二次项系数不为0即可． 【详解】解：由题知：m+1≠0，则m≠-1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的性质，二次项系数不为0，掌握这个知识点是解题的关键． 13．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）若方程是关于的一元二次方程，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可得且，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案． 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故选：B 14．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（     ） A. 一次项系数是 B. 常数项是6 C. 是它的一个根 D. 是它的一个根 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的根，解一元二次方程，将方程化为一般形式后，确定各项系数，即可判断选项A、B；利用因式分解法解方程即可判断选项C；再将代入方程，即可判断选项D． 【详解】 解：∵方程化为一般形式为， ∴一次项系数为，常数项为，故A、B正确； 解方程， ， 解得 或 ， ∴是根，C正确； 当时，，故不是根，D错误． 故选：D． 15．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）若是一元二次方程的解，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入进行计算即可．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：使一元二次方程两边相等的未知数的值．据此解答即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 16．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（       ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根的定义，可得，整体代入代数式即可求解． 【详解】 解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 17．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】 解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 18．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）关于的方程的一个根是，则的值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，把代入计算即可求解． 【详解】 解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故答案为： ． 19．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）写出一个一次项系数为0的一元二次方程：　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的一般形式中一次项系数的要求． 根据一元二次方程的定义，构造一个二次项系数不为、一次项系数为的方程即可，如（答案不唯一）． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式为（）． 由题意，一次项系数为0，即， 因此方程化为．例如， 满足条件，其中，，． 故答案为（答案不唯一）． 20．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　． 【答案】2025 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 21．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）若关于的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，利用一元二次方程的定义判断即可，利用一元二次方程的定义判断即可 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， ∴， 故答案为： 22．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 23．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）已知m是关于x的方程的一个根，则＝　　　　　　． 【答案】6 【详解】 解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴=6， 故答案为6． 24．（25-26学年九上·河南郑州·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　　　　 【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据一元二次方程根的定义，将m代入方程得到，然后代入所求表达式化简计算即可． 【详解】 解：因为m是方程的根，所以， 则； 故答案为2027． 25．（25-26学年九上·河南信阳·期中）将一元二次方程化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】 解：∵， ∴， ∴一次项系数是． 故答案为：． 26．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】 解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 27．（25-26学年九上·河南商丘·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式． 通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】 解：， 移项得， ， ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查配方法解方程，先将配方，再进行判断即可．解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 将常数项移至方程的右边，然后化二次项系数为（ 当二次项系数不是时，方程两边同时除以二次项系数）；② 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；③ 配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】 解：， 移项，得：， 配方，得：，即， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）一元二次方程配方后可化为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查配方法，熟悉配方法是解题的关键． 根据题意配方即可求解． 【详解】 ， ， ． 故选：B． 4．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键． 先移项把方程化为再在方程的两边都加上4可得，然后运用完全平方公式即可解答． 【详解】 解：， 移项、二次项系数化为1得： 两边都加4得：， 所以． 故选B． 5．（25-26学年九上·河南周口·期中）若一元二次方程经过配方，变形为，则n的值为　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）解方程： （1）x2－6x－4＝0；              （2）3x(x－2)＝2x－4． 【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【分析】 （1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】 解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 考点03 公式法 1．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式的值，即可得出答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程为， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．（25-26学年九上·河南周口·期中）一元二次方程根的情况为（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】 解：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，需注意二次项系数不为零，根据一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根时，判别式大于零，且二次项系数不为零． 【详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 其中，，， ∴， 解得， 又∵， ∴且． 故选：D． 4．（25-26学年九上·河南郑州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（       ） A.  B. 1 C. 3 D. 5 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】 解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 5．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式是解题的关键；通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】 解：∵一元二次方程的标准求根公式为， 给出的根为， ∴比较分母：，∴； 比较分子：，∴； 根号内部分：， 但给出的根号内为 ， ∴ ，解得； ∴原方程为； 故选：D． 6．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）已知方程，在中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 设中的数字为a，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】 解：设中的数字为a，则方程为，根据题意得： ， 解得：， ∵， ∴符合题意的有1； 故选B． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 8．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A.  B.  C.  D. 0 【答案】C 【分析】 此题考查利用一元二次方程根的情况求参数，根据判别式及二次项系数不等于零即可求出答案 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， ∴，， 解得且， 故选：C． 9．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，判别式的意义；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零且判别式大于零，列不等式求解． 【详解】 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 即 解得：且． 故选：C． 10．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，所以，由于，化简得，同时，验证各选项，即可得到答案． 【详解】 解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴； 又∵， A、，不满足； B、，满足； C、，不满足； D、，不满足． 故选：B． 11．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，由一元二次方程根的判别式可得，即得异号，再根据各选项函数图象逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根， ∴， ∴，即异号， 、∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴，，该选项不合题意； 、∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，，该选项符合题意； 、∵一次函数图象经过二、三、四象限， ∴，，该选项不合题意； 、直线为，位于轴上方， ∴，，该选项不合题意； 故选：． 12．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案. 【详解】，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键. 一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 13．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）解方程∶ （1）； （2）； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ， ∴ ， ∴， 解得：． 14．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程有实根的条件和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义以及根的判别式求解即可. 【详解】 解：一元二次方程 有实根， 则 ，即 ，判别式 。 令 ，得 ，解得 。 则且, 故答案为：且. 15．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 16．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，二次根式的混合运算． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】 解：（1）， ，，， ，则方程有两个不相等实数根， 所以， 即，； （2）原式 ． 17．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；同时，二次项系数不能为零． 【详解】 解：方程是一元二次方程，因此二次项系数，即． ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 综上，的取值范围为且． 故答案为：且． 18．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明： ， ， ，即， 无论取何值，这个方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）先由公式法求出，再分两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 当时，，故舍去； 当或时， 即，解得， 所以的周长． 19．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）或．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·河南商丘·期中）给出一种运算：对于函数，规定．若函数，则有，已知函数，则方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据题中所给定义得到，得到一元二次方程，利用因式分解法解方程即可. 【详解】 函数，方程， ， ， ， ，， ，， 故选：C． 【点睛】 本题考查定义新运算及解二元一次方程，注意利用题中所给新定义把新运算转化为所学函数是解决问题的关键. 2．（25-26学年九上·河南商丘·期中）若三角形的两边长分别是2和5，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是（       ） A. 11 B. 10 C. 10或11 D. 10或12 【答案】A 【分析】 利用因式分解法求出方程的两根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】 解：解方程得x=3或4， ∴第三边长为3或4． 边长为2，3，5不能构成三角形； 而2，4，5能构成三角形， ∴三角形的周长为2+4+5=11， 故选：A． 【点睛】 此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯． 3．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）方程的根为　　　　　　　． 【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 4．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： 即：； 解得：； (2) 小问详解： 解： 即：； 解得：． 5．（25-26学年九上·河南商丘·期中）解方程． （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）先变形，然后再运用配方法解答即可； （2）先将方程化成一般式，然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 6．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）把方程化为，再进一步解方程即可求得答案． （2）把方程化为，再进一步解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，． 7．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）一元二次方程的两根是　　　　　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的根据，根据可得，，即可． 【详解】 解：， 或， 解得：，． 故答案为：，． 8．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根；     （2）；      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 9．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）解方程： （1）； （2）（用配方法）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程方法中的因式分解法及十字相乘法．掌握因式分解法中十字相乘法和配方法的基本步骤是解题的关键． 用十字相乘法对原方程进行因式分解，计算即可得解． 先将二次项系数化为，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方，计算即可得解． (1) 小问详解： （1）解 或 ∴， (2) 小问详解： （2）解： ∴ ∴或 ∴， 10．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可． （2）根据根的判别式确定方程根的情况，再利用一元二次方程求根公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． (2) 小问详解： 解：． ∵，，， ， ∴． ∴，． 11．（25-26学年九上·河南信阳·期中）解方程： （1）；（因式分解法） （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后提取公因式得两个 一元一次方程，求解这两个一元一次方程即可得解除； （2）方程运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 这里， ， ∴， ∴，． 12．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程， 请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学：解：第一步第二步第三步解得第四步 小颖同学：解：第一步第二步第三步或第四步解得第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________ 任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________ 任务三：解方程：； 【答案】任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的2没有变号； 任务二：，； 任务三：，． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 任务一：① 根据等式的性质即可判断求解；② 根据去括号法则即可判断求解； 任务二：利用因式分解法解方程即可求解； 任务三：利用因式分解法解答即可求解． 【详解】 解：任务一：① 小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式， 故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式； ② 小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号， 故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号； 任务二：， ， 即， 或， 解得，； 故答案为：，； 任务三：∵， ∴， ∴或， ∴，． 13．（25-26学年九上·河南许昌·期中）解方程． （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴ 解得，． 14．（25-26学年九上·河南周口·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特征选用因式分解法、配方法等合适方法求解． （1）将变形为，提取公因式进行因式分解求解； （2）通过配方将方程化为完全平方式，再开方求解． (1) 小问详解： 解： 或 ， (2) 小问详解： 解： ， 15．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）用适当的方法解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，即， ∴或， 解得． 16．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握公式法与因式分解法． （1）利用公式法求解，即可解题； （2）利用因式分解法求解，即可解题； (1) 小问详解： 解：， 则， ， ， ； (2) 小问详解： 解： 则或， 解得，． 17．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个实数根为2，求另一个实数根； 【答案】（1） 证明： ， ∴方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个实数根为或8．      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程． （1）证明即可解题； （2）把代入方程，解关于m的一元二次方程，进一步计算即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：把代入方程得： ， 整理得， 解得：，． 当时，方程为， 解得：，； 当时，方程为， 解得：，； 综上，另一个实数根为或8． 18．（25-26学年九上·河南郑州·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，重点考查十字相乘法和因式分解，解题的关键在于掌握十字相乘法，找到合适的数使用十字相乘法，即形如，寻找两个数，它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数；掌握因式分解法的核心思想，即通过因式分解将一元二次方程化为“”的形式，从而转化为两个简单的一元一次方程或来求解． （1）使用十字相乘法，寻找两个数，它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数，那么这两个数为和，按照十字相乘法的格式，方程分解为，令每个一次因式为，即可解得． （2）移项：将方程右边的项移到左边；提取公因式，令每个一次因式为，即可解得． (1) 小问详解： 解： ，． (2) 小问详解： 解： 或， ，． 19．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）方程两边平方，将无理方程转化为一元二次方程求解，注意检验增根． 【详解】 解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴． ∴或． 解，得，． ∴原方程的解为，，． （3）方程的两边平方，得． 整理，得． 解得，． ∵，， ∴． ∴原方程的解为． 20．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）      （2） ,       【分析】 此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． (1) 小问详解： 解： ∴或， ∴； (2) 小问详解： ∴ ∴． 21．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原方程化为 ∴或 ∴，； (2) 小问详解： 解：原方程化为 ∴，即 ∴或 ∴，． 22．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），；     （2），.      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次的因式分解法是解答关键. （1）用因式分解法解方程求解； （2）先提取公因式，再移项，提取公因式来求解. (1) 小问详解： 解：由原方程得 或 ，； (2) 小问详解： 解：原方程变形为 移项得 提取公因式得 或 ，. 23．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ， 或， 所以． 24．（25-26学年九上·河南郑州·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；     （2）或4．      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：① 当，方程有两个不相等的实数根；② 当，方程有两个相等的实数根；③ 当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 25．（25-26学年九上·河南郑州·期中）解方程： （1） ； （2） ． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）使用配方法进行求解即可； （2）使用因式分解法进行求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得，； (2) 小问详解： 解： 或 解得，． 26．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）解方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， (2) 小问详解： 解; , , , ，． 27．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项，配方、开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． (1) 小问详解： 解：（1）， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ， ， 或， ． 28．（25-26学年九上·河南信阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1）     （2）当时，另一个根为；当时，另一个根为5      【分析】 本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解、根的判别式． （1）根据方程有两个实数根，则，求解即可． （2）把代入，得出关于m的方程求解即可求出m值，再把m值代入方程，然后解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：把代入，得， 解得：或， 分以下两种情况： 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为； 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为5； 综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（     ） A. 4050 B. 4054 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，整体代入法求值即可． 【详解】 解：∵、是方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 2．（25-26学年九上·河南信阳·期中）已知m和n分别为一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】C 【分析】 根据根与系数的关系，可知两根之和等于，即可求出的值． 【详解】 解：和分别为一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是牢记两根之和等于． 3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得． 因为，所以， 解得． 故答案为：2． 4．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 5．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，代入中即可求解． (1) 小问详解： ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴解得：， 即k的取值范围为：； (2) 小问详解： ∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，若，是方程的两个根，则有，．掌握该知识点是解答本题的关键． 6．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）方程的两根之积是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握“在一元二次方程中，两根之积为”． 先将方程化为一般形式，再根据根与系数的关系直接求出两根之积． 【详解】 解：方程 可化为 ， 其中 ，，． 根据根与系数的关系，两根之积 ． 故答案为： 7．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=　　　　　　　． 【答案】4 【详解】∵一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根是x1、x2，a=1，b=-4， ∴x1+x2= =4. 8．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知关于的方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，．结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； (2) 小问详解： ∵关于的方程的两个根分别为：，， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得， ∴， 解得：，， ∵， ∴m的值为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合，找出关于m的一元次方程． 9．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式，再进行计算，即可作答． （2）先结合，整理得，根据根与系数的关系，得，再分别代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 即， 整理得， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵、是关于的一元二次方程的两个实数根． ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 则， 解得， 由（1）得， ∴． 10．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　． 【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】 解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 11．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 【答案】（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； （2）m=-4或m=-2 【分析】 (1) 、根据根的判别式判断即可； (2) 、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【详解】 (1) 略 (2) 、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0， 整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4或m=﹣2 12．（25-26学年九上·河南商丘·期中）关于x的一元二次方程 （1）若方程的一个根是，求m的值； （2）在中，，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程的两根，求m的值． 【答案】（1）m的值为1     （2）的值为      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系和勾股定理等知识点， 把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可； 先根据根与系数的关系得到，，再利用勾股定理得到，根据完全平方公式变形得到，所以，然后解关于m的一元二次方程可得到满足条件的m的值； 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键． (1) 小问详解： 把代入方程得， 解得， ∴m的值为1； (2) 小问详解： ∵两直角边的长a，b恰好是方程的两根， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得舍去，， 的值为 13．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根． （2）当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 【答案】（1） 证明： ， 所以方程总有实数根；     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式；根与系数的关系，解一元二次方程． （1）先计算出，然后根据跟的判别式的意义得到方程有实数根； （2）利用根与系数的关系得到，即，解得，则原方程化为，然后利用直接开平方法求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的两个根为，由题意得： ，即，解得， 当时，方程两根互为相反数， 当时，原方程为， 解得：． 14．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若恰好是对角线长为的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据列出不等式解答即可； （）由一元二次方程根和系数的关系得，，又由勾股定理得，即得到，求出的值可得，进而即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质等，掌握相关知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得， ∴的取值范围是； (2) 小问详解： 解： 。 由题意得，，， ， ， 即， 解得，， 此时方程变为，此时，，满足两根为正的条件， ∴的值为， ， ∴矩形周长为． 15．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用，根据题意找准等量关系是解题关键． 设年平均增长率为x，根据增长率模型，2023年销售量经过2年增长到2025年销售量，列出方程，即可解题． 【详解】 解：∵ 初始销售量为18万辆，年增长率为x，经过2年增长后销售量为， ∴ 由题意得：． 故选：D． 2．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：C． 3．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（       ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． 画出方程的拼图过程，由面积之间的关系得，，即可求解． 【详解】 解：如图， 由题意得：，， ∴， 解得：，负值舍去，． 故选：B． 4．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，可得2024年销量为万辆，2025年销量为万辆，根据2025年销量为万辆，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设年平均增长率为x， ∵ 2023年销量为10万辆， 经过一年，2024年销量为万辆， 再经过一年，2025年销量为万辆， 又∵ 2025年销量为万辆， ∴． 故选：B 5．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 1或 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得方程，利用公式法求解即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：或（舍） 故选：C． 6．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式方程可列出． 【详解】 解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：C． 7．（25-26学年九上·河南许昌·期中）近年来，某山区践行“绿水青山就是金山银山”理念，大力发展经济林种植．月份新种植经济林果树棵，随着种植技术推广和政策激励，种植量稳步上升，月份种植经济林果树达到棵，若每月经济林果树的种植增长率为，则可列方程为（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查列一元二次方程增长率问题，从月到月经过两个月增长，每月增长率为，故月份种植量为，据此列出方程即可． 【详解】 解：设每月增长率为， 月份种植棵， 月份种植量为棵，月份种植量为棵， 又月份种植棵， ． 故选：C． 8．（25-26学年九上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（     ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 9．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （       ）人 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用． 设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． 【详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 10．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均增长率的等量关系，列出方程即可． 【详解】 解：设平均每月增长的百分率为x，由题意，得： ， 故选D． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】 解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：． 故选：D． 12．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值． 【详解】 解：由图2可知，当P点位于B点时，，即， 当P点位于E点时，，即，则， ∵, ∴, 即, ∵ ∴, ∵点为的中点， ∴, 故选：C． 【点睛】 本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法． 13．（25-26学年九上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理的实际应用及根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是用含的代数式表示出门的高和宽，再利用勾股定理建立方程．设门对角线长为尺，则竿长为尺；由“横之不出四尺”得门宽为尺，由“从之不出二尺”得门高为尺；因门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”，可列出方程，进而确定对应选项． 【详解】 解：设门对角线长为尺，则竿长为尺． 由题意可知，门宽为尺，门高为尺． 因为门的高、宽与对角线构成直角三角形， 根据勾股定理得：， 该方程与选项A一致． 故选：A． 14．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）项目学习 “山西三日游”的调研分析 背景 山西，华夏文明的重要发祥地之一，犹如一座矗立千年的文化宝库．太原、大同、平遥、运城等城市，承载着数千年的历史沧桑与王朝更迭的记忆．走进山西，能领略古老与现代交织的独特传奇画卷，感受中华传统文化的深邃与博大．从气势恢宏的云冈石窟到古朴沧桑的平遥古城，从巍峨险峻的雁门关到香火缭绕的五台山，每一处景点都诉说着山西厚重的历史故事．为了让更多的人了解山西，感受山西深厚的文化底蕴，某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”旅行活动的定价和报名人数进行调研． 素材1 活动推出后，9月份报名参加“山西三日游”的人数为2000人．随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，11月份的报名人数达到2880人． 素材2 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 问题解决 任务1 求10，11两个月“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率． 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务1和任务2． 【答案】任务1：10%；任务2：800元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设月平均增长率为x，再根据列出方程，求出解； 对于（2），设下调后每人的团费为y元，再根据每人的团费乘以总人数等于32000列出方程，求出解，并舍去不合题意的解． 【详解】 解：（1）设“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得（舍）， 所以10,11月两个月“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为； （2）设下调后每人的团费为y元，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以下调后每人的团费为800元． 15．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同55份，　　　　　商家参加了交易会． 【答案】11 【分析】 设共有x个商家参加了交易会，利用签订合同的总数＝参加会议的商家数×（参加会议的商家数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】 解：设共有x个商家参加了交易会， 依题意得：x（x﹣1）＝55， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 16．（25-26学年九上·河南周口·期中）如何制定销售方案 如何制定销售方案 素材一 某村在加入乡村振兴助农直播间个月期间，直播间累计观看直播人次万，其中第一个月收获的直播粉丝约为人，第三个月收获的直播粉丝约为人． 素材二 销售礼盒装茶叶的平均利润为元时，每天可销售盒，为了回馈粉丝，决定降价销售，已知礼盒装茶叶平均利润每下调元，每天可多售出盒． 素材三 每月直播间还会准备价值万元的奖品用于粉丝抽奖． 【问题解决】 任务一 计算增长率 （1）求第二、三月收获的直播粉丝数量的月均增长率； 任务二 拟定价格方案 （2）若想要销售礼盒装茶叶的月（按天算）总利润达到万元，则在让利于直播间粉丝的前提下，平均利润应下调多少元？ 【答案】任务一：；任务二：下调元 【分析】 本题考查一元二次方程解应用题，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． （1）设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为，由等量关系类二元一次方程求解即可得到答案； （2）设礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒，当销售礼盒装茶叶的月总利润为万元时，建立一元二次方程求解，根据题意取值即可得到答案． 【详解】 解：（1）设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为， 根据题意，得， 则， 解得，不符合题意，舍去， 第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为； （2）设礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒， 当销售礼盒装茶叶的月总利润为万元时，则， 整理，得， 则， 解得，， 在让利于直播间粉丝的前提下，应取最大值， ， 若想要销售礼盒装茶叶的月总利润达到万元，且在让利于直播间粉丝的前提下，平均一盒茶叶利润应下调元． 17．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． （1）若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出                 个模型． （2）在每个模型的利润不少于25元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为1200元，每个模型的售价应降低多少元？ （3）该模型平均每天的销售利润的最大利润为多少？此时应降价多少元？ 【答案】（1）28个；     （2）10元；     （3）最大利润1250，降价15元．      【分析】 （1）本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题中数据计算即可解题； （2）本题考查了一元二次方程的应用，设每个模型的售价降低元，则平均每天售出的个数为，每个模型利润为元，根据题意列出一元二次方程求解，即可解题； （3）本题考查了一元二次方程最大利润问题，将（2）中的利润表达式转化为，即可根据，得出每天的销售利润为最大利润时的情况． (1) 小问详解： 解：由题可得：当每个模型的售价降低4元时， 平均每天可售出的模型个数为：（个）， 故答案为：28个； (2) 小问详解： 解：设每个模型的售价降低元，则平均每天售出的个数为：，每个模型利润为：元， 由题可得：， 解得：或， 每个模型的利润不少于25元，即，解得， ， 每个模型的售价应降低10元； (3) 小问详解： 解：由（2）可得： 该模型平均每天的销售利润， ， ， ， ， 当时有最大值，且平均每天的销售利润最大值为元， 即最大利润为1250元，应降价15元． 18．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）“当你看小说时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面：当你打游戏时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你在教室嬉闹时，尼泊尔的背包客一起端起酒杯在火堆旁．有很多走不到的路，看不到的风光，遇不见的人，出去走走才会发现，世界有不一样的世界，有不一样的你．但少年，梦要你亲自实现，那些你看不到的风景和遇不到的人都将在你生命里出现”．这是某直播平台推销《备考案》辅导书时的台词，所推销辅导书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套． （1）当每套售价为38元时，求每天可以销售多少套？ （2）《备考案》公司不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每天利润中捐出250元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到2000元，且要最大限度让利消费者，求此时每套辅导书需要降价多少元？ 【答案】（1）120套     （2）5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据销售单价每降1元，则每天多销售10套，即可求出结论； （2）设每套辅导书降价元，则每套的销售利润为元，每天可销售套，利用总利润每套的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：（套）． 答：当每套售价为38元时，每天可以销售120套； (2) 小问详解： 解：设每套辅导书降价元，则每套的销售利润为元，每天可销售套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每套辅导书需要降价5元． 19．（25-26学年九上·河南郑州·期中）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正还渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为90万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；（2）下调后每辆汽车的售价为20万元 【分析】 本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，3月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为90万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，即辆， 根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 又∵此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 20．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米； （2）据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 【答案】（1）通道的宽是米     （2）当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． (1) 小问详解： 解：设通道的宽是x米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是米； (2) 小问详解： 设每个车位月租金上涨元， 根据题意，得：， 解得，， ∵租金需要优惠大众， ∴， 答：当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元． 21．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为_____元； （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题． 【答案】（1）320     （2）单价应定为8元      【分析】 考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润=每千克的利润销售数量即可得出答案； （2）该水果单价应定为元/千克，根据题意列出一元二次方程解答，再结合为了让利于顾客，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：当定价为13元/千克时， 此时可以卖出：千克， 利润为：元， (2) 小问详解： 解：该水果单价应定为元/千克， 由题意知， ， 整理得∶， 解得． 为了让利于顾客， 答：单价应定为8元． 22．（25-26学年九上·河南郑州·期中）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． （1）一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； （2）某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 【答案】（1）20000     （2）45人      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． (1) 小问详解： 解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 (2) 小问详解： 设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 23．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场次为，根据共比赛72场，列出方程即可． 【详解】 解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）某著名旅游景区在2023年春节长假期间，共接待游客70万人次，2025年春节长假期间，接待游客84.7万人次． （1）求该景区以2023-2025年春节长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季、若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯．若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．现在店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶变现平均每天6300元的利润？ 【答案】（1）平均增长率为     （2）当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可实现平均每天6300元的利润      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设年平均增长率为，根据“某著名旅游景区在2023年春节长假期间，共接待游客70万人次，2025年春节长假期间，接待游客84.7万人次”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客获得最大优惠， ， 当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 25．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为     （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 26．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节推出一种冰淇淋月饼，以150元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于150元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价10元，周销售量就增加3盒，已知该口味月饼的成本价为100元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元？ 【答案】（1）第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为     （2）当该口味月饼每盒降价20元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据题意假设未知数，构建方程是解题的关键． （1）周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量=增长前的量，列方程求解即可； （2）设每盒降价元，根据利润=（售价-成本）销售量，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%； (2) 小问详解： 解：设该口味月饼每盒降价元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得： ， 整理得， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当该口味月饼每盒降价20元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元． 27．（25-26学年九上·河南郑州·期中）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 2014年5月，习近平总书记在上汽集团考察时就指出，发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．要加大研发力度，认真研究市场，用好用活政策，开发适应各种需求的产品，使之成为一个强劲的增长点.2025年9月26日，第十五届中国河南国际投资贸易洽谈会在郑州国际会展中心顺利开幕，这次洽谈会的主题是以“共商开放合作共赢发展未来”为主题，吸引全球投资者，涵盖高端装备制造、新能源汽车等产业合作，并举办“知名侨商中原行”专场活动，推动豫企“走出去”． 素材1 洽谈会前，某品牌新能源汽车6月份全国销售量为2万辆，由于该车质量和性价比较高，该品牌汽车的销售量逐月递增，8月份的销售量达到2.88万辆． 素材2 洽谈会后，郑州某汽车销售公司签约了该品牌新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为8万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为40万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】任务1：增长率为20%；任务2：10万元 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； 任务1：设从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，然后根据题意可列方程，进而求解即可； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，由题意可列方程，进而求解即可． 【详解】 解：任务1：设从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为20%； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，即辆， 根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 又此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为10万元． 28．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，矩形中，点，分别从点，出发，沿，以每秒1个单位长度的速度向点，运动，两点到达，两点时停止运动，已知，．设运动时间为秒． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当四边形为矩形时，求的值； ②当四边形为菱形时，求的值； （3）当以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半时，直接写出此时的值． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴，， ∵点，分别从点，出发，沿，以每秒1个单位长度的速度向点，运动， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形；     （2）① 9，② 5     （3）或      【分析】 题目主要考查矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质得出，，再由题意确定，利用平行四边形的判定即可证明； （2）① 根据题意得：，确定，当时，四边形为矩形，建立方程即可求解；② 根据菱形的性质得出，利用勾股定理求解即可； （3）过点Q作，根据矩形的判定和性质得出，再由勾股定理表示出，根据题意列出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 根据题意得：， ∵矩形，，， ∴，， ∴， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：； ② ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：过点Q作，如图所示： ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半， ∴， 即， 解得：或． 29．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投0.5万件，那么该公司现有的29名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问需要至少增加几名业务员？ 【答案】（1）20%；（2）不能，需要至少增加6名业务员 【分析】（1）根据增长率问题运用题的等量关系即可求解； （2）根据（1）所得增长率，即可求出6月份的投递总件数，进而进行比较，再计算得出结果． 【详解】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得 10（1+x）2＝14．4 解得x1＝0．2，x2＝﹣2．2（不符合题意，舍去）， 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%． （2）由（1）得， 14．4×1．2＝17．28（万件）， 29×0．5＝14．5， 14．5＜17．28， 故不能完成任务． 因为（17．28﹣14．5）÷0．5＝5．56， 所以还需要至少增加6名业务员． 答：需要至少增加6名业务员． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出数量关系，列出方程． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根，则m的值是（　　） A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2 2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）下列是一元二次方程的是（） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）下列属于一元二次方程的是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南郑州·期中）下列方程中，关于的一元二次方程是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南郑州·期中）下列方程中是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）一元二次方程 3x2=5x+2 的二次项的系数为 3，则一次项的系数和常数项分别为 （ ） A. 5，2 B. 5，﹣2 C. ﹣5，2 D. ﹣5，﹣2 9．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（） A. 3，4 B. 3，-5 C.  D.  10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）方程的一次项系数是（　　） A.  B. 4 C. 0 D. 9 11．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为　　 A. 4，3 B. 4，7 C. 4， D. ， 12．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）若方程是关于的一元二次方程，则（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）一元二次方程的二次项系数是1，则下列说法错误的是（     ） A. 一次项系数是 B. 常数项是6 C. 是它的一个根 D. 是它的一个根 15．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）若是一元二次方程的解，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（       ） A. 2024 B. 2023 C. 2022 D. 2021 17．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若是方程的一个根，则的值为　　　　　． 18．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）关于的方程的一个根是，则的值是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）写出一个一次项系数为0的一元二次方程：　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　． 21．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）若关于的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）已知m是方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 23．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）已知m是关于x的方程的一个根，则＝　　　　　　． 24．（25-26学年九上·河南郑州·期中）已知是方程的一个根，则　　　　　　　　　　　 25．（25-26学年九上·河南信阳·期中）将一元二次方程化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则　　　　　　． 27．（25-26学年九上·河南商丘·期中）已知关于的一元二次方程的一个根是，则　　　　　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）解一元二次方程，配方后正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）一元二次方程配方后可化为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南周口·期中）若一元二次方程经过配方，变形为，则n的值为　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）解方程： （1）x2－6x－4＝0；              （2）3x(x－2)＝2x－4． 考点03 公式法 1．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 2．（25-26学年九上·河南周口·期中）一元二次方程根的情况为（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 3．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A.  B.  C. 且 D. 且 4．（25-26学年九上·河南郑州·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（       ） A.  B. 1 C. 3 D. 5 5．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）已知方程，在中添加一个合适的数字，使该方程有两个不相等的实数根，则添加的数字可以是（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C. 且 D. 且 8．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A.  B.  C.  D. 0 9．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A. 且 B.  C. 且 D.  10．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a，c的值可以是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 13．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）解方程∶ （1）； （2）； 14．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　　　　． 16．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）（1）解方程：； （2）计算：． 17．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　　　． 18．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 19．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·河南商丘·期中）给出一种运算：对于函数，规定．若函数，则有，已知函数，则方程的解是（       ） A.  B.  C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·河南商丘·期中）若三角形的两边长分别是2和5，第三边的长是方程 的一个根，则这个三角形的周长是（       ） A. 11 B. 10 C. 10或11 D. 10或12 3．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）方程的根为　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）解下列方程． （1）； （2）． 5．（25-26学年九上·河南商丘·期中）解方程． （1）； （2）． 6．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）解方程： （1）； （2）． 7．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）一元二次方程的两根是　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）已知：关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）若为方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 9．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）解方程： （1）； （2）（用配方法）． 10．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）用适当的方法解方程： （1） （2） 11．（25-26学年九上·河南信阳·期中）解方程： （1）；（因式分解法） （2）． 12．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程， 请仔细阅读并完成相应的任务． 小刚同学：解：第一步第二步第三步解得第四步 小颖同学：解：第一步第二步第三步或第四步解得第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________ 任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________ 任务三：解方程：； 13．（25-26学年九上·河南许昌·期中）解方程． （1） （2） 14．（25-26学年九上·河南周口·期中）解方程： （1）； （2）． 15．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）用适当的方法解方程∶ （1）； （2）． 16．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）解下列方程： （1） （2） 17．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个实数根为2，求另一个实数根； 18．（25-26学年九上·河南郑州·期中）解方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）【阅读感知】 我们知道，解形如的方程可以通过因式分解，将其转化为，这样就可以得到：或，从而求出方程的解．类似地，我们也可以利用因式分解来解一些新的方程，例如一元三次方程，可以通过提公因式法把它转化为，从而得到或，再解方程，就可以得到原一元三次方程的解为，，． 【理解应用】 （1）将因式分解得________________； （2）解方程：； 【知识拓展】 （3）运用“转化”的思想解方程：． 20．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）解方程： （1）． （2）． 21．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 22．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）解方程： （1） （2） 23．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）解方程： （1）． （2）． 24．（25-26学年九上·河南郑州·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根． （2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 25．（25-26学年九上·河南郑州·期中）解方程： （1） ； （2） ． 26．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）解方程． （1）； （2）． 27．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）解方程： （1）； （2）． 28．（25-26学年九上·河南信阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为（     ） A. 4050 B. 4054 C.  D.  2．（25-26学年九上·河南信阳·期中）已知m和n分别为一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知一元二次方程的一个根为，则另一个根　　　　　　． 4．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 　　　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，是这个方程的两个根，且，求k的值． 6．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）方程的两根之积是　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知关于的方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围； （2）当方程的两个根满足时，求的值． 9．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 10．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）已知：关于x的方程x2+2mx+m2-1=0 （1）不解方程，判别方程根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值． 12．（25-26学年九上·河南商丘·期中）关于x的一元二次方程 （1）若方程的一个根是，求m的值； （2）在中，，斜边，两直角边的长a，b恰好是方程的两根，求m的值． 13．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）已知关于x的方程． （1）求证：方程总有实数根． （2）当为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解． 14．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若恰好是对角线长为的矩形的相邻两边的边长，求这个矩形的周长． 15．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，2023年某款新能源汽车销售量为18万辆，销售量逐年增加，2025年预估销售量为23.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）我国三国时期的数学家赵爽（公元2~3世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何解法．以方程，即为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为，同时也可以表示为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此有，可得方程的正数解为．小明用此方法解关于的方程时，构造出类似的图形，如果大正方形的面积为41，小正方形的面积为9，则的值分别为（       ） A. 2，8 B. 3，8 C. 2，9 D. 3，9 4．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）某品牌新能源汽车2023年销量为10万辆，2025年销量达到万辆，设这两年销量的年平均增长率为，则可列的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（       ） A. 1 B.  C.  D. 1或 6．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南许昌·期中）近年来，某山区践行“绿水青山就是金山银山”理念，大力发展经济林种植．月份新种植经济林果树棵，随着种植技术推广和政策激励，种植量稳步上升，月份种植经济林果树达到棵，若每月经济林果树的种植增长率为，则可列方程为（） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·河南周口·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（     ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 9．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （       ）人 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）某工厂今年1月份的产值为25万元，2月份和3月份的总产值为62万元．若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·河南信阳·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为(     ) A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）项目学习 “山西三日游”的调研分析 背景 山西，华夏文明的重要发祥地之一，犹如一座矗立千年的文化宝库．太原、大同、平遥、运城等城市，承载着数千年的历史沧桑与王朝更迭的记忆．走进山西，能领略古老与现代交织的独特传奇画卷，感受中华传统文化的深邃与博大．从气势恢宏的云冈石窟到古朴沧桑的平遥古城，从巍峨险峻的雁门关到香火缭绕的五台山，每一处景点都诉说着山西厚重的历史故事．为了让更多的人了解山西，感受山西深厚的文化底蕴，某旅行社推出“山西三日游”旅行活动，现要对活动方案进行升级，需要对“山西三日游”旅行活动的定价和报名人数进行调研． 素材1 活动推出后，9月份报名参加“山西三日游”的人数为2000人．随着旅游热度不断提升，报名人数逐月递增，11月份的报名人数达到2880人． 素材2 该旅行社“山西三日游”活动的初步方案：30人起组团，每人的团费为900元．经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不低于750元． 问题解决 任务1 求10，11两个月“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率． 任务2 若该旅行社要使平均每个团的总团费为32000元，求下调后每人的团费． 请完成“问题解决”中的任务1和任务2． 15．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）某次商品交易会上，所有参加会议的商家之间都签订了一份合同，共签订合同55份，　　　　　商家参加了交易会． 16．（25-26学年九上·河南周口·期中）如何制定销售方案 如何制定销售方案 素材一 某村在加入乡村振兴助农直播间个月期间，直播间累计观看直播人次万，其中第一个月收获的直播粉丝约为人，第三个月收获的直播粉丝约为人． 素材二 销售礼盒装茶叶的平均利润为元时，每天可销售盒，为了回馈粉丝，决定降价销售，已知礼盒装茶叶平均利润每下调元，每天可多售出盒． 素材三 每月直播间还会准备价值万元的奖品用于粉丝抽奖． 【问题解决】 任务一 计算增长率 （1）求第二、三月收获的直播粉丝数量的月均增长率； 任务二 拟定价格方案 （2）若想要销售礼盒装茶叶的月（按天算）总利润达到万元，则在让利于直播间粉丝的前提下，平均利润应下调多少元？ 17．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十六号”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，发现每个模型的售价每降低1元，平均每天可多售出2个． （1）若每个模型的售价降低4元，平均每天可售出                 个模型． （2）在每个模型的利润不少于25元的前提下，要使该模型平均每天的销售利润为1200元，每个模型的售价应降低多少元？ （3）该模型平均每天的销售利润的最大利润为多少？此时应降价多少元？ 18．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）“当你看小说时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面：当你打游戏时，南太平洋的海鸥正掠过海岸；当你在教室嬉闹时，尼泊尔的背包客一起端起酒杯在火堆旁．有很多走不到的路，看不到的风光，遇不见的人，出去走走才会发现，世界有不一样的世界，有不一样的你．但少年，梦要你亲自实现，那些你看不到的风景和遇不到的人都将在你生命里出现”．这是某直播平台推销《备考案》辅导书时的台词，所推销辅导书的成本为每套20元，当售价为每套40元时，每天可销售100套．为了吸引更多的顾客，平台采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天多销售10套． （1）当每套售价为38元时，求每天可以销售多少套？ （2）《备考案》公司不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每天利润中捐出250元帮助云南贫困山区的学生，为了保证捐款后每天利润达到2000元，且要最大限度让利消费者，求此时每套辅导书需要降价多少元？ 19．（25-26学年九上·河南郑州·期中）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正还渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆． 素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆． 问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为90万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 20．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）某展览中心新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示、已知每层长米，宽米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层的喷漆面积为平方米． （1）求通道的宽是多少米； （2）据调查分析，停车楼剩余个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元？ 21．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． （1）当定价为13元/千克时，该水果店每日的利润为_____元； （2）若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，为了让利于顾客，单价应定为多少？请用方程的方法解决问题． 22．（25-26学年九上·河南郑州·期中）某风景区的旅游信息如下表： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费800元 超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元． （1）一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元； （2）某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数． 23．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共比赛72场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，所列方程为　　　　　． 24．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）某著名旅游景区在2023年春节长假期间，共接待游客70万人次，2025年春节长假期间，接待游客84.7万人次． （1）求该景区以2023-2025年春节长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季、若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯．若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．现在店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶变现平均每天6300元的利润？ 25．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 26．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节推出一种冰淇淋月饼，以150元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒． （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下，第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于150元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价10元，周销售量就增加3盒，已知该口味月饼的成本价为100元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元？ 27．（25-26学年九上·河南郑州·期中）根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 2014年5月，习近平总书记在上汽集团考察时就指出，发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．要加大研发力度，认真研究市场，用好用活政策，开发适应各种需求的产品，使之成为一个强劲的增长点.2025年9月26日，第十五届中国河南国际投资贸易洽谈会在郑州国际会展中心顺利开幕，这次洽谈会的主题是以“共商开放合作共赢发展未来”为主题，吸引全球投资者，涵盖高端装备制造、新能源汽车等产业合作，并举办“知名侨商中原行”专场活动，推动豫企“走出去”． 素材1 洽谈会前，某品牌新能源汽车6月份全国销售量为2万辆，由于该车质量和性价比较高，该品牌汽车的销售量逐月递增，8月份的销售量达到2.88万辆． 素材2 洽谈会后，郑州某汽车销售公司签约了该品牌新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为8万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为15万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为40万元． 问题解决 任务1 根据素材1，求从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 28．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，矩形中，点，分别从点，出发，沿，以每秒1个单位长度的速度向点，运动，两点到达，两点时停止运动，已知，．设运动时间为秒． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）①当四边形为矩形时，求的值； ②当四边形为菱形时，求的值； （3）当以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半时，直接写出此时的值． 29．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投0.5万件，那么该公司现有的29名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问需要至少增加几名业务员？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．D 9．D 10．C 11．C 12．A 13．B 14．D 15．D 16．C 17．【答案】2 【分析】 本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】 解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 18．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，把代入计算即可求解． 【详解】 解：根据题意，把代入得，， 解得，， 故答案为： ． 19．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的一般形式中一次项系数的要求． 根据一元二次方程的定义，构造一个二次项系数不为、一次项系数为的方程即可，如（答案不唯一）． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式为（）． 由题意，一次项系数为0，即， 因此方程化为．例如， 满足条件，其中，，． 故答案为（答案不唯一）． 20．【答案】2025 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 21．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的定义，以及绝对值，利用一元二次方程的定义判断即可，利用一元二次方程的定义判断即可 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， ∴， 故答案为： 22．【答案】 【分析】 本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】 解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 23．【答案】6 【详解】 解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴， ∴， ∴=6， 故答案为6． 24．【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；根据一元二次方程根的定义，将m代入方程得到，然后代入所求表达式化简计算即可． 【详解】 解：因为m是方程的根，所以， 则； 故答案为2027． 25．【答案】 【分析】 此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】 解：∵， ∴， ∴一次项系数是． 故答案为：． 26．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】 解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 27．【答案】 【分析】 解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点02 配方法 1．D 2．A 3．B 4．B 5．【答案】10 【分析】 根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】 解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故答案为：． 6．【答案】（1）x1＝3＋，x2＝3－；（2）x1＝ ，x2＝2 【分析】 （1）先配方、然后运用直接开平方法解答即可； （2）先对2x－4因式分解，然后再移项，最后运用因式分解法解答即可 【详解】 解：（1）x2－6x＋9－9－4＝0 (x－3) 2＝13 x－3＝± x1＝3＋，x2＝3－ （2）3x(x－2)＝2(x－2) 3x(x－2)－2(x－2)＝0 (3x－2) (x－2)＝0 x1＝，x2＝2． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法以及因式分解法是解答本题的关键． 考点03 公式法 1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B 7．C 8．C 9．C 10．B 11．B 12．C 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ， ∴ ， ∴， 解得：． 14．【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程有实根的条件和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义以及根的判别式求解即可. 【详解】 解：一元二次方程 有实根， 则 ，即 ，判别式 。 令 ，得 ，解得 。 则且, 故答案为：且. 15．【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 16．【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查了解一元二次方程，二次根式的混合运算． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】 解：（1）， ，，， ，则方程有两个不相等实数根， 所以， 即，； （2）原式 ． 17．【答案】且 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；同时，二次项系数不能为零． 【详解】 解：方程是一元二次方程，因此二次项系数，即． ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 综上，的取值范围为且． 故答案为：且． 18．【答案】（1） 证明： ， ， ，即， 无论取何值，这个方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）先由公式法求出，再分两种情况讨论求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ． 当时，，故舍去； 当或时， 即，解得， 所以的周长． 19．【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．     （2）或．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 考点04 因式分解法 1．C 2．A 3．【答案】 【详解】 解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． (1) 小问详解： 解： 即：； 解得：； (2) 小问详解： 解： 即：； 解得：． 5．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法和因式分解法是解题的关键． （1）先变形，然后再运用配方法解答即可； （2）先将方程化成一般式，然后再运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 6．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （1）把方程化为，再进一步解方程即可求得答案． （2）把方程化为，再进一步解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，． 7．【答案】， 【分析】 本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的根据，根据可得，，即可． 【详解】 解：， 或， 解得：，． 故答案为：，． 8．【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个实数根；     （2）；      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）只需要证明即可证明结论； （2）把代入原方程求出m的值，进而可得到原方程，再解原方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵为方程的一个根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 9．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程方法中的因式分解法及十字相乘法．掌握因式分解法中十字相乘法和配方法的基本步骤是解题的关键． 用十字相乘法对原方程进行因式分解，计算即可得解． 先将二次项系数化为，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行配方，计算即可得解． (1) 小问详解： （1）解 或 ∴， (2) 小问详解： （2）解： ∴ ∴或 ∴， 10．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程的问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可． （2）根据根的判别式确定方程根的情况，再利用一元二次方程求根公式求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或， 解得，． (2) 小问详解： 解：． ∵，，， ， ∴． ∴，． 11．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后提取公因式得两个 一元一次方程，求解这两个一元一次方程即可得解除； （2）方程运用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ，， ∴，； (2) 小问详解： 解：， 这里， ， ∴， ∴，． 12．【答案】任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的2没有变号； 任务二：，； 任务三：，． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 任务一：① 根据等式的性质即可判断求解；② 根据去括号法则即可判断求解； 任务二：利用因式分解法解方程即可求解； 任务三：利用因式分解法解答即可求解． 【详解】 解：任务一：① 小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式， 故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式； ② 小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号， 故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号； 任务二：， ， 即， 或， 解得，； 故答案为：，； 任务三：∵， ∴， ∴或， ∴，． 13．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴， ∴ 解得，． 14．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特征选用因式分解法、配方法等合适方法求解． （1）将变形为，提取公因式进行因式分解求解； （2）通过配方将方程化为完全平方式，再开方求解． (1) 小问详解： 解： 或 ， (2) 小问详解： 解： ， 15．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ，即， ∴或， 解得． 16．【答案】（1）     （2），．      【分析】 本题考查解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握公式法与因式分解法． （1）利用公式法求解，即可解题； （2）利用因式分解法求解，即可解题； (1) 小问详解： 解：， 则， ， ， ； (2) 小问详解： 解： 则或， 解得，． 17．【答案】（1） 证明： ， ∴方程总有两个不相等的实数根；     （2）另一个实数根为或8．      【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，方程的解，解一元二次方程． （1）证明即可解题； （2）把代入方程，解关于m的一元二次方程，进一步计算即可求解． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：把代入方程得： ， 整理得， 解得：，． 当时，方程为， 解得：，； 当时，方程为， 解得：，； 综上，另一个实数根为或8． 18．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，重点考查十字相乘法和因式分解，解题的关键在于掌握十字相乘法，找到合适的数使用十字相乘法，即形如，寻找两个数，它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数；掌握因式分解法的核心思想，即通过因式分解将一元二次方程化为“”的形式，从而转化为两个简单的一元一次方程或来求解． （1）使用十字相乘法，寻找两个数，它们的乘积等于常数项，它们的和等于一次项系数，那么这两个数为和，按照十字相乘法的格式，方程分解为，令每个一次因式为，即可解得． （2）移项：将方程右边的项移到左边；提取公因式，令每个一次因式为，即可解得． (1) 小问详解： 解： ，． (2) 小问详解： 解： 或， ，． 19．【答案】（1）；（2），，；（3） 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键： （1）提公因式法进行因式分解即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）方程两边平方，将无理方程转化为一元二次方程求解，注意检验增根． 【详解】 解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴． ∴或． 解，得，． ∴原方程的解为，，． （3）方程的两边平方，得． 整理，得． 解得，． ∵，， ∴． ∴原方程的解为． 20．【答案】（1）      （2） ,       【分析】 此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． (1) 小问详解： 解： ∴或， ∴； (2) 小问详解： ∴ ∴． 21．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：原方程化为 ∴或 ∴，； (2) 小问详解： 解：原方程化为 ∴，即 ∴或 ∴，． 22．【答案】（1），；     （2），.      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次的因式分解法是解答关键. （1）用因式分解法解方程求解； （2）先提取公因式，再移项，提取公因式来求解. (1) 小问详解： 解：由原方程得 或 ，； (2) 小问详解： 解：原方程变形为 移项得 提取公因式得 或 ，. 23．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ， 或， 所以． 24．【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；     （2）或4．      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式：① 当，方程有两个不相等的实数根；② 当，方程有两个相等的实数根；③ 当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 25．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）使用配方法进行求解即可； （2）使用因式分解法进行求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得，； (2) 小问详解： 解： 或 解得，． 26．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， (2) 小问详解： 解; , , , ，． 27．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项，配方、开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． (1) 小问详解： 解：（1）， ， ， ， ， ； (2) 小问详解： ， ， 或， ． 28．【答案】（1）     （2）当时，另一个根为；当时，另一个根为5      【分析】 本题考查解一元二次方程和一元二次方程的解、根的判别式． （1）根据方程有两个实数根，则，求解即可． （2）把代入，得出关于m的方程求解即可求出m值，再把m值代入方程，然后解一元二次方程即可求解． (1) 小问详解： 解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：； (2) 小问详解： 解：把代入，得， 解得：或， 分以下两种情况： 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为； 当时，方程为， 解得或， 此时另一个根为5； 综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．C 3．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解． 【详解】 解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得． 因为，所以， 解得． 故答案为：2． 4．【答案】 【分析】 直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，代入中即可求解． (1) 小问详解： ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴解得：， 即k的取值范围为：； (2) 小问详解： ∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，若，是方程的两个根，则有，．掌握该知识点是解答本题的关键． 6．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握“在一元二次方程中，两根之积为”． 先将方程化为一般形式，再根据根与系数的关系直接求出两根之积． 【详解】 解：方程 可化为 ， 其中 ，，． 根据根与系数的关系，两根之积 ． 故答案为： 7．【答案】4 【详解】∵一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根是x1、x2，a=1，b=-4， ∴x1+x2= =4. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之，即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，．结合，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值． (1) 小问详解： 解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为； (2) 小问详解： ∵关于的方程的两个根分别为：，， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得， ∴， 解得：，， ∵， ∴m的值为． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是∶ （1）牢记“当时，方程有两个实数根”；(2)利用根与系数的关系结合，找出关于m的一元次方程． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，列式，再进行计算，即可作答． （2）先结合，整理得，根据根与系数的关系，得，再分别代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵、是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， 即， 整理得， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∵、是关于的一元二次方程的两个实数根． ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 则， 解得， 由（1）得， ∴． 10．【答案】2027 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】 解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 11．【答案】（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0， 即方程有两个不相等的实数根； （2）m=-4或m=-2 【分析】 (1) 、根据根的判别式判断即可； (2) 、将x=3代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【详解】 (1) 略 (2) 、∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3， ∴把x=3代入方程得：32+2m×3+m2﹣1=0， 整理得：m2+6m+8=0， 解得：m=﹣4或m=﹣2 12．【答案】（1）m的值为1     （2）的值为      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系和勾股定理等知识点， 把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可； 先根据根与系数的关系得到，，再利用勾股定理得到，根据完全平方公式变形得到，所以，然后解关于m的一元二次方程可得到满足条件的m的值； 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解决此题的关键． (1) 小问详解： 把代入方程得， 解得， ∴m的值为1； (2) 小问详解： ∵两直角边的长a，b恰好是方程的两根， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得舍去，， 的值为 13．【答案】（1） 证明： ， 所以方程总有实数根；     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式；根与系数的关系，解一元二次方程． （1）先计算出，然后根据跟的判别式的意义得到方程有实数根； （2）利用根与系数的关系得到，即，解得，则原方程化为，然后利用直接开平方法求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设方程的两个根为，由题意得： ，即，解得， 当时，方程两根互为相反数， 当时，原方程为， 解得：． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据列出不等式解答即可； （）由一元二次方程根和系数的关系得，，又由勾股定理得，即得到，求出的值可得，进而即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，矩形的性质等，掌握相关知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 解得， ∴的取值范围是； (2) 小问详解： 解： 。 由题意得，，， ， ， 即， 解得，， 此时方程变为，此时，，满足两根为正的条件， ∴的值为， ， ∴矩形周长为． 15．【答案】（1） 证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根．     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．D 2．C 3．B 4．B 5．C 6．C 7．C 8．D 9．B 10．D 11．D 12．C 13．A 14．【答案】任务1：10%；任务2：800元 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设月平均增长率为x，再根据列出方程，求出解； 对于（2），设下调后每人的团费为y元，再根据每人的团费乘以总人数等于32000列出方程，求出解，并舍去不合题意的解． 【详解】 解：（1）设“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得（舍）， 所以10,11月两个月“山西三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率为； （2）设下调后每人的团费为y元，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以下调后每人的团费为800元． 15．【答案】11 【分析】 设共有x个商家参加了交易会，利用签订合同的总数＝参加会议的商家数×（参加会议的商家数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】 解：设共有x个商家参加了交易会， 依题意得：x（x﹣1）＝55， 整理得：x2﹣x﹣110＝0， 解得：＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 16．【答案】任务一：；任务二：下调元 【分析】 本题考查一元二次方程解应用题，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． （1）设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为，由等量关系类二元一次方程求解即可得到答案； （2）设礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒，当销售礼盒装茶叶的月总利润为万元时，建立一元二次方程求解，根据题意取值即可得到答案． 【详解】 解：（1）设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为， 根据题意，得， 则， 解得，不符合题意，舍去， 第二、三个月收获的直播粉丝数量的月均增长率为； （2）设礼盒装茶叶平均一盒利润应下调元，则平均一盒茶叶的利润为元，每天的销量为盒， 当销售礼盒装茶叶的月总利润为万元时，则， 整理，得， 则， 解得，， 在让利于直播间粉丝的前提下，应取最大值， ， 若想要销售礼盒装茶叶的月总利润达到万元，且在让利于直播间粉丝的前提下，平均一盒茶叶利润应下调元． 17．【答案】（1）28个；     （2）10元；     （3）最大利润1250，降价15元．      【分析】 （1）本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题中数据计算即可解题； （2）本题考查了一元二次方程的应用，设每个模型的售价降低元，则平均每天售出的个数为，每个模型利润为元，根据题意列出一元二次方程求解，即可解题； （3）本题考查了一元二次方程最大利润问题，将（2）中的利润表达式转化为，即可根据，得出每天的销售利润为最大利润时的情况． (1) 小问详解： 解：由题可得：当每个模型的售价降低4元时， 平均每天可售出的模型个数为：（个）， 故答案为：28个； (2) 小问详解： 解：设每个模型的售价降低元，则平均每天售出的个数为：，每个模型利润为：元， 由题可得：， 解得：或， 每个模型的利润不少于25元，即，解得， ， 每个模型的售价应降低10元； (3) 小问详解： 解：由（2）可得： 该模型平均每天的销售利润， ， ， ， ， 当时有最大值，且平均每天的销售利润最大值为元， 即最大利润为1250元，应降价15元． 18．【答案】（1）120套     （2）5元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，理解题意得到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据销售单价每降1元，则每天多销售10套，即可求出结论； （2）设每套辅导书降价元，则每套的销售利润为元，每天可销售套，利用总利润每套的销售利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得：（套）． 答：当每套售价为38元时，每天可以销售120套； (2) 小问详解： 解：设每套辅导书降价元，则每套的销售利润为元，每天可销售套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：． 答：每套辅导书需要降价5元． 19．【答案】（1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为；（2）下调后每辆汽车的售价为20万元 【分析】 本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，3月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为90万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】 解：任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，即辆， 根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 又∵此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 20．【答案】（1）通道的宽是米     （2）当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． (1) 小问详解： 解：设通道的宽是x米， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是米； (2) 小问详解： 设每个车位月租金上涨元， 根据题意，得：， 解得，， ∵租金需要优惠大众， ∴， 答：当每个车位的月租金上涨元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为元． 21．【答案】（1）320     （2）单价应定为8元      【分析】 考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克即可求出当定价为13元/千克时每天可卖出的千克数，再根据总利润=每千克的利润销售数量即可得出答案； （2）该水果单价应定为元/千克，根据题意列出一元二次方程解答，再结合为了让利于顾客，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：当定价为13元/千克时， 此时可以卖出：千克， 利润为：元， (2) 小问详解： 解：该水果单价应定为元/千克， 由题意知， ， 整理得∶， 解得． 为了让利于顾客， 答：单价应定为8元． 22．【答案】（1）20000     （2）45人      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性． （1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用； （2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数． (1) 小问详解： 解：由题意得（元） 应该支付20000元． 故答案为：20000 (2) 小问详解： 设参加这次旅游的人数是人， （元），， ． 根据题意得：． 解得：，， 当时，人均旅游费用为，符合题意， 当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去． 答：参加这次旅游的有45人． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的球队有x支，每两支球队之间进行两场比赛，总比赛场次为，根据共比赛72场，列出方程即可． 【详解】 解：设参加比赛的球队有x支， 依题意得：． 故答案为：． 24．【答案】（1）平均增长率为     （2）当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可实现平均每天6300元的利润      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设年平均增长率为，根据“某著名旅游景区在2023年春节长假期间，共接待游客70万人次，2025年春节长假期间，接待游客84.7万人次”，列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，根据题意得出一元二次方程，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客获得最大优惠， ， 当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 25．【答案】（1）每次下降的百分率为     （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 26．【答案】（1）第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为     （2）当该口味月饼每盒降价20元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元      【分析】 本题考查一元二次方程的应用，根据题意假设未知数，构建方程是解题的关键． （1）周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量=增长前的量，列方程求解即可； （2）设每盒降价元，根据利润=（售价-成本）销售量，列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%； (2) 小问详解： 解：设该口味月饼每盒降价元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得： ， 整理得， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：当该口味月饼每盒降价20元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2340元． 27．【答案】任务1：增长率为20%；任务2：10万元 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； 任务1：设从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，然后根据题意可列方程，进而求解即可； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，由题意可列方程，进而求解即可． 【详解】 解：任务1：设从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：从6月份到8月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为20%； 任务2：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，即辆， 根据题意得：， 整理得：． 解得：，， 又此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为10万元． 28．【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴，， ∵点，分别从点，出发，沿，以每秒1个单位长度的速度向点，运动， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形；     （2）① 9，② 5     （3）或      【分析】 题目主要考查矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质得出，，再由题意确定，利用平行四边形的判定即可证明； （2）① 根据题意得：，确定，当时，四边形为矩形，建立方程即可求解；② 根据菱形的性质得出，利用勾股定理求解即可； （3）过点Q作，根据矩形的判定和性质得出，再由勾股定理表示出，根据题意列出方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 根据题意得：， ∵矩形，，， ∴，， ∴， 当时，四边形为矩形， ∴， 解得：； ② ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 解得：； (3) 小问详解： 解：过点Q作，如图所示： ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以为对角线的正方形面积是矩形的面积的一半， ∴， 即， 解得：或． 29．【答案】（1）20%；（2）不能，需要至少增加6名业务员 【分析】（1）根据增长率问题运用题的等量关系即可求解； （2）根据（1）所得增长率，即可求出6月份的投递总件数，进而进行比较，再计算得出结果． 【详解】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得 10（1+x）2＝14．4 解得x1＝0．2，x2＝﹣2．2（不符合题意，舍去）， 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%． （2）由（1）得， 14．4×1．2＝17．28（万件）， 29×0．5＝14．5， 14．5＜17．28， 故不能完成任务． 因为（17．28﹣14．5）÷0．5＝5．56， 所以还需要至少增加6名业务员． 答：需要至少增加6名业务员． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找出数量关系，列出方程． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $