专题06 相似（期中真题汇编，河南专用）九年级数学上学期

专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）已知，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意． 故选：B． 2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（       ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 【答案】A 【分析】 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答． 【详解】 解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为4：6＝2：3，1.5：2＝3：4，2：3， ∴甲和丙相似， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查相似多边形的概念，解题关键是证明对应边成比例． 3．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是，小明同学的最佳身高是（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查线段的比、比例的性质，能根据题意列出比例式是解答的关键． 根据题意列出比例式，根据比例性质求解即可． 【详解】 解：设头顶至肚脐的长度为，根据题意， 得：=， ∴， 则此人身高大约为， 故选：B． 4．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）下列各组图中，不是相似图形的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形． 根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】 解：选项A、B、D的形状相同，但大小不同，符合相似形的定义； 选项C形状不相同，不符合相似形的定义； 故选：C． 5．（25-26学年九上·河南郑州·期中）将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 利用相似多边形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的两个图形相似，进而判断即可． 【详解】 解：∵矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等， ∴变化前后的两个矩形不相似， ∵三角形、菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等， ∴变化前后的两个三角形、菱形、正方形相似， 故选：C． 6．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）若，则下列比例式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例的性质．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，故本选项符合题意； C、由得，，故本选项不符合题意； D、由得，，故本选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割．形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（       ）（注：黄金分割比是） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】 解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故选：B． 8．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）已知，则下列各式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 比例的性质：内项之积等于外项之积，依此即可求解． 【详解】 解：A、由可得，与已知条件相符，故该选项正确，符合题意； B、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； C、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意； D、由可得，与不相符，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 9．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）已知，，，是成比例线段，其中，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例．根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可． 【详解】 ∵ ，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴. 故选：B 10．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据黄金分割的概念得到比例式，据此逐项分析即可解答． 【详解】 解：∵P是线段的黄金分割点，且， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∵P是线段的黄金分割点， ∴，即，则B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵， ∴整理得：，即D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 11．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）已知，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了比例的性质，由已知比例式，通过设参数表示变量，再求比值． 【详解】 解：设（）， 则，， 因此． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）若，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查比例的性质知识点，解题的关键是利用比例的等比性质． 根据比例的等比性质，若，则，直接代入求解． 【详解】 已知，根据比例的等比性质：若，那么．在此题中，所以． 故答案为：． 14．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】.5 【分析】 本题考查分式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件 可得 ，代入所求表达式 中，通过化简即可得到结果． 【详解】 解： ， ∴ ， 则 ． 故答案为： 15．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知，且，则的值是 　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质正确表示出各数是解题的关键． 设，，，代入得出，求出即可． 【详解】 解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 【详解】 解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由平行线分线段成比例定理可得＝＝，再利用比例的性质求得的值即可． 【详解】 解：∵DE//AB， ∴＝＝， ∴＝． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质等知识点，灵活应用平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 2．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，，若，，则的长为（       ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】D 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．先根据平行线分线段成比例定理可得，则可得的长，再根据求解即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，已知，是的中线，是的中点，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】 解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，交于点O，，，，点E，F分别是、的中点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，利用“相似三角形对应中线的比等于相似比”即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵点E，F分别是、的中点， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 3．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握平行线的性质，构造三角形相似是解题的关键． 如图所示，过点作平行线的垂线，分别交于点，可得，则有，由此即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作平行线的垂线，分别交于点， ∵“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A. ∠ABD＝∠C B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. ＝ 【答案】C 【分析】 由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：∵∠A是公共角， ∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求； 当＝时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求； 当＝时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求， 故选：C． 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用． 5．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】 解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 6．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点，     ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 7．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（     ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】 画出平面直角坐标系，把点标出来，找到符合条件的点P，通过相似三角形的判定去证明是否成立．本题考查相似三角形的存在性问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的时候把情况考虑全面． 【详解】 解：设, ∵，，，， ∴，，，． ① 如图，P点在B、D之间，此时， ∴， ∴， 解得， ∴； ② 如图，P点在B点上方时，此时， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， ∴； ③P点在B点下方时，有两种情况； （ⅰ）时， 则， ∴， 解得（舍去），或， ∴； （ⅱ）时， 则， ∴， 解得， ∴． 综上，所有符合条件的点P点有4个 ． 故选：C． 8．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 首先证明，求出，连结，设与交于点F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理构建方程求出即可解决问题． 【详解】 解：∵矩形的边，， ∴，，， 由题意知， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴，即， 连接，设与交于点F， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴点的坐标是， 故选：D． 【点睛】 本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等知识，通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质求出的长是解题的关键． 9．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，、为对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，找出相似三角形得出比例线段是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，根据平行线判定可得，，根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】 解：， 设，，， 在中，， ，， ，， ，， ， ． 故选：B． 10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用相关性质是解题的关键． 设交于点，证明，可得，可求得，证明，求得，可利用勾股定理求得，即可解答． 【点睛】 解：设交于点， ， 由题意可得， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，菱形中，过点作，垂足为延长线上一点，过点作，垂足为点，若，，则的长为（　　） A. 6 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由菱形的面积可得各边上的高相等，可得的长，由∽，的长可求，即的长可得. 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：D 【点睛】 本题考查了菱形的性质及勾股定理、相似三角形的性质与判定，关键是利用相似三角形的性质列方程求解. 12．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，在中，，的长度不定，点D，E分别是边上的点，且，过点D作于点F，连接，则的最大值为（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、最短线段、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图（1），连接，取的中点O，以点O为圆心，为半径作，点F均在上，连接，则，当点E，O，F共线时，等号成立．如图(2)，过点O作于G，则，，即；再证明可得易得、、，再运用勾股定理结合图形即可解答． 【详解】 解：如图（1），连接，取的中点O，以点O为圆心，为半径作，则点F在上，连接，则，当点E，O，F共线时，等号成立． 如图(2)，过点O作于G，则，，即 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即，的最大值为． 故选C． 13．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，在中，是上一点，且，与的延长线交点．若的面积为1，则的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】24 【分析】 本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方． 结合平行四边形的性质可证明，，从而得到，，即可求解． 【详解】 解：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，的面积为1， ∴，， ∴， ∴的面积是． 故答案为：24 14．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．先根据得到，结合，可得，然后根据相似三角形的性质即可得结论． 【详解】 略． 15．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，要求仅用无刻度的直尺在给定的网格中按步骤完成下列画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，①作出ΔABC的高AH；②作出点B关于AH的对称点P； （2）在图2中，①过BC上一点D作DE∥AB，使四边形ABDE为平行四边形；②在平行四边形ABDE中，作出∠BDE的平分线DF． 【答案】（1）①如图1所示，AH即为所求；②点P即为所求的对称点； （2）①如图1所示，DE即为所求；②DF即为所求的角平分线； 【分析】 （1）根据SAS判定，再根据相似三角形的对应角相等得到，结合等角的余角相等可得，继而得到，延长AH至格点即可；②点B关于AH的对称点即在AH的右侧，取BH=HP即可； （2）①根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作出线段DE，且DE=AB，即可得到平行四边形ABDE；②以E为圆心，DE为半径作弧，交AE边于点F，可知DE=EF，由等边对等角性质，得到，再由两直线平行，内错角相等性质可得，由此得到，即DF是∠BDE的平分线． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查尺规作图，涉及相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的性质、等边对等角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，已知梯形，，对角线相交于点O，与的面积之比为4：25，若，则的长是　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意证得，得，进而求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15． 17．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE∥BC．若 S△ADE=S四边形DBCE，则AD∶DB =　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】1：（-1）． 【详解】试题解析：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 又∵S△ADE=S四边形DBCE， ∴S△ADE：S△ABC=1：2， ∴AD：AB=1：， ∴AD：DB=1：（-1）． 考点：相似三角形的判定与性质． 18．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点H，E分别在上．已知，，则这个正方形的边长是　　　　　　． 【答案】12 【分析】 根据得出，利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为x， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为12， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 19．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中， （1）请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得，（保留作图痕迹，不写作法）并说明的理由； （2）在（1）的条件下，若已知，，求的长度． 【答案】（1） 如图所示：点D即为所求． 证明：由作图知， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了作垂线段，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中要求，从而将题目要求转化为过点作的垂线，按照作垂线的尺规作图法作图即可得到答案； （2）利用勾股定理和相似三角形的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图知， ， ∴在中，由勾股定理可得，， ， ， ． 20．（25-26学年九上·河南郑州·期中）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【分析】 （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】 （1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】 本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 21．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵P为CD的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由正方形的性质得出，，易得，进而得，最后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】 略 22．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）在中，，平分是边上一点，以为直径的经过点．交于点 求证：是的切线； 若，的半径为，求的长． 【答案】（1）证明：连接． ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【分析】 （1）连接，证明即可； （2）连接，过点作交于，由题意可知四边形为矩形，再由垂径定理和勾股定理计算出的长，然后证，进而求出的长． 【详解】 解：（1）略 （2）解：连接、，过点作交于， 则四边形为矩形，， ，， ， 在中，， ， ， ，， ， ， 即， 解得：． 【点睛】 本题考查了切线的判定、垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键． 23．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，在中，，分别平分，，且相交于点，于于． （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，则___________． 【答案】（1） 解：连接，如图所示： ∵在中，，分别平分，， ∴也平分， ∵于于． 即，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形；     （2）      【分析】 本题考查了30度的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分析题意，得也平分，再证明四边形是矩形，结合，得四边形是正方形，即可作答． （2）设，则，，结合30度角的直角三角形的性质得，运用勾股定理得，解得（负值已舍去），再证明，把数值代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，且平分， ∴， 则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则． 【点睛】 本题考查了30度的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，分母有理化．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，综合实践活动中，小红要测量二七塔的高度，她在与二七塔底端处在同一水平面上的地面处放置一面镜子，当她站在离镜子处的处时，看到二七塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同一直线上，小红的眼睛离地面的高度，，求二七塔的高度． 【答案】 【分析】 先证明，然后利用相似三角形性质求出即可． 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 故二七塔的高度为． 25．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图所示，，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作的切线交射线于D． （1）求证：； （2）连接，若，求半径和的长． 【答案】（1） 证明：连接、 ∵、、均为的半径， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵是的切线，是半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 即．     （2）的半径为的长为      【分析】 本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、全等三角形判定、相似三角形判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是正确判定相似三角形的对应角与对应边，利用切线性质和圆周角关系构建等量关系． （1）核心是通过证，结合外角定理和圆周角相等证，进而得垂直； （2）核心是先由勾股定理求，再通过两组对应角相等证，代入数据求半径和． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴在中，由勾股定理得： ． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． 又∵， ∴（均为直角）． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴． ∵，设半径为，则 ①求半径：代入得：， 化简得：， 即， ②求：代入得：， 化简得：， 解得：， 答：的半径为的长为． 26．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴；     （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点．      【分析】 （1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）① 连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ② 连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接． （1）①猜想图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明； ②将图1中的正方形绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断． （2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且，第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由． （3）在第（2）题图4中，连接，且，求的值． 【答案】（1）①， ②，； 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2） ， 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）① 根据正方形的性质，全等的判定和性质，从而判断两条直线之间的关系； ② 结合正方形的性质，根据能够判定，从而证明结论； （2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立； （3）连接．根据勾股定理即可把转换为两个矩形的长、宽平方和即可得解． (1) 小问详解： 解：① 如图，延长交于点， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， 根据题意，得， ∵， ∴， 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 28．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】 解：当为等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图1所示：作于，    则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ② 当时，如图2所示：        由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③ 当时，连接，如图3所示：    由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 29．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是斜边的中点，在直角边上找一点，连接，过点作的垂线，交的另一条直角边于点 （1）问题解决 与的数量关系为___________． （2）类比探究 如图2，若将条件“”改为“”，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）反思探究 如图3，若将条件“，是斜边的中点”改为“，，，连接”，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）解：，理由： 过点作于点，于点，如图： 则四边形是矩形， ∴,, ∵是的中点， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴．     （3）或      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据直角三角形的性质可得,再利用易证得，即可得到； （2）过点作于点，于点，根据矩形的性质可得，证得,即可得到； （3）过点作于点，于点，可得四边形是矩形，即可得到，,再由,可得,利用勾股定理可得：,从而得到,,,可推出,当是等腰三角形时，分两种情况讨论：① 当时，② 当时,结合（2）中的相似即可计算出 的值． (1) 小问详解： 解：连接,如图所示： ∵是的中点， ∴,, , ∵, ∴, ∴, 在和中 ∴, ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作于点，于点，如图： 则四边形是矩形， ∴，, ∵, ∴, 在中，，， ∴, ∴,,, ∴, 当是等腰三角形时，分两种情况讨论： ① 如图3， 当时，,, 由（2）可知, , ∴, ∴, ∴, ∴; ② 如图4， 当时,设,即, 在中,由勾股定理得：,即, 解得：, ∴, 由（2）可知, , ∴, ∴, ∴, ∴ 综上所述：的值为或． 30．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出__________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，四边形是边长为6的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2），理由： 如图所示，在上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵交矩形的外角平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）CE的长为4或6． 【分析】 （1）如图所示，取的中点，连接，则，根据正方形的性质可证，由此即可求解； （2）如图所示，在上取，连接，可证，得到，根据，点是中点，设，则，则，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，交于点，可证，得，设，则，，则，由此即可求解． 【详解】 解：（1）如图所示，取的中点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴，则， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴，， ∵是角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得，， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上，如图所示， ∴； 综上所述，的长为4或6． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，因式分解法进行解方程．掌握相似三角形的判定和性质是关键． 31．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值． （1）尝试探究 在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是_________，和的数量关系是_________，的值是_________． （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若，则的值是_________（用含有的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移 如图3，梯形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点．若，，，则的值是________（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；；；（2）；（3）． 【分析】 （1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值； （2）本问体现“一般”的情形，不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示． （3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示． 【详解】 解：（1）依题意，过点作交于点，如图1所示． 则有， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵为中点， ∴为的中位线， ∴． ． 故答案为：；；． （2）如图2所示，作交于点，则． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：． （3）如图3所示，过点作交的延长线于点，则有． ∵， ∴， ∴， ∴． 又， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题的设计独特：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三． 32．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，矩形的四个顶点均在上，E是上一点，连接、分别交于点、，若，，则的半径为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，设，证明，连接，证明，利用勾股定理，矩形的性质解答即可． 本题考查了矩形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， 设 ∵矩形的四个顶点均在上，，， ∴，， ∴是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故圆的半径为， 故答案为：． 33．（25-26学年九上·河南郑州·期中）在等腰三角形中，，，点为的中点，点为直线上不与点重合的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，连接，． （1）如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系为___________，的度数为___________； （2）如图2，当点在下方时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）当时，直接写出线段的长度． 【答案】（1），     （2） 解：（1）中结论成立，理由如下： 如图1，连接， ∵在中，， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ， ∵， ∴；     （3）6或      【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，含直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，含直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键； （1）由题意易得，即，，，则有，由旋转的性质可知：，然后可得是等边三角形，进而问题可求解； （2）连接，由旋转的性质可知：，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）由题意可分当在的延长线上，当在的延长线上，然后进行分类求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，点为的中点，， ∴，即，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∵点与点重合， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，； 故答案为，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当在的延长线上，如图2， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 如图3，当在的延长线上， 同（2）可证， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 综上所述：线段的长度为或． 34．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查矩形与折叠，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】 解：∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 当与相似时，则为直角三角形， ① 当时，，如图，则， ∴，即：， 解得； ② 当时，，则：， ∴，即：， 解得； 综上：或； 故答案为：或． 35．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）在菱形中，，，E是对角线上的一个三等分点，点关于的对称点为，射线，与菱形的边交于点，则的长为　　　　　． 【答案】或 【分析】 由题意得，E是上的一个三等分点，故需分两种情况：① 若；② 若，画出对应的图形，根据对称性得到，再结合图中的相似三角形和直角三角形分别运用相似三角形性质和勾股定理即可求得结果． 【详解】 解：如图，连接交于， 菱形，交于点，，， ， ，，， ∴， 是上的一个三等分点， 分两种情况讨论： ① 若，如图，连接交于， 则，， 由轴对称性质得，， ，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（为负根，舍去）， ， ，， ， ， ∴， ， ； ② 若，如图，在上截取， 而，， ∴， ∴， 由轴对称性质得，， ，，， 同理可得：， ∴， 设，则，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（为负根，舍去）， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程等，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理求线段长度，学会结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键，本题属于几何综合题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】 解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：：：， ：：， ∽， ， ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 3．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为　　　　　　　　． 【答案】2或 【分析】 由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 4．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 【答案】经过或秒时，与相似， 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】 解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直的性质求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 【详解】 解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）某天小明和小亮去某景区游玩，当小明给站在高墙上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.6米（米），凉亭顶端离地面1.9米（米），小明到凉亭的距离为2米，凉亭离高墙底部的距离为38米，小亮身高为1.7米． （1）动手操作：过点A作于点G，交于H，证明； （2）解决问题：请根据以上数据求出高墙的高度． 【答案】（1） 过点A作于点G，交于点H， 则四边形和四边形都是矩形， ， ∴，     （2）米      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质知识点，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解． （1）根据题意构造直角三角形，过点A作于点G，交于点H，由 可得出， （2）利用相似三角形的判定与性质求出的长，进而求出高墙的高度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知四边形和四边形都是矩形， ，，, 小明到凉亭的距离为2米，凉亭顶端离地面1.9米（米），凉亭离高墙底部的距离为38米． 则，，， 则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：城楼的高度为米． 3．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】 本题考查相似三角形的应用，根据题意得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例计算解题即可． 【详解】 解:根据题意可知, 均垂直于地面, ， ， ， ， ， 解得 ， ∵小明恰好看到在镜子里点 和点 重合 ， ， ， ， ， 解得 米． 4．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上；步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 【答案】19米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化成几何问题成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，再结合可证明可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：， ． 又， ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ， ． 答：皇帝手植柏的高度为19米． 5．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）（多选）国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 【答案】旗杆AB的高度为 【分析】 此题考查了相似三角形的应用，证明．得到，求出．即可求出答案． 【详解】 解：由题可得，四边形都是矩形，， ∴，，，，． ∴ ∵，，，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为． 6．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离为多少米时，才能发现C处的儿童？ 【答案】米． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理等知识﹒ 先证明，根据勾股定理求出米，米﹒证明得到，求出米，即可求出米﹒ 【详解】 解：∵， ∴， ∴在中，米， 在中，米﹒ ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴米﹒ ∴米﹒ 答：汽车从A处前行的距离为米时，才能发现C处的儿童﹒ 7．（25-26学年九上·河南郑州·期中）二七塔是为纪念1923年京汉铁路工人运动而修建的纪念性建筑物，也是郑州的标志性建筑．郑州市某中学小亮同学想利用所学的知识测量二七塔的高度，由于无法直接测量到塔的底部，于是他设计了如下测量方案：如图，先用纸折出一个等腰直角，，保持与水平面平行，调整他与二七塔的距离，当他站在点处时，观察到、、三点共线，表示小亮眼睛到地面的距离，然后他沿的方向前进75步到点处，将镜面带有标记的平面镜水平放置在距点2步远的点处（在线段上），镜面上的标记与点重合，他站在点处，恰好在平面镜内看到二七塔顶端点与镜面上的标记重合．已知，，，，小亮每步步长约为． （1）请根据以上所测数据，计算二七塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计，结果保留整数） （2）计算结果与二七塔的实际高度有误差，你认为在上述方案实施过程中，小亮同学应该注意哪些事项？（写出一条即可） 【答案】（1）二七塔的高度约为米     （2）多次测量，减小误差      【分析】 延长交于，则四边形是矩形，可得，，证明，得到，设，则，则可得，进而得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，解方程即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，延长交于，则四边形是矩形， ，， ，， ， 由光的反射定律可知，， ， ， 设，则， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ， 是等腰直角三角形， ， ， 解得， ∴二七塔的高度约为米． (2) 小问详解： 多次测量，减小误差． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在中点A的坐标为，以原点O为位似中心，将位似缩小后得到．若点的坐标为，的面积为1，则的面积为（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【分析】 根据题意可得 ，，从而，再由相似三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】 解：∵点A的坐标为， ∴ ， ∵点的坐标为， ∴ ， ∴ ， ∵以原点O为位似中心，将位似缩小后得到， ∴ ， ∵的面积为1， ∴的面积为9． 故选：C 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是 （     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】 解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 3．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图1，即为所求      （2）① 点；② 点      【分析】 本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得，点， ② 由题意得，点． 4．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，点的对应点分别为点，其中点的坐标是． （1）与的相似比是___________． （2）请在图中画出，并求出的面积为___________； （3）若边上有一点，则在边上与点对应的点的坐标是___________． 【答案】（1）     （2） 解：如图所示，即为所求，；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—位似，画位似图形，两点距离计算公式，熟知位似的相关知识是解题的关键． （1）根据两点距离计算公式可得的长，再根据位似图形的性质可推出，，则可得，据此可得答案； （2）把A、C的横纵坐标都缩小为原来的一半可得到的坐标，描出，再顺次连接，最后根据三角形面积计算公式求出对应的三角形面积即可； （3）把点M的横纵坐标都缩小为原来的一半即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， ∵与关于原点位似， ∴，， ∴ ∴与的相似比为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵边上有一点， ∴在边上与点对应的点的坐标是． 5．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1． （1）画出向右平移5个单位长度后得到的，则点的坐标是______； （2）以点C为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2，则点的坐标是_____； （3）的面积是______． 【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）如图，即为所求．     （3）10      【分析】 此题考查了平移的作图、位似图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）根据平移方式作图，再写出点的坐标即可； （2）根据位似图形的作图方法作图，再写出点的坐标即可； （3）利用矩形的面积减去三角形周围直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标是； 故答案为：； (3) 小问详解： 的面积是． 故答案为：10． 6．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应，，； （2）以坐标原点为位似中心，在x轴上方作，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； （3）直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于x轴对称的点，，分，依次连接即可解答； （2）延长到，使，延长到，使，延长到，使，即可解答； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 7．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是_____． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了轴对称图形的绘制、位似图形的绘制以及相似比的计算，熟练掌握轴对称的坐标特征、位似的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、的坐标，再连接三点得到三角形． （2）根据位似中心和点的坐标，确定位似比，进而求出、的坐标，再连接三点得到三角形． （3）通过对应点的坐标求出相似比． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可得，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·河南郑州·期中）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图1，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称． （1）如图2，在中，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是____________（填写所有符合条件的序号）； （2）如图3，已知经过自位似轴对称变换得到，若，，连接和，点是的中点，在变化过程中，试猜想和的数量关系和位置关系是否变化，如果变化，请给出变化范围；如果不变，请写出和的数量关系和位置关系，并就图3的情况说明理由； （3）在（2）的条件下，若，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）① ②     （2）不变，且     （3）      【分析】 （1）根据自位似轴对称的定义逐一分析； （2）延长到，使，连接，易证和全等，得到，；结合自位似轴对称的性质推导出，，从而证得，进而利用相似三角形的性质求得与的数量和位置关系； （3）利用平行性质和勾股定理，结合（2）中结论，即可计算的长． (1) 小问详解： 解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图； ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图： ③与不成自位似轴对称， 故答案为：① ② ； (2) 小问详解： 解：不变，且，理由如下， 延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴； ∴，， ∴， ∴； ∵和成自位似轴对称， ∴，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即． (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】 本题考查自位似轴对称的定义，位似的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解新定义，通过构造全等三角形推导线段和角的关系，从而证得相似三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）已知，则下列比例式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（       ） A. 甲与丙 B. 甲与乙 C. 乙与丙 D. 三个矩形都不相似 3．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是，小明同学的最佳身高是（     ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）下列各组图中，不是相似图形的一组是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南郑州·期中）将以下多边形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的图形，变化前后的两个图形不一定相似的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）若，则下列比例式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）“黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割．形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（       ）（注：黄金分割比是） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）已知，则下列各式正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）已知，，，是成比例线段，其中，，，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）已知，则　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为　　　　　　． 13．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）若，则　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·河南郑州·期中）若，则　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知，且，则的值是 　　　　　． 16．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则的值是　　　　　　　　　　　　． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，，若，，则的长为（       ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，已知，是的中线，是的中点，则　　　　　　　　　　　． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，交于点O，，，，点E，F分别是、的中点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）汉语拼音是一种辅助汉字读音的工具．如图，书写拼音用的“四线三格”是由等距离、等长度的四条平行横线组成的，同一条直线上的三点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，点D在的边AC上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（　　） A. ∠ABD＝∠C B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. ＝ 5．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A.  B. 2 C.  D.  7．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，已知平面直角坐标系中四点，，，．若点P在y轴上，且，，所围成的三角形与，，所围成的三角形相似，则所有符合条件的点P的个数是（     ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 8．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标中，矩形的边，将矩形沿直线折叠到如图所示的位置，线段恰好经过点，点落在轴的点位置，点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，、为对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点作的垂线分别交，于点M，N，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，菱形中，过点作，垂足为延长线上一点，过点作，垂足为点，若，，则的长为（　　） A. 6 B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，在中，，的长度不定，点D，E分别是边上的点，且，过点D作于点F，连接，则的最大值为（       ）． A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，在中，是上一点，且，与的延长线交点．若的面积为1，则的面积是　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，，，求证：． 15．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，要求仅用无刻度的直尺在给定的网格中按步骤完成下列画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． （1）在图1中，①作出ΔABC的高AH；②作出点B关于AH的对称点P； （2）在图2中，①过BC上一点D作DE∥AB，使四边形ABDE为平行四边形；②在平行四边形ABDE中，作出∠BDE的平分线DF． 16．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，已知梯形，，对角线相交于点O，与的面积之比为4：25，若，则的长是　　　　　　． 17．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB 和 AC 上，且 DE∥BC．若 S△ADE=S四边形DBCE，则AD∶DB =　　　　　　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，为锐角三角形，是边上的高，正方形的一边在上，顶点H，E分别在上．已知，，则这个正方形的边长是　　　　　　． 19．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中， （1）请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得，（保留作图痕迹，不写作法）并说明的理由； （2）在（1）的条件下，若已知，，求的长度． 20．（25-26学年九上·河南郑州·期中）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 21．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 22．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）在中，，平分是边上一点，以为直径的经过点．交于点 求证：是的切线； 若，的半径为，求的长． 23．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，在中，，分别平分，，且相交于点，于于． （1）求证：四边形是正方形． （2）若，，则___________． 24．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，综合实践活动中，小红要测量二七塔的高度，她在与二七塔底端处在同一水平面上的地面处放置一面镜子，当她站在离镜子处的处时，看到二七塔的顶端在镜子中的像与标记重合．已知，，在同一直线上，小红的眼睛离地面的高度，，求二七塔的高度． 25．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图所示，，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作的切线交射线于D． （1）求证：； （2）连接，若，求半径和的长． 26．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 27．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接． （1）①猜想图1中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明； ②将图1中的正方形绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断． （2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且，第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由． （3）在第（2）题图4中，连接，且，求的值． 28．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，，，，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿直线折叠，点落到点处，连接，．当为等腰三角形时，的长为　　　　　　　． 29．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是斜边的中点，在直角边上找一点，连接，过点作的垂线，交的另一条直角边于点 （1）问题解决 与的数量关系为___________． （2）类比探究 如图2，若将条件“”改为“”，其他条件不变，试判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）反思探究 如图3，若将条件“，是斜边的中点”改为“，，，连接”，其它条件不变，当为等腰三角形时，直接写出的值． 30．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）【教材再现】 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是通过截取线段，构造出__________，进而得到． 【类比迁移】 （2）如图2，四边形是矩形，，点是边的中点，，且交矩形的外角平分线于点，请判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，四边形是边长为6的菱形，，点为射线上一动点，连接，作，且与菱形外角的平分线交于点．当时，请直接写出的长． 31．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，在平行四边形中，点是的中点，点是线段上一点，的延长线交射线于点．若，求的值． （1）尝试探究 在图1中，过点作交于点，则和的数量关系是_________，和的数量关系是_________，的值是_________． （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若，则的值是_________（用含有的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移 如图3，梯形中，，点是的延长线上的一点，和相交于点．若，，，则的值是________（用含、的代数式表示）． 32．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，矩形的四个顶点均在上，E是上一点，连接、分别交于点、，若，，则的半径为　　　　　　　　． 33．（25-26学年九上·河南郑州·期中）在等腰三角形中，，，点为的中点，点为直线上不与点重合的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为点，连接，． （1）如图1，当点与点重合时，线段与线段的数量关系为___________，的度数为___________； （2）如图2，当点在下方时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）当时，直接写出线段的长度． 34．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，矩形中，，．点为的中点，连接，点为上一个动点，点为矩形另一边上的一个动点，过直线将矩形折叠，使点的对应点始终落在上，当与相似时，的长为　　　　　　　　　　　． 35．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）在菱形中，，，E是对角线上的一个三等分点，点关于的对称点为，射线，与菱形的边交于点，则的长为　　　　　． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，∽，：：，其中，的长为（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，在中，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从B开始沿边运动，速度为，如果P，Q两动点同时运动，那么何时与相似？ 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，为测量学校旗杆高度，小明同学在地面水平放置一平面镜，他站在能刚好从镜子中看到旗杆的顶端的地方．已知小明的眼睛离地面高度为，量得小明与镜子的水平距离为，小明与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）某天小明和小亮去某景区游玩，当小明给站在高墙上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图，三点共线）．已知小明的眼睛离地面1.6米（米），凉亭顶端离地面1.9米（米），小明到凉亭的距离为2米，凉亭离高墙底部的距离为38米，小亮身高为1.7米． （1）动手操作：过点A作于点G，交于H，证明； （2）解决问题：请根据以上数据求出高墙的高度． 3．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度． 4．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）皇帝手植柏位于黄帝陵内，相传为轩辕皇帝亲手种植，历经数千年岁月，依然苍劲挺拔是中华文明源远流长的象征之一、数学小组的同学开展了测量皇帝手植柏高度的实践活动． 课题 测量皇帝手植柏的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，甲同学在点处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点、标杆顶端和皇帝手植柏顶端A在一条直线上；步骤二：乙同学站在点处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在处时，恰好看到标杆顶端和皇帝手植柏底端在一条直线上． 测量数据 乙同学的眼睛到地面的距离．已知，，点在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出皇帝手植柏的高度． 5．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）（多选）国庆前夕，某校举行了升旗仪式．小明为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图所示，竖直标杆的高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，E，C，A三点共线，于点M，交于点N．求旗杆的高度． 6．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离为多少米时，才能发现C处的儿童？ 7．（25-26学年九上·河南郑州·期中）二七塔是为纪念1923年京汉铁路工人运动而修建的纪念性建筑物，也是郑州的标志性建筑．郑州市某中学小亮同学想利用所学的知识测量二七塔的高度，由于无法直接测量到塔的底部，于是他设计了如下测量方案：如图，先用纸折出一个等腰直角，，保持与水平面平行，调整他与二七塔的距离，当他站在点处时，观察到、、三点共线，表示小亮眼睛到地面的距离，然后他沿的方向前进75步到点处，将镜面带有标记的平面镜水平放置在距点2步远的点处（在线段上），镜面上的标记与点重合，他站在点处，恰好在平面镜内看到二七塔顶端点与镜面上的标记重合．已知，，，，小亮每步步长约为． （1）请根据以上所测数据，计算二七塔的高度．（平面镜的厚度忽略不计，结果保留整数） （2）计算结果与二七塔的实际高度有误差，你认为在上述方案实施过程中，小亮同学应该注意哪些事项？（写出一条即可） 考点06 位似 1．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在中点A的坐标为，以原点O为位似中心，将位似缩小后得到．若点的坐标为，的面积为1，则的面积为（       ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是 （     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为； （2）在（1）的条件下， ①写出点的对称点的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 4．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，点的对应点分别为点，其中点的坐标是． （1）与的相似比是___________． （2）请在图中画出，并求出的面积为___________； （3）若边上有一点，则在边上与点对应的点的坐标是___________． 5．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1． （1）画出向右平移5个单位长度后得到的，则点的坐标是______； （2）以点C为位似中心，在网格内画出，使与位似，且相似比为2，则点的坐标是_____； （3）的面积是______． 6．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）在图中画出关于x轴的轴对称图形，其中A，B，C分别对应，，； （2）以坐标原点为位似中心，在x轴上方作，使与位似，且相似比为2，其中，，分别对应，，； （3）直接写出点的坐标． 7．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点（顶点是网格线的交点），已知点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）以点为位似中心，在给定的网格中画出，使与位似，并且点的坐标为； （3）与的相似比是_____． 8．（25-26学年九上·河南郑州·期中）在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称． 例如：如图1，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称． （1）如图2，在中，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是____________（填写所有符合条件的序号）； （2）如图3，已知经过自位似轴对称变换得到，若，，连接和，点是的中点，在变化过程中，试猜想和的数量关系和位置关系是否变化，如果变化，请给出变化范围；如果不变，请写出和的数量关系和位置关系，并就图3的情况说明理由； （3）在（2）的条件下，若，当时，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．B 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．A 9．B 10．C 11．【答案】 【分析】 该题考查了比例的性质，由已知比例式，通过设参数表示变量，再求比值． 【详解】 解：设（）， 则，， 因此． 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】 解：∵点C为线段的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．【答案】 【分析】 本题考查比例的性质知识点，解题的关键是利用比例的等比性质． 根据比例的等比性质，若，则，直接代入求解． 【详解】 已知，根据比例的等比性质：若，那么．在此题中，所以． 故答案为：． 14．【答案】.5 【分析】 本题考查分式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件 可得 ，代入所求表达式 中，通过化简即可得到结果． 【详解】 解： ， ∴ ， 则 ． 故答案为： 15．【答案】 【分析】 本题考查了比例的性质，利用比例的性质正确表示出各数是解题的关键． 设，，，代入得出，求出即可． 【详解】 解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理与比例线段的计算，解题的关键是通过勾股定理求出线段长度，再推导比例关系． 设，利用垂直关系得，由勾股定理求；结合求出，进而得，最后计算． 【详解】 解：，， ． 由勾股定理得： ； ， ； ； ； 故答案为∶ 考点02 平行线分线段成比例 1．A 2．D 3．【答案】 【分析】 过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】 解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 考点03 三角形相似的判定 1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．A 7．C 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C 13．【答案】24 【分析】 本题主要考查平行四边形的性质相似三角形的性质和判定，关键在于利用相似三角形的面积比等于相似比的平方． 结合平行四边形的性质可证明，，从而得到，，即可求解． 【详解】 解：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，的面积为1， ∴，， ∴， ∴的面积是． 故答案为：24 14．【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．先根据得到，结合，可得，然后根据相似三角形的性质即可得结论． 【详解】 略． 15．【答案】（1）①如图1所示，AH即为所求；②点P即为所求的对称点； （2）①如图1所示，DE即为所求；②DF即为所求的角平分线； 【分析】 （1）根据SAS判定，再根据相似三角形的对应角相等得到，结合等角的余角相等可得，继而得到，延长AH至格点即可；②点B关于AH的对称点即在AH的右侧，取BH=HP即可； （2）①根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作出线段DE，且DE=AB，即可得到平行四边形ABDE；②以E为圆心，DE为半径作弧，交AE边于点F，可知DE=EF，由等边对等角性质，得到，再由两直线平行，内错角相等性质可得，由此得到，即DF是∠BDE的平分线． 【详解】 （1）略 （2）略 【点睛】 本题考查尺规作图，涉及相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、角平分线的性质、等边对等角等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．【答案】15 【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质，根据题意证得，得，进而求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15． 17．【答案】1：（-1）． 【详解】试题解析：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， 又∵S△ADE=S四边形DBCE， ∴S△ADE：S△ABC=1：2， ∴AD：AB=1：， ∴AD：DB=1：（-1）． 考点：相似三角形的判定与性质． 18．【答案】12 【分析】 根据得出，利用相似三角形的性质，列出方程即可解决问题． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为x， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为12， 故答案为：12． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 19．【答案】（1） 如图所示：点D即为所求． 证明：由作图知， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了作垂线段，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据题中要求，从而将题目要求转化为过点作的垂线，按照作垂线的尺规作图法作图即可得到答案； （2）利用勾股定理和相似三角形的性质即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由作图知， ， ∴在中，由勾股定理可得，， ， ， ． 20．【答案】（1），； （2），， 证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）或. 【分析】 （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，证明出四边形是正方形，继根据勾股定理而得到关系式，并利用值． 【详解】 （1），； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）略 （3）连接交于 点与点关于对称 垂直平分 ， 又 四边形是正方形 过作于， 则是等腰直角三角形，设， ， ， 连接 为直角三角形斜边中点， ， ， ， ，， ， ， ， 解得或， 或. 【点睛】 本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 21．【答案】证明：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵P为CD的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由正方形的性质得出，，易得，进而得，最后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】 略 22．【答案】（1）证明：连接． ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【分析】 （1）连接，证明即可； （2）连接，过点作交于，由题意可知四边形为矩形，再由垂径定理和勾股定理计算出的长，然后证，进而求出的长． 【详解】 解：（1）略 （2）解：连接、，过点作交于， 则四边形为矩形，， ，， ， 在中，， ， ， ，， ， ， 即， 解得：． 【点睛】 本题考查了切线的判定、垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键． 23．【答案】（1） 解：连接，如图所示： ∵在中，，分别平分，， ∴也平分， ∵于于． 即，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形；     （2）      【分析】 本题考查了30度的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分析题意，得也平分，再证明四边形是矩形，结合，得四边形是正方形，即可作答． （2）设，则，，结合30度角的直角三角形的性质得，运用勾股定理得，解得（负值已舍去），再证明，把数值代入进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：依题意，设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，且平分， ∴， 则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 则． 【点睛】 本题考查了30度的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，分母有理化．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．【答案】 【分析】 先证明，然后利用相似三角形性质求出即可． 本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等是解题的关键． 【详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， 故二七塔的高度为． 25．【答案】（1） 证明：连接、 ∵、、均为的半径， ∴． 又∵， ∴． ∴，即． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵是的切线，是半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴． ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， 即．     （2）的半径为的长为      【分析】 本题考查了圆的切线性质、圆周角定理、全等三角形判定、相似三角形判定与性质及勾股定理的应用，解题的关键是正确判定相似三角形的对应角与对应边，利用切线性质和圆周角关系构建等量关系． （1）核心是通过证，结合外角定理和圆周角相等证，进而得垂直； （2）核心是先由勾股定理求，再通过两组对应角相等证，代入数据求半径和． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ ∴在中，由勾股定理得： ． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． 又∵， ∴（均为直角）． ∵与均为弧所对的圆周角， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴． ∵，设半径为，则 ①求半径：代入得：， 化简得：， 即， ②求：代入得：， 化简得：， 解得：， 答：的半径为的长为． 26．【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴；     （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点．      【分析】 （1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）① 连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ② 连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 略 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27．【答案】（1）①， ②，； 证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （2） ， 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴；     （3）      【分析】 （1）① 根据正方形的性质，全等的判定和性质，从而判断两条直线之间的关系； ② 结合正方形的性质，根据能够判定，从而证明结论； （2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立； （3）连接．根据勾股定理即可把转换为两个矩形的长、宽平方和即可得解． (1) 小问详解： 解：① 如图，延长交于点， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， 根据题意，得， ∵， ∴， 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 28．【答案】或 【分析】 分三种情况：①时，作于，则，设，由折叠的性质得：，证明，得出，在中，，由勾股定理得出方程，解方程即可；②时，由折叠的性质得：，证明，得出，求出；③时，由折叠的性质得：垂直平分，由知，得出点与重合，不符合题意． 【详解】 解：当为等腰三角形时，分三种情况： ① 当时，如图1所示：作于，    则， 设， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ∴，即， 解得：， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ② 当时，如图2所示：        由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 即， 解得：； ③ 当时，连接，如图3所示：    由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ∴点E与C重合，不符合题意； 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解题的关键． 29．【答案】（1）     （2）解：，理由： 过点作于点，于点，如图： 则四边形是矩形， ∴,, ∵是的中点， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴．     （3）或      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据直角三角形的性质可得,再利用易证得，即可得到； （2）过点作于点，于点，根据矩形的性质可得，证得,即可得到； （3）过点作于点，于点，可得四边形是矩形，即可得到，,再由,可得,利用勾股定理可得：,从而得到,,,可推出,当是等腰三角形时，分两种情况讨论：① 当时，② 当时,结合（2）中的相似即可计算出 的值． (1) 小问详解： 解：连接,如图所示： ∵是的中点， ∴,, , ∵, ∴, ∴, 在和中 ∴, ∴． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作于点，于点，如图： 则四边形是矩形， ∴，, ∵, ∴, 在中，，， ∴, ∴,,, ∴, 当是等腰三角形时，分两种情况讨论： ① 如图3， 当时，,, 由（2）可知, , ∴, ∴, ∴, ∴; ② 如图4， 当时,设,即, 在中,由勾股定理得：,即, 解得：, ∴, 由（2）可知, , ∴, ∴, ∴, ∴ 综上所述：的值为或． 30．【答案】（1），； （2），理由： 如图所示，在上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵交矩形的外角平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）CE的长为4或6． 【分析】 （1）如图所示，取的中点，连接，则，根据正方形的性质可证，由此即可求解； （2）如图所示，在上取，连接，可证，得到，根据，点是中点，设，则，则，，由此即可求解； （3）如图所示，过点作，交于点，可证，得，设，则，，则，由此即可求解． 【详解】 解：（1）如图所示，取的中点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴，则， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴，， ∵是角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴， 解得，， 解得，， 当时，点在上，； 当时，点在延长线上，如图所示， ∴； 综上所述，的长为4或6． 【点睛】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，因式分解法进行解方程．掌握相似三角形的判定和性质是关键． 31．【答案】（1）；；；（2）；（3）． 【分析】 （1）本问体现“特殊”的情形，是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值； （2）本问体现“一般”的情形，不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示． （3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示． 【详解】 解：（1）依题意，过点作交于点，如图1所示． 则有， ∴， ∴． ∵，， ∴， 又∵为中点， ∴为的中位线， ∴． ． 故答案为：；；． （2）如图2所示，作交于点，则． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：． （3）如图3所示，过点作交的延长线于点，则有． ∵， ∴， ∴， ∴． 又， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题的设计独特：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三． 32．【答案】 【分析】 连接，设，证明，连接，证明，利用勾股定理，矩形的性质解答即可． 本题考查了矩形的性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：连接， 设 ∵矩形的四个顶点均在上，，， ∴，， ∴是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故圆的半径为， 故答案为：． 33．【答案】（1），     （2） 解：（1）中结论成立，理由如下： 如图1，连接， ∵在中，， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ， ∵， ∴；     （3）6或      【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，含直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，含直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键； （1）由题意易得，即，，，则有，由旋转的性质可知：，然后可得是等边三角形，进而问题可求解； （2）连接，由旋转的性质可知：，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （3）由题意可分当在的延长线上，当在的延长线上，然后进行分类求解即可． (1) 小问详解： 解：∵，点为的中点，， ∴，即，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∵点与点重合， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，； 故答案为，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当在的延长线上，如图2， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 如图3，当在的延长线上， 同（2）可证， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 综上所述：线段的长度为或． 34．【答案】或 【分析】 本题考查矩形与折叠，相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】 解：∵矩形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴； 当与相似时，则为直角三角形， ① 当时，，如图，则， ∴，即：， 解得； ② 当时，，则：， ∴，即：， 解得； 综上：或； 故答案为：或． 35．【答案】或 【分析】 由题意得，E是上的一个三等分点，故需分两种情况：① 若；② 若，画出对应的图形，根据对称性得到，再结合图中的相似三角形和直角三角形分别运用相似三角形性质和勾股定理即可求得结果． 【详解】 解：如图，连接交于， 菱形，交于点，，， ， ，，， ∴， 是上的一个三等分点， 分两种情况讨论： ① 若，如图，连接交于， 则，， 由轴对称性质得，， ，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（为负根，舍去）， ， ，， ， ， ∴， ， ； ② 若，如图，在上截取， 而，， ∴， ∴， 由轴对称性质得，， ，，， 同理可得：， ∴， 设，则，， 在中，， ， 整理得：， 解得：，（为负根，舍去）， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程等，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理求线段长度，学会结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形解决问题是解题的关键，本题属于几何综合题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生． 考点04 相似三角形的性质 1．B 2．A 3．【答案】2或 【分析】 由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 4．【答案】经过或秒时，与相似， 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定，设经过秒时，与相似，则，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当时，,即，当时，，即,然后解方程即可求出答案，准确分析题意列出方程求解是解答本题的关键. 【详解】 解：设经过秒时，与相似， ， , 当时，, , 解得：, 当时，， , 解得：, 综上所述：经过或秒时，与相似， 考点05 相似三角形的应用 1．A 2．【答案】（1） 过点A作于点G，交于点H， 则四边形和四边形都是矩形， ， ∴，     （2）米      【分析】 本题考查相似三角形的判定与性质知识点，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解． （1）根据题意构造直角三角形，过点A作于点G，交于点H，由 可得出， （2）利用相似三角形的判定与性质求出的长，进而求出高墙的高度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知四边形和四边形都是矩形， ，，, 小明到凉亭的距离为2米，凉亭顶端离地面1.9米（米），凉亭离高墙底部的距离为38米． 则，，， 则， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴（米）， 答：城楼的高度为米． 3．【答案】米 【分析】 本题考查相似三角形的应用，根据题意得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例计算解题即可． 【详解】 解:根据题意可知, 均垂直于地面, ， ， ， ， ， 解得 ， ∵小明恰好看到在镜子里点 和点 重合 ， ， ， ， ， 解得 米． 4．【答案】19米 【分析】 本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化成几何问题成为解题的关键． 根据垂直的定义可得，再结合可证明可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】 解：， ． 又， ， ， ， ． ， ． 又， ， ， ， ． 答：皇帝手植柏的高度为19米． 5．【答案】旗杆AB的高度为 【分析】 此题考查了相似三角形的应用，证明．得到，求出．即可求出答案． 【详解】 解：由题可得，四边形都是矩形，， ∴，，，，． ∴ ∵，，，， ∴，，． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为． 6．【答案】米． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，勾股定理等知识﹒ 先证明，根据勾股定理求出米，米﹒证明得到，求出米，即可求出米﹒ 【详解】 解：∵， ∴， ∴在中，米， 在中，米﹒ ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴米﹒ ∴米﹒ 答：汽车从A处前行的距离为米时，才能发现C处的儿童﹒ 7．【答案】（1）二七塔的高度约为米     （2）多次测量，减小误差      【分析】 延长交于，则四边形是矩形，可得，，证明，得到，设，则，则可得，进而得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，解方程即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，延长交于，则四边形是矩形， ，， ，， ， 由光的反射定律可知，， ， ， 设，则， ， ， ， 是等腰直角三角形，且， ， 是等腰直角三角形， ， ， 解得， ∴二七塔的高度约为米． (2) 小问详解： 多次测量，减小误差． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定． 考点06 位似 1．C 2．A 3．【答案】（1） 如图1，即为所求      （2）① 点；② 点      【分析】 本题主要考查作图—位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）由图可得点的坐标，根据位似的性质得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① 由图可得，点， ② 由题意得，点． 4．【答案】（1）     （2） 解：如图所示，即为所求，；      （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形变化—位似，画位似图形，两点距离计算公式，熟知位似的相关知识是解题的关键． （1）根据两点距离计算公式可得的长，再根据位似图形的性质可推出，，则可得，据此可得答案； （2）把A、C的横纵坐标都缩小为原来的一半可得到的坐标，描出，再顺次连接，最后根据三角形面积计算公式求出对应的三角形面积即可； （3）把点M的横纵坐标都缩小为原来的一半即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴，， ∴， ∵与关于原点位似， ∴，， ∴ ∴与的相似比为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵边上有一点， ∴在边上与点对应的点的坐标是． 5．【答案】（1） 如图，即为所求，      （2）如图，即为所求．     （3）10      【分析】 此题考查了平移的作图、位似图形的作图等知识，准确作图是关键． （1）根据平移方式作图，再写出点的坐标即可； （2）根据位似图形的作图方法作图，再写出点的坐标即可； （3）利用矩形的面积减去三角形周围直角三角形的面积即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 点的坐标是； 故答案为：； (3) 小问详解： 的面积是． 故答案为：10． 6．【答案】（1） 解：如图，即为所求；      （2） 解：如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查在平面直角坐标系中作轴对称图形，位似图形，理解轴对称图形与位似图形是解题的关键． （1）作出各顶点关于x轴对称的点，，分，依次连接即可解答； （2）延长到，使，延长到，使，延长到，使，即可解答； （3）直接由平面直角坐标系得到点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 7．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题主要考查了轴对称图形的绘制、位似图形的绘制以及相似比的计算，熟练掌握轴对称的坐标特征、位似的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，求出、、关于轴对称的点、、的坐标，再连接三点得到三角形． （2）根据位似中心和点的坐标，确定位似比，进而求出、的坐标，再连接三点得到三角形． （3）通过对应点的坐标求出相似比． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可得，， ∴与的相似比为． 故答案为：． 8．【答案】（1）① ②     （2）不变，且     （3）      【分析】 （1）根据自位似轴对称的定义逐一分析； （2）延长到，使，连接，易证和全等，得到，；结合自位似轴对称的性质推导出，，从而证得，进而利用相似三角形的性质求得与的数量和位置关系； （3）利用平行性质和勾股定理，结合（2）中结论，即可计算的长． (1) 小问详解： 解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图； ②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图： ③与不成自位似轴对称， 故答案为：① ② ； (2) 小问详解： 解：不变，且，理由如下， 延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴； ∴，， ∴， ∴； ∵和成自位似轴对称， ∴，且 ∴，， ∴，， ∴， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即． (3) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】 本题考查自位似轴对称的定义，位似的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解新定义，通过构造全等三角形推导线段和角的关系，从而证得相似三角形． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $