专题05 四边形（期中真题汇编，河南专用）九年级数学上学期

专题05 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图所示，小红，小丽，小明家的位畳依次为的三个顶点A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中，已知小丽家到小红家的距离为，则小明家到小亮家的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了直角三角形的性质，根据题意易得，再根据D点为中点，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结果． 【详解】 解：如图， 根据题意得， ∵D点为中点，， ∴， 则小明家到小亮家的距离为， 故选：C． 2．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【分析】 本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的三边关系，从函数图象获取信息是解答本题的关键． 由图像可知，当时，点P在B处，即；当时，点P在E处，即；设，则，由勾股定理即可求解． 【详解】 解：由函数图象可知：当时，，即点P在B处， ，即， 设，则． ∵， ∴当点P运动到点E处时，取得最大值，最大值为， 又由图象可知，当点P运动到点E处时，y有最大值为10， ∴． 在中，由勾股定理得， 即， 解得：（舍去）， ∴． ∵E是的中点， ∴． 故选：C． 4．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，是矩形的对角线上一点，于点于点，连接，则的最小值为（     ） A.  B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解决直角三角形，连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度， ∵四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 5．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（     ） A. 有一个角是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】C 【分析】 本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解． 【详解】 解：要是四边形是矩形，应添加条件是对角线互相垂直， 理由是：连接、，两线交于O， 根据三角形的中位线定理得：，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形一定是矩形， 故选：C． 6．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，当线段有最小值时，点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了矩形中的折叠问题，根据矩形的性质和折叠的性质，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．根据矩形的性质得到的长，由勾股定理求得的长，折叠的性质求得的长，再利用两点间线段最短得出当在上时，线段长的最小值为，在中根据勾股定理列方程求得的长，从而得到点P的坐标． 【详解】 解：连接， ∵点的坐标为，由题意可知：，，， ∴， 由折叠可知：，， ∵，即， ∴当在上时，线段长的最小值为， 如图： 将沿折叠，使点C恰好落在对角线上Q处， 设，则，， 在中，， ， 解得， ∴P点的坐标为， 故选：B． 7．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查矩形的性质，由矩形的对角线相等且互相平分，所以． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，利用矩形的性质得出，进而利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度． 【详解】 解：∵是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是　　　　　　． 【答案】或 【分析】 依据点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，分两种情况讨论：F在横对称轴上与F在竖对称轴上，分别求出BF的长即可． 【详解】 解：分两种情况： 当F在横对称轴MN上，如图所示， 此时，， ， ， 由折叠得，，， ， 即， ， ； 当F在竖对称轴MN上时，如图所示， 此时， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是或． 故答案为或． 【点睛】 本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 10．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）（多选）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE=OF，连接DE并延长至点M，使DE=ME，连接MF，DF，BE． （1）当DF=MF时，证明：四边形EMBF是矩形； （2）当△DMF满足什么条件时，四边形EMBF是正方形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE∥FB，且DE=FB， 又∵DE=ME， ∴ME=BF，且ME∥BF， ∴四边形EMBF是平行四边形． ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF=EB， ∵DF=MF， ∴MF=EB， 在平行四边形EMBF中，MF=EB， ∴四边形EMBF是矩形；     （2） 当△DMF满足DF=MF，且∠DFM=90°时，四边形EMBF是正方形， 证明：由（1）可知：当DF=MF时，四边形EMBF是矩形， 在△DMF中，∠DFM=90°，点E是斜边DM的中点， ∴EF=DM=EM， 即EF=EM， ∴当△DMF满足DF=MF，且∠DFM=90°时，四边形EMBF是正方形．      【分析】 （1）证明四边形DEBF是平行四边形．四边形EMBF是平行四边形．进而根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了正方形的判定，直角三角形斜边的中线性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，关键在于应用全等三角形和正方形的知识解题． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点A和点C之间的距离． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形     （2）点A和点C之间的距离为      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接． ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵四边形是矩形 ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 12．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，分别为AB，AC的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形；      （2）．      【分析】 （1）先根据三角形中位线定理得出，结合证明四边形是平行四边形，再由得出有一个角是直角，从而证明其为矩形． （2）先判断是等腰直角三角形得出，结合已知求出的长，再利用三角形中位线定理求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， . 【点睛】 本题主要考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 13．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，在矩形中,，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点交于点H． （1）如图(一)，探究出的数量关系为　　　　　． （2）如图(二)，①证明：； ②在(1)的基础上，当时，求证：； （3）深入研究，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）     （2） ①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠性质： ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ；     （3）的长为或．      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）通过折叠的性质，平行线的性质得出等腰三角形； （2）①识别出和是八字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． (1) 小问详解： 解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； (2) 小问详解： 证明：① 略 ② 略 (3) 小问详解： 解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 14．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 （1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 15．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 根据题意分两种情况讨论：① 当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；② 当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】 ∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ① 当点恰好落在上时，如图， 在和中， ∴ ∴，即为等腰三角形， ∵ ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得 ② 当点恰好落在上时，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴ 在中， ， 在和中， ∴≌（） ∴ ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了空间想象能力以及分类讨论的思想，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键． 16．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，，的半径为10，C是上的动点，P是的中点，则长的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，中位线定理，三角形三边关系等知识．连接，交于点D，连接．根据勾股定理求出，结合的半径为10，得到点D为中点，求出，根据P是BC的中点，得到是中位线，求出，即可得到，从而求出． 【详解】 解：如图，连接，交于点D，连接． ∵，，， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴点D为中点， ∴， ∵P是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为： 17．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，在直角梯形中，，，，，动点从点出发，沿着运动到点停止，若将沿折叠，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，则线段的长度为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了折叠图形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理，渗透了数学学科几何直观、推理能力的核心素养． 若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，有两种情况，① 当点与点重合时，点的对应点恰好落在直角梯形的边上，② 点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，，再分别根据再不同边上时图形的特征利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图1， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与是关于的对称，即当点与点重合时，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，恰好与点重合，如图1， ∴， 若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由折叠可知，， ∴是等腰三角形，， 由图1可知：，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述∶ 线段的长度为或． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·河南郑州·期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（       ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【详解】 解：∵矩形的对角线性质为互相平分且相等，菱形的对角线性质为互相垂直平分，且平分一组对角， ∴对比可得，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． 2．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 由菱形的判定：对角线垂直的平行四边形是菱形即可求解． 【详解】 解：四边形是平行四边形，， 四边形为菱形． 选项A，B，D均不能证明四边形是菱形，故均不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）在菱形中，，，则（     ）． A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（       ） A. 32 B.  C. 64 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了菱形的性质．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即可得到，即可解答． 【详解】 解：菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 则菱形的面积为， 故选：B． 5．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（     ） A. 40 B. 80 C. 160 D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 6．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，在中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使成为菱形，下列给出的条件不正确的是 (          ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. ∠BAC=∠DAC D. AC=BD 【答案】D 【分析】 根据菱形的性质以及判定即可得出结果． 【详解】 解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，，所以A项正确， 对角线互相垂直的平行四边形的菱形，，所以B项正确， 菱形对角线平分每组对角，∠∠，所以C项正确， 对角线相等的平行四边形是矩形，所以D项错误． 故选：D 【点睛】 本题主要考查的是菱形的性质以及判定，掌握菱形的性质以及判定是解题的关键． 7．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图1，在菱形中，，．点从顶点出发，沿着某条直线在菱形内部运动到一点，再从该点沿着直线运动到顶点，设点的运动路程为，，图2是点运动时，随的变化关系图象，则点运动的总路程是（     ） A.  B. 6 C.  D. 2 【答案】B 【分析】 本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据函数图象可得当时，，则当时，点P在线段的垂直平分线上运动，根据菱形的性质可得当时，点P在直线上运动，证明是等边三角形，得到，则由勾股定理得到，根据题意可得点从顶点出发，沿着运动4个单位到达点E，再从点E沿着直线运动到顶点，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】 解：如图所示，连接，设交于， 由图2可知，当时，，即， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上运动， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴当时，点P在直线上运动， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点从顶点出发，沿着某条直线在菱形内部运动到一点，再从该点沿着直线运动到顶点， ∴点从顶点出发，沿着运动4个单位到达点E，再从点E沿着直线运动到顶点， ∴， ∴， ∴点运动的总路程是， 故选：B． 8．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，四边形是矩形． （1）在图1中作对角线的垂直平分线，分别交于点M、N，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）中，连接和，求证：四边形是菱形； （3）如图2，点E在矩形的边上，且，延长到点F，使，连接．若，，则四边形的面积为多少？ 【答案】（1） 如图所示，MN即为所求；      （2） 证明：连接和，如图所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵MN垂直平分线段BD， ∴BO＝DO， 在△DMO和三角形BNO中， ， ∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴MO＝NO， ∴四边形DMBN是平行四边形， 又∵MN⊥BD， ∴四边形DMBN是菱形；     （3）80      【分析】 （1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线； （2）求出∠ADB＝∠CBD，BO＝DO，利用ASA证明△DMO≌△BNO，即可证得MO＝NO，进而利用菱形的判定方法得出结论； （3）求出AD＝FE，证明四边形AFED是平行四边形，根据平行四边形的性质求出AF，然后利用勾股定理求出AB，再根据平行四边形的面积公式进行计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在矩形ABCD中，AD＝BC＝10，AD∥BC，∠ABC＝90°， ∵， ∴FE＝BC， ∴AD＝FE＝10， 又∵AD∥FE， ∴四边形AFED是平行四边形， ∴AF＝DE＝AD＝10， ∴BF＝FE－BE＝10－4＝6， ∵∠ABF＝180°－∠ABC＝90°， ∴AB＝， ∴四边形的面积＝FE·AB＝10×8＝80． 【点睛】 本题考查了基本作图，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，正确掌握菱形的判定方法是解题关键． 9．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，在中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵交于点E，作交于点F， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）连接交于，根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，，将翻折，点恰好落在边上的点，折痕分别交边和边于点和，使四边形是菱形．当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，菱形的边长是　　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 连接交于点O，由菱形的性质可得，分三种情况：，，，画出图形，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理分别求解即可． 【详解】 解：连接交于点O， 四边形是菱形， ， ， 当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，分三种情况： 当时，如图， ， ， ， 又四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， 解得， 菱形的边长； 当时，如图， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 在中，， ， ， ， 解得，负值舍去， 当时，点D与点B重合，此种情况不存在， 综上可知，菱形的边长是或． 故答案为：或． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点． （1）尺规作图：过点作于点，延长到点，使，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是矩形； （3）连接，若，，求的长度． 【答案】（1） 所作图形如图所示．      （2） 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形；     （3）      【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键； （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）由题意易得且，则有，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （3）由题意易得，则有，然后根据勾股定理及菱形的性质可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 12．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则的长为　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 13．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，． ①当____________时，四边形是矩形． ②当____________时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，     （2）① 7.5；② 5      【分析】 （1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）①证明，推出，即可得出答案；②证明是等边三角形，推出，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①当时，四边形是矩形；理由如下： 作于P，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：； ②当时，四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 【答案】B 【分析】 本题主要考查了矩形，正方形和菱形的判定，熟知矩形，正方形和菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形，正方形和菱形的判定即可解答． 【详解】 解：A、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项错误； B、由四边形是平行四边形结合，可得是矩形，故本选项正确； C、由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； D、符合题意由四边形是平行四边形结合，可得是菱形，故本选项错误； 故选：B． 2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）下列判断错误的是（       ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】 本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法．根据各图形的判定条件逐一分析选项，判断是否存在错误即可． 【详解】 解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项的判断正确,不符合题意； B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项的判断正确,不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项的判断正确,不符合题意； D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，故本选项的判断错误,符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（       ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【分析】 根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 4．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）下列命题是真命题的是（       ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 各边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【分析】 本题考查了真命题．根据矩形、菱形、正方形的判定定理，判断各选项的正误． 【详解】 A、∵ 对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），∴ A错误； B、∵ 各边都相等的四边形不一定是正方形（如菱形），∴ B错误； C、∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形（如对角线垂直但不平分的四边形），∴ C错误； D、∵ 矩形的对角线相等，且对角线互相垂直时，满足正方形的判定条件，∴ D正确． 故选：D． 5．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论． 【详解】 ∵CE=5，△CEF的周长为18， ∴CF+EF=18-5=13． ∵F为DE的中点， ∴DF=EF． ∵∠BCD=90°， ∴CF=DE， ∴EF=CF=DE=6.5， ∴DE=2EF=13， ∴CD=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=12，O为BD的中点， ∴OF是△BDE的中位线， ∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5， 故选D． 【点睛】 本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键． 6．（25-26学年九上·河南郑州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】B 【分析】 本题主要考查特殊四边形的关系，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 根据四边形的判定定理进行判断即可． 【详解】 A．对角线相等的平行四边形是矩形，则（1）处可填， 选项A正确，不符合题意； B．邻边相等的矩形是正方形，是对边，不能得到矩形是正方形， 选项B错误，符合题意； C．邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处可填，选项C正确，不符合题意； D．由四边形是菱形，则， 当时，解得，有一个角是直角的菱形是正方形，故D正确，不符合题意． 故选：B． 7．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是50，，图中空白处是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（     ） A.  B.  C. 2 D. 8 【答案】A 【分析】 此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键． 首先由正方形的面积是50，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出长，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】 解：小正方形边长为： ． 所以这个小正方形的周长为：． 故选：A． 8．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（       ） A. 3 B. 6 C.  D.  【答案】C 【分析】 在上取点F，使，连接，根据角平分计算，可得，得，得取得最小值为，当时，取得最小值，求出,即得，即得的最小值． 【详解】 解：在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点Q在上时， ，取得最小值， 当时，取得最小值， ∵正方形的边长是6， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】 本题考查的是勾股定理——最短路线问题．熟练掌握正方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，垂线段性质，根据题意作出辅助线，是解答此题的关键． 9．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形EBCF沿EF折叠，点恰好落在AD边上，则BE的长度为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并结合特殊三角形的性质建立方程是解题的关键． 先利用正方形和折叠的性质得到边与角的关系，结合角推出特殊三角形，再设未知数，通过勾股定理列方程求解的长度． 【详解】 解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴． 由折叠性质得：，，设， ∴， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ， ， ，即， ，即是直角三角形， 点H是的中点， ， 故答案为：． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理及矩形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理与判定及矩形的性质与判定是解题的关键；过点作，并延长，交于点，由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，，，则有，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】 解：过点作，并延长，交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理可得， ∴， ∴； 故答案为2． 12．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 【答案】（1）① 在正方形中，， ，， ， ， ． ， ，即点是的中点． ②．理由： 如图2，连接交于点， 由折叠可知垂直平分，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即． （2）的最小值为． 【分析】 (1) ① 根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证． ② 根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可． (2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】 （1）略 （2）如图3，在上截取，连接、， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ． 的最小值为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 13．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）（一）感知：如图①，在正方形中，E为边上一点（点E不与点A，B重合），连接，过点A作，交于点F，易证：______．（填写相等的线段） （二）探究：如图②，在正方形中，E，F分别为边，上的点（E，F不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点G，H，垂足为O．若E为的中点，，，求的长． （三）应用：如图③，在正方形中，点E，F分别在，上，，，相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为______，的周长为______． 【答案】（一）（二）（三）； 【分析】 （一）设与交于点K，先证明，进而依据判定和全等得，据此即可得出答案； （二）过点D作交于点P，过点A作交于点Q，根据得，同（一）可证明和全等得，再证明四边形，四边形都是平行四边形得，，，进而得，再根据已知得，，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长； （三）设图中阴影部分的面积为S，依题意得，则，进而得，证明得，，由此得，再证明，设，，由得，由勾股定理得，进而得，则，据此可得的周长． 【详解】 解：（一）设与交于点K，如图① 所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （二）过点D作交于点P，过点A作交于点Q，如图② 所示： ∵， ∴， 同（一）可证明：， ∴， ∵四边形是正方形，且， ∴，，， 又∵，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E为的中点，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （三）∵四边形是正方形，且， ∴，，正方形的面积为9， 设图中阴影部分的面积为S， ∵图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， 即是直角三角形， 设，，其中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，或（不合题意，舍去）， ∴的周长为：． 故答案为：；． 【点睛】 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 14．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，正方形的边长为平分交的延长线于F，交于M．当M为的中点时,的长是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接交于点，连接， 由正方形的性质可得，，，即得，，根据等腰三角形的性质可得，，，即可得，再推出可得，进而由得到，进而利用勾股定理可得，得到，由四边形是矩形得到，，，即得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：过点作于点，交于点，连接交于点，连接， ∵正方形的边长为，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形 3大高频考点概览 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图所示，小红，小丽，小明家的位畳依次为的三个顶点A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中，已知小丽家到小红家的距离为，则小明家到小亮家的距离为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图1，矩形中，点E为的中点，点P沿从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，是矩形的对角线上一点，于点于点，连接，则的最小值为（     ） A.  B. 4 C.  D.  5．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，E、F、G、H分别是四边形的四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（     ） A. 有一个角是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 6．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，当线段有最小值时，点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）已知，如图，在矩形ABCD中，，，点E为线段AB上一动点不与点A、点B重合，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是　　　　　　． 10．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）（多选）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且OE=OF，连接DE并延长至点M，使DE=ME，连接MF，DF，BE． （1）当DF=MF时，证明：四边形EMBF是矩形； （2）当△DMF满足什么条件时，四边形EMBF是正方形？请说明理由． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，四边形是平行四边形，延长至点E，使，连接、和，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求点A和点C之间的距离． 12．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 13．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，在矩形中,，对角线相交于点O，对角线所在的直线l绕点O顺时针方向旋转，旋转中，直线l分别交于点，将四边形沿直线l折叠得到四边形，其中线段交于点交于点H． （1）如图(一)，探究出的数量关系为　　　　　． （2）如图(二)，①证明：； ②在(1)的基础上，当时，求证：； （3）深入研究，当时，请直接写出的长． 14．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 15．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，矩形的边长为4，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为　　　　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，，的半径为10，C是上的动点，P是的中点，则长的取值范围为　　　　　　． 17．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，在直角梯形中，，，，，动点从点出发，沿着运动到点停止，若将沿折叠，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，则线段的长度为　　　　　　　　　　　． 考点02 菱形 1．（25-26学年九上·河南郑州·期中）矩形具有而菱形不具有的性质是（       ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 2．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定为菱形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）在菱形中，，，则（     ）． A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，菱形的对角线、交于点O，，过点O作于点E，若，则菱形的面积为（       ） A. 32 B.  C. 64 D.  5．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（     ） A. 40 B. 80 C. 160 D.  6．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，在中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使成为菱形，下列给出的条件不正确的是 (          ) A. AB=AD B. AC⊥BD C. ∠BAC=∠DAC D. AC=BD 7．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图1，在菱形中，，．点从顶点出发，沿着某条直线在菱形内部运动到一点，再从该点沿着直线运动到顶点，设点的运动路程为，，图2是点运动时，随的变化关系图象，则点运动的总路程是（     ） A.  B. 6 C.  D. 2 8．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，四边形是矩形． （1）在图1中作对角线的垂直平分线，分别交于点M、N，垂足为点O（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）中，连接和，求证：四边形是菱形； （3）如图2，点E在矩形的边上，且，延长到点F，使，连接．若，，则四边形的面积为多少？ 9．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）如图，在中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在中，，将翻折，点恰好落在边上的点，折痕分别交边和边于点和，使四边形是菱形．当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，菱形的边长是　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点． （1）尺规作图：过点作于点，延长到点，使，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是矩形； （3）连接，若，，求的长度． 12．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则的长为　　　　　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·河南平顶山·期中）如图，平行四边形中，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若，，． ①当____________时，四边形是矩形． ②当____________时，四边形是菱形． 考点03 正方形 1．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（） A. 若，则是菱形 B. 若，则是矩形 C. 若，则是正方形 D. 若，则是正方形 2．（25-26学年九上·河南郑州·期中）下列判断错误的是（       ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 3．（25-26学年九上·河南省实验中学·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（       ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 4．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）下列命题是真命题的是（       ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 各边都相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　) A. 3 B. 4 C.  D.  6．（25-26学年九上·河南郑州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（     ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7．（25-26学年九上·河南鹤壁·期中）用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是50，，图中空白处是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（     ） A.  B.  C. 2 D. 8 8．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（       ） A. 3 B. 6 C.  D.  9．（25-26学年九上·河南郑州郑中国际学校·期中）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，．若将四边形EBCF沿EF折叠，点恰好落在AD边上，则BE的长度为　　　　　． 10．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，在正方形中，，，，交于点G，点H为的中点，连接，则的长为　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·河南郑州·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作，交于点，若，，则的长为　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·河南郑州中学·期中）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 13．（25-26学年九上·河南郑州十九中·期中）（一）感知：如图①，在正方形中，E为边上一点（点E不与点A，B重合），连接，过点A作，交于点F，易证：______．（填写相等的线段） （二）探究：如图②，在正方形中，E，F分别为边，上的点（E，F不与正方形的顶点重合），连接，作的垂线分别交边，于点G，H，垂足为O．若E为的中点，，，求的长． （三）应用：如图③，在正方形中，点E，F分别在，上，，，相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的面积为______，的周长为______． 14．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，正方形的边长为平分交的延长线于F，交于M．当M为的中点时,的长是　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形 考点01 矩形 考点02 菱形 考点03 正方形 考点01 矩形 1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．【答案】2 【分析】 本题主要考查矩形的性质，由矩形的对角线相等且互相平分，所以． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴． 故答案为：2． 8．【答案】 【分析】 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，利用矩形的性质得出，进而利用等边三角形和矩形对角线的性质求长度． 【详解】 解：∵是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．【答案】或 【分析】 依据点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，分两种情况讨论：F在横对称轴上与F在竖对称轴上，分别求出BF的长即可． 【详解】 解：分两种情况： 当F在横对称轴MN上，如图所示， 此时，， ， ， 由折叠得，，， ， 即， ， ； 当F在竖对称轴MN上时，如图所示， 此时， ， ， ， ， 由折叠的性质得，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是或． 故答案为或． 【点睛】 本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 10．【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE∥FB，且DE=FB， 又∵DE=ME， ∴ME=BF，且ME∥BF， ∴四边形EMBF是平行四边形． ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF=EB， ∵DF=MF， ∴MF=EB， 在平行四边形EMBF中，MF=EB， ∴四边形EMBF是矩形；     （2） 当△DMF满足DF=MF，且∠DFM=90°时，四边形EMBF是正方形， 证明：由（1）可知：当DF=MF时，四边形EMBF是矩形， 在△DMF中，∠DFM=90°，点E是斜边DM的中点， ∴EF=DM=EM， 即EF=EM， ∴当△DMF满足DF=MF，且∠DFM=90°时，四边形EMBF是正方形．      【分析】 （1）证明四边形DEBF是平行四边形．四边形EMBF是平行四边形．进而根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了正方形的判定，直角三角形斜边的中线性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，关键在于应用全等三角形和正方形的知识解题． 11．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形     （2）点A和点C之间的距离为      【分析】 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，熟悉掌握矩形的判定是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定方法先判定出四边形是平行四边形，再利用对角线相等判定出四边形为矩形即可； （2）连接，利用勾股定理求出的长，利用矩形的性质得到的长，再利用勾股定理求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，连接． ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ∵四边形是矩形 ∴， 在中，由勾股定理可得，， ∴点A和点C之间的距离为． 12．【答案】（1） 证明：，分别为AB，AC的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形；      （2）．      【分析】 （1）先根据三角形中位线定理得出，结合证明四边形是平行四边形，再由得出有一个角是直角，从而证明其为矩形． （2）先判断是等腰直角三角形得出，结合已知求出的长，再利用三角形中位线定理求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理求出的长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ，，， ， . 【点睛】 本题主要考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 13．【答案】（1）     （2） ①四边形是矩形， ，， ，， ， 由折叠性质： ， ， 又， ， ∵， ， ； ②， ， ， 如图，在延长线上取一点， ， ， 在上截取，则等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ；     （3）的长为或．      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）通过折叠的性质，平行线的性质得出等腰三角形； （2）①识别出和是八字型倒角，从而得出，再根据平行线得出，即可得证； ②证线段等线段线段，思路就是截长补短，再观察题干条件有，构造等边即可证出； （3）先利用勾股定理求的长，设，则，之后利用线段和差建立方程即可求解． (1) 小问详解： 解：． 四边形折叠得到四边形， ， ∵， ， ， ； (2) 小问详解： 证明：① 略 ② 略 (3) 小问详解： 解：①当点在右上方时，如图过点作于点， ，， 在中，， 设，则， ， ， 解得， ； ②当点在左上方时， 同理可得， 设，则， ， ， 解得， ． 综上，的长为或． 14．【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在中，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；     （2）      【分析】 （1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法得列式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， ∴． 15．【答案】或 【分析】 根据题意分两种情况讨论：① 当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；② 当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】 ∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ① 当点恰好落在上时，如图， 在和中， ∴ ∴，即为等腰三角形， ∵ ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得 ② 当点恰好落在上时，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴ 在中， ， 在和中， ∴≌（） ∴ ∴． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了空间想象能力以及分类讨论的思想，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键． 16．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，中位线定理，三角形三边关系等知识．连接，交于点D，连接．根据勾股定理求出，结合的半径为10，得到点D为中点，求出，根据P是BC的中点，得到是中位线，求出，即可得到，从而求出． 【详解】 解：如图，连接，交于点D，连接． ∵，，， ∴， ∵的半径为10， ∴， ∴点D为中点， ∴， ∵P是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为： 17．【答案】或 【分析】 本题考查了折叠图形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理，渗透了数学学科几何直观、推理能力的核心素养． 若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，有两种情况，① 当点与点重合时，点的对应点恰好落在直角梯形的边上，② 点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，，再分别根据再不同边上时图形的特征利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图1， 过点作，垂足为，过点作，垂足为，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与是关于的对称，即当点与点重合时，若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，恰好与点重合，如图1， ∴， 若点的对应点恰好落在直角梯形的边上时，如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由折叠可知，， ∴是等腰三角形，， 由图1可知：，， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述∶ 线段的长度为或． 考点02 菱形 1．A 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．【答案】（1） 如图所示，MN即为所求；      （2） 证明：连接和，如图所示： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵MN垂直平分线段BD， ∴BO＝DO， 在△DMO和三角形BNO中， ， ∴△DMO≌△BNO（ASA）， ∴MO＝NO， ∴四边形DMBN是平行四边形， 又∵MN⊥BD， ∴四边形DMBN是菱形；     （3）80      【分析】 （1）分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线； （2）求出∠ADB＝∠CBD，BO＝DO，利用ASA证明△DMO≌△BNO，即可证得MO＝NO，进而利用菱形的判定方法得出结论； （3）求出AD＝FE，证明四边形AFED是平行四边形，根据平行四边形的性质求出AF，然后利用勾股定理求出AB，再根据平行四边形的面积公式进行计算． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 在矩形ABCD中，AD＝BC＝10，AD∥BC，∠ABC＝90°， ∵， ∴FE＝BC， ∴AD＝FE＝10， 又∵AD∥FE， ∴四边形AFED是平行四边形， ∴AF＝DE＝AD＝10， ∴BF＝FE－BE＝10－4＝6， ∵∠ABF＝180°－∠ABC＝90°， ∴AB＝， ∴四边形的面积＝FE·AB＝10×8＝80． 【点睛】 本题考查了基本作图，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，正确掌握菱形的判定方法是解题关键． 9．【答案】（1） 证明：∵交于点E，作交于点F， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形；     （2）      【分析】 本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再通过等角对等边证，即可得出结论； （2）连接交于，根据等边三角形的性质和勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：连接交于， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 10．【答案】或 【分析】 本题考查折叠的性质，菱形的性质，直角三角形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 连接交于点O，由菱形的性质可得，分三种情况：，，，画出图形，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理分别求解即可． 【详解】 解：连接交于点O， 四边形是菱形， ， ， 当以A、D、C为顶点的三角形是直角三角形时，分三种情况： 当时，如图， ， ， ， 又四边形是菱形， ，， 是等边三角形， ， 在中，， ， ，，， ， ， ， 解得， 菱形的边长； 当时，如图， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 在中，， ， ， ， 解得，负值舍去， 当时，点D与点B重合，此种情况不存在， 综上可知，菱形的边长是或． 故答案为：或． 11．【答案】（1） 所作图形如图所示．      （2） 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形；     （3）      【分析】 本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键； （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，进而问题可求解； （2）由题意易得且，则有，进而根据矩形的判定定理可进行求证； （3）由题意易得，则有，然后根据勾股定理及菱形的性质可进行求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 12．【答案】2 【分析】 由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】 本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 13．【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，     （2）① 7.5；② 5      【分析】 （1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）①证明，推出，即可得出答案；②证明是等边三角形，推出，即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①当时，四边形是矩形；理由如下： 作于P，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：； ②当时，四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：5． 【点睛】 本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 考点03 正方形 1．B 2．D 3．B 4．D 5．D 6．B 7．A 8．C 9．【答案】 【分析】 本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并结合特殊三角形的性质建立方程是解题的关键． 先利用正方形和折叠的性质得到边与角的关系，结合角推出特殊三角形，再设未知数，通过勾股定理列方程求解的长度． 【详解】 解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，． ∵， ∴． 由折叠性质得：，，设， ∴， ∴在中，， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，掌握正方形的性质是关键．根据正方形的性质，勾股定理得到，再证明，得到是直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ， ， ，即， ，即是直角三角形， 点H是的中点， ， 故答案为：． 11．【答案】2 【分析】 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理及矩形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理与判定及矩形的性质与判定是解题的关键；过点作，并延长，交于点，由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，，，则有，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】 解：过点作，并延长，交于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理可得， ∴， ∴； 故答案为2． 12．【答案】（1）① 在正方形中，， ，， ， ， ． ， ，即点是的中点． ②．理由： 如图2，连接交于点， 由折叠可知垂直平分，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即． （2）的最小值为． 【分析】 (1) ① 根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证． ② 根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可． (2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】 （1）略 （2）如图3，在上截取，连接、， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ． 的最小值为． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 13．【答案】（一）（二）（三）； 【分析】 （一）设与交于点K，先证明，进而依据判定和全等得，据此即可得出答案； （二）过点D作交于点P，过点A作交于点Q，根据得，同（一）可证明和全等得，再证明四边形，四边形都是平行四边形得，，，进而得，再根据已知得，，则，然后在中，由勾股定理求出即可得出的长； （三）设图中阴影部分的面积为S，依题意得，则，进而得，证明得，，由此得，再证明，设，，由得，由勾股定理得，进而得，则，据此可得的周长． 【详解】 解：（一）设与交于点K，如图① 所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （二）过点D作交于点P，过点A作交于点Q，如图② 所示： ∵， ∴， 同（一）可证明：， ∴， ∵四边形是正方形，且， ∴，，， 又∵，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E为的中点，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （三）∵四边形是正方形，且， ∴，，正方形的面积为9， 设图中阴影部分的面积为S， ∵图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， 即是直角三角形， 设，，其中，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴，或（不合题意，舍去）， ∴的周长为：． 故答案为：；． 【点睛】 此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接交于点，连接， 由正方形的性质可得，，，即得，，根据等腰三角形的性质可得，，，即可得，再推出可得，进而由得到，进而利用勾股定理可得，得到，由四边形是矩形得到，，，即得到，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：过点作于点，交于点，连接交于点，连接， ∵正方形的边长为，，为的中点， ∴，，， ∴，， ∵平分， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $