2026-2027学年人教版七年级数学上册第一次月质量检测试卷 （模拟卷）

2026-2027 学年七年级数学上学期第一次月考试卷 （模拟卷） （考试时间：120 分钟，分值：120 分） 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 ．测试范围：人教版七年级上册第 1~2 章。 第 Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。 1 ．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是 ( ) A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 2 ．已知 x、y 为有理数，如果规定一种新运算x 则 3 ⊕ -2 ⊕ 4 = ( ) A ．-5 B ．5 C ．8 D ．13 3 ．数轴上有A ，B ，C三点，其中点A ，B分别表示数-6，-2 ，现以点C为折点将数轴向右对折（如图），若点A的对应点A ′ 刚好与点B重叠，则点C表示的数是 ( ) A ．0 B ．-5 C ．-3 D ．-4 4 ．对于有理数m、n ，下列说法正确的有 ( ) ①若m + n = 0 ，则m与n互为相反数； ②若m + n < 0 ，则m、n一定异号； ③若m + n > 0 且两数同号，则m > 0，n > 0； ④若|m | > |n | ，两数异号，则m + n > 0； ⑤若|m | < n ，则m + n > 0． A ．3 个 B ．2 个 C ．1 个 D ．0 个 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 5 ．在-4， ，0， ，3.14159 ，6% ，0.1010010001…（每相邻两个 1 之间依次多一个 0）中，有理数共有（ ）个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6 ．把足够大的一张厚度为 0.1 mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过 20 mm ，至少要对折 ( ) A ．6 次 B ．7 次 C ．8 次 D ．9 次 7．2025 年 5 月 20 日至 6 月 20 日，在“十五五”规划编制工作网络征求意见活动中，广大网民踊跃参与，建言献策 311.3 万余条．将 311.3 万这个数据用科学记数法表示为 ( ) A ．311.3 × 104 B ．3.113 × 105 C ．311.3 × 105 D ．3.113 × 106 8 ．从"个元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从"个不同元素中取出m个元素的组合 数，用符号c" (m)表示．已知“！”是一种数学运算符号，且 1! = 1; 2! = 2 × 1 = 2; 3! = 3 × 2 × 1 = 6; 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24； … … ；若公式c" ≥ m, m, "为正整数），则c8 (6)为 ( ) A ．56 B ．42 C ．34 D ．28 9 ．如图，把周长为 3 个单位长度的圆放到数轴（单位长度为 1)上，A ，B ，c三点将圆三等分，将点A与数轴上表示 1 的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示 2 的点重合，点c与数轴上表示 3 的点重合，点A与数轴上表示 4 的点重合，…若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为 ( ) A ．2025 B ．2024 C ．2023 D ．2022 10 ．已知x ，y ，z均为整数，且满足x - y + y - z = 1 ，则 x - z 的值为 ( ) A ． 1 B ．0 C ．2 D ．3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11 ．从公元前 230 年攻打韩国到公元前 221 年灭齐国结束，共计 10 年的时间，秦国结束了中国自春秋以来长达 500 多年的诸侯割据纷争的局面，建立了中国历史上第一个君主中央集权国家，即秦朝．如果 2026 年可记为+2026 年，那么公元前 221 年可记为 年． 12 ．已知［x］表示不超过 x 的最大整数．如：3.2 = 3, (-0.7) =- 1． 现定义：x = x) - x ，如 1.5 = 1.5 - 1.5 =- 0.5 ，则 第 2 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 13．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住 3 个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 14 ．若 a + b - 1 = 0 ，则a ± b = ． 15 ．如图 1 ，点A, B, c是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为-6.3 ，b ，2.7，某同学将刻度尺如图 2 放置，使刻度尺上的数字 0 对齐数轴上的点A ，发现点B对应刻度 1.8cm ，点c对齐刻度 5.4cm ，则数轴上点B所对应的数b为 ． 16 ．设有理数a, b, C ，满足a < 0 ，C > 0 ，且|a | < |b | < |C| ，则|x + a| + |x - b| + |x + C|的最小值为 . -----_ 三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。其中：17-20 每题 8 分，21-24 题每题 10 分。 17 ．（8 分）计算： (1)- 22 + ( - 7) ÷ - ； (2)-1 × × 8 - 9 ÷ - 2． (3) + -3 + + -2 18 ．（8 分）某高速公路检修队开车从 A 地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：+2，-7，+4，+8，-11，+5， -3 ，+12． (1)问收工时，检修队在 A 地哪边，距 A 地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶 1 千米耗油 0.25 升，共用油费 88.4 元．问油价是每升多少元？ 第 3 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．（8 分）如图，数轴上每个刻度为 1 个单位长度，点A表示的数是-3． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 ； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“ <”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5 ，-4 ， -1.5 ，- +2)． 20 ．（8 分）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫 ※（加乘）运算．” 小明写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： (+2) ※ (+4) =+ 6； (-3) ※ (-4) =+ 7； (-2) ※ (+3) =- 5； (+5) ※ (-6) =- 11； 0※(+9) =+ 9； ( _7 ※0 =+ 7； (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出※（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行※（加乘）运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别是 0 和任何数进行※（加乘）运算时都等于 ； (2)计算：-5※0※-3)] （括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若(4 - 2b ※ al - 1) = 0 ，直接写出a + b的值． 第 4 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 21 ．（10 分）同学们知道，|8 - 3|表示 8 与 3 的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数 8 与数 3两点间的距离．试探索： (1)|x - ( - 5)|表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)|x + 3| + |x - 2|的最小值是 ； (3)计算|x - 1 | + |x - 2| + |x - 3| + … + |x - 51|的最小值． 22 ．（10 分）【阅读理解】N 进制数与十进制数之间的转换． 将 N 进制数转化为十进制数，只要将 N 进制数的每个数字依次乘基数 n 的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：a0 = 1 a ≠ 0；如：13025 = 1 × 53 + 3 × 52 + 0 × 51 + 2 × 50 = 202；11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 13； 将十进制数化为与其相等的 N 进制数，用十进制数除以基数 n，然后将商继续除以 n，直到商为 0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2 连续除十进制数，直到商为 0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数 36 改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数 3749 所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数 x 后，再按以下规定获得密码：当x 为奇数时，破解公式为 ，当 x 为偶数时，破解公式为 2x + 5 ．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 第 5 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 23 ．（10 分）如图，数轴上点 A 表示的数是-2 ，点 B 表示的数是 3 ，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点 P ，使得点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和等于 n ，则称点 P为点A、B 的“n 格距点”．例如：在图 1 中，点 P 表示的数是-1 ，点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B的距离之和为 1 + 4 = 5 ，则称点 P 为点A 、B 的“5 格距点”． (1)若点 P 表示的数是 2 ，则 n 的值为 ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点 P 为点A、B 的“5 格距点”，则这样的整点 P 有 个； (3)若点 P 为数轴上一点，且点 P 到点 B 的距离为 1 ，求点 P 表示的数及 n 的值； (4)若点 P 在数轴上运动，满足点 P 到点 B 的距离等于点 P 到点A 的距离的 2 倍，且此时点 P 为点A 、B 的“n 格距点” ，求点 P 表示的数及 n 的值． 24．（10 分）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，c点表示数C，且a，C满足 a + 2 + C - 8)2 = 0， b为最小正整数； (1)a = ，b = ，C = ； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点c与数 表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点p为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式x - a + x - b + x - C 取得最小值时，此时x = ，最小值为 ． (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点c处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t 的代数式表示）． 第 6 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027 学年七年级数学上学期第一次月考试卷 （模拟卷） （考试时间：120 分钟，分值：120 分） 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3 ．测试范围：人教版七年级上册第 1~2 章。 第 Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。 1 ．如图，下列数轴上的点表示的数最小的是 ( ) A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数最小的是点A． 2 ．已知 x、y 为有理数，如果规定一种新运算x 则 3 ⊕ -2 ⊕ 4 = ( ) A ．-5 B ．5 C ．8 D ．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 【详解】解：3 ⊕ (-2 ⊕ 4) = 3 ⊕ 2 = 32 + 22 = 13． 3 ．数轴上有A ，B ，C三点，其中点A ，B分别表示数-6，-2 ，现以点C为折点将数轴向右对折（如图），若点A的对应点A ′ 刚好与点B重叠，则点C表示的数是 ( ) A ．0 B ．-5 C ．-3 D ．-4 【答案】D 第 7 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据折叠的性质可知点C到点A的距离等于点C到点B的距离，即点C是线段AB的中点，利用中点公式计算即可求解． 【详解】解：∵以点 C为折点将数轴向右对折，点 A的对应点 A ′ 刚好与点 B重叠，惠 CA = CB ，即点 C是线段 AB的中点， ∵点 A表示 -6，点 B表示 -2，惠点 C表示的数为 - 4． 4 ．对于有理数m、n，下列说法正确的有 ( ) ①若m + n = 0 ，则m与n互为相反数； ②若m + n < 0 ，则m、n一定异号； ③若m + n > 0 且两数同号，则m > 0，n > 0； ④若|m| > |n| ，两数异号，则m + n > 0； ⑤若|m| < n ，则m + n > 0． A ．3 个 B ．2 个 C ．1 个 D ．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若m + n = 0 ，则m与n互为相反数，故①正确； ②若m + n < 0 ，举反例：取m =- 2 ，n =- 3 ，满足m + n =- 5 < 0 ，但m、n 同为负，是同号，故②错误； ③若m + n > 0 且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于 0 ，因此两数只能同为正，即m > 0，n > 0 ，故③正确； ④若|m| > |n|且两数异号，举反例：取m =- 4，n = 2，满足| - 4| > |2 |且两数异号，m + n =- 2 < 0，不符合结论，故④错误； ⑤若|m| < n ，因为|m| ≥ 0， 因此可得n > 0， 分类讨论：若m ≥ 0 ，则|m| = m < n，可得m + n > 0；若m < 0 ，则|m| =- m < n，整理得m + n > 0， 因此无论m取何值，都有m + n > 0 ，故⑤正确． 综上，正确的说法共 3 个． 5 ．在-4， ，0， ，3.14159 ，6% ，0.1010010001…（每相邻两个 1 之间依次多一个 0）中，有理数共有（ ）个 第 8 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【详解】解：-4 是整数，是有理数； ( 7 )22是分数，是有理数； 0 是整数，是有理数； 中π是无限不循环小数，因此 3.14159 是有限小数，是有理数； 6% = 0.06 ，是有限小数，是有理数； 0.1010010001 …（每相邻两个 1 之间依次多一个 0）是无限不循环小数，是无理数。 综上，有理数共有 5 个． 6 ．把足够大的一张厚度为 0.1 mm 的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过 20 mm ，至少要对折 ( ) A ．6 次 B ．7 次 C ．8 次 D ．9 次 【答案】C 【分析】根据题意明确第 n 次对折后的厚度为 0.1 × 2"mm，根据 0.1 × 2" > 20，求出 n 的最小整数值即可． 【详解】解：设对折"次后整叠纸总厚度为 0.1 × 2"mm．由题意得 0.1 × 2" > 20 ，：2" > 200． ∵ 27 = 128 ，28 = 256，128 < 200 < 256 ，：" > 7， ：至少要对折 8 次． 7．2025 年 5 月 20 日至 6 月 20 日，在“十五五”规划编制工作网络征求意见活动中，广大网民踊跃参与，建言献策 311.3 万余条．将 311.3 万这个数据用科学记数法表示为 ( ) A ．311.3 × 104 B ．3.113 × 105 C ．311.3 × 105 D ．3.113 × 106 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为a × 10" 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10 ，n为整数，正确确定 a 、n 的值是解题的关键． 先“311.3 万”写成 3113000 ，再写成a × 10"其中 1 ≤ |a | < 10 ，n 为整数的形式即可． 【详解】解：“311.3 万” = 3113000 = 3.113 × 106 ．故选 D． 8 ．从"个元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从"个不同元素中取出m个元素的组合 数，用符号c" (m)表示．已知“！”是一种数学运算符号，且 1! = 1; 2! = 2 × 1 = 2; 3! = 3 × 2 × 1 = 6; 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24； … … ；若公式c（" ≥ m, m, "为正整数），则c8 (6)为 ( ) 第 9 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 A ．56 B ．42 C ．34 D ．28 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义运算，需根据题目给出的组合数公式和阶乘的运算规则，代入数值计算求解即可． 【详解】解： ∵cn ≥ m, m, n为正整数）， = 28， 故选：D． 9 ．如图，把周长为 3 个单位长度的圆放到数轴（单位长度为 1)上，A，B，c三点将圆三等分，将点A与数轴上表示 1 的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点B与数轴上表示 2 的点重合，点c与数轴上表示 3 的点重合，点A与数轴上表示 4 的点重合，…若当圆停止运动时点B正好落到数轴上，则点B对应的数轴上的数可能为 ( ) A ．2025 B ．2024 C ．2023 D ．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知 3 次一个循环，将各选项中的数字除以 3 ，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点A，点B，点c的顺序排列，即圆的滚动规律为 3 次一个循环，则： 2025 ÷ 3 = 675 ，所以此时点c正好落在数轴上； 2024 ÷ 3 = 674…2 ，所以此时点B正好落在数轴上； 2023 ÷ 3 = 674…1 ，所以此时点A正好落在数轴上； 2022 ÷ 3 = 674 ，所以此时点c正好落在数轴上； ：点B对应的数轴上的数可能为 2024.故选：B． 10 ．已知x ，y ，z均为整数，且满足x - y + y - z = 1 ，则 x - z 的值为 ( ) A ． 1 B ．0 C ．2 D ．3 【答案】A 第 10 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知|x - y|和|y - z|中一个为 0，另一个为 1 ，从而推导出|x - z|的值． 【详解】∵ |x - y| + |y - z| = 1 ，且x ，y ，z均为整数， ：|x - y|和|y - z|均为非负整数，且和为 1， ：可能情况为： ①|x - y| = 1 且|y - z| = 0 ，则y = z， ：|x - z| = |x - y| = 1； ②|x - y| = 0 且|y - z| = 1 ，则x = y， ：|x - z| = |y - z| = 1． 综上，|x - z| = 1 ．故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11 ．从公元前 230 年攻打韩国到公元前 221 年灭齐国结束，共计 10 年的时间，秦国结束了中国自春秋以来长达 500 多年的诸侯割据纷争的局面，建立了中国历史上第一个君主中央集权国家，即秦朝．如果 2026 年可记为+2026 年，那么公元前 221 年可记为 年． 【答案】-221 【分析】按照题中要求，公元年份记为正数，公元前与公元是相反意义的量，因此公元前年份记为负数，即可得到结果． 【详解】解：公元前 221 年可记为-221 年． 12．已知［x］表示不超过 x 的最大整数．如：3.2 = 3, (-0.7) =- 1．现定义：x = x) - x，如 1.5 = 1.5 - 1.5 =- 0.5 ，则 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出t-3.8}和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解： ∵｛x｝ = x - x， {-3.8} = -3.8 - (-3.8) =- 4 - -3.8 =- 4 + 3.8 =- ； ∵ x = x) - x， ∴ = - 2 - - ； 第 11 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：． 13．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的火柴棒，该火柴棒能盖住 3 个整点，则这根火柴棒的长度为 厘米． 【答案】3 或 2 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找出长度为 n（n 为正整数）的线段盖住 n 或(n + 1)个整点，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分端点是否与整点重合两种情况来考虑是关键． 由于若火柴棒的端点恰好与整点重合，则 1 厘米长的线段盖住 2 个整点，若火柴棒的端点不与整点重合，则 1 厘米长的线段盖住 1 个整点，据此分析即可求解． 【详解】解：∵长度为 n（n 为正整数）的线段盖住 n 或(n+ 1)个整点，． ∴长度为 m 的火柴棒能盖住的 3 个整点时，火柴棒的长度m = 3 厘米或m + 1 = 3 ，即m = 2 厘米，故答案为：3 或 2． 14 ．若 a + b - 1 = 0 ，则a ± b = ． 【答案】1 或-1 【分析】本题考查了绝对值非负性，有理数加法，减法运算，根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，求出a = 0 ，b = 1 ，然后求出a ± b的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ∵ a + b - 1 = 0， ∴a = 0 ，b = 1， ∴a + b = 1 ，a - b =- 1，故答案为：1 或-1． 15 ．如图 1 ，点A, B, c是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为-6.3 ，b，2.7，某同学将刻度尺如图 2 放置，使刻度尺上的数字 0 对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度 1.8cm ，点c对齐刻度 5.4cm ，则数轴上点B所对应的数b为 ． 【答案】-3.3 【分析】分别求出数轴上和刻度尺上点 A 和点 C 的距离，则可求出刻度尺上 1cm在数轴上表示的长度，再求出刻度尺上点 A 和点 B 的距离，进而求出数轴上点 A 和点 B 的距离，则可得到答案． 【详解】解： ∵在数轴上点 A 表示的数为-6.3 ，点 C 表示的数为 2.7， 第 12 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴在数轴上点A 与点 C 的距离为-6.3 - 2.7 = -9 = 9； ∵在刻度尺上，数字 0 对应点A ，数字 5.4 对应点 C， ∴在刻度尺上点A 与点 C 的距离为 5.4cm， ∴刻度尺上 1cm 在数轴上表示个单位长度， ∵在刻度尺上点B对应刻度 1.8cm， ∴在刻度尺上点A 与点 B 的距离为 1.8cm， ∴在数轴上点A 与点 B 的距离为 ∴b =- 6.3 + 3 =- 3.3． 16 ．设有理数a, b, C ，满足a < 0 ，C > 0 ，且|a | < |b | < |C| ，则|x + a| + |x - b| + |x + C|的最小值为 . -----_ 【答案】当b > 0 时，最小值为b + C ；当b < 0 时，最小值为C - a 【分析】本题考查绝对值的几何意义以及求代数式的最小值，解题的关键在于理解绝对值lx - ml表示数轴上x所对应的点与m所对应的点之间的距离，然后根据已知条件分析lx + al + lx - bl + lx + Cl的几何意义，进而求出最小值． 根据绝对值的几何意义，表达式表示数轴上点x到点-a、b、-C的距离之和，结合条件a < 0、C > 0且|a | < |b | < |C| ，分b > 0 和b < 0 两种情况讨论最小值． 【详解】解：由a < 0 、C > 0 且|a | < |b | < |C|， 当b > 0 时，点-C 、-a 、b在数轴上的顺序为-C <- a < b， 当x =- a时，距离之和最小，值为|b - ( - a)| + | - C - ( - a)| = |a + b| + |a - C| = (a + b) + (C - a) = b + C． 当b < 0 时，点-C 、b 、-a在数轴上的顺序为-C < b <- a， 当x = b时，距离之和最小，值为| - a - b| + | - C - b| = |a + b| + |C + b| = ( - a - b) + (C + b) = C - a． 故当b > 0 时，最小值为b + C ；当b < 0 时，最小值为C - a． 故答案为：当b > 0 时，最小值为b + C ；当b < 0 时，最小值为C - a． 三、解答题：本题共 8 小题，共 72 分。其中：17-20 每题 8 分，21-24 题每题 10 分。 17 ．（8 分）计算： 第 13 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 (3) + -3 + + (-2 3 5 【答案】(1)0 (2)-8 (3)-5 (2)-6 【详解】 （1）解：原式=- 4 + 7 × =- 4 + 4 = 0；（2 分） （2）解：原式 =- 4 - 4 =- 8.（4 分） ( 4 5 4 5 )（3）解：1 + -3 2 + 3 + -2 3 = 1 + (-6) =- 5；（6 分） （4）解 =- 2 - 5 - 8 + 9 =- 6．（8 分） 18 ．（8 分）某高速公路检修队开车从 A 地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：+2，-7，+4，+8，-11，+5， -3 ，+12． (1)问收工时，检修队在 A 地哪边，距 A 地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶 1 千米耗油 0.25 升，共用油费 88.4 元．问油价是每升多少元？ 【答案】(1)收工时检修队在 A 地东边，距 A 地 10 千米 (2)汽车共行驶 52 千米 第 14 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 (3)油价是每升 6.8 元 【分析】（1）将所有行驶路程记录求和，根据结果正负判断方向，结果的绝对值为距 A 地的距离； （2）计算所有行驶路程记录的绝对值之和，即为总行驶路程； （3）先由总行驶路程和单位耗油量求出总耗油量，再用总油费除以总耗油量得到油价． 【详解】（1）解：各段路程的和为 +2 + -7 + 4 + 8 + (-11) + 5 + -3 + 12 = (2 + 4 + 8 + 5 + 12 + -7 - 11 - 3) = 31 - 21 = 10（千米）， ∵规定向东走为正， ∴收工时检修队在 A 地东边，距 A 地 10 千米．（3 分） （2）解： +2 + -7 + +4 + +8 + -11 + +5 + -3 + +12 = 2 + 7 + 4 + 8 + 11 + 5 + 3 + 12 = 52（千米）， 答：汽车共行驶 52 千米．（6 分） （3）解：总耗油量为 52 × 0.25 = 13（升），油价为 88.4 ÷ 13 = 6.8（元/升）， 答：油价是每升 6.8 元．（8 分） 19 ．（8 分）如图，数轴上每个刻度为 1 个单位长度，点A表示的数是-3． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是 ； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“ <”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】如下图 【分析】（1）根据点 A 表示-3 即可得原点位置，进一步得到点 B 所表示的数； （2）先化简-1.5 = 1.5 ，- +2 =- 2，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“ <”号把这些数连接起来即可． 【详解】(1) ；4；（3 分） (2) ，-4 <- +2 < -1.5 < 2.5（8 分） 第 15 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 20 ．（8 分）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫 ※（加乘）运算．” 小明写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子： (+2) ※ +4 =+ 6；-3 ※ -4 =+ 7；-2 ※ (+3) =- 5；+5 ※ -6 =- 11；0※+9 =+ 9；-7 ※0 = + 7 (1)归纳：类比有理数运算法则，归纳出※（加乘）运算的运算法则，请你把下面内容补充完整： 两数进行※（加乘）运算时，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 ；特别是 0 和任何数进行※（加乘）运算时都等于 ； (2)计算：-5※0※-3)] （括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)拓展：若(4 - 2b ※ al - 1) = 0 ，直接写出a + b的值． 【答案】(1)正；负；相加；这个数的绝对值 (2)-8 (3)3 或 1 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算法则． （1）根据题目中的例子可以总结出※（加乘）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题； （3）根据（1）中的结论和分类讨论的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；特别是0 和任何数进行※（加乘）运算时都等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值；（2 分） （2）-5※0※-3)] = (-5) ※3 =- 8；（5 分） （3）∵ (4 - 2b ※ al - 1) = 0， ： 4 - 2b + al - 1 l = 0 ，当 a = 1 时， 4 - 2b = 0，得b = 2， 第 16 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 ：当 a = 1 ，b = 2 时，a = ± 1， ：当a = 1 ，b = 2 时，a + b = 3， 当a =- 1 ，b = 2 时，a + b = 1， 综上，a + b的值为 3 或 1 ．（8 分） 21 ．（10 分）同学们知道，|8 - 3|表示 8 与 3 的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数 8 与数 3两点间的距离．试探索： (1)|x - ( - 5)|表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)|x + 3| + |x - 2|的最小值是 ； (3)计算|x - 1 | + |x - 2| + |x - 3| + … + |x - 51|的最小值． 【答案】(1)-5 (2)5 (3)650 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论x在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现x在 1 到 51 这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：|x - ( - 5)|表示数轴上数x与数-5 两点间的距离； 故答案为：-5；（1 分） （2）解：当x <- 3 时，|x + 3| + |x - 2| > 2 - -3 ，即|x + 3| + |x - 2| > 5；当-3 ≤ x ≤ 2 时，|x + 3| + |x - 2| = 2 - -3 = 5； 当x > 2 时，|x + 3| + |x - 2| > 2 - -3 ，即|x + 3| + |x - 2| > 5；综上：|x + 3| + |x - 2|的最小值是 5； 故答案为：5；（4 分） （3）解：|x - 1 | + |x - 2| + |x - 3| + … + |x - 51|共 51 项， 根据绝对值的几何意义，x取中间项时，原式的值最小， 即：当x 时， 原式= 26 - 1 + 26 - 2 + 26 - 3 + 26 - 4 + + 26 - 51 = 25 + 24 + 23 + + 0 + 1 + + 23 + 24 + 25 = 2 × (1 + 2 + 3 + + 25) = 25 × 26 = 650， ∴|x - 1 | + |x - 2| + |x - 3| + … + |x - 51|的最小值为：650 ．（10 分） 第 17 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 22 ．（10 分）【阅读理解】N 进制数与十进制数之间的转换． 将 N 进制数转化为十进制数，只要将 N 进制数的每个数字依次乘基数 n 的相应整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与其相等的十进制数．规定：a0 = 1 a ≠ 0； 如：13025 = 1 × 53 + 3 × 52 + 0 × 51 + 2 × 50 = 202；11012 = 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 13； 将十进制数化为与其相等的 N 进制数，用十进制数除以基数 n，然后将商继续除以 n，直到商为 0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．例如： 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法．即用2 连续除十进制数，直到商为 0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法． 【类比应用】 （1）十进制数 36 改写成二进制数是多少？ （2）类比二进制数的算法，试求八进制数 3749 所表示的十进制数； 【迁移拓展】有一种密钥破解方式，先将二进制数转成十进制数 x 后，再按以下规定获得密码：当x 为奇数时，破解公式为 ，当 x 为偶数时，破解公式为 2x + 5 ．按上述规定，请将二进制明码“101101101”译成密码． 【答案】（1）36 改写成二进制数是 100100（2）八进制数 3750 表示的十进制数为 2025【迁移拓展】密码为 181 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题中所给十进制数转化为二进制数的方法是解题的关键． （1）根据换算法则将十进制数转换为二进制的数 36 = 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20； （2）将八进制的数 3749 转换为十进制即 3 × 83 + 7 × 82 + 4 × 81 + 9 × 80 ，计算即可； （3）将二进制的数转换为十进制求出x 的值为 365 ，再代入计算即可． 【详解】解：（1）36 = 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20， 第 18 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 答：36 改写成二进制数是 100100；（3 分） （2）八进制数表示的十进制数为： 3 × 83 + 7 × 82 + 4 × 81 + 9 × 80 = 1536 + 448 + 32 + 9 = 2025； 答：八进制数 3750 表示的十进制数为2025；（6 分） 【迁移拓展】二进制数 101101101 转成十进制数为： 1 × 28 + 0 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 256 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 365， ∵365 为奇数， ∴密码为： 181 ．（10 分） 23 ．（10 分）如图，数轴上点 A 表示的数是-2 ，点 B 表示的数是 3 ，阅读以下材料并解决相关问题，若在数轴上存在一点 P ，使得点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和等于 n ，则称点 P为点A、B 的“n 格距点”．例如：在图 1 中，点 P 表示的数是-1 ，点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B的距离之和为 1 + 4 = 5 ，则称点 P 为点A 、B 的“5 格距点”． (1)若点 P 表示的数是 2 ，则 n 的值为 ； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点 P 为点A、B 的“5 格距点”，则这样的整点 P 有 个； (3)若点 P 为数轴上一点，且点 P 到点 B 的距离为 1 ，求点 P 表示的数及 n 的值； (4)若点 P 在数轴上运动，满足点 P 到点 B 的距离等于点 P 到点A 的距离的 2 倍，且此时点 P 为点A 、B 的“n 格距点” ，求点 P 表示的数及 n 的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)点 P 表示的数为 2 或 4 ，n = 5 或 7 (4)点 P 表示的数为或-7，n = 5 或 15 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． 第 19 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 （1）由题意可求出点 P 到点A 的距离与点 B 到点的距离之和为 5 ，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点 P 在线段AB上，从而得出整点所表示的数； （3）由题意可求出点 P 表示的数是 2 或 4 ，进而即可求出 n 的值； （4）分两种情况讨论：当 P 在AB之间时，AB = 5 ，点 P 表示的数为- ，此时" = 5；当 P 在点A左边时，PA = AB = 5 ，点 P 表示的数为-7，此时" = 15． 【详解】（1）解： ∵点 P 表示的数为 2 ，点 A 表示的数是-2 ，点 B 表示的数是 3， ∴点 P 到点A 的距离为 4 ，到点 B 的距离为 1， ∴点 P 到点A 的距离与点 B 到点的距离之和为 1 + 4 = 5， ∴点 P 为点A 、B 的“5 格距点”， ∴" = 5， 故答案为：5 ．（2 分） （2）解： ∵整点 P 为点A 、B 的“5 格距点”， ∴PA + PB = 5 ，即 P 在线段 AB 上， ∴整点 P 所表示的数是-2, - 1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，共 6 个，故答案为：6 ．（4 分） （3）解： ∵点 P 到点 B 的距离为 1， ∴点 P 表示的数为 2 或 4， ①当点 P 表示的数为 2 时，点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为 4 + 1 = 5 ，此时" = 5； ②当点 P 表示的数为 4 时，点 P 到点A 的距离为 4 - ( - 2) = 6 ，到点 B 的距离为 4 - 3 = 1， ：点 P 到点A 的距离与点 P 到点 B 的距离之和为 6 + 1 = 7 ，此时" = 7； ：点 P 表示的数为 2 或 4 ，" = 5 或 7 ．（7 分） （4）解：①当 P 在AB之间时，AB = 5，点 P 表示的数为：3 - 3 - ( - 2) × - ，此时" ②当 P 在点A 左边时，PA = AB = 5，点 P 表示的数为：-2 - 5 =- 7，此时" = 5 + 10 =- 2 - ( - 7) + 3 - ( - 7) = 15． ：点 P 表示的数为或-7，" = 5 或 15 ．（10 分） 24．（10 分）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，c点表示数C，且a，C满足 a + 2 + C - 8)2 = 0， b为最小正整数； (1)a = ，b = ，C = ； 第 20 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点c与数 表示的点重合． (3)在（1）（2）的条件下，若点p为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式x - a + x - b + x - C 取得最小值时，此时x = ，最小值为 ． (4)在（1）（2）的条件下，若在点B处放一挡板，一小球甲从点A处以 1 个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点c处以 2 个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离d（用t 的代数式表示）． 【答案】(1)-2,1,8 (2)-9 (3)1, 10 (4)当 0 ≤ t ≤ 3.5 时，d = 10 - t ；当t > 3.5 时，d = 3t - 4 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，求绝对值和平方的非负性，点平移的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合以及分类讨论的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性及有理数的定义进行求解即可； （2）利用中点公式进行点的平移的性质进行求解即可； （3）利用绝对值的几何意义和两点之间线段最短进行求解即可； （4）根据点平移的性质，分类进行讨论即可． 【详解】（1）解： ∵ a + 2 + C - 8)2 = 0， ∴ a + 2 = 0 ，C - 82 = 0， ∴a =- 2, C = 8， ∵b为最小正整数， ∴b = 1， 故答案为：-2,1,8；（3 分） （2）解：根据A点与B点重合得出中点为 ∴点c的重合点为 故答案为：-9；（5 分） （3）解：根据绝对值的几何意义得， x - a + x - b + x - C表示x到a, b, C 的距离之和， 根据两点之间线段最短，结合各点在数轴上的位置可得， 当x = b = 1 时， x - a + x - b + x - C 的值最小， 此时， x - a + x - b + x - C = 1 + 2 + 1 - 1 + 1 - 8 = 10， 第 21 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：1, 10；（7 分） （4）解：乙球到达挡板所需时间为8 - 1 ÷ 2 = 3.5， ①当 0 ≤ t ≤ 3.5 时，d = 8 + 2 - 2 - 1t = 10 - t； ②当t > 3.5 时，d = 3.5 + 1 + 2 + 1 + 2(t - 3.5) = 3t - 4 ．（10 分） 第 22 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $