专题07 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，河南专用）九年级数学上学期

专题07 圆、直线与圆的位置关系 9大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 直线与圆相离、相切、相交 考点07 圆的切线 考点08 三角形的内切圆 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 圆 D. 等腰三角形 2．（25-26学年九上·河南周口·期中）小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（       ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 11 3．（25-26学年九上·河南商丘·期中）已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 4．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）的半径为3，点P到圆心O的距离为2，点P与的位置关系是（       ） A. 无法确定 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 点P在内 5．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是　　　　　　（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为（       ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（     ） A.  B. 4 C.  D. 8 3．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，经过点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是　　　　　　． 5．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 6．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为　　　　　　　　　　　　cm． 7．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，在等腰中,交于两点，半径于H． （1）求证：； （2）若，求的半径． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·河南周口·期中）下列关于圆的说法中，正确的是（     ） A. 半圆是弧 B. 弦是直径 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 平分弦的直径垂直这条弦 2．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，是的两段弧，且，则弦与之间的关系为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 4．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（       ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 3．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，是的直径，若，则的度数等于（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，弦，若，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点（与、不重合），则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（   ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 10．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，点A、B、C、D都在上，已知，则的度数为　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的直径． 12．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，已知四边形内接于，，，连接，E为上一点，且． （1）求的度数； （2）求证：． 13．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，是的外接圆，为直径，连接，过点C作的切线．    （1）请用尺规作图法，过点B作直线交于点E，交于点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及的点用字母进行标注） （2）在（1）的条件下求证：． 14．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 15．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=　　　　°． 16．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长． 17．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，四边形内接于，为的直径，，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 18．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）若，，求弦的长； （2）求证：． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（　　） A. 60 B.  C. 120 D.  2．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 3．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图三个顶点的坐标分别为，， （1）画出把绕原点O顺时针旋转得到． （2）求出在旋转的过程中，点C经过的路径长（结果保留） 5．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为4），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积　　　　　　． 考点06 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（     ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 　　　　　　　　秒直线CD恰好与⊙B相切． 考点07 圆的切线 1．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（       ） A. 4 B. 4＋a C. 2＋a D. 3＋a 2．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图．在中，，⊙O为的内切圆，切点为D、E、F，则的半径为（　　） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，且，大圆的弦切小圆于点．若，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（     ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 5．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（       ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 6．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 7．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，则             ． 9．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）已知是的直径，点是延长线上一点，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为点，的半径为8，求的长． 11．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求的长． 12．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）下面是小强在数学课上设计的“过圆外一点作圆的切线”的作法，请仔细阅读，并完成相应的问题． 已知：如图（1）P为外一点． 求作：经过点P的切线． 小强的作法： （1）如图（2），连接，作线段的垂直平分线，交于点C； （2）以点C为圆心、长为半径作圆，交 于A，B两点； （3）作直线．直线 即为所求作的切线． 老师认为小强的作法正确，并提出了下列问题： （1）连接，可证， 其依据是                 ． （2）如图（3），连接， D是上一点， E， F分别在上，且． ①若， 试判断与的数量关系， 并说明理由； ②若四边形为菱形， 且，则的半径是            ． 13．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且． （1）求的度数； （2）若，求阴影部分面积． 考点08 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 考点09 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆、直线与圆的位置关系 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 直线与圆相离、相切、相交 考点07 圆的切线 考点08 三角形的内切圆 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．C 2．D 3．D 4．D 5．【答案】② ③ 【分析】 本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】 解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是② ③ ． 故答案为：② ③ ． 考点02 垂直于弦的直径 1．D 2．C 3．C 4．【答案】或 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：① 当和位于圆心同侧时和② 当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】 解：分类讨论：① 当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．       ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ② 当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．     ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． (1) 小问详解： 解：经过圆心O，且弦， ； (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 6．【答案】5 【分析】 本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】 解：如图，，过圆心O，连接， ∴ ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 7．【答案】（1） 证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 考点03 圆心角 1．A 2．D 3．A 4．【答案】证明：连接OC． ∵， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD=OE， ∵OC=OC（公共边）， ∴△COD≌△COE， ∴CD=CE． 【分析】 连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质，通过弧相等证明圆心角相等是解题关键． 考点04 圆周角 1．B 2．D 3．C 4．A 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．【答案】F度 【分析】 此题考查圆周角定理，由与所对的弧是同一条弧可得，由此解答即可 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为： 11．【答案】（1）证明：， ， ， ， ；     （2）6      【分析】 （1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有，即可求出的直径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的直径为6． 12．【答案】（1）     （2） 证明：如解图，连接， 由（1）知， 又， ∴为等边三角形， ， ∴， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 该题考查了圆周角定理，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形为的内接四边形，，得出，证明为等边三角形，得出，再根据圆周角定理即可求出． （2）如图，连接，由（1）知，证明为等边三角形，得出，从而得，根据圆周角定理得出，证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：∵四边形为的内接四边形，， ， ， ∴为等边三角形， ， ． (2) 小问详解： 略 【点睛】 13．【答案】（1） 所作图形如图所示：    ；     （2） 解：由作图知， ∵， ∴，， ∴，即．      【分析】 本题考查了尺规作图，圆周角定理． （1）利用尺规作图作出，即可得到； （2）利用圆周角定理求得，，据此证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 14．【答案】（1） 是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形；     （2）的长度为4．      【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． （1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等腰直角三角形， ， ， 在中，，， 则， ． 15．【答案】50． 【详解】 试题分析：如图，连接BE． ∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°， ∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理） 故答案为50°． 考点：1．三角形内角和定理；2．等腰三角形的性质；3．圆周角定理． 16．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点, ∴ ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF=BF； （2）5 ， 【分析】 （1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长． 【详解】 （1）略； （2）解：∵ ∴BC=CD=6， ∵∠ACB=90°， ∴⊙O的半径为5， 【点睛】 此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由圆内接四边形对角互补得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，由两锐角互余即可得到，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案； （2）先由等腰三角形性质得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径所对的圆周角是直角得到，在中，由含的直角三角形性质及勾股定理求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：四边形内接于，， ， 为的直径， ， 在中，，，则， ， ； (2) 小问详解： 解：在中，，，则， ， ， 为的直径， ， 在中，，，，则，从而由勾股定理可得． 【点睛】 本题考查圆综合，涉及圆内接四边形对角互补、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练运用圆的相关性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 18．【答案】（1）     （2） 证明：为的直径，是弦，， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）先求出半径，利用勾股定理求出，再根据垂径定理推出，即可求解； （2）利用垂径定理得出，根据等弧所对的圆周角相等可得，结合，即可证明． (1) 小问详解： 解：，， ， ，， 在中，． 为的直径，是弦，， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题的关键是牢记：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧． 考点05 弧长和扇形面积 1．B 2．【答案】 【分析】 本题考查求解阴影部分的面积，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．连接，设交于，交于．证明，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接，设交于，交于． ，，， ，，， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 本题考查弧长公式，求出圆锥底面半径是解答的关键．根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求出底面半径，再计算底面积． 【详解】 解：扇形的弧长为， 设圆锥底面半径为，则，解得． 因此，圆锥的底面积为． 故答案为：． 4．【答案】（1） 所作如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画旋转图形，求弧长，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤，以及弧长公式． （1）先画出点A、B、C绕原点O顺时针旋转的对应点，再依次连接即可； （2）先利用勾股定理求出，再根据弧长公式求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如上图，在旋转的过程中，点C经过的路径为以为圆心，以长为半径的半圆弧长， ， 点C经过的路径长为． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查的是扇形面积的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．连接，，，首先证明是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题． 【详解】 解：如图所示，连接，，， ∵每个小正方形的边长均为4 ∵由勾股定理得，，， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角为，半径， ∴图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 考点06 直线与圆相离、相切、相交 1．C 2．【答案】或6 【分析】根据直线与圆相切和勾股定理，圆的半径与BC的关系，注意有2种情况解答即可． 【详解】当直线与圆相切时，点C在圆的左侧， ∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切， ∴2DB=BC， 即2（1+t）=10-4t， 解得：t=， 当直线与圆相切时，点C在圆的右侧， ∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切， ∴2DB=BC， 即2（1+t）=4t-10， 解得：t=6， 故答案为或6． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键是根据含30°的直角三角形中30°所对的边是斜边的一半进行分析． 考点07 圆的切线 1．B 2．B 3．B 4．C 5．A 6．【答案】（1） 证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线；     （2）5      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， 在中， 的半径为5． 7．【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质和圆周角的性质．连接，如图，根据切线的性质得，求得，根据圆周角的性质求得，进一步计算即可求出的度数． 【详解】 解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．【答案】（1） 证明：如图，连接，        ∵是的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，需要学生灵活运用所学知识． （1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，根据圆内接四边形的性质以及，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．【答案】3或 【分析】 分两种情况：⊙与直线CD相切、⊙与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得． 【详解】 如图1中，当⊙与直线CD相切时，设， 在中，， ， ， ，； 如图2中当⊙与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形， ， ，， 在中，， 综上所述，BP的长为3或． 【点睛】 本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键． 10．【答案】（1） 、证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等和圆周角定理得，，再根据等边对等角得，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论； （2）先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径，，垂足为M，的半径是8， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 11．【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作的垂线，垂足于点，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作的垂线，垂足于点，如图： ， 则四边形为矩形， 的半径为，， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 12．【答案】（1）直径所对的圆周角是直角     （2） ①，理由如下： 如图（1），连接，则． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ②      【分析】 本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据圆周角定理即可解答； （2）① 如图（1），连接，则．易证，再证明，然后运用全等三角形的性质即可解答；② 当四边形为菱形时，如图（2），此时， 由① 知，根据等腰三角形的性质可得、，再根据已知条件、菱形的性质、等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得、，由含30度直角三角形的性质可得，连接，易得，即，再运用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵都是直径所对的圆周角， ∴（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角． (2) 小问详解： 解：① 略 ② 如图（2）当四边形为菱形时，如图（2），此时，， 由① 知， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ，解得：． ∴，即的半径是． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质得到，， 结合三角形外角的性质得到，由直角三角形的两锐角互余即可求出的度数，进而得到的度数， 从而证得是等边三角形， 得到的度数， 由圆周角定理即可得到的度数； （2）先证， 根据等角对等边得到， 从而可求出的长度，利用勾股定理即可求得 的长度 ， 从而根据列式计算即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 是等边三角形， ， ； (2) 小问详解： 解：如图所示， 由（1）可知，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，扇形面积、三角形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键． 考点08 三角形的内切圆 1．B 考点09 正多边形与圆 1．B 2．D 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 圆、直线与圆的位置关系 9大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 直线与圆相离、相切、相交 考点07 圆的切线 考点08 三角形的内切圆 考点09 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 圆 D. 等腰三角形 【答案】C 【分析】 根据轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：如果一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】 解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D、等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 【点睛】 本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 2．（25-26学年九上·河南周口·期中）小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（       ） A. 4 B. 5 C. 10 D. 11 【答案】D 【分析】 根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】 解：∵半径为5的圆，直径为10， ∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0<AB≤10， ∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11． 故选：D． 【点睛】 本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径． 3．（25-26学年九上·河南商丘·期中）已知OA=5cm，以O为圆心，r为半径作⊙O．若点A在⊙O内，则r的值可以是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】D 【详解】试题分析：根据题意可知，若使点A在⊙O内，则点A到圆心的大小应该小于圆的半径，因此圆的半径应该大于5． 故选D 考点：点与圆的位置关系 4．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）的半径为3，点P到圆心O的距离为2，点P与的位置关系是（       ） A. 无法确定 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 点P在内 【答案】D 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此判断即可． 【详解】 解：∵的半径为3，点P到圆心O的距离为2， ∴， ∴点P在内， 故选：D． 5．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是　　　　　　（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． 【答案】② ③ 【分析】 本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合解答即可． 【详解】 解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是② ③ ． 故答案为：② ③ ． 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为（       ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】D 【分析】 本题主要考查垂径定理与勾股定理．运用垂径定理可求出，连接，设圆的半径为，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵为的直径，弦于， ∴， 如图所示，连接，设圆的半径为， ∴，则， 在中，， ∴， 解得，， 故选：D． 2．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（     ） A.  B. 4 C.  D. 8 【答案】C 【分析】 本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键． 先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解． 【详解】 解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选：C． 3．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，经过点，交y轴于点B，若，则点B的纵坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．作轴交y轴于点C，由可得，再由图可知点B在y轴的负半轴上，即可解答． 【详解】 解：如图，作轴交y轴于点C， ，轴， ，， ， 由图可知，点B在y轴的负半轴上，则点B的纵坐标是． 故选：C． 4．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：① 当和位于圆心同侧时和② 当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】 解：分类讨论：① 当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．       ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ② 当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．     ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 5．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． (1) 小问详解： 解：经过圆心O，且弦， ； (2) 小问详解： 解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 6．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为　　　　　　　　　　　　cm． 【答案】5 【分析】 本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】 解：如图，，过圆心O，连接， ∴ ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 7．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，在等腰中,交于两点，半径于H． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：在中，，于， ， 是的弦，是半径，且于， ， ， ；     （2）      【分析】 本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理． （1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得； （2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如下图所示，连接， 由（1）知，， 设半径为，则， 在中， 解得：， 的半径为． 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·河南周口·期中）下列关于圆的说法中，正确的是（     ） A. 半圆是弧 B. 弦是直径 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 平分弦的直径垂直这条弦 【答案】A 【分析】 根据圆的相关定义和定理逐一判断，解答即可． 本题考查圆的基本概念，包括弧、弦、等弧和垂径定理，熟练掌握相关定理和定义是解题的关键． 【详解】 解：A：∵半圆是圆上一条直径的两个端点分成的弧，∴半圆是弧，正确，符合题意； B：∵弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦，∴弦不一定是直径，错误，不符合题意； C：∵等弧需在同圆或等圆中长度相等，∴仅长度相等不一定等弧，错误，不符合题意； D：∵垂径定理要求平分弦（非直径）的直径才垂直弦，∴若弦是直径，则不一定垂直，错误，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，均为上的点，且，则下列说法不正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系．由A、B、C、D是⊙O上的点，，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等作答即可． 【详解】 解：∵， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∴，即，故B选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故C选项说法正确，不符合题意； 不能证明，故D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，是的两段弧，且，则弦与之间的关系为（     ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了弧与弦之间的关系，在点D右侧且在上取一点E，使得，连接，则可证明，，进而得到，根据即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，在点D右侧且在上取一点E，使得，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 4．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，弧AC=弧CB，D，E分别是半径OA，OB的中点，求证：CD=CE 【答案】证明：连接OC． ∵， ∴∠AOC=∠BOC， ∵OA=OB，D、E分别是半径OA和OB的中点， ∴OD=OE， ∵OC=OC（公共边）， ∴△COD≌△COE， ∴CD=CE． 【分析】 连接OC，构建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的对应边相等证得CD=CE． 【详解】 略 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质，通过弧相等证明圆心角相等是解题关键． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，点A，B，C在上，，的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】 解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数为（       ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】D 【分析】 根据是所对的圆心角，是所对的圆周角，可得从而可得答案． 【详解】 解：是所对的圆心角，是所对的圆周角， 故选： 【点睛】 本题考查的是圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解题的关键． 3．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，四边形为的内接四边形，若，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补即可求解． 【详解】 解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，是的直径，若，则的度数等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】 解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，弦，若，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查圆周角定理，平行线的性质．由相关定理导出角之间的数量关系是解题的关键． 根据平行线性质，得，由圆周角定理，得． 【详解】 解：如图，∵弦, ∴． ∴． 故选：A． 6．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点（与、不重合），则的度数是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查圆周角定理，由题意得，再由圆周角定理求得的度数即可．掌握“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”是解题的关键． 【详解】 解：根据题意得：， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】 解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 8．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了圆内接四边形的知识，圆周角定理．利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】 解：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（   ） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 【答案】D 【分析】 根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，得到∠A=50°，再根据圆内接四边形的对角互补可求得∠C． 【详解】 解： ∠BOD＝100°， ， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ． 故答案为：D． 10．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，点A、B、C、D都在上，已知，则的度数为　　　　　　　　． 【答案】F度 【分析】 此题考查圆周角定理，由与所对的弧是同一条弧可得，由此解答即可 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为： 11．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的直径． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ；     （2）6      【分析】 （1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有，即可求出的直径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即的直径为6． 12．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，已知四边形内接于，，，连接，E为上一点，且． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：如解图，连接， 由（1）知， 又， ∴为等边三角形， ， ∴， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 该题考查了圆周角定理，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形为的内接四边形，，得出，证明为等边三角形，得出，再根据圆周角定理即可求出． （2）如图，连接，由（1）知，证明为等边三角形，得出，从而得，根据圆周角定理得出，证明，即可证明． (1) 小问详解： 解：∵四边形为的内接四边形，， ， ， ∴为等边三角形， ， ． (2) 小问详解： 略 【点睛】 13．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，是的外接圆，为直径，连接，过点C作的切线．    （1）请用尺规作图法，过点B作直线交于点E，交于点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及的点用字母进行标注） （2）在（1）的条件下求证：． 【答案】（1） 所作图形如图所示：    ；     （2） 解：由作图知， ∵， ∴，， ∴，即．      【分析】 本题考查了尺规作图，圆周角定理． （1）利用尺规作图作出，即可得到； （2）利用圆周角定理求得，，据此证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，四边形内接于，为的直径，． （1）判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 是等腰直角三角形， 证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形；     （2）的长度为4．      【分析】 本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． （1）根据圆周角定理可得，由根据等弧对等角可得，即可证明； （2）中由勾股定理可得，中由勾股定理求得即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：是等腰直角三角形， ， ， 在中，，， 则， ． 15．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，以△ABC的边BC为直径的圆O分别交AB、AC于点D、E，连接OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=　　　　°． 【答案】50． 【详解】 试题分析：如图，连接BE． ∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°， ∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理） 故答案为50°． 考点：1．三角形内角和定理；2．等腰三角形的性质；3．圆周角定理． 16．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）（多选）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F． （1）求证：CF﹦BF； （2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长． 【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠A=90°-∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠ECB=90°-∠ABC， ∴∠ECB=∠A． 又∵C是的中点, ∴ ∴∠DBC=∠A， ∴∠ECB=∠DBC， ∴CF=BF； （2）5 ， 【分析】 （1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长． 【详解】 （1）略； （2）解：∵ ∴BC=CD=6， ∵∠ACB=90°， ∴⊙O的半径为5， 【点睛】 此题考查了圆周角定理的推论、等腰三角形的判定及性质以及求三角形的高．此题综合性很强，难度适中，掌握同圆中，等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、等腰三角形的判定及性质和利用等面积法求直角三角形斜边上的高是解决此题的关键． 17．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，四边形内接于，为的直径，，． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由圆内接四边形对角互补得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，由两锐角互余即可得到，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得到答案； （2）先由等腰三角形性质得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径所对的圆周角是直角得到，在中，由含的直角三角形性质及勾股定理求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：四边形内接于，， ， 为的直径， ， 在中，，，则， ， ； (2) 小问详解： 解：在中，，，则， ， ， 为的直径， ， 在中，，，，则，从而由勾股定理可得． 【点睛】 本题考查圆综合，涉及圆内接四边形对角互补、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、圆周角定理、等腰三角形性质、三角形内角和定理、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练运用圆的相关性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 18．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）若，，求弦的长； （2）求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：为的直径，是弦，， ， ， ， ， ．      【分析】 （1）先求出半径，利用勾股定理求出，再根据垂径定理推出，即可求解； （2）利用垂径定理得出，根据等弧所对的圆周角相等可得，结合，即可证明． (1) 小问详解： 解：，， ， ，， 在中，． 为的直径，是弦，， ， ； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题的关键是牢记：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（　　） A. 60 B.  C. 120 D.  【答案】B 【分析】 利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 本题考查了圆锥侧面积公式的运用，熟练掌握圆锥的高、母线长和底面半径组成直角三角形是解题的关键． 【详解】 解：∵圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积，  故选：B． 2．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在等腰三角形中，，，，点D为的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形，若点C恰好在上，则图中阴影部分的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查求解阴影部分的面积，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．连接，设交于，交于．证明，推出，可得，由此即可解决问题． 【详解】 解：如图，连接，设交于，交于． ，，， ，，， ， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 3．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查弧长公式，求出圆锥底面半径是解答的关键．根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求出底面半径，再计算底面积． 【详解】 解：扇形的弧长为， 设圆锥底面半径为，则，解得． 因此，圆锥的底面积为． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图三个顶点的坐标分别为，， （1）画出把绕原点O顺时针旋转得到． （2）求出在旋转的过程中，点C经过的路径长（结果保留） 【答案】（1） 所作如图所示：      （2）      【分析】 本题考查了画旋转图形，求弧长，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤，以及弧长公式． （1）先画出点A、B、C绕原点O顺时针旋转的对应点，再依次连接即可； （2）先利用勾股定理求出，再根据弧长公式求解，即可解题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如上图，在旋转的过程中，点C经过的路径为以为圆心，以长为半径的半圆弧长， ， 点C经过的路径长为． 5．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为4），设经过图中、、三点的圆弧与交于，则图中阴影部分面积　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查的是扇形面积的计算、等腰直角三角形的判定，锐角三角函数的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．连接，，，首先证明是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题． 【详解】 解：如图所示，连接，，， ∵每个小正方形的边长均为4 ∵由勾股定理得，，， ∵ ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧所对的圆心角为，半径， ∴图中阴影部分的面积 ， 故答案为：． 考点06 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，的半径为3，直线l的解析式为，那么直线l与的位置关系是（     ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长． 求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】 解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 2．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 　　　　　　　　秒直线CD恰好与⊙B相切． 【答案】或6 【分析】根据直线与圆相切和勾股定理，圆的半径与BC的关系，注意有2种情况解答即可． 【详解】当直线与圆相切时，点C在圆的左侧， ∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切， ∴2DB=BC， 即2（1+t）=10-4t， 解得：t=， 当直线与圆相切时，点C在圆的右侧， ∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切， ∴2DB=BC， 即2（1+t）=4t-10， 解得：t=6， 故答案为或6． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，关键是根据含30°的直角三角形中30°所对的边是斜边的一半进行分析． 考点07 圆的切线 1．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝a，则△PMN周长的最小值为（       ） A. 4 B. 4＋a C. 2＋a D. 3＋a 【答案】B 【分析】 根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即△PMN周长的最小，利用圆的对称性进行计算即可． 【详解】 解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PN＝MN′，连接, ∵点N是的中点，∠BAM＝20°， ∴ ∴＝＝， ∴∠BON′＝=20°， ∴∠MON′＝60°， ∵ ∴△MON′是正三角形， ∴OM＝ON′＝MN′＝AB＝4， ∵MN＝a， △PMN周长= ∴△PMN周长的最小值为4+a， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键． 2．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图．在中，，⊙O为的内切圆，切点为D、E、F，则的半径为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查切线长定理，求三角形的内切圆的半径，连接，切线长定理结合切线的性质，得到，推出四边形是正方形，设的半径为，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：连接， ∵为的内切圆， ∴，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设的半径为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得 ，即的半径为， 故选B． 3．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，两个圆为同心圆，大圆的直径与小圆的其中一个交点为，且，大圆的弦切小圆于点．若，则图中阴影部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是切线的性质、勾股定理，扇形的面积计算，掌握扇形面积公式是解题的关键； 连接、，如图，根据切线的性质得到，再利用勾股定理计算出，计算出，进而得到，则，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】 连接、，如图， 弦切小半圆于点， ， ， ，， 在中，， ，， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ∴ ． 故选：B． 4．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（     ） A. 17 B. 19 C. 20 D. 22 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】 解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 5．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（       ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】A 【分析】 本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 6．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，与，分别交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线；     （2）5      【分析】 本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， 在中， 的半径为5． 7．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，是的切线，切点为A，的延长线交于点B，若，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了切线的性质和圆周角的性质．连接，如图，根据切线的性质得，求得，根据圆周角的性质求得，进一步计算即可求出的度数． 【详解】 解：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，则             ． 【答案】（1） 证明：如图，连接，        ∵是的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵为半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，需要学生灵活运用所学知识． （1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，根据圆内接四边形的性质以及，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连接PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙当⊙与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　　　　　　． 【答案】3或 【分析】 分两种情况：⊙与直线CD相切、⊙与直线AD相切，分别画出图形进行求解即可得． 【详解】 如图1中，当⊙与直线CD相切时，设， 在中，， ， ， ，； 如图2中当⊙与直线AD相切时，设切点为K，连接PK，则，四边形PKDC是矩形， ， ，， 在中，， 综上所述，BP的长为3或． 【点睛】 本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用参数构建方程解决问题是关键． 10．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）已知是的直径，点是延长线上一点，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为点，的半径为8，求的长． 【答案】（1） 、证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线；     （2）      【分析】 本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，直角三角形的性质，连接圆心和圆上的点是证明切线的作辅助线的基本思路． （1）连接，根据同弧所对的圆周角相等和圆周角定理得，，再根据等边对等角得，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论； （2）先根据垂径定理得，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理得，最后根据得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径，，垂足为M，的半径是8， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 11．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，四边形，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． （1）求证：是的切线． （2）若的半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线；     （2）      【分析】 本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据切线的判定定理证明结论． （2）过点作的垂线，垂足于点，根据勾股定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：过点作的垂线，垂足于点，如图： ， 则四边形为矩形， 的半径为，， ， ， 由勾股定理得，， ， ； 12．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）下面是小强在数学课上设计的“过圆外一点作圆的切线”的作法，请仔细阅读，并完成相应的问题． 已知：如图（1）P为外一点． 求作：经过点P的切线． 小强的作法： （1）如图（2），连接，作线段的垂直平分线，交于点C； （2）以点C为圆心、长为半径作圆，交 于A，B两点； （3）作直线．直线 即为所求作的切线． 老师认为小强的作法正确，并提出了下列问题： （1）连接，可证， 其依据是                 ． （2）如图（3），连接， D是上一点， E， F分别在上，且． ①若， 试判断与的数量关系， 并说明理由； ②若四边形为菱形， 且，则的半径是            ． 【答案】（1）直径所对的圆周角是直角     （2） ①，理由如下： 如图（1），连接，则． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ②      【分析】 本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接根据圆周角定理即可解答； （2）① 如图（1），连接，则．易证，再证明，然后运用全等三角形的性质即可解答；② 当四边形为菱形时，如图（2），此时， 由① 知，根据等腰三角形的性质可得、，再根据已知条件、菱形的性质、等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得、，由含30度直角三角形的性质可得，连接，易得，即，再运用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 解：∵都是直径所对的圆周角， ∴（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：直径所对的圆周角是直角． (2) 小问详解： 解：① 略 ② 如图（2）当四边形为菱形时，如图（2），此时，， 由① 知， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ，解得：． ∴，即的半径是． 13．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且． （1）求的度数； （2）若，求阴影部分面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）连接，，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质得到，， 结合三角形外角的性质得到，由直角三角形的两锐角互余即可求出的度数，进而得到的度数， 从而证得是等边三角形， 得到的度数， 由圆周角定理即可得到的度数； （2）先证， 根据等角对等边得到， 从而可求出的长度，利用勾股定理即可求得 的长度 ， 从而根据列式计算即可． (1) 小问详解： 解：如图所示，连接，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 是等边三角形， ， ； (2) 小问详解： 解：如图所示， 由（1）可知，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，扇形面积、三角形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键． 考点08 三角形的内切圆 1．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，的内切圆与分别相切于点，且，．则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，设，根据切线长定理得出，，，得到，，由，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：设， 的内切圆与分别相切于点， ，，， ，，， ，， ， ， 解得：， 即， 故选：B． 考点09 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】 解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 2．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（       ） A. 1 B. 2 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】 解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $