专题02 二次函数（期中真题汇编，河南专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．D 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．C 8．A 9．B 10．D 11．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，对原抛物线进行平移变换，即可求解． 【详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．C 3．C 4．A 5．A 6．D 7．B 8．D 9．A 10．D 11．D 12．D 13．B 14．C 15．B 16．C 17．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】 解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可． 【详解】 解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 19．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 因为二次函数的顶点式为，所以顶点坐标是． 【详解】 解：二次函数的顶点式为， 二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 20．【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 解： ； ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： ，， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 时函数最小值为， ∵ ∴的取值上界由处的函数值决定， 将代入得， 当时，的取值范围． 21．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 22．【答案】（1）；（2）9；（3）最大值是8，M（2，6） 【分析】 （1）把A、C两点坐标代入到抛物线解析式求解即可； （2）把代入（1）中求出的抛物线解析式中求出，，则； （3）先求出B点坐标为（4，0），即可求出直线BC的解析式为，设PM与线段BC交于点Q，M（m，），则Q（m，）   MQ=，则，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 （1） 抛物线经过 ，两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为； （2）当 时，， 整理得： ， 解得，，         ∴； （3）令，则，即， 解得或， ∴B点的坐标为（4，0）； 设直线BC的解析式为， ， ∴ ， ∴直线BC的解析式为， 设PM与线段BC交于点E，M（m，），则E（m，）   ME=， ∴ ∵， ∴当m=2时， 取得最大值是8， ∴M的坐标为（2，6）． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的自变量的值，二次函数与图形面积的最值问题，一次函数与几何问题，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 23．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平移方式确定新的解析式，根据增减性确定m的取值范围，即可； （3）分两种情况，根据二次函数的增减性，确定最值，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为，把代入得， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：抛物线向右平移个单位长度后，解析式为， ∴新的抛物线的对称轴为， ∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴，解得． (3) 小问详解： 解：当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为， 则，解得：； 当时，把代入得， 则， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴或． 24．【答案】（1），直线的解析式为     （2）当时，线段的长度有最大值      【分析】 本题考查二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，再次根据待定系数法，可得直线的解析式； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得 ， 解得： ， ∴拋物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴当时，线段的长度有最大值． 25．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值． 【详解】 解：设，则， ， ， 当时，最大为， 故答案为：． 26．【答案】（1）直线     （2） 函数图象如下所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：列表如下： … 0 1 … … 0 0 … (3) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 当时， ∵， ∴当时，． 27．【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为；     （2）发球机的弹射出口高度应调整为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可； （2）抛物线形状和对称轴不变，即不变，设调整后抛物线的表达式为，求出的值，代入解析式，当时即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可知，，， ， 解得， ， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． (2) 小问详解： 解：设调整后抛物线的表达式为， 发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加， 时，， ， 解得，， ． 当时，， 发球机的弹射出口高度应调整为． 28．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的特点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据顶点坐标设顶点式，代入点，即可求解； （2）根据题意点的纵坐标为1，当时，解出，，得到或，结合，即可得到点坐标． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标为 设 将代入得 函数的解析式为 即 (2) 小问详解： 解：，，直角边在轴上 点的纵坐标为1 当时， 解得：， 或 或． 29．【答案】（1）     （2） 解：由表格描点后，依次连接，函数图象如下图所示， 由图可得，当时，；     （3）或      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、已知两点坐标求距离和二次函数的图象和性质，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）运用待定系数法求解解析式即可； （2）由表格依次描点并连接，即可画出函数图象； （3）由题意可得，点为，点C为，同时设点为，表达出并结合是等腰三角形即可求解． (1) 小问详解： 解：由表格可知抛物线经过点， 将分别代入得， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴点为，点为， ∵抛物线与轴交于点， ∴点C为， 由图象可得，函数的对称轴为， ∵是对称轴上一点， ∴设点为， ∴； ； ， ∵是等腰三角形， ∴当时， ， 解得（舍去）或； 当时， ， 解得（舍去）或； 当时， ， 解得（舍去）, ∴综上所述，是等腰三角形，点的坐标为或． 30．【答案】8 【分析】 设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S=，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【详解】 如图，设AC、BD交于点O 设BD=x，则AC=8－x，其中0<x<8 ∵ ∴ ∵ ∴当x=4时，S有最大值8 故答案为：8 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键． 31．【答案】（1）     （2）     （3）①，在抛物线上②      【分析】 （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）① 根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ② 连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同① 可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． (1) 小问详解： 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； (3) 小问详解： ① 由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ② 连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同① 可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 32．【答案】（1）     （2）     （3），最大值为     （4）或或      【分析】 （1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； (3) 小问详解： 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； (4) 小问详解： 解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则 ，解得 ， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则 ，解得 ， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则 ，解得 ， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 33．【答案】（1），顶点的坐标为     （2）     （3）存在，点的坐标为或或      【分析】 （1）由待定系数法，将点、点代入得方程组求解即可得到抛物线的解析式，再将二次函数一般式化为顶点式即可得到点的坐标； （2）先由待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图所示，设点，则点，表示出，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）根据题意，作出平行四边形，由平行四边形性质：对角线互相平分，借助中点坐标公式列方程组求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线经过两点， 将点、点代入，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为， ， 则顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将点、点代入，得 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则点， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积有最大值，为，此时，； (3) 小问详解： 解：存在， 如图所示： 由（1）（2）知，，， 设， （i）以为对角线时， 则 ，解得 ， ； （ii）以为对角线时， 则 ，解得 ， ； （iii）以为对角线时， 则 ，解得 ， ； 综上所述，当点的坐标为或或时，存在以为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】 本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、求二次函数最值、平行四边形的性质、解二元一次方程组等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 34．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答； （2）先整理，故该函数图象的对称轴为直线，结合，故当时，最小，当时，，列式，进而解方程即可作答． (1) 小问详解： 解：， 当时，， ， ． 该函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又， 当时，， ∵ ∴当时，， ∴． ． ． 35．【答案】（1）     （2） 解：画函数的图象如下：      （3）函数图象关于轴对称     （4）①；②或      【分析】 本题考查了定义的新运算，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． （1）根据新定义运算法则进行变形即可； （2）根据题意画出函数图象即可； （3）根据（2）中的函数图象写出函数的一条性质即可； （4）① 画出函数图象，由函数图象得出结论； ② 画出函数图象，由函数图象得出结论 (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象知，函数图象关于轴对称； 故答案为：函数图象关于轴对称； (4) 小问详解： 解：① 如图，当时，直线与的图象有四个交点， 所以，方程有四个不相等的实数根时，t的取值范围是； 故答案为：； ② 如图，当直线与相切时，直线与函数的图象有三个交点， 令， 整理得， ∴， 解得，； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以，函数的图象与直线有两个交点时，b的取值范围是或． 故答案为：或． 考点03 二次函数与一元二次方程 1．C 2．A 3．C 4．A 5．C 6．C 7．D 8．【答案】0或1 【分析】 由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】 解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 9．【答案】（1），     （2） 如图所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． (1) 小问详解： 解：当时， 当时， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知，当时，函数的图象与直线有3个交点． 10．【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，抛物线的对称轴，给定自变量求函数值，弄清图象的特征与系数的关系是解题的关键．根据抛物线开口方向判断的符号；根据对称轴公式结合的符号确定的符号；根据抛物线与轴的交点确定的符号；由抛物线的轴对称性，确定抛物线与轴交点坐标；代入特殊值，结合图象确定函数值的性质．依据上述方法逐一判定即可求解． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 对称轴即，， ， ，① 正确； ， ，② 正确； ， 当时， 令抛物线与轴两交点的横坐标为， 由图象可知，，根据对称性可知， 当时，，③ 错误， 当时，，④ 正确； 综上，结论正确的是① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 11．【答案】（1），     （2），     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断； （2）由二次函数的图象可得对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为，利用二次函数的对称性求出函数与轴的另一个交点，即可求解； （3）由图可知，当时，函数有最小值为，当时，，即可求解； （4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可． (1) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得函数的对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为， 函数图象与轴的另一个交点为， 的两个根为，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：二次函数的开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为，将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 设将二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点， 则平移后的二次函数解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 12．【答案】-1或2或1 【分析】 分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】 ∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1 13．【答案】6 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质与判定，二次函数的性质及二次函数图象与几何变换．根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】 解：过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，如图所示， 因为 则四边形是矩形， ∵抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点， ∴，， 将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积， ∴． 故答案为：6． 考点04 实际问题与二次函数 1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．【答案】65 【分析】 本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】 解：设最大利润为w元， 则w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225， ∵-1＜0，0＜x＜100， ∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大． 故答案为：65． 【点睛】 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 8．【答案】（1）5米     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， 对于（1），解：设，则，根据面积相等列出方程，求出解，再根据题意可得符合题意的解； 对于（2），设，则，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论二次函数的最大值即可. (1) 小问详解： 解：设，则，根据题意，得 ， 整理，得， 解得. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 所以围栏段的长为5米； (2) 小问详解： 解：设，则，种植园的面积为S， 根据题意，得，且， 即. ∵，可知抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，（）. 所以当时，种植园的最大面积是，. 9．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，根据利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即可． 【详解】 解：设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元）， 则y与x的函数关系式是：，即， 故答案为：． 10．【答案】（1）70元     （2）；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元      【分析】 本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是求出二次函数解析式和一元二次方程． （1）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出方程，并根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于求出自变量的取值范围，然后求出的值即可； （2）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得，， 销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，即， ， ， 答：销售单价定为元时，该商场获得的利润恰为元． (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：利润与销售单价之间的关系式为；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 11．【答案】0.2或1.8 【分析】 本题考查二次函数的应用；把代入所给关系式求t的值即可． 【详解】 解：由题意得：． 整理得， 解得． ∴0.2或1.8秒后，物体处在离抛出点高的地方． 故答案为：0.2或1.8． 12．【答案】（1）y=-x+70.（2）当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.（3）m的值为20. 【分析】 （1）画出图形可知该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系是一次函数的关系，然后用待定系数法求解即可； （2）列出关于销售利润w（元）的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元列方程求解即可. 【详解】 (1)表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，并连结各点所得图形为： 观察图象可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+b，代入(20, 50)，(30, 40)，得 ，解得 ， 故y（盒）与x（元/盒）的函数解析式为：y=-x+70. (2)依题意可得，w=(x-10)(-x+70)-100=-x2+80x-800=-(x-40)2+800，当x=40时，w取得最大值800， 所以当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元. (3)依题意，可得(40-m)[-(40-m)+70]=800+200， 整理，得m2-10m-200=0， 解得m=20或m=-10(舍). 所以m的值为20. 【点睛】 本题考查了描点法画函数图像，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用及一元二次方程的应用.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确列出函数关系式是解（2）的关键，根据题意列出一元二次方程是解（3）的关键. 13．【答案】（1）     （2）石块能飞越防御墙      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为 ，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． (1) 小问详解： ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； (2) 小问详解： ∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 14．【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元 【分析】 （1）① 由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元； ② 根据题意可得根据题意：然后解方程即可； （2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时， W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】 解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元 所以每台获利，也就是（）万元 ①补全表格如下面： ②此时，由A型获得的利润是10（）万元， 由B型可获得利润为万元， 根据题意：， ， ，∵0≤≤14， ∴， 即应产销B型车床10台； （2）当0≤≤4时， 此时，W＝＋＝， 该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）； 当4＜≤14时， 则W＝＋＝＝， 当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元）， ∵W最大2＞ W最大1， ∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元． A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 当0≤≤4 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 17 利润 当4＜≤14 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 利润 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解. 15．【答案】（1）；     （2）水面的直径为     （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上．      【分析】 （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． (1) 小问详解： 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． (2) 小问详解： 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 16．【答案】（1）     （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1）与的函数关系式为；     （2）当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，此时他在水平方向上移动的距离为．      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得，，，据此利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点，设，则，则，求出的最大值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 将，代入，得： 解得 与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得 ， 直线的解析式为， 如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点， 设，则 ， ∵ 当时，最大， ∴当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，此时他在水平方向上移动的距离为． 18．【答案】（1）①；②     （2）每组手办降价5元时利润可以为3500元     （3）当时，有利润的最大值为3600元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． (1) 小问详解： 解：① 根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ② 每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② (2) 小问详解： 根据题意得：，        整理得：， 解得：，．        答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． (3) 小问详解： 每天的利润为， 则        ， 当时，有利润的最大值为3600元． 19．【答案】米 【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意设抛物线水柱的解析式为，将代入进行求解得出解析式，再令即可求解． 【详解】 解：由题意得：拋物线顶点坐标为且经过点 设抛物线水柱的解析式为， 将代入得 解得， ∴拋物线解析式为， 令得，， ∴水管的高度应为米． 20．【答案】（1）     （2）学校应安排6个球队参加比赛．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据赛制，结合已知，即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意可得， ∴，， 解得， 答：学校应安排6个球队参加比赛． 21．【答案】（1）     （2）网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米     （3）      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． (1) 小问详解： 解：∵图象经过点，， ， 解得： ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； (3) 小问详解： 解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 22．【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人     （2）本次研学活动学校最少租车费用为27 000元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． (2) 小问详解： 解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 4大高频考点概览 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）抛物线的顶点坐标是(       ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）抛物线的顶点坐标为（　　） A. （﹣4，﹣5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （4，5） 3．（25-26学年九上·河南周口·期中）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）设是抛物线上的三点，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）若是抛物线上的三点，则的大小关系为（   ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式是　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是　　　　　　． 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（          ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 2．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为千米，且时间与高度关系为若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（     ） A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 3．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（       ） A.  B. 1 C.  D. 2或 4．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（        ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（     ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·河南商丘·期中）已知抛物线，若当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·河南商丘·期中）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（                 ）． A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（　　） A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 13．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 14．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·河南信阳·期中）已知，两点在抛物线上（常数），若对于，，都有，则a的值不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（     ） A. ③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 17．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为　　　　　． 18．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式　　　　　　． 19．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　． 20．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知二次函数 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 21．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若二次函数的图象经过点，则　　　　　　． 22．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）平行于x轴的直线y＝﹣14与抛物线分别交于点D、E，求线段DE的长． （3）点P是线段OB上一点（不与点B、O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M，连接CM、BM，求△BCM面积的最大值，及此时点M坐标． 23．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． （1）求抛物线的表达式． （2）将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． （3）点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 24．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． （1）求直线及抛物线的解析式； （2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 25．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是　　　　　　． 26．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知二次函数， （1）对称轴是__________； （2）在平面直角坐标系里画出它的图象． （3）当时，函数的取值范围是__________． … 0 1 … … 0 0 … 27．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为．    （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 28．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，二次函数的顶点坐标为，图象过点． （1）求二次函数的表达式； （2）已知为一直角三角形纸片，, ，，直角边落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 29．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． （3）若这个抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点是对称轴上一点，且在轴下方，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 30．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为　　　　　． 31．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 32．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． （4）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式与点的坐标； （2）当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； （3）连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）已知关于x的二次函数． （1）若时，，求该函数的解析式； （2）当，时，该函数的最大值与最小值的差为36，求a的值． 35．（25-26学年九上·河南信阳·期中）对于代数式A、B，定义一种新运算：．现研究新函数的图象与性质，过程如下： （1）根据新运算规则，新函数可改写为：                      ； （2）在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； （3）写出该函数的一条性质：                           ； （4）①若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是                       ； ②该函数的图象与直线有两个交点，则b的取值范围是                  ． 考点03 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）关于的二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·河南周口·期中）已知二次函数的图像经过点，，则关于的方程的根是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 6．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（     ） A.  B.  C. 或 D.  7．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）关于二次函数，下列命题错误的是（     ） A. 开口向下 B. 对称轴为 C. 与y轴交点坐标为 D. 用配方法得到的解析式为： 8．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·河南周口·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … （1）________， ________； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 10．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示． （1） ________， ________； （2）方程的两个根为_____； （3）观察图象，当时，的取值范围为_____． （4）将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 12．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　　　　　． 13．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为　　　　　　． 考点04 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且最高高度为，水柱落地处离池中心，则水管的长是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  4．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系       ．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A. 18° B. 28° C. 37° D. 58° 5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（     ） A. 该重物在秒时，速度为3米/秒 B. 该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C. 时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D. 当秒时，该重物下降距离为米 6．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，当出售价格是　　　　　　　　　　元时，才能使利润最大． 8．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． （1）若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ （2）当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 9．（25-26学年九上·河南信阳·期中）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·河南许昌·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，规定销售期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量件与销售单价元符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 11．（25-26学年九上·河南周口·期中）跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过　　　　　　秒钟后它在离抛出点高的地方． 12．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）为喜迎 “五一” 佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本10元，在 “五一” 节前进行销售后发现，该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系如下表: 销售价x(元/盒) ∙∙∙ 20 30 40 50 ∙∙∙ 日销售量y(盒) ∙∙∙ 50 40 30 20 ∙∙∙ 同时，销售过程中每日的其他开支（不含进价）总计100元. (1)以x作为点的横坐标，y作为点的纵坐标，把表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，观察顺次连结各点所得图形，判断y与x的函数关系，并求出y（盒）与x（元/盒）的函数解析式: (2)请计算销售价格为多少元/盒时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w（元）最大，最大日销售利润是多少？ (3)“五一” 当天，销售价格（元/盒）比（2）的销售价格降低m元（m＞0），日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元，求m的值. 13．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 14．（25-26学年九上·河南商丘·期中）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台． （1）当时，完成以下两个问题： ①请补全下面的表格： A型 B型 车床数量/台 ________ 每台车床获利/万元 10 ________ ②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？ （2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润． A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 当0≤≤4 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 17 利润 当4＜≤14 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 利润 15．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．    （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 16．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 17．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：）与他在水平方向上移动的距离x（单位：）近似满足函数关系．已知，，落点P到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求y与x的函数表达式； （2）当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求他在水平方向上移动的距离． 18．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 19．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）要修建一个圆形喷水池（如图1），在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱（如图2）在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 20．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． （1）设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是_________； （2）若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 21．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … （1）求与的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 22．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 4大高频考点概览 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）抛物线的顶点坐标是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【详解】 解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 2．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）抛物线的顶点坐标为（　　） A. （﹣4，﹣5） B. （﹣4，5） C. （4，﹣5） D. （4，5） 【答案】A 【分析】 根据抛物线的顶点坐标为 ，即可求解． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键． 3．（25-26学年九上·河南周口·期中）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y=﹣2（x+1）2+2 B. y=﹣2（x+1）2﹣2 C. y=﹣2（x﹣1）2+2 D. y=﹣2（x﹣1）2﹣2 【答案】C 【详解】 解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2， 故选C． 4．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）设是抛物线上的三点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，由点，，与对称轴的距离大小关系求解． 【详解】 解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ． 故选：A 5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为， 故答案选：A． 6．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查抛物线平移，涉及抛物线平移法则：左加右减、上加下减，按照平移法则直接求解即可得到答案，熟记函数图像的平移法则是解决问题的关键． 【详解】 解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为，即， 故选：D． 7．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】 由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移个单位所得抛物线的解析式为：， 故选：． 【点睛】 此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 8．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）若是抛物线上的三点，则的大小关系为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质．把代入求出对应的函数值，再比较大小即可． 【详解】 解：∵抛物线， ∴对于：， 对于：， 对于：， ∵， ∴， 故选：A． 9．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）二次函数的顶点坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图像性质，根据的顶点坐标是，进行作答即可． 【详解】 解：二次函数的顶点坐标是， 故选：B． 10．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】 解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立 得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 11．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的平移，根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，对原抛物线进行平移变换，即可求解． 【详解】 解：将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式是， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）若抛物线的开口向上，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴； 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）已知二次函数，下列说法正确的是（          ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 【答案】D 【分析】 由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解． 【详解】 解：， 对称轴为直线，最大值为，顶点坐标为， ∵， ∴开口向下， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 2．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为千米，且时间与高度关系为若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（     ） A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 【答案】C 【分析】 本题是对二次函数的对称性以及对称轴的性质的应用，要求在哪一刻高度最高，可转化为求函数何时有最大值；结合题目，根据二次函数的对称性，若两个时刻的高度相等，则最高点对应的时刻为这两个时刻的中点． 【详解】 第秒与第秒的高度相等， 对称轴为 ， 最高高度发生在第秒． 3．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（       ） A.  B. 1 C.  D. 2或 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值． 【详解】 解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对应点为， ∵， ∴． 故选：A 5．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）已知二次函数（、、为常数，）的图象如图所示，则a，b，c的值可能是（        ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．由二次函数(a、b、c为常数，)的图象开口向下可知，对称轴在y轴的右侧可知，由抛物线交y轴的正坐标可知，据此判断即可． 【详解】 解：由二次函数(a、b、c为常数，)的图象可知，，， 故选项A符合题意， 故选：A． 6．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，下列命题中；①；②；③对于任意实数，都有；④，是抛物线上的两个点，若，且，则真命题的序号是（     ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】 解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①正确，② 错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④错误； 综上所述，正确的选项是① ③． 故选：D． 7．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键． 【详解】 解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 故选：B ． 8．（25-26学年九上·河南商丘·期中）已知抛物线，若当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键．根据二次函数的性质判断即可． 【详解】 解：抛物线上，开口向下，对称轴为直线， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故选：D． 9．（25-26学年九上·河南商丘·期中）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】 二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 10．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③； ④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，一元二次方程与二次函数的联系，利用数形结合的思想解决问题是关键．由图象可知，时，，可判断① 结论；根据抛物线的顶点坐标确定对称轴为直线，可判断② 结论；根据抛物线顶点坐标，可判断③ 结论；根据抛物线与直线的交点个数，可判断④ 结论． 【详解】 解：由图象可知，时，， 则，① 结论正确； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ， ， ，② 结论正确； 顶点坐标为， , ， ，③ 结论正确； 顶点坐标为， 抛物线与直线有一个交点， 抛物线开口向下， 抛物线与直线有两个交点， 一元二次方程有两个不相等的实数根，④ 结论正确； 即正确结论的个数是4， 故选：D． 11．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（                 ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】 A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 12．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（　　） A. ①③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】D 【详解】 解：① ∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ② ∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③ ∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴当x=﹣1时，y==0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线x=1， ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣=4•a•（﹣3a）﹣=＜0， ∵8a＞0， ∴4ac﹣＜8a， 故③正确； ④ ∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴＞a＞， 故④正确； ⑤ ∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即b＞c， 故⑤正确． 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进行判断是解题的关键． 13．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④点，在抛物线上，且，当时，；⑤函数的最大值大于．其中正确结论的个数为（     ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合的方法解决问题．根据二次函数的对称性，开口方向等来判断结论① ② ，根据二次函数与一元二次方程的关系来判断结论③ ，根据函数的增减性，函数值判断结论④ ⑤ 即可． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故① 正确； 抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点的横坐标在2和3之间， 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在和0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故② 错误； ∵抛物线图象与轴交点的纵坐标是2， ， ， ， 令，得， 或， ， ， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③ 正确； 抛物线的开口向下， 抛物线上的点距离对称轴越远y值越小，距离对称轴越近y值越大， ， ， ， ， ， 点到对称轴的距离是，点到对称轴的距离是， ，故④ 正确； 如图，当时，， ， ， ， 当时，， 函数的最大值大于，故⑤ 正确， 综上所述，正确的结论有：① ③ ④ ⑤ ，共4个， 故选：B． 14．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】 解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确；    D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 15．（25-26学年九上·河南信阳·期中）已知，两点在抛物线上（常数），若对于，，都有，则a的值不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式组等知识点是解题关键．利用作差法建立关于和的不等式组，因为不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】 解：由题得，， ， ， ， ①当时，， 或 ， 解得或， ， 或， 或， ， ； ②当时，， 或 ， 解得， ， ，解得， 综上，或． 故选：B． 16．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）二次函数的图像如图所示，对称轴是，下列结论：①；②；③；④；⑤若图象上有两点、，则有；其中正确的是（     ） A. ③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④ 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据图象可得到且同号，故① 正确；由于抛物线与轴有两个不同的交点，所以，故② 正确；当时，，又因为，所以，故③ 错误；由图知：时，，可得，可得到，代入即可得到④ 正确；由于对称轴，所以到对称轴的距离小于到对称轴的距离，故⑤ 正确． 【详解】 解：∵抛物线开口向下，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴① 正确； 由图知：抛物线与轴有两个不同的交点， ∴， ∴ ∴② 正确； ∵当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴③ 错误； 由图知：时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴④ 正确； ∵对称轴 ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， ∴⑤ 正确； 综上所述：① ② ④ ⑤ 正确， 故选：C． 17．（25-26学年九上·河南许昌·期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．根据题意可设该二次函数的解析式为，利用待定系数法即可求解． 【详解】 解：设该二次函数的解析式为， 将带入得：， 解得：， 该二次函数的表达式为：， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点的抛物线的表达式　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．写出一个二次函数，使其二次项系数为正数，常数项为即可． 【详解】 解：根据题意得：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 19．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）二次函数的顶点坐标是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 因为二次函数的顶点式为，所以顶点坐标是． 【详解】 解：二次函数的顶点式为， 二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·河南许昌·期中）已知二次函数 （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）当时，直接写出函数的取值范围． 【答案】（1）抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）用配方法将表达式化为顶点式即可； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得的取值范围． (1) 小问详解： 解： ； ， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (2) 小问详解： ，， 抛物线开口向上，顶点坐标为， 时函数最小值为， ∵ ∴的取值上界由处的函数值决定， 将代入得， 当时，的取值范围． 21．（25-26学年九上·河南许昌·期中）若二次函数的图象经过点，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式； （2）平行于x轴的直线y＝﹣14与抛物线分别交于点D、E，求线段DE的长． （3）点P是线段OB上一点（不与点B、O重合），过点P作PM⊥x轴交抛物线于点M，连接CM、BM，求△BCM面积的最大值，及此时点M坐标． 【答案】（1）；（2）9；（3）最大值是8，M（2，6） 【分析】 （1）把A、C两点坐标代入到抛物线解析式求解即可； （2）把代入（1）中求出的抛物线解析式中求出，，则； （3）先求出B点坐标为（4，0），即可求出直线BC的解析式为，设PM与线段BC交于点Q，M（m，），则Q（m，）   MQ=，则，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 （1） 抛物线经过 ，两点， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为； （2）当 时，， 整理得： ， 解得，，         ∴； （3）令，则，即， 解得或， ∴B点的坐标为（4，0）； 设直线BC的解析式为， ， ∴ ， ∴直线BC的解析式为， 设PM与线段BC交于点E，M（m，），则E（m，）   ME=， ∴ ∵， ∴当m=2时， 取得最大值是8， ∴M的坐标为（2，6）． 【点睛】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的自变量的值，二次函数与图形面积的最值问题，一次函数与几何问题，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 23．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）已知抛物线的顶点是，且抛物线过点． （1）求抛物线的表达式． （2）将抛物线向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当时，y随x的增大而减小；当时 ，y随x的增大而增大．求m的取值范围． （3）点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n， 设抛物线上点P左侧的部分为图象G（含点P）．若图象G的最低点的纵坐标为，直接写出n的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平移方式确定新的解析式，根据增减性确定m的取值范围，即可； （3）分两种情况，根据二次函数的增减性，确定最值，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的表达式为，把代入得， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为． (2) 小问详解： 解：抛物线向右平移个单位长度后，解析式为， ∴新的抛物线的对称轴为， ∵当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴，解得． (3) 小问详解： 解：当时，图象的最低点为顶点，纵坐标为， 则，解得：； 当时，把代入得， 则， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴或． 24．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，抛物线过，两点，直线交抛物线于点，点的横坐标为，是线段上的动点． （1）求直线及抛物线的解析式； （2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段的长度l与m的关系式，m为何值时，最长？ 【答案】（1），直线的解析式为     （2）当时，线段的长度有最大值      【分析】 本题考查二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得点坐标，再次根据待定系数法，可得直线的解析式； （2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质可得答案． (1) 小问详解： 解：将，代入， 得 ， 解得： ， ∴拋物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入得： ， 解得： ， ∴直线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴当时，线段的长度有最大值． 25．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值． 【详解】 解：设，则， ， ， 当时，最大为， 故答案为：． 26．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知二次函数， （1）对称轴是__________； （2）在平面直角坐标系里画出它的图象． （3）当时，函数的取值范围是__________． 【答案】（1）直线     （2） 函数图象如下所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数的图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先描点，再连线，画出对应的函数图象即可； （3）由解析式可得函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此结合顶点坐标并求出自变量的值为3时的函数值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：列表如下： … 0 1 … … 0 0 … (3) 小问详解： 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴离对称轴越远函数值越大， 当时， ∵， ∴当时，． 27．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图①是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，是其弹射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状，是羽毛球落地点．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为．    （1）求羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度； （2）为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加，则发球机的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】（1）羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为；     （2）发球机的弹射出口高度应调整为．      【分析】 本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）将，两点坐标代入解析式，求得、的值，用顶点公式求最大值即可； （2）抛物线形状和对称轴不变，即不变，设调整后抛物线的表达式为，求出的值，代入解析式，当时即可求解． (1) 小问详解： 解：由题意可知，，， ， 解得， ， 羽毛球在飞行过程中距离地面的最大高度为． (2) 小问详解： 解：设调整后抛物线的表达式为， 发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加， 时，， ， 解得，， ． 当时，， 发球机的弹射出口高度应调整为． 28．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）如图，二次函数的顶点坐标为，图象过点． （1）求二次函数的表达式； （2）已知为一直角三角形纸片，, ，，直角边落在轴上，点在轴上方，将纸片沿轴平移，当点落在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的特点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据顶点坐标设顶点式，代入点，即可求解； （2）根据题意点的纵坐标为1，当时，解出，，得到或，结合，即可得到点坐标． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标为 设 将代入得 函数的解析式为 即 (2) 小问详解： 解：，，直角边在轴上 点的纵坐标为1 当时， 解得：， 或 或． 29．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出函数图象，结合图象直接写出当时，的取值范围． （3）若这个抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点是对称轴上一点，且在轴下方，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2） 解：由表格描点后，依次连接，函数图象如下图所示， 由图可得，当时，；     （3）或      【分析】 本题考查了等腰三角形的性质、已知两点坐标求距离和二次函数的图象和性质，作出正确的图象是解决本题的关键． （1）运用待定系数法求解解析式即可； （2）由表格依次描点并连接，即可画出函数图象； （3）由题意可得，点为，点C为，同时设点为，表达出并结合是等腰三角形即可求解． (1) 小问详解： 解：由表格可知抛物线经过点， 将分别代入得， ， 解得 ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴点为，点为， ∵抛物线与轴交于点， ∴点C为， 由图象可得，函数的对称轴为， ∵是对称轴上一点， ∴设点为， ∴； ； ， ∵是等腰三角形， ∴当时， ， 解得（舍去）或； 当时， ， 解得（舍去）或； 当时， ， 解得（舍去）, ∴综上所述，是等腰三角形，点的坐标为或． 30．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为　　　　　． 【答案】8 【分析】 设BD=x，则AC=8－x，而四边形的面积为S=，根据二次函数的性质即可求得面积的最大值． 【详解】 如图，设AC、BD交于点O 设BD=x，则AC=8－x，其中0<x<8 ∵ ∴ ∵ ∴当x=4时，S有最大值8 故答案为：8 【点睛】 本题考查了二次函数的性质，四边形的面积，当四边形的两条对角线垂直时，其面积与菱形面积一样，等于两条对角线乘积的一半．把面积最大值转化为函数问题是关键． 31．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】（1）     （2）     （3）①，在抛物线上②      【分析】 （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）① 根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ② 连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同① 可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． (1) 小问详解： 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； (2) 小问详解： 当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； (3) 小问详解： ① 由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ② 连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同① 可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】 本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 32．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． （4）在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）     （3），最大值为     （4）或或      【分析】 （1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． (1) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； (3) 小问详解： 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； (4) 小问详解： 解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则 ，解得 ， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则 ，解得 ， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则 ，解得 ， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 33．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图（1），直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． （1）求该抛物线的解析式与点的坐标； （2）当时，在抛物线上求一点E，使的面积有最大值； （3）连接，点在轴上，点在对称轴上，是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点的坐标为     （2）     （3）存在，点的坐标为或或      【分析】 （1）由待定系数法，将点、点代入得方程组求解即可得到抛物线的解析式，再将二次函数一般式化为顶点式即可得到点的坐标； （2）先由待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图所示，设点，则点，表示出，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）根据题意，作出平行四边形，由平行四边形性质：对角线互相平分，借助中点坐标公式列方程组求解即可得到答案． (1) 小问详解： 解：抛物线经过两点， 将点、点代入，得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为， ， 则顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将点、点代入，得 ，解得 ， ∴直线的解析式为， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则点， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，的面积有最大值，为，此时，； (3) 小问详解： 解：存在， 如图所示： 由（1）（2）知，，， 设， （i）以为对角线时， 则 ，解得 ， ； （ii）以为对角线时， 则 ，解得 ， ； （iii）以为对角线时， 则 ，解得 ， ； 综上所述，当点的坐标为或或时，存在以为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】 本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与性质、待定系数法求一次函数解析式、求二次函数最值、平行四边形的性质、解二元一次方程组等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数与几何综合问题的解法是解决问题的关键． 34．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）已知关于x的二次函数． （1）若时，，求该函数的解析式； （2）当，时，该函数的最大值与最小值的差为36，求a的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）把，分别代入，得出，即可作答； （2）先整理，故该函数图象的对称轴为直线，结合，故当时，最小，当时，，列式，进而解方程即可作答． (1) 小问详解： 解：， 当时，， ， ． 该函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：依题意，， 图象的对称轴为直线． 又， 当时，， ∵ ∴当时，， ∴． ． ． 35．（25-26学年九上·河南信阳·期中）对于代数式A、B，定义一种新运算：．现研究新函数的图象与性质，过程如下： （1）根据新运算规则，新函数可改写为：                      ； （2）在如图的平面直角坐标系中，画出函数y的图象； （3）写出该函数的一条性质：                           ； （4）①若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是                       ； ②该函数的图象与直线有两个交点，则b的取值范围是                  ． 【答案】（1）     （2） 解：画函数的图象如下：      （3）函数图象关于轴对称     （4）①；②或      【分析】 本题考查了定义的新运算，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握相关性质是解答本题的关键． （1）根据新定义运算法则进行变形即可； （2）根据题意画出函数图象即可； （3）根据（2）中的函数图象写出函数的一条性质即可； （4）① 画出函数图象，由函数图象得出结论； ② 画出函数图象，由函数图象得出结论 (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图象知，函数图象关于轴对称； 故答案为：函数图象关于轴对称； (4) 小问详解： 解：① 如图，当时，直线与的图象有四个交点， 所以，方程有四个不相等的实数根时，t的取值范围是； 故答案为：； ② 如图，当直线与相切时，直线与函数的图象有三个交点， 令， 整理得， ∴， 解得，； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以，函数的图象与直线有两个交点时，b的取值范围是或． 故答案为：或． 考点03 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）根据下列表格的对应值：判断方程 一个解的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了求一元二次方程的近似根，掌握函数的图象与轴的交点与方程的根的关系是解决此题的关键所在．根据函数的图象与轴的交点横坐标就是方程的根，结合表格中数据即可判断方程的一个解的范围． 【详解】 解：当时，；当时，， 方程的一个解在之间， 故选：C． 2．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】 解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）关于的二次函数的图像可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．确定该函数图像与轴交于正半轴，开口向上，顶点坐标在第四象限，即可获得答案． 【详解】 解：对于函数， 当时，可得， ∵， ∴，即该函数图像与轴交于正半轴， ∵， ∴该函数图像的顶点坐标为， 又∵， ∴该函数图像的开口向上，顶点坐标在第四象限， ∴选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 4．（25-26学年九上·河南周口·期中）已知二次函数的图像经过点，，则关于的方程的根是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图像经过点，，直接得出方程的根．解题的关键是明确题意，利用二次函数与一元二次方程的关系解答． 【详解】 解：∵二次函数的图像经过点，， ∴关于的方程的根是，． 故选：A． 5．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键， 的解集为直线在抛物线上方的部分对应的自变量取值范围，根据图象即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴直线的函数值大于抛物线的函数值， ∴不等式的解集为直线在抛物线上方的部分对应的自变量取值范围， 由图象可得，不等式的解集为：． 故选：C． 6．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（     ） A.  B.  C. 或 D.  【答案】C 【分析】 根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为，根据，得到对称轴为直线，当时，得到，根据，得到求得或，根据，得到抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，当时，结合，得，解得或；当时，结合，得，解得或；解答即可． 【详解】 解：根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，得到， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大， 当时， ∵，得， 解得或； 当时， ∵，得， 解得或； 综上所述，或， 故选：C． 【点睛】 本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定义，增减性是解题的关键． 7．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）关于二次函数，下列命题错误的是（     ） A. 开口向下 B. 对称轴为 C. 与y轴交点坐标为 D. 用配方法得到的解析式为： 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴对称轴：，选项B正确； ∵， ∴二次函数图象开口向下，选项A正确； 令，则， ∴与y轴交点坐标为，选项C正确； ∴，选项D错误； 故选：D． 8．（25-26学年九上·河南三门峡·期中）已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】0或1 【分析】 由题意可分当a=0时，则函数与x轴满足只有一个交点，当a≠0时，则需满足，然后求解即可． 【详解】 解：由题意得： 当a=0时，则函数解析式为，满足与x轴只有一个公共点， 当a≠0时，则函数的图像与x轴只有一个公共点，需满足，即， ∴， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是0或1； 故答案为0或1． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 9．（25-26学年九上·河南周口·期中）小向根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小向的探究过程，请补充完整． 下表是x与y的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … m n 5 … （1）________， ________； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出表中的点，并用平滑的曲线连接起来米，画出函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：若函数的图象与直线有3个交点，请直接写出b的取值范围． 【答案】（1），     （2） 如图所示：      （3）      【分析】 本题主要考查了函数图象，作函数图象，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）根据表格求出当、时，y的值即可； （2）描点，连线，画出函数图像即可； （3）根据图象即可求解． (1) 小问详解： 解：当时， 当时， 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知，当时，函数的图象与直线有3个交点． 10．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是　　　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的开口方向，抛物线的对称轴，给定自变量求函数值，弄清图象的特征与系数的关系是解题的关键．根据抛物线开口方向判断的符号；根据对称轴公式结合的符号确定的符号；根据抛物线与轴的交点确定的符号；由抛物线的轴对称性，确定抛物线与轴交点坐标；代入特殊值，结合图象确定函数值的性质．依据上述方法逐一判定即可求解． 【详解】 解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， 对称轴即，， ， ，① 正确； ， ，② 正确； ， 当时， 令抛物线与轴两交点的横坐标为， 由图象可知，，根据对称性可知， 当时，，③ 错误， 当时，，④ 正确； 综上，结论正确的是① ② ④ ． 故答案为：① ② ④ ． 11．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）已知二次函数的图象如图所示． （1） ________， ________； （2）方程的两个根为_____； （3）观察图象，当时，的取值范围为_____． （4）将该二次函数图象向上平移______个单位长度后恰好过点． 【答案】（1），     （2），     （3）     （4）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，一元二次方程的解与二次函数的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据函数的开口方向可判断，再根据函数图象与轴的交点可判断； （2）由二次函数的图象可得对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为，利用二次函数的对称性求出函数与轴的另一个交点，即可求解； （3）由图可知，当时，函数有最小值为，当时，，即可求解； （4）先求出原来二次函数的解析式，再根据二次函数平移的特点求解即可． (1) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得，， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：由二次函数的图象可得函数的对称轴为直线，函数图象与轴的一个交点为， 函数图象与轴的另一个交点为， 的两个根为，， 故答案为：，； (3) 小问详解： 解：二次函数的开口向上，顶点为， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：； (4) 小问详解： 解：设二次函数的解析式为，将代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 设将二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点， 则平移后的二次函数解析式为， 将代入得， 解得， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为　　　　　． 【答案】-1或2或1 【分析】 分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】 ∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1 13．（25-26学年九上·河南商丘·期中）如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质与判定，二次函数的性质及二次函数图象与几何变换．根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】 解：过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，如图所示， 因为 则四边形是矩形， ∵抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点， ∴，， 将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积， ∴． 故答案为：6． 考点04 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】 解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③ 正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故② 正确，符合题意； 当时，， 故① 错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·河南信阳·期中）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，且最高高度为，水柱落地处离池中心，则水管的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，利用顶点式求得抛物线的解析式，再令，求得相应的函数值，即为所求的答案． 【详解】 解：由题意可知点是抛物线的顶点， ∴设这段抛物线的解析式为． ∵该抛物线过点， ∴， 解得：． ∴． ∵当时，， ∴水管应长． 故选：C． 3．（25-26学年九上·河南许昌·期中）如图，点E、F、G、H分别位于边长为3的正方形的四条边上，四边形也是正方形，正方形的面积最小时，的值是（     ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 因为正方形的边长为3，设，则，易证，再利用勾股定理求出的长，进而得到正方形的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值． 【详解】 解：正方形的边长为3，设， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 同理可证， ，， ， 正方形的面积， 即：当（即在边上的中点）时，正方形的面积最小， ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等． 4．（25-26学年九上·河南周口·期中）如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系       ．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A. 18° B. 28° C. 37° D. 58° 【答案】C 【分析】 根据已知的三个点可以大致画出函数图像，并判断对称轴的位置在36和54之间即可选择答案． 【详解】 解：根据题意可知抛物线的开口向上，由已知的三个点描点、连线得到函数的大致图像， 由图知抛物线的对称轴的位置在36和54之间，比36 稍大，大约37． 因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为37°． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图像的对称性，判断对称轴的位置是解题的关键． 5．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（     ） A. 该重物在秒时，速度为3米/秒 B. 该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C. 时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D. 当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】 解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 6．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】 ①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 7．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，当出售价格是　　　　　　　　　　元时，才能使利润最大． 【答案】65 【分析】 本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价-每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】 解：设最大利润为w元， 则w=（x-30）（100-x）=-（x-65）2+1225， ∵-1＜0，0＜x＜100， ∴当x=65时，二次函数有最大值1225， ∴定价是65元时，利润最大． 故答案为：65． 【点睛】 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 8．（25-26学年九·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，小区工人用长为的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠墙（墙的最大可用长度为），且为了方便出入，在段用其他材料做了一扇宽为的门． （1）若种植园的面积为40，求此时围栏段的长为多少米？ （2）当为多少米时，种植园面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】（1）5米     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用， 对于（1），解：设，则，根据面积相等列出方程，求出解，再根据题意可得符合题意的解； 对于（2），设，则，可得二次函数，再求出a的取值范围，然后讨论二次函数的最大值即可. (1) 小问详解： 解：设，则，根据题意，得 ， 整理，得， 解得. 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意. 所以围栏段的长为5米； (2) 小问详解： 解：设，则，种植园的面积为S， 根据题意，得，且， 即. ∵，可知抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，（）. 所以当时，种植园的最大面积是，. 9．（25-26学年九上·河南信阳·期中）某商场购进一种单价为40元的商品，如果以单价60元售出，那么每天可卖出300个，根据销售经验，每降价1元，每天可多卖出20个，设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元），则y与x的函数关系式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的应用，理解题意，根据利润等于单件利润乘以销售量列函数关系式即可． 【详解】 解：设每个商品降价x（元），每天获得利润y（元）， 则y与x的函数关系式是：，即， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·河南许昌·期中）十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件元的服装，规定销售期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量件与销售单价元符合一次函数． （1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为元？ （2）设该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）70元     （2）；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元      【分析】 本题主要考查了二次函数和一元二次方程的应用，关键是求出二次函数解析式和一元二次方程． （1）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出方程，并根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于求出自变量的取值范围，然后求出的值即可； （2）根据商场获得的利润每件服装的利润销售量列出函数解析式，并根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得，， 销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，即， ， ， 答：销售单价定为元时，该商场获得的利润恰为元． (2) 小问详解： 解：由题意得： ， 由二次函数的性质可知，在内，随的增大而增大， 则当时，取得最大值，最大值为， 答：利润与销售单价之间的关系式为；销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元． 11．（25-26学年九上·河南周口·期中）跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过　　　　　　秒钟后它在离抛出点高的地方． 【答案】0.2或1.8 【分析】 本题考查二次函数的应用；把代入所给关系式求t的值即可． 【详解】 解：由题意得：． 整理得， 解得． ∴0.2或1.8秒后，物体处在离抛出点高的地方． 故答案为：0.2或1.8． 12．（25-26学年九上·河南信阳第七中学·期中）为喜迎 “五一” 佳节，某食品公司推出一种新礼盒，每盒成本10元，在 “五一” 节前进行销售后发现，该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系如下表: 销售价x(元/盒) ∙∙∙ 20 30 40 50 ∙∙∙ 日销售量y(盒) ∙∙∙ 50 40 30 20 ∙∙∙ 同时，销售过程中每日的其他开支（不含进价）总计100元. (1)以x作为点的横坐标，y作为点的纵坐标，把表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，观察顺次连结各点所得图形，判断y与x的函数关系，并求出y（盒）与x（元/盒）的函数解析式: (2)请计算销售价格为多少元/盒时，该公司销售这种礼盒的日销售利润w（元）最大，最大日销售利润是多少？ (3)“五一” 当天，销售价格（元/盒）比（2）的销售价格降低m元（m＞0），日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元，求m的值. 【答案】（1）y=-x+70.（2）当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元.（3）m的值为20. 【分析】 （1）画出图形可知该礼盒的日销售量y（盒）与销售价x（元/盒）的关系是一次函数的关系，然后用待定系数法求解即可； （2）列出关于销售利润w（元）的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据日销售额比（2）中的最大日销售利润多200元列方程求解即可. 【详解】 (1)表中数据，在图中的直角坐标系中描出相应点，并连结各点所得图形为： 观察图象可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+b，代入(20, 50)，(30, 40)，得 ，解得 ， 故y（盒）与x（元/盒）的函数解析式为：y=-x+70. (2)依题意可得，w=(x-10)(-x+70)-100=-x2+80x-800=-(x-40)2+800，当x=40时，w取得最大值800， 所以当销售价格为40元/盒时，日销售利润w(元)最大，最大日销售利润是800元. (3)依题意，可得(40-m)[-(40-m)+70]=800+200， 整理，得m2-10m-200=0， 解得m=20或m=-10(舍). 所以m的值为20. 【点睛】 本题考查了描点法画函数图像，待定系数法求函数解析式，二次函数的应用及一元二次方程的应用.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确列出函数关系式是解（2）的关键，根据题意列出一元二次方程是解（3）的关键. 13．（25-26学年九上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米．已知发射石块在空中飞行的最大高度为10米 （1）求抛物线的解析式； （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙； 【答案】（1）     （2）石块能飞越防御墙      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据函数值求函数值，是解题的关键． （1）根据石块在空中飞行的最大高度为10米，得到抛物线解析式为，将点代入，求得，即得抛物线解析式为 ，化为顶点式为； （2）根据墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米，得到，当时，，得到石块能飞越防御墙． (1) 小问详解： ∵发射石块在空中飞行的最大高度为10米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为，， 即； (2) 小问详解： ∵墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为28米、垂直距离为6米， ∴点C与点的水平距离为30米、垂直距离为6米， ∴， 当时， ， ∴石块能飞越防御墙． 14．（25-26学年九上·河南商丘·期中）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台． （1）当时，完成以下两个问题： ①请补全下面的表格： A型 B型 车床数量/台 ________ 每台车床获利/万元 10 ________ ②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？ （2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润． 【答案】（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元 【分析】 （1）① 由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元； ② 根据题意可得根据题意：然后解方程即可； （2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时， W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】 解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元 所以每台获利，也就是（）万元 ①补全表格如下面： ②此时，由A型获得的利润是10（）万元， 由B型可获得利润为万元， 根据题意：， ， ，∵0≤≤14， ∴， 即应产销B型车床10台； （2）当0≤≤4时， 此时，W＝＋＝， 该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）； 当4＜≤14时， 则W＝＋＝＝， 当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元）， ∵W最大2＞ W最大1， ∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元． A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 当0≤≤4 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 17 利润 当4＜≤14 A型 B型 车床数量/台 每台车床获利/万元 10 利润 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解. 15．（25-26学年九上·河南开封金明中学·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为．    （1）求和的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1）；     （2）水面的直径为     （3） 锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上．      【分析】 （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）炒菜锅里的水位高度为，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． (1) 小问详解： 由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线． (2) 小问详解： 当炒菜锅里的水位高度为时，，即， 解得：， ∴此时水面的直径为． (3) 小问详解： 略 【点睛】 考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. 16．（25-26学年九上·河南新乡第一中学·期中）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】（1）     （2）能安全通过， 理由如下：如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过．      【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年九上·河南漯河实验中学·期中）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．这里表示起跳点A到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端B到点O的水平距离．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：）与他在水平方向上移动的距离x（单位：）近似满足函数关系．已知，，落点P到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求y与x的函数表达式； （2）当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求他在水平方向上移动的距离． 【答案】（1）与的函数关系式为；     （2）当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，此时他在水平方向上移动的距离为．      【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得，，，据此利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点，设，则，则，求出的最大值即可得到答案． (1) 小问详解： 解：由题意得，， 将，代入，得： 解得 与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得 ， 直线的解析式为， 如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点， 设，则 ， ∵ 当时，最大， ∴当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，此时他在水平方向上移动的距离为． 18．（25-26学年·河南郑州外国语中学·期中）随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价元． （1）用的代数式表示： ①每一组手办的利润是________． ②每天可销售的手办组数是________． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）①；②     （2）每组手办降价5元时利润可以为3500元     （3）当时，有利润的最大值为3600元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． (1) 小问详解： 解：① 根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ② 每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② (2) 小问详解： 根据题意得：，        整理得：， 解得：，．        答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． (3) 小问详解： 每天的利润为， 则        ， 当时，有利润的最大值为3600元． 19．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）要修建一个圆形喷水池（如图1），在池中心竖直安装一根水管．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱（如图2）在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管应多长？ 【答案】米 【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意设抛物线水柱的解析式为，将代入进行求解得出解析式，再令即可求解． 【详解】 解：由题意得：拋物线顶点坐标为且经过点 设抛物线水柱的解析式为， 将代入得 解得， ∴拋物线解析式为， 令得，， ∴水管的高度应为米． 20．（25-26学年九上·河南濮阳·期中）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． （1）设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是_________； （2）若学校计划安排15场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】（1）     （2）学校应安排6个球队参加比赛．      【分析】 本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）根据赛制，结合已知，即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：根据题意可得， ∴，， 解得， 答：学校应安排6个球队参加比赛． 21．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … （1）求与的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】（1）     （2）网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米     （3）      【分析】 本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． (1) 小问详解： 解：∵图象经过点，， ， 解得： ， ∴与的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； (3) 小问详解： 解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·河南南阳第三中学·期中）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆．优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆；租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人     （2）本次研学活动学校最少租车费用为27 000元      【分析】 本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． (1) 小问详解： 解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． (2) 小问详解： 解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $