专题04 旋转（期中真题汇编，河南专用）九年级数学上学期

专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图, △ABC和△ADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（       ） A. △ABC和△ADE B. △ABC和△ABD C. △ABD和△ACE D. △ACE和△ADE 3．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．若，，则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（     ） A. 绕点D逆时针旋转 B. 绕点O顺时针旋转 C. 绕点O逆时针旋转 D. 绕点B逆时针旋转 7．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，将绕点A 按逆时针方向旋转，得到，若点在线段 BC 的延长线上，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 9．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，中，，，，将绕点A逆时针旋转得，交于点E，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 12．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2025次旋转后，点D的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 70° D. 90° 17．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，P是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕C旋转到的位置（即过C作，且使，连接、）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边内一点，，，，求的度数． 19．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点是，连接，当时，求旋转角α的度数． 20．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 21．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点B'落在边CD上，若，当三点共线时，等于　　　　　　　　　　． 22．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． （1）求证：； （2）求证：． 23．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若可看作由绕P点旋转而成，则点P坐标为________． 24．（25-26学年九上·河南周口·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动，如图，和是共直角顶点的等腰直角三角形，且，，将绕点A顺时针旋转，直线、交于点P． 【操作发现】 （1）如图①，勤奋小组在旋转的过程中发现，当点D落在线段上时，，请你证明他们的发现； 【拓展延伸】 （2）创新小组将旋转至如图②所示的位置，即点D落在线段上，此时，求的长． 25．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，，解答下列问题： （1）将线段绕原点顺时针方向旋转得到线段，再将线段向下平移个单位长度得到线段，画出线段和线段；并写出点各点的坐标． （2）如果线段旋转可以得到线段，则旋转中心的坐标为         26．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 27．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为 　　　　　　　． 28．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 29．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，已知等边的顶点，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·河南商丘·期中）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 31．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A坐标为，点坐标为，若直线平分平行四边形的面积，则的值为　　　　　　． 32．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到： （1）请在网格图中画出． （2）在（1）的条件下，求点B的路径弧的长． （3）若是的外接圆，请直接写出点M的坐标． 33．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 34．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 35．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是　　　　　　． 36．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上． （1）旋转中心是点______，旋转角是______和______； （2）若，，求的长； （3）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不要说明理由） 37．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 38．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为　　　　　　． 39．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转点B的对应点为，点C的对应点为，连接，则        ； （2）【问题解决】如图2，在等边三角形内有一点P，且，求的度数和等边三角形的边长； （3）【灵活运用】如图3，在正方形内有一点P，且，求的度数和正方形的边长． 40．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，P是以正方形的顶点A为圆心，为半径的弧上的点，连接、，将线段绕点P顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是　　　　　． 42．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）综合与探究 （1）如图1，在中，，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，是边上的点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段与的关系为___________． （2）若将图1的条件“是边上的一点”改为“点是延长线上的任意一点”，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当点恰好落在的边上时，请直接写出的长． 43．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　     　°，与的数量关系是 　     　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 44．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）已知四边形和四边形均为正方形，连接、，直线与交于点H． （1）如图1，当点E在上时，线段与的数量关系是______，线段与的位置关系是______； （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）若，，正方形在绕点A逆时针旋转过程中，当点B、E、F三点共线时，请直接写出线段的长． 45．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）课堂上，张老师与同学们探究下列问题． 如图，线段及上一点，已知，分别以线段，为边在线段的同侧作等边与等边． 【问题解决】 （1）如图1，当是的中点时，则的长为（     ）    A．       B．       C．       D． 【问题探究】 如图2，点为上任意一点，连接．    （2）说明，的大小关系？请说明理由． （3）可以看作是经过旋转得到，请说明得到的过程：_________ 【问题拓展】 （4）若，将绕点旋转，当直线时，请直接写出的长． 46．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，在Rt中，，，，将绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，当时，　　　　　　　　　 47．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： （1）如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； （2）将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； （3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 48．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点为． （1）补全图形，点_______（填“在”或“不在”）的延长线上； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，当点为的中点时，直接写出的面积． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都是格点． （1）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （2）作出关于点O成中心对称的． 2．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则　　　　　． 3．（25-26学年九上·河南周口·期中）在如图所示的网格中，有格点，请在所给出的平面直角坐标系中按要求作图和解题： （1）在坐标系中画出关于点成中心对称的（其中点、、的对应点分别是点、、），并写出点F的坐标； （2）在坐标系中画出绕点O逆时针旋转的，并写出点的坐标． 4．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与是中心对称图形，请在图中标出对称中心Q，并写出Q点坐标． 5．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画关于原点成中心对称的； （2）把向上平移4个单位长度，得，画出； （3）和关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标_________． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·河南许昌·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）2025年，中国的人工智能迅猛发展，下列软件图标是中心对称图形的是（          ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）下面的图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“霾”、“浮尘”、“扬沙”和“阴”，其中是中心对称图形的是（　　　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·河南商丘·期中）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      9．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ) A. A B. B C. C D. D 10．（25-26学年九上·河南周口·期中）我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 11．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号　　　　　　　　　的小正方形涂阴影． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若点关于原点对称的点是则的值是（       ） A.  B. 2 C.  D. 6 3．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）点与点关于原点对称，则　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为　　　　　． 6．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，．请在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点坐标． 8．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图如示，在平面直角坐标系中的． （1）画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； （2）若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．B 2．C 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．B 9．C 10．B 11．C 12．C 13．B 14．A 15．A 16．D 17．A 18．【答案】（1） （2） 【详解】 本题考查了勾股定理及其逆定理、旋转的性质、等边三角形的性质与判定，掌握勾股定理逆定理解题的关键． （1）将绕C旋转到的位置，得到，通过证明，得到，利用角度关系解题即可； （2）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明为等边三角形，得到，通过、、的边长关系证明，利用勾股定理逆定理得到，求出的度数即可． 【解答】 解：如图： 由题意得： ， 由勾股定理得： ， ． 答：的度数为． （2 ）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图： ，， 为等边三角形，， ， ， ． 答：的度数为． 19．【答案】 【分析】 由旋转的性质可得，再根据平行线的性质，得，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是， ，， ， ， ， ， ， ， 旋转角的度数是． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得出是解题的关键． 20．【答案】（1）旋转中心为点A，旋转的度数为；     （2），．      【分析】 （1）先利用三角形内角和计算出，然后根据旋转的定义求解； （2）根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长． (1) 小问详解： 解：， 即， 所以旋转中心为点A，旋转的度数为； (2) 小问详解： 解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴，，， ∴， ∵点C恰好成为的中点， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，由图形旋转的性质可知，由平行四边形的性质可知，再用等腰三角形的性质推得，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】 解：∵平行四边形绕点A旋转得到平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴等于， 故答案为：． 22．【答案】（1） 证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质得到，，再证明垂直平分，则，进而可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 可看作由绕P点旋转而成，点P坐标为． 故答案为：． 24．【答案】（1）证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，        ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，        （2） 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理解答即可； 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 同（1）可证：，，        ∴， 又∵， ∴，        ∴． 25．【答案】（1），，,     （2）      【分析】 本题考查了图形的旋转、平移（上下平移）、旋转中心的确定的知识点，关键点在于如何应用相关知识点，利用网格线作图，看错网格点和找错旋转后对应点都是易错点； （1）绕原点顺时针旋转，可以利用网格先将点看在以为对角线的的网格里，按顺时针旋转网格后，找到以为对角线的的网格，即可找到点；同理也可找到点；找到后，向下平移两个单位，点，点横坐标不变，纵坐标，即可找到对应的点，点； （2）旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，分别找到，的中垂线，中垂线交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 故，，，． (2) 小问详解： ∵线段旋转得到， ∴点与点对应；点与对应． ∵旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点， ∴连接，找到的中垂线；连接，找到的中垂线，相交于． 故． 26．【答案】（1） 证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形；     （2）      【分析】 （1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 27．【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形变化-旋转，如图，过点作轴于点H．求出，即可． 【详解】 解：如图，过点作轴于点H． 由旋转变换的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 28．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求． 点的坐标为     （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形——旋转变换以及中心对称变换，弧长公式的应用，正确得出对应点的位置是解题关键． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可； （3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点A在旋转过程中所经过的路径的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 点旋转到点的过程中，所经过的路径长为． 29．【答案】 【分析】 本题考查坐标系中的旋转规律探究，由题意知点B旋转次后回到原位置，得到点B旋转2025次后的坐标与旋转3次后的坐标相同，即可得出结果，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，，则， ∴， ∴， ∴点， 每次旋转，则旋转一周要：（次）， ， ∴旋转次相当于旋转周后又旋转了次，即又旋转了， ∴点绕原点顺时针旋转后，横，纵坐标都变为原来的相反数， ∴旋转次后，顶点的坐标为， 故答案为：． 30．【答案】（1）， （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）8 【分析】 本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 31．【答案】 【分析】 连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到必过G点，代入G点坐标运算求解即可． 【详解】 解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∴，即． ∵平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键． 32．【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查了作旋转图形，求弧长，求三角形的外接圆的圆心，掌握以上知识是解题的关键； （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到； （2）先根据勾股定理求得的长，进而利用弧长公式求解； （3）根据网格特点作出的垂直平分线的交点，结合坐标系，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∴点B的路径弧的长为； (3) 小问详解： 解：如图所示， ． 33．【答案】（1）由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌； （2）． 【分析】 （1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌； （2）由≌可知：，，从而可求出的度数． 【详解】 （1）略 （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 34．【答案】（1） 解：如图所示： 的坐标为；     （2） 解：如图所示， 的坐标为；     （3）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 35．【答案】50度 【分析】 先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数． 【详解】 解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 36．【答案】（1），，；     （2）；     （3）添加或．      【分析】 本题考查了旋转定义与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转定义即可求解； （）通过勾股定理得，由旋转性质可得，然后由线段和差即可求解； （）根据“一个角是的等腰三角形是等边三角形”判定方法即可求解． (1) 小问详解： 解：根据旋转定义可得，旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 由旋转性质可得， ∴； (3) 小问详解： 解：添加， 由旋转性质可得， ∵， ∴是等边三角形； 添加， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 37．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 (1) 小问详解： 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 38．【答案】，或 【分析】 根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可． 【详解】 解∵中，，，分别是，的中点， ∴为直角三角形     ∵ ∴，， ∴ 若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论， ① 当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作， ∵点到直线的距离为1， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴； ② 当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则 ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴ 由题意可得：四边形为矩形 ∴， ∴ ∴； ③ 当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3） ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，三点共线 ∴； ④ 如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时， ，，点到直线的距离为1 可以确定点在线段上，且 则 综上，的长为，或, 故答案为：，或 【点睛】 此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 39．【答案】（1）；（2），；（3），． 【分析】 （1）根据旋转角、旋转方向画出图形即可；证明是等腰直角三角形即可； （2）如图：将绕点B顺时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，再运用勾股定理逆定理证明是直角三角形，所以，而；过点B作，交的延长线于点M，由，求出，再根据勾股定理即可求得边长； （3）将绕点B逆时针旋转得到，与（1）类似：可得：，求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出；如图：过B作交的延长线于点F，由，可得，进而求得，再根据勾股定理即可求得边长； 【详解】 解：（1）如图1所示，将绕点A按顺时针方向旋转点B的对应点为，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，． （2）∵是等边三角形， ∴， 如图2：绕点B顺时针旋转得出， ∴，，，， ∵， ∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，则是直角三角形； ∴； 过点B作，交的延长线于点M，则， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3，将绕点B逆时针旋转得到， 与（1）类似可得：，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 如图：过B作交的延长线于点F，由， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理及逆定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、正方形的性质，旋转的性质等知识点，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键． 40．【答案】 【分析】 连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】 解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 41．【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质、旋转的性质以及三角形面积公式，解题的关键在于熟知正方形的性质、旋转的性质． 过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点，利用旋转的性质得到和，进而证得，再结合正方形的性质，求出的底和高，进而求出其面积． 【详解】 如图，过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点， 则， 又， ， ， 由旋转得， ， ， ， ， 即当点在时，的值最大为长， 四边形是正方形， ， ， 的值最大为， 的最大面积是， 故答案为：． 42．【答案】（1），     （2） 解：若是延长线上的任意一点，其他条件不变，上述结论成立． 证明：如图2，延长交于点， 将边绕点逆时针旋转，得到线段， ，， 同理，， ， ， ， 在与中， ， ，， ， ， 又，， ， ；     （3）或2      【分析】 （1）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （2）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （3）分两种情况讨论：点F在边上，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理等即可求解；点F在边上，根据等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 解：延长交于点，如图，         ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在边上，如图①， ，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，即， 解之得（负值舍去）． 当点在边上，如图②， ，，， ． 综上所述，的长为或2． 【点睛】 此题考查了考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 43．【答案】（1）90，     （2）；     （3）或2      【分析】 （1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：① 当点E在右边时，② 当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； (2) 小问详解： 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； (3) 小问详解： 分以下两种情况进行讨论： ① 如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ② 如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 44．【答案】（1），     （2） （1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2，设交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴；     （3）或      【分析】 （1）由“”可证，可得，由余角的性质即可得的度数； （2）由“”可证，可得，由余角的性质即可得的度数； （3）分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形和四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：正方形绕点旋转过程中，点、重合，此时线段的长为或， 理由如下：① 如图： ∵，，四边形和四边形均为正方形， ， ∵直线与交于点，点F， H重合， ∴点、、在同一直线上， ， ， ， ； ② 如图： ∵，，四边形和四边形均为正方形， ， ∵直线与交于点，点F， H重合， ∴点、、在同一直线上， ， ， ， ； 综上，正方形绕点旋转过程中，点F， H能重合，此时线段的长为或． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 45．【答案】（1）； （2），理由如下， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）绕点逆时针旋转得到； （4）或 【分析】 (1) 当C为中点时，通过作垂线构造直角三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解的长度，考查了解直角三角形的能力． (2) 通过证明，得出的结论，考查了全等三角形的判定和性质． (3) 根据全等三角形的关系，说明绕点C逆时针旋转得到，考查了旋转的性质． (4) 分两种情况讨论旋转后的情形，利用勾股定理和等边三角形的性质求的长，考查了分类讨论思想和勾股定理的应用． 【详解】 解：（1）    过E作于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， 故选：D． （2）略 （3） ∵， ∴， ∴和是对应边，即为旋转角， ∵， ∴绕点逆时针旋转得到， 故答案为：绕点逆时针旋转得到； （4）①与直线相交于点P，    ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ∵是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ②与的延长线相交于点P，    ， 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理以及分类讨论思想等几何知识．掌握这些知识点是解题的关键． 46．【答案】 【分析】 由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，由旋转的性质，可得，分类讨论，过点作的垂线，由矩形的判定和性质，结合勾股定理，即可得． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 由旋转可得， 作，交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 作，交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质． 47．【答案】（1）3     （2）15     （3）垂直， 理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ．      【分析】 本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键． （1）由平移的性质可得答案； （2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案； （3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解． (1) 小问详解： 解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； (2) 小问详解： 解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； (3) 小问详解： 略 48．【答案】（1）在     （2） 证明：．理由如下： 延长交于点． 四边形为正方形， . 绕点顺时针旋转90°， ，． ， ． ， ． ， ， ．      （3）2      【分析】 （1）根据旋转的性质补全图形，再结合正方形的性质得到点共线即可求解； （2）延长交于点，利用正方形的性质和旋转的性质易得，根据全等三角形的性质求解； （3）连接，根据正方形的性质和旋转的性质求出三角形的底和高即可求解. (1) 小问详解： 解：根据旋转的性质补全图形如下， 四边形为正方形， . 将绕点顺时针旋转， 点共线， 点在的延长线上. 故答案为：在； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，如下图 在正方形中，，点为的中点， . 由旋转的性质可知， ， . 【详解】【点晴】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算，理解相关知识是解答关键. 考点02 中心对称及其性质 1．【答案】（1） 如图所示，即为所求      （2） 如图所示，即为所求 【分析】 本题考查的是旋转、中心对称，解题的关键在于根据这些变换的性质画出对应点． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．【答案】 【分析】 本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【答案】（1） 点关于原点对称的点的坐标为，如图即为所作． 点的坐标为．     （2）点绕点逆时针旋转后坐标为，如上图，即为所作．的对应点的坐标为，      【分析】 本题考查了中心对称图形的作图、图形绕原点逆时针旋转的作图，解题的关键是掌握关于原点中心对称的点的坐标特征及绕原点逆时针旋转的点的坐标变换规律． （1）根据关于原点中心对称的点横、纵坐标互为相反数，确定各对应点坐标并作图，得点F坐标； （2）根据点绕原点逆时针旋转后变为，确定各对应点坐标并作图，得点坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 4．【答案】（1） 如图，即为所求； ；     （2）如图，即为所求；     （3）如图，点即为所求； 点坐标为      【分析】 本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与是中心对称图形， 连接，交点为， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 5．【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据，即可求得对称中心坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴和关于某点成中心对称，对称中心的坐标为即． 考点03 中心对称图形 1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．D 12．【答案】④ 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】 解：只有选取④ 进行阴影标注，使得网格中的阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④ ． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．C 2．B 3．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题考查的是关于原点对称的点的坐标，先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，进而可得出结论． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 5．【答案】6 【分析】 本题考查了已知两点关于原点对称求参数，根据关于原点对称的点的坐标特征，原点的对称点的横纵坐标均互为相反数，由此建立方程求解a和b的值，进而计算的值即可． 【详解】 解：∵点关于原点的对称点为， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：6． 6．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数，列出方程求解。 【详解】 解：关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．【答案】如图，即为所求． ，， 【分析】 本题考查了作图—中心对称．根据关于原点对称的性质作图，再写出的坐标即可； 【详解】 略 8．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征 求代数式的值；两点关于原点对称，则其对应的两个坐标互为相反数，据此可求得a、b的值，从而求得代数式的值． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 9．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． ；     （2）与关于轴对称      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换，点的坐标，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义与性质． （1）先作出点A，B，C关于原点的对称点，然后再顺次连接即可； （2）先根据题意得出点A，B，C各点坐标，再根据题意求出各点坐标，然后和的坐标比较即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， ∵与关于轴对称， ∴各点分别为，， 又∵各点分别为，， 则可得和各点的纵坐标相反， ∴和关于x轴对称 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在，，，四个点中，直线PB经过的点是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，2+2），利用待定系数法可得直线PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y=x+2中可解答． 【详解】 解：∵点A（4，2），点P（0，2）， ∴PA⊥y轴，PA=4， 由旋转得：∠APB=60°，AP=PB=4， 如图，过点B作BC⊥y轴于C， ∴∠BPC=30°， ∴BC=2，PC=2， ∴B（2，2+2）， 设直线PB的解析式为：y=kx+b， 则 ， ∴ ， ∴直线PB的解析式为：y=x+2， 当y=0时，x+2=0，x=-， ∴点M1（-，0）不在直线PB上， 当x=-时，y=-3+2=1， ∴M2（-，-1）在直线PB上， 当x=1时，y=+2， ∴M3（1，4）不在直线PB上， 当x=2时，y=2+2， ∴M4（2，）不在直线PB上． 故选：B． 【点睛】 本题考查的是图形旋转变换，待定系数法求一次函数的解析式，确定点B的坐标是解本题的关键． 2．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图, △ABC和△ADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（       ） A. △ABC和△ADE B. △ABC和△ABD C. △ABD和△ACE D. △ACE和△ADE 【答案】C 【详解】根据旋转的性质可知，可看作是旋转关系的三角形是△ABD和△ACE，即为△ABD绕点A逆时针旋转60度得到△ACE． 故选C． 3．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可． 【详解】 解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴旋转角是和． 故选：C． 4．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键． 【详解】 解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，． ∵，即，． ， 点的坐标为， 故选： ． 5．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．若，，则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，，设，可证为等边三角形，再由角的数量关系转化求解即可． 【详解】 设， 将绕点A顺时针旋转，得到， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 6．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（     ） A. 绕点D逆时针旋转 B. 绕点O顺时针旋转 C. 绕点O逆时针旋转 D. 绕点B逆时针旋转 【答案】C 【分析】 本题考查了图形旋转的性质（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心为；分析到、到的旋转方向和角度，可知绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，从而确定旋转方式． 【详解】 解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到， 故旋转方式是绕点逆时针旋转． 故选：C． 7．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，将绕点A 按逆时针方向旋转，得到，若点在线段 BC 的延长线上，则的大小为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查的是旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由旋转的性质可知，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，再根据角的和差求解即可． 【详解】 解：由旋转的性质可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 8．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，将绕顶点旋转得到，点对应点，点 B对应点，点刚好落在边上，，，则等于（　　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解答关键. 由旋转的性质求得，，，再利用等腰三角形的性质和外角性质求解. 【详解】 解：由绕顶点旋转得到可知： ，，， ∴. ∵， ∴， 故． 故选：B． 9．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，中，，，，将绕点A逆时针旋转得，交于点E，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等角对等边，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．先根据含30度角的直角三角形的性质求出的长，再由旋转的性质得到，，，，进而证明，则，据此可得答案． 【详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，，顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 先求出点B、D的坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解． 【详解】 解：如图，过点B作轴于点E，轴于点F，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形，， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴每8次旋转一个循环， ∵ 由题意可得，最后的位置是,如图， ∴点的坐标 故选：B． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键． 11．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　 A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】C 【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可． 【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故选C． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答． 12．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第次旋转结束时，点C所在象限，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得C点的坐标即可求解． 【详解】 解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵……1， ∴第次旋转结束时，点C在第一象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ，， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：C． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，解题关键是找出旋转规律． 13．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】 解：∵ 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 14．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2025次旋转后，点D的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键． 根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2025次旋转后，点D的坐标与第1次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】 解：在正方形中，点A的坐标为， 点， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为， ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴旋转4次为一个循环． ∵， ∴经过第2025次旋转后，点D的坐标与第1次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选：A． 15．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】 解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 16．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（　　） A. 45° B. 60° C. 70° D. 90° 【答案】D 【详解】已知△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，根据旋转的性质可得∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得∠AB′B=（180°-120°）=30°，再由AC′∥BB′，可得∠C′AB′=∠AB′B=30°，所以∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．故选D． 17．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，连接，，将绕点逆时针旋转得到，点与点对应，点与点对应，当点落在轴上时，点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，证明是等边三角形，勾股定理求出，可得结论． 【详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，    ∵，， ∴，，， ∵在直角三角形中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 18．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题． 如图1，已知中，，，P是内的一点，且，，，求的度数． 小强在解决此题时，是将绕C旋转到的位置（即过C作，且使，连接、）．你知道小强是怎么解决的吗？ （2）请根据（1）的思想解决以下问题： 如图2所示，设P是等边内一点，，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【详解】 本题考查了勾股定理及其逆定理、旋转的性质、等边三角形的性质与判定，掌握勾股定理逆定理解题的关键． （1）将绕C旋转到的位置，得到，通过证明，得到，利用角度关系解题即可； （2）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，证明为等边三角形，得到，通过、、的边长关系证明，利用勾股定理逆定理得到，求出的度数即可． 【解答】 解：如图： 由题意得： ， 由勾股定理得： ， ． 答：的度数为． （2 ）将绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图： ，， 为等边三角形，， ， ， ． 答：的度数为． 19．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，其中点的对应点是，连接，当时，求旋转角α的度数． 【答案】 【分析】 由旋转的性质可得，再根据平行线的性质，得，利用三角形内角和定理求出，即可解决问题． 【详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，点的对应点是， ，， ， ， ， ， ， ， 旋转角的度数是． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，由旋转得出是解题的关键． 20．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后能与重合，且点恰好为的中点. （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出的度数和的长． 【答案】（1）旋转中心为点A，旋转的度数为；     （2），．      【分析】 （1）先利用三角形内角和计算出，然后根据旋转的定义求解； （2）根据旋转的性质得，，，则可利用周角定义可计算出，然后计算出，从而得到的长． (1) 小问详解： 解：， 即， 所以旋转中心为点A，旋转的度数为； (2) 小问详解： 解：∵逆时针旋转一定角度后与重合， ∴，，， ∴， ∵点C恰好成为的中点， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 21．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点B'落在边CD上，若，当三点共线时，等于　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，由图形旋转的性质可知，由平行四边形的性质可知，再用等腰三角形的性质推得，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】 解：∵平行四边形绕点A旋转得到平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴等于， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴；     （2） 证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴．      【分析】 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质得到，，再证明垂直平分，则，进而可证明． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的； （2）将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若可看作由绕P点旋转而成，则点P坐标为________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2）如图，即为所求；     （3）      【分析】 本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可； （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 可看作由绕P点旋转而成，点P坐标为． 故答案为：． 24．（25-26学年九上·河南周口·期中）【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动，如图，和是共直角顶点的等腰直角三角形，且，，将绕点A顺时针旋转，直线、交于点P． 【操作发现】 （1）如图①，勤奋小组在旋转的过程中发现，当点D落在线段上时，，请你证明他们的发现； 【拓展延伸】 （2）创新小组将旋转至如图②所示的位置，即点D落在线段上，此时，求的长． 【答案】（1）证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴，        ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，        （2） 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理解答即可； 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， 同（1）可证：，，        ∴， 又∵， ∴，        ∴． 25．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，，解答下列问题： （1）将线段绕原点顺时针方向旋转得到线段，再将线段向下平移个单位长度得到线段，画出线段和线段；并写出点各点的坐标． （2）如果线段旋转可以得到线段，则旋转中心的坐标为         【答案】（1），，,     （2）      【分析】 本题考查了图形的旋转、平移（上下平移）、旋转中心的确定的知识点，关键点在于如何应用相关知识点，利用网格线作图，看错网格点和找错旋转后对应点都是易错点； （1）绕原点顺时针旋转，可以利用网格先将点看在以为对角线的的网格里，按顺时针旋转网格后，找到以为对角线的的网格，即可找到点；同理也可找到点；找到后，向下平移两个单位，点，点横坐标不变，纵坐标，即可找到对应的点，点； （2）旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，分别找到，的中垂线，中垂线交点即为旋转中心． (1) 小问详解： 故，，，． (2) 小问详解： ∵线段旋转得到， ∴点与点对应；点与对应． ∵旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点， ∴连接，找到的中垂线；连接，找到的中垂线，相交于． 故． 26．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形；     （2）      【分析】 （1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 27．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴正方向的夹角为，且，若将线段绕点O顺时针旋转得到线段，则此时点的坐标为 　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标与图形变化-旋转，如图，过点作轴于点H．求出，即可． 【详解】 解：如图，过点作轴于点H． 由旋转变换的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 28．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于原点对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求． 点的坐标为     （3）      【分析】 本题主要考查了坐标与图形——旋转变换以及中心对称变换，弧长公式的应用，正确得出对应点的位置是解题关键． （1）利用网格特点和关于原点对称的特点，画出点A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点即可； （3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点A在旋转过程中所经过的路径的长即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 点旋转到点的过程中，所经过的路径长为． 29．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，已知等边的顶点，将该三角形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则旋转2025次后，顶点B的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查坐标系中的旋转规律探究，由题意知点B旋转次后回到原位置，得到点B旋转2025次后的坐标与旋转3次后的坐标相同，即可得出结果，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：过点作轴于点，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，，则， ∴， ∴， ∴点， 每次旋转，则旋转一周要：（次）， ， ∴旋转次相当于旋转周后又旋转了次，即又旋转了， ∴点绕原点顺时针旋转后，横，纵坐标都变为原来的相反数， ∴旋转次后，顶点的坐标为， 故答案为：． 30．（25-26学年九上·河南商丘·期中）【猜测探究】 在中，．点D是直线上的一个动点，线段绕点C逆时针旋转α，得到线段，连接，． （1）如图1，当，点D在边上运动时，线段，和之间的数量关系是______； （2）如图2，当，点D运动到的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，将绕点C逆时针旋转得到，交于点F，连接．若，，，求线段的长． 【答案】（1）， （2）不成立，理由如下： 由旋转的性质得，，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）8 【分析】 本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定， （1）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得 ，证得，可得，即可得证； （2）由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，证得，可得，即可证明； （3）在上取一点P，使，由旋转的性质得，，证得，可得，，从而可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】 解：（1）由旋转的性质得，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）在上取一点P，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为8． 31．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A坐标为，点坐标为，若直线平分平行四边形的面积，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接和，交于点G．利用中点坐标公式求出G的坐标，根据平行四边形的性质结合题意得到必过G点，代入G点坐标运算求解即可． 【详解】 解：如图，连接和，交于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴G为中点， ∴，即． ∵平分平行四边形的面积， ∴必过G点， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查一次函数的性质，平行四边形的性质．理解该直线必过点G是解题的关键． 32．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图三个顶点的坐标分别是，，，将绕C逆时针旋转，得到： （1）请在网格图中画出． （2）在（1）的条件下，求点B的路径弧的长． （3）若是的外接圆，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求；      （2）     （3）      【分析】 本题考查了作旋转图形，求弧长，求三角形的外接圆的圆心，掌握以上知识是解题的关键； （1）利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到； （2）先根据勾股定理求得的长，进而利用弧长公式求解； （3）根据网格特点作出的垂直平分线的交点，结合坐标系，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∴点B的路径弧的长为； (3) 小问详解： 解：如图所示， ． 33．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE． 求证：≌； 当时，求的度数． 【答案】（1）由题意可知：，， ， ， ， ， 在与中， ， ≌； （2）． 【分析】 （1）由题意可知：，，由于，从而可得，根据SAS即可证明≌； （2）由≌可知：，，从而可求出的度数． 【详解】 （1）略 （2），， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质． 34．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标； （3）若可以看作绕某点旋转得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示： 的坐标为；     （2） 解：如图所示， 的坐标为；     （3）      【分析】 本题考查了作图-旋转变换、平移． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、，再顺次连接即可； （2）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，再顺次连接即可； （3）作和的垂直平分线，它们的交点P满足条件． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图， 若可以看作绕某点旋转得到，作和的垂直平分线，它们的交点P即为旋转中心的坐标，由图可得． 35．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是　　　　　　． 【答案】50度 【分析】 先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数． 【详解】 解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 36．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在上． （1）旋转中心是点______，旋转角是______和______； （2）若，，求的长； （3）连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不要说明理由） 【答案】（1），，；     （2）；     （3）添加或．      【分析】 本题考查了旋转定义与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转定义即可求解； （）通过勾股定理得，由旋转性质可得，然后由线段和差即可求解； （）根据“一个角是的等腰三角形是等边三角形”判定方法即可求解． (1) 小问详解： 解：根据旋转定义可得，旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：∵，，， ∴， 由旋转性质可得， ∴； (3) 小问详解： 解：添加， 由旋转性质可得， ∵， ∴是等边三角形； 添加， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 37．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 (1) 小问详解： 解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 38．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知中，，，，分别是，的中点，连接，将绕顶点旋转，当点到直线的距离为1时，的长为　　　　　　． 【答案】，或 【分析】 根据三角形中位线求得，利用勾股定理求得的长度，再利用旋转的性质，根据点到直线的距离为1，分类讨论求解即可． 【详解】 解∵中，，，分别是，的中点， ∴为直角三角形     ∵ ∴，， ∴ 若点到直线的距离为1，则可分四种情况进行讨论， ① 当点在直线的右侧，点在上方时，如图（1）过点作， ∵点到直线的距离为1， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴； ② 当点在直线的左侧，点在上方时，如图（2）过点作交延长线于点，过点作，则 ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴ 由题意可得：四边形为矩形 ∴， ∴ ∴； ③ 当点在直线的左侧，点在下方时，如图（3） ∵点到直线的距离为1， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，三点共线 ∴； ④ 如图（4）当点在直线的右侧，点在下方时， ，，点到直线的距离为1 可以确定点在线段上，且 则 综上，的长为，或, 故答案为：，或 【点睛】 此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解． 39．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将绕点A按顺时针方向旋转点B的对应点为，点C的对应点为，连接，则        ； （2）【问题解决】如图2，在等边三角形内有一点P，且，求的度数和等边三角形的边长； （3）【灵活运用】如图3，在正方形内有一点P，且，求的度数和正方形的边长． 【答案】（1）；（2），；（3），． 【分析】 （1）根据旋转角、旋转方向画出图形即可；证明是等腰直角三角形即可； （2）如图：将绕点B顺时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，再运用勾股定理逆定理证明是直角三角形，所以，而；过点B作，交的延长线于点M，由，求出，再根据勾股定理即可求得边长； （3）将绕点B逆时针旋转得到，与（1）类似：可得：，求出，根据勾股定理的逆定理求出，推出；如图：过B作交的延长线于点F，由，可得，进而求得，再根据勾股定理即可求得边长； 【详解】 解：（1）如图1所示，将绕点A按顺时针方向旋转点B的对应点为，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，． （2）∵是等边三角形， ∴， 如图2：绕点B顺时针旋转得出， ∴，，，， ∵， ∴∠ABP′+∠ABP＝∠ABC＝60°， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，则是直角三角形； ∴； 过点B作，交的延长线于点M，则， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3，将绕点B逆时针旋转得到， 与（1）类似可得：，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 如图：过B作交的延长线于点F，由， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理及逆定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、正方形的性质，旋转的性质等知识点，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键． 40．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】 解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 41．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图，P是以正方形的顶点A为圆心，为半径的弧上的点，连接、，将线段绕点P顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查正方形的性质、旋转的性质以及三角形面积公式，解题的关键在于熟知正方形的性质、旋转的性质． 过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点，利用旋转的性质得到和，进而证得，再结合正方形的性质，求出的底和高，进而求出其面积． 【详解】 如图，过点作于点，过点作交其延长线于点，连接交弧于点， 则， 又， ， ， 由旋转得， ， ， ， ， 即当点在时，的值最大为长， 四边形是正方形， ， ， 的值最大为， 的最大面积是， 故答案为：． 42．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）综合与探究 （1）如图1，在中，，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，是边上的点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段与的关系为___________． （2）若将图1的条件“是边上的一点”改为“点是延长线上的任意一点”，其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请用图2证明；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，当点恰好落在的边上时，请直接写出的长． 【答案】（1），     （2） 解：若是延长线上的任意一点，其他条件不变，上述结论成立． 证明：如图2，延长交于点， 将边绕点逆时针旋转，得到线段， ，， 同理，， ， ， ， 在与中， ， ，， ， ， 又，， ， ；     （3）或2      【分析】 （1）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （2）由“”可证，可得，，由平角的性质和四边形内角和定理可求，可得； （3）分两种情况讨论：点F在边上，根据含角的直角三角形的性质，勾股定理等即可求解；点F在边上，根据等腰直角三角形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． (1) 小问详解： 解：延长交于点，如图，         ∵将边绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：当点在边上，如图①， ，，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，即， 解之得（负值舍去）． 当点在边上，如图②， ，，， ． 综上所述，的长为或2． 【点睛】 此题考查了考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 43．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动． （1）操作探究：如图1，为等腰三角形，，将绕点O旋转，得到，连接，F是AE的中点，连接，则　     　°，与的数量关系是 　     　； （2）迁移探究：如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点O逆时针旋转，点D正好落在的角平分线上，得到，求出此时的度数及与的数量关系； （3）拓展应用：如图3，在等腰三角形中，，．将绕点O旋转，得到，连接，F是的中点，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）90，     （2）；     （3）或2      【分析】 （1）证明为等边三角形，根据旋转的性质得，求出，根据等腰三角形的性质可得，，即可得，； （2）根据旋转的性质得，由平分得，可得，，即可得，根据等腰直角三角形的性质可得； （3）分以下两种情况进行讨论：① 当点E在右边时，② 当点E在左边时，利用等腰三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： ∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形， ∵将绕点O旋转，得到， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：90，； (2) 小问详解： 由旋转的性质，可知， ∵为等边三角形，平分为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； (3) 小问详解： 分以下两种情况进行讨论： ① 如图1．当点E在右边时， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， 由旋转的性质，得， ∴为等边三角形， ∵F是的中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴； ② 如图2，当点E在左边时， 同理，可得， ∴． 综上所述，的长为或2． 【点睛】 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论思想是解本题的关键． 44．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）已知四边形和四边形均为正方形，连接、，直线与交于点H． （1）如图1，当点E在上时，线段与的数量关系是______，线段与的位置关系是______； （2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转任意角度，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）若，，正方形在绕点A逆时针旋转过程中，当点B、E、F三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），     （2） （1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2，设交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴；     （3）或      【分析】 （1）由“”可证，可得，由余角的性质即可得的度数； （2）由“”可证，可得，由余角的性质即可得的度数； （3）分两种情况画出图形，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解． (1) 小问详解： 解：∵四边形和四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：正方形绕点旋转过程中，点、重合，此时线段的长为或， 理由如下：① 如图： ∵，，四边形和四边形均为正方形， ， ∵直线与交于点，点F， H重合， ∴点、、在同一直线上， ， ， ， ； ② 如图： ∵，，四边形和四边形均为正方形， ， ∵直线与交于点，点F， H重合， ∴点、、在同一直线上， ， ， ， ； 综上，正方形绕点旋转过程中，点F， H能重合，此时线段的长为或． 【点睛】 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 45．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）课堂上，张老师与同学们探究下列问题． 如图，线段及上一点，已知，分别以线段，为边在线段的同侧作等边与等边． 【问题解决】 （1）如图1，当是的中点时，则的长为（     ）    A．       B．       C．       D． 【问题探究】 如图2，点为上任意一点，连接．    （2）说明，的大小关系？请说明理由． （3）可以看作是经过旋转得到，请说明得到的过程：_________ 【问题拓展】 （4）若，将绕点旋转，当直线时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2），理由如下， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）绕点逆时针旋转得到； （4）或 【分析】 (1) 当C为中点时，通过作垂线构造直角三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解的长度，考查了解直角三角形的能力． (2) 通过证明，得出的结论，考查了全等三角形的判定和性质． (3) 根据全等三角形的关系，说明绕点C逆时针旋转得到，考查了旋转的性质． (4) 分两种情况讨论旋转后的情形，利用勾股定理和等边三角形的性质求的长，考查了分类讨论思想和勾股定理的应用． 【详解】 解：（1）    过E作于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， 故选：D． （2）略 （3） ∵， ∴， ∴和是对应边，即为旋转角， ∵， ∴绕点逆时针旋转得到， 故答案为：绕点逆时针旋转得到； （4）①与直线相交于点P，    ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ∵是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ， ②与的延长线相交于点P，    ， 综上所述，的长为或． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理以及分类讨论思想等几何知识．掌握这些知识点是解题的关键． 46．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，在Rt中，，，，将绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），连接，当时，　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 由角所对的直角边与斜边的关系，可得，根据勾股定理可得，由旋转的性质，可得，分类讨论，过点作的垂线，由矩形的判定和性质，结合勾股定理，即可得． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 由旋转可得， 作，交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 作，交延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质． 47．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动． 操作发现： （1）如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______； （2）将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）； （3）在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由． 【答案】（1）3     （2）15     （3）垂直， 理由如下 如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线a， ∵， ∴直线b； 如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H ∵ ， ∴， ∴， ．      【分析】 本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键． （1）由平移的性质可得答案； （2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案； （3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解． (1) 小问详解： 解：由平移的性质得，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：3； (2) 小问详解： 解：过A作直线，交于G，而， ∴， ， 同理， ； 故答案为：15； (3) 小问详解： 略 48．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点为． （1）补全图形，点_______（填“在”或“不在”）的延长线上； （2）判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，当点为的中点时，直接写出的面积． 【答案】（1）在     （2） 证明：．理由如下： 延长交于点． 四边形为正方形， . 绕点顺时针旋转90°， ，． ， ． ， ． ， ， ．      （3）2      【分析】 （1）根据旋转的性质补全图形，再结合正方形的性质得到点共线即可求解； （2）延长交于点，利用正方形的性质和旋转的性质易得，根据全等三角形的性质求解； （3）连接，根据正方形的性质和旋转的性质求出三角形的底和高即可求解. (1) 小问详解： 解：根据旋转的性质补全图形如下， 四边形为正方形， . 将绕点顺时针旋转， 点共线， 点在的延长线上. 故答案为：在； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接，如下图 在正方形中，，点为的中点， . 由旋转的性质可知， ， . 【详解】【点晴】 本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积计算，理解相关知识是解答关键. 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都是格点． （1）将绕点O按逆时针方向旋转得到，请画出； （2）作出关于点O成中心对称的． 【答案】（1） 如图所示，即为所求      （2） 如图所示，即为所求 【分析】 本题考查的是旋转、中心对称，解题的关键在于根据这些变换的性质画出对应点． （1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C的对应点即可； (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 2．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26学年九上·河南周口·期中）在如图所示的网格中，有格点，请在所给出的平面直角坐标系中按要求作图和解题： （1）在坐标系中画出关于点成中心对称的（其中点、、的对应点分别是点、、），并写出点F的坐标； （2）在坐标系中画出绕点O逆时针旋转的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 点关于原点对称的点的坐标为，如图即为所作． 点的坐标为．     （2）点绕点逆时针旋转后坐标为，如上图，即为所作．的对应点的坐标为，      【分析】 本题考查了中心对称图形的作图、图形绕原点逆时针旋转的作图，解题的关键是掌握关于原点中心对称的点的坐标特征及绕原点逆时针旋转的点的坐标变换规律． （1）根据关于原点中心对称的点横、纵坐标互为相反数，确定各对应点坐标并作图，得点F坐标； （2）根据点绕原点逆时针旋转后变为，确定各对应点坐标并作图，得点坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； （2）画出绕原点旋转后得到的； （3）若与是中心对称图形，请在图中标出对称中心Q，并写出Q点坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； ；     （2）如图，即为所求；     （3）如图，点即为所求； 点坐标为      【分析】 本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与是中心对称图形， 连接，交点为， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 5．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． （1）画关于原点成中心对称的； （2）把向上平移4个单位长度，得，画出； （3）和关于某点成中心对称，直接写出该对称中心的坐标_________． 【答案】（1） 如图，即为所求；      （2） 如图，即为所求；      （3）      【分析】 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．另外要求掌握对称中心的定义． （1）根据网格结构找出A、B、C关于原点O的中心对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据，即可求得对称中心坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵，， ∴和关于某点成中心对称，对称中心的坐标为即． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·河南许昌·期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，如果把一个图形绕某一点旋转度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形． 【详解】 解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； 故选D． 3．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）2025年，中国的人工智能迅猛发展，下列软件图标是中心对称图形的是（          ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查中心对称图形，根据中心对称图形的定义，进行判断即可，中心对称图形的关键是找到对称中心． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意； 故选D． 4．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可． 【详解】 解：选项A、B、C不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 5．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】 解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 故选D. 7．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）下面的图形是天气预报使用的图标，从左到右分别代表“霾”、“浮尘”、“扬沙”和“阴”，其中是中心对称图形的是（　　　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】试题分析：根据中心对称的定义，结合所给图形进行判断即可． A、是中心对称图形，故本选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选A． 考点: 中心对称图形 8．（25-26学年九上·河南商丘·期中）央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 本题考查的是中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A、图案是中心对称图形，不符合题意； B、图案不是中心对称图形，符合题意； C、图案不是中心对称图形，不符合题意； D、图案不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 9．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ) A. A B. B C. C D. D 【答案】A 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A正确； B、是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，故C错误； D、是轴对称图形，故D错误． 故选A． 10．（25-26学年九上·河南周口·期中）我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（        ） A. 杨辉三角 B. 割圆术 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【详解】 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 11．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】 解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 12．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号　　　　　　　　　的小正方形涂阴影． 【答案】④ 【分析】 本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】 解：只有选取④ 进行阴影标注，使得网格中的阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④ ． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·河南商丘·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查关于原点对称的点的坐标．根据“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号都相反”，即可得出答案． 【详解】 解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 2．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若点关于原点对称的点是则的值是（       ） A.  B. 2 C.  D. 6 【答案】B 【分析】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，如果两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标分别互为相反数．据此求出的值，即可解答． 【详解】 解：∵点关于原点对称点是， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】 解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）点与点关于原点对称，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查的是关于原点对称的点的坐标，先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，进而可得出结论． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了已知两点关于原点对称求参数，根据关于原点对称的点的坐标特征，原点的对称点的横纵坐标均互为相反数，由此建立方程求解a和b的值，进而计算的值即可． 【详解】 解：∵点关于原点的对称点为， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：6． 6．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）点与点关于原点对称，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均互为相反数，列出方程求解。 【详解】 解：关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点坐标分别为，，．请在图中作出关于原点对称的，并写出各顶点坐标． 【答案】如图，即为所求． ，， 【分析】 本题考查了作图—中心对称．根据关于原点对称的性质作图，再写出的坐标即可； 【详解】 略 8．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）若点与点关于原点对称，则　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标特征 求代数式的值；两点关于原点对称，则其对应的两个坐标互为相反数，据此可求得a、b的值，从而求得代数式的值． 【详解】 解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图如示，在平面直角坐标系中的． （1）画出，使与关于原点对称（其中点分别对应点），并写出各顶点的坐标； （2）若与关于轴对称，直接写出与的位置关系． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． ；     （2）与关于轴对称      【分析】 本题主要考查作图—轴对称变换，点的坐标，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义与性质． （1）先作出点A，B，C关于原点的对称点，然后再顺次连接即可； （2）先根据题意得出点A，B，C各点坐标，再根据题意求出各点坐标，然后和的坐标比较即可 (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由图可得，， ∵与关于轴对称， ∴各点分别为，， 又∵各点分别为，， 则可得和各点的纵坐标相反， ∴和关于x轴对称 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $