精品解析：河南省新乡市辉县市第一初级中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年九年级上学期期中测试－数学 一、单选题 1. 下列各数中，结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式性质 ，分别计算各选项． 【详解】解：∵ A选项，结果为负数，符合要求； B选项，结果为正数； C选项，结果为正数； D选项，结果为正数． 2. 如果成立，那么x的取值范围是（　　） A. x≥1 B. x≥0 C. 0≤x≤1 D. x任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式组求解． 【详解】解：由题意可得， 解得：x≥1，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤逐步配方即可得到正确结果． 【详解】解：∵原方程为 ， ∴移项得， 配方，得 即． 4. 已知，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关运算方法为解题关键，先将方程变为，令， 得到一个一元二次方程，求出t的值，再根据即可得出结果 【详解】解：， ， 令， ， 解得：或， ， （舍去）， 的值是3， 故选：B 5. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 有一个角相等的等腰三角形 B. 有一个角相等的直角三角形 C. 有一个角是的等腰三角形 D. 有一个角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 6. 如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、、及点、、，且，，，则(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ． 故选项A、B、C错误，选项D正确． 7. 如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（　　） A 9 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】求出折叠后小矩形的一条边长，然后根据相似图形的性质列式计算即可． 【详解】解：∵大矩形的一条边长为， ∴折叠后小矩形的一条边长为， ∵小矩形和原矩形相似， ∴， 解得（负值已舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似图形性质，熟知相似图形的对应边成比例是解题的关键． 8. 在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ） A. 的重心处 B. 的中点处 C. 点处 D. 点处 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，首先证明，由，推出当共线时，的值最小，此时是的中线，由此即可判断． 【详解】解：如图，连接PB，BE． ，， ， ， ， ， 当共线时，的值最小，此时是的中线， 也是中线， 点是的重心， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，轴对称线段和最短问题，关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决问题． 9. 如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（ ） A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对 【答案】D 【解析】 【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴． 综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是理解相似三角形的判定定理，同时主要不要有所遗漏． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】作AH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA，根据三角函数的定义解决问题即可． 【详解】如图，作AH⊥x轴于H． ∵A（2，1）， ∴OH＝2，AH＝1， ∴OA＝＝＝， ∴cosα＝＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，坐标由图形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 二、填空题 11. 如果与的和等于3，那么a的值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意二次根式的加减运算即可求解． 【详解】解：∵与的和等于3， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算是解题的关键． 12. 若代数式的值与的值相等，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ∴ ∴，即， ∴， ∴或． 13. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过正方形面积求出边长，再根据边长求出其中一个长方形的面积，再乘以2，即可得到阴影部分面积． 【详解】面积为8的正方形的边长为：， 面积为3的正方形的边长为：， 阴影部分长方形面积为：， 由于有两个，故总面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查由面积求边长的应用，掌握这一点是本题关键． 14. 如图，在中，，，分别是，的中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交射线于，根据三角形中位线定理可得，从而得到，由角平分线定义可得，从而得到，即，得到，根据，求出，最后根据三角形相似的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交射线于， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到BE＝EF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE， ∴BE＝EF， ∵BC＝8， ∴CE＝8﹣BE， 当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝， 解得：BE＝或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题 16. 计算或解方程：（1） （2） 【答案】（1）5－；（2）x1＝－2，x2＝ 【解析】 【分析】（1）利用完全平方差公式以及化简二次根式和代入特殊三角函数进行计算即可； （2）由题意观察原方程，可用因式分解法中十字相乘法或者公式法求解. 【详解】（1）计算： 解：原式＝7－4++2×× ＝7－4+2－2+ ＝5－． （2） 解法一：（2x－3）（x+2）＝0 2x－3＝0或x+2＝0， x1＝－2，x2＝． 解法二：a＝2，b＝1，c＝－6， △＝b2－4ac＝12－4×2×（－6）＝49， x＝， x1＝－2，x2＝． 【点睛】本题主要考查用因式分解法解一元二次方程以及实数的综合运算，涉及的知识点有特殊角的三角形函数值、完全平方差公式以及二次根式的分母有理化等． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【小问1详解】 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 18. 如图，，求长． 【答案】4 【解析】 【分析】证明，列出比例式求出的长，再根据线段的和差关系求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 19. 如图，的顶点坐标分别为 （1）画出绕点C顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，画出，进而写出的坐标即可； （2）根据位似的性质，画出，进而写出的坐标即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求；； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，． 20. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭顶端离地面的距离为米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为米．求城楼的高度． 【答案】则城楼的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造直角三角形，过点A作于点M，交于点N，可得出，继而利用相似三角形的判定与性质解答． 【详解】解：过点A作于点M，交于点N， 由题意得，，，， 则； ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴（米）； 答：城楼的高度为米． 21. 如图，交于点，点在边上，． （1）求证：； （2）若四边形的面积为16，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合已知得到，则可得，然后可得结论； （2）根据求出，然后可得的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 22. “十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力的中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南•戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义．该景区在2022年春节假期接待游客达到4万人次，预计在2024春节假期接待游客16万次． （1）求“只有河南•戏剧幻城”2022年至2024年春节假期接待游客人次的平均增长率； （2）“只有河南•戏剧幻城”景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价20元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售40杯，2024年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天5000元的利润？ 【答案】（1）年平均增长率为； （2）当每杯售价定为15元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天5000元的利润． 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用，增长率问题及销售问题的一元二次方程： （1）设年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程解答； （2）设当每杯售价定为y元时，可使此款奶茶实现平均每天5000元的利润，根据题意列一元二次方程解答 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，由题意得： 解得：（舍）． 答：年平均增长率为； 【小问2详解】 设当每杯售价定为y元时，可使此款奶茶实现平均每天5000元的利润， 由题意得： 整理得：， 解得：． ∵要让顾客获得最大优惠， ∴． 答：当每杯售价定为15元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天5000元的利润． 23. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 【答案】三角形中位线定理】，；【应用】；【拓展】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． [三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论； [应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； [拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，； [应用]连接，如图所示， 、分别是边、的中点， ，， ， ，， ，， ， ， ； [拓展]证明：取的中点，连接、． 、分别是、的中点， 是的中位线， 且， 同理可得且． ， ， ，， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年九年级上学期期中测试－数学 一、单选题 1. 下列各数中，结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果成立，那么x的取值范围是（　　） A. x≥1 B. x≥0 C. 0≤x≤1 D. x为任意实数 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 4. 已知，则的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或2 5. 下列各组图形一定相似的是（ ） A. 有一个角相等的等腰三角形 B. 有一个角相等的直角三角形 C. 有一个角是的等腰三角形 D. 有一个角是对顶角的两个三角形 6. 如图，直线，另两条直线分别交、、于点A、、及点、、，且，，，则(　　) A. B. C. D. 7. 如图，将一张两边长分别为和的矩形纸片两次对折后展开，得到四个全等的小矩形，若小矩形和原矩形相似，则x的值为（　　） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 8. 在等腰中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ） A. 重心处 B. 的中点处 C. 点处 D. 点处 9. 如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（ ） A. 5对 B. 6对 C. 7对 D. 8对 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题 11. 如果与的和等于3，那么a的值是___________． 12. 若代数式的值与的值相等，则_______． 13. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为________． 14. 如图，在中，，，分别是，中点，动点在射线上，交于点，的平分线交于点，当时，的值为______． 15 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为__________________． 三、解答题 16. 计算或解方程：（1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 18. 如图，，求的长． 19. 如图，的顶点坐标分别为 （1）画出绕点C顺时针旋转得到的，并写出点的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，并写出点的坐标． 20. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离为米，凉亭顶端离地面的距离为米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为米．求城楼的高度． 21. 如图，交于点，点在边上，． （1）求证：； （2）若四边形的面积为16，求的面积． 22. “十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南•戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义．该景区在2022年春节假期接待游客达到4万人次，预计在2024春节假期接待游客16万次． （1）求“只有河南•戏剧幻城”2022年至2024年春节假期接待游客人次的平均增长率； （2）“只有河南•戏剧幻城”景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价20元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售40杯，2024年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天5000元利润？ 23. 【三角形中位线定理】 已知：在中，点D，E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】 如图，在四边形中，点E，F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】 如图，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $