精品解析：河南省新乡市新乡第一中学2021-2022学年上学期期中九年级数学试卷

新乡市一中初三上学期期中试题类 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于的方程是一元二次方程．则的值为（　　） A. B. C. D. 3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （ ） A. B. C. D. 4. a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2023的值为（　　） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 5. 二次函数的最小值是（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 9 D. ﹣9 6. 下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（　　） x …… 0 4 …… y …… 0.365 -1 0.365 …… A. 0或4 B. 或4 C. 1或5 D. 或2 10. 在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p，0）（p是常数，且p＞1），第一次爬到射线OA绕O点逆时针旋转60°方向上的A1点，且OA1＝pOA；第二次爬到射线OA1绕O点逆时针旋转60°方向上的A2点，且OA2＝pOA1；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（　　） A. （p2021，0） B. C. （﹣p2021，0） D. 二、填空题（每题3分，共5小题15分） 11. 已知关于x的一元二次方程mx2＋x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 12. 如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 _____． 13. 二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A(0，y1)和B(﹣3，y2)在此函数图象上，则y1___y2（填“＜““＞”或“＝”）． 14. 如图，图2是图1的拱形大桥的示意图．桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，AC⊥x轴．若OA＝20米，则桥面离水面的高度AC为___ 15. 如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 三、解答题（共8小题，75分） 16. 解下列方程： （1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（2x﹣4）＝5﹣8x． 17. 如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，已知，，． （1）画出旋转后的△A1B1C1；直接写出点B1的坐标（ ， ）；绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2． 18. 已知关于x的一元二次方程2x2+(m﹣2)x﹣m＝0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． （2）若原方程的两个实数根一个小于2，另一个大于3，求m的取值范围． 19. 如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少． 21. 如图，已知Р是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为中心，将△ABP按顺时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点． （1）连接PG，求出PG的长度； （2）请你猜想△PGC的形状，并说明理由． 22. 在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为低袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋． （1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 计算： （1）如图①，在五边形中，，，，试猜想，，之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点逆时针旋转至，由，得，即点、、三点共线，易证，得证、、之间的数量关系是______． （2）类比探究，如图②，在四边形中，，，点、分别在边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新乡市一中初三上学期期中试题类 1. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各项进行分析判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合． 2. 若关于的方程是一元二次方程．则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念得出关于的方程，进而得出结果． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴，且， ∴ 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，理解一元二次方程的概念是解题的关键． 3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般“增长后的量增长前的量（1+增长率）”找出等量关系列方程即可 【详解】第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍， 第三个月的增长率为 第一个月投放辆单车， 第二个月投放辆 第三个月投放量 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量增长前的量（1+增长率）”． 4. a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式﹣2a2+4a+2023的值为（　　） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】先利用方程的解的定义得到a2﹣2a＝1，再把﹣2a2+4a+2023变形为﹣2（a2﹣2a）+2023，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解， ∴a2﹣2a﹣1＝0， 即a2﹣2a＝1， ∴﹣2a2+4a+2023 ＝﹣2（a2﹣2a）+2023 ＝﹣2×1+2023 ＝2021． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了整体思想的应用． 5. 二次函数的最小值是（　　） A. 7 B. ﹣7 C. 9 D. ﹣9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数最值的求法是解题的关键．先利用配方法得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴当时，y有最小值，最小值为． 故选：D． 6. 下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选：C． 【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大． 7. 如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可求∠ACB＝115°，由旋转的性质可得∠DCE＝∠ACB＝115°，即可求解． 【详解】解：∵∠A＝30°，∠B＝35°， ∴∠ACB＝115°， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上． ∴∠DCE＝∠ACB＝115°， ∴∠ACE＝2×115°−180°＝50°， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 8. 如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠BDC的度数是（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理知∠BOC＝∠AOC＝50°，再根据圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵BO⊥AC，∠AOC＝100°， ∴∠BOC＝∠AOC＝50°， 则∠BDC＝∠BOC＝25°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理及圆周角定理等知识点． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+1.365＝0的根是（　　） x …… 0 4 …… y …… 0.365 -1 0.365 …… A. 0或4 B. 或4 C. 1或5 D. 或2 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线经过点（0，0.365）得到c=0.365，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线经过点（，-1），由于方程ax2+bx+1.365=0变形为ax2+bx+0.365=-1，则方程ax2+bx+1.365=0的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+1.365=0的根为x1=，x2=4-． 【详解】解：由抛物线经过点（0，0.365）得到c=0.365， 因为抛物线经过点（0，0.365）、（4，0.365）， 所以抛物线的对称轴为直线x=2， 而抛物线经过点（，-1）， 所以抛物线经过点（4-，-1）， 所以二次函数解析式为y=ax2+bx+0.365， 方程ax2+bx+1.365=0变形为ax2+bx+0.365=-1， 所以方程ax2+bx+0.365=-1的根理解为函数值为-1所对应的自变量的值， 所以方程ax2+bx+1.365=0的根为x1=，x2=4-． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10. 在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点A（p，0）（p是常数，且p＞1），第一次爬到射线OA绕O点逆时针旋转60°方向上的A1点，且OA1＝pOA；第二次爬到射线OA1绕O点逆时针旋转60°方向上的A2点，且OA2＝pOA1；…；第2021次爬行到A2021点的坐标是（　　） A. （p2021，0） B. C. （﹣p2021，0） D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，射线OA1、OA2、OA3、OA4、OA5、OA6……的位置为6次一循环，由此可得点A2021在第四象限，且射线OA2021与x轴正半轴的夹角为60°，再过点A2021作x轴的垂线，垂足为点H，利用含30°的直角三角形的性质以及勾股定理计算即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，射线OA1、OA2、OA3、OA4、OA5、OA6……的位置为6次一循环， ∵2021÷6＝336……5， ∴点A2021在第四象限，且射线OA2021与x轴正半轴的夹角为60°， ∵A（p，0）（p是常数，且p＞1）， ∴OA＝p， ∵OA1＝pOA，OA2＝pOA1，…… ∴OA1＝p2，OA2＝p3，…… ∴， 如图，过点A2021作x轴的垂线，垂足为点H， 则∠OHA2021＝90°， 又∵∠A2021OH＝60°， ∴∠OA2021H＝30°， ∴， ∴ ， 又∵点A2021在第四象限， ，， 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型问题，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 二、填空题（每题3分，共5小题15分） 11. 已知关于x的一元二次方程mx2＋x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________． 【答案】m＞﹣且m≠0 【解析】 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：m＞﹣且m≠0． 故答案是：m＞﹣且m≠0． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 12. 如图，点A，B，C在上，四边形是平行四边形，若，则四边形的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，连接，得到是等边三角形，过点作交于点，利用等边三角形的性质和勾股定理，求出，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在上， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴， 连接，过点作交于点， 则：， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定方法以及等边三角形的判定方法，是解题的关键． 13. 二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，若点A(0，y1)和B(﹣3，y2)在此函数图象上，则y1___y2（填“＜““＞”或“＝”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，在对称轴同侧的可根据增减性由自变量x的大小得出函数值y的大小，在对称轴一侧的可根据离对称轴的远近和抛物线的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵由图象可知：抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，开口向上， ∴当x＝﹣2时，y取得最小值， ∵点A（0，y1）与对称轴直线x＝﹣2相距2个单位长度，点B（﹣3，y2）与对称轴直线x＝﹣2相距1个单位长度， ∴点A比点B离对称轴要远， ∴y1＞y2， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，根据增减性、对称性和自变量x的大小判断相应函数值的大小是解决本题的关键． 14. 如图，图2是图1的拱形大桥的示意图．桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面上，AC⊥x轴．若OA＝20米，则桥面离水面的高度AC为___ 【答案】9m 【解析】 【分析】先确定C点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C点的纵坐标，从而可得到AC的长． 【详解】解：∵AC⊥x轴，OA＝20米， ∴点C的横坐标为﹣20， 当x＝﹣20时，y（x﹣80）2+16（﹣20﹣80）2+16=-9， ∴C（﹣20，-9） ∴桥面离水面的高度AC为9m． 故答案：9m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 15. 如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2 【答案】1或4##4或1 【解析】 【分析】若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：若运动的时间为t s，则CP=（20-4t）cm，CQ=2t cm， 依题意得：（20-4t）×2t=16， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：， 答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2． 故答案为：1或4． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 解下列方程： （1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（2x﹣4）＝5﹣8x． 【答案】（1）x1＝﹣2，x2＝6；（2）x1＝，x2＝ 【解析】 【分析】（1）由题意对方程利用因式分解法求出解即可； （2）由题意将方程变形后利用求根公式法求出解即可． 【详解】解：（1）分解因式得：（x+2）（x﹣6）＝0， 可得x+2＝0或x﹣6＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝6； （2）方程变形得：2x2+4x﹣5＝0， 这里a＝2，b＝4，c＝﹣5， ∵△＝16+40＝56＞0， ∴x＝＝， 解得：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般解法并恰当地选择解法是解题的关键. 17. 如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，已知，，． （1）画出旋转后的△A1B1C1；直接写出点B1的坐标（ ， ）；绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1； （2）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2． 【答案】（1）见解析， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换及其性质即可得出． （2）根据中心对称及其性质，关于原点对称的点的坐标即可得出． 【小问1详解】 解：如图所示： ，横坐标为，纵坐标为1， 逆时针旋转后，横坐标变为，纵坐标变为． ． 【小问2详解】 解：如图所示： ，，，△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2， ，，． ，，． 作出对称后点的坐标，依次连接边长即可． 【点睛】本题考查作图—旋转变换的理解与实际应用能力．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形．点关于原点的对称点为．点逆时针旋转后的点为．通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段，找到对应点后依次连接是解本题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程2x2+(m﹣2)x﹣m＝0． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． （2）若原方程的两个实数根一个小于2，另一个大于3，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于2，另一个大于3，列出不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）证明：△， 是非负数， △． 无论取何实数时，原方程总有两个实数根； （2）解：解关于的一元二次方程2x2+(m﹣2)x﹣m＝0得到， ， ，． 由方程两个实数根一个小于2，另一个大于3，则有 ， 解得，， 即的取值范围是． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，当△时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组． 19. 如图，抛物线 经过点，，． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，直接把，，分别代入进行计算，即可作答． （2）把化为顶点式，即可得出顶点坐标，即可作答． 【小问1详解】 解：∵抛物线 经过点，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 则， ∴抛物线的顶点坐标为． 20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果要围成面积为的花圃，求的长度； （3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少． 【答案】（1）（） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用， 由宽为x米，则花圃的长为，利用面积公式求解即可； 由条件列出，求解并结合取值范围即可判定； 根据将二次函数解析式化为顶点式，结合x的取值范围求其最大值即可． 【小问1详解】 解：由题可知，花圃的宽为x米，则花圃的长为， 那么，， ∵，解得：， ∴（）； 【小问2详解】 由条件， 化简得，解得， ∴不合题意，舍去， 即的长度为5米； 【小问3详解】 （）， ∵，开口向下， ∴当时，y有最大值， 故最大面积为． 21. 如图，已知Р是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，以点B为中心，将△ABP按顺时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点． （1）连接PG，求出PG的长度； （2）请你猜想△PGC的形状，并说明理由． 【答案】（1）PG的长度为2；（2）△PGC为直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据△ABP按顺时针方向绕B旋转90°，可知PB=BG=2，∠PBG=∠ABC=90°，可得△PBG为等腰直角三角形，再根据PG=PB，即可求出PG的长度； （2）由（1）可知△PBG为等腰直角三角形，得出PG=2，利用勾股定理的逆定理即可判断出△PGC的形状． 【详解】解：（1）∵△ABP按顺时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点， ∴PB=BG=2，∠PBG=∠ABC=90°， ∴△PBG为等腰直角三角形， ∴PG=PB=2； （2）△PGC为直角三角形， 理由：由（1）可知△PBG为等腰直角三角形，且PG=2， ∵△ABP按顺时针方向绕B旋转90°，使点A与点C重合，这时P点旋转到G点， ∴CG=AP=1， CG2=1，PG2=8，PC2=32=9， ∴CG2+ PG2= PC2， ∴△PGC为直角三角形，且∠PGC=90°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是解决问题的关键． 22. 在2020年新冠肺炎抗疫期间，经营者小明决定在某直销平台上销售一批口罩，经市场调研发现：该类型口罩每袋进价为20元，当售价为低袋25元时，销售量为250袋，销售单价每提高1元，销售最就会减少10袋． （1）直接写出小明销售该类型口罩的销售量（袋）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （3）若每天销售量不少于200袋，且每袋口罩的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=−10x＋500；（2）w＝-10x2＋700x−10000；（3）销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元． 【解析】 【分析】（1）根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式； （2）根据利润=每袋口罩的利润×销售量，得到销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （3）利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w＝−10（x−35）2＋2250，根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解决最值问题． 【详解】解：（1）根据题意得，y＝250−10（x−25）＝−10x＋500； （2）由题意得，w＝（x−20）（−10x＋500）＝−10x2＋700x−10000； （3）根据题意得，， ∴x的取值范围为：27≤x≤30， ∵函数w＝−10（x−35）2＋2250， ∴当x＝30时，w最大值＝2000． 答：销售单价定位30元时，此时利润最大，最大利润是2000元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的数量关系，得到二次函数表达式． 23. 计算： （1）如图①，在五边形中，，，，试猜想，，之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点逆时针旋转至，由，得，即点、、三点共线，易证，得证、、之间的数量关系是______． （2）类比探究，如图②，在四边形中，，，点、分别在边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）将绕点A逆时针旋转至，结合已知可得，再根据“边角边”证明，可得； （2）将绕点A逆时针旋转，使得与重合，得到，则，再说明点三点共线，结合已知条件可得，然后根据“边角边”证明，可得，最后结合得出答案． 【小问1详解】 解：． 将绕点A逆时针旋转至， 由， 得，即点D，E，F三点共线， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，，理由如下： 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，得到，， ∴， ∴． ∵，，即点三点共线， 又， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $