第十四章 《全等三角形》专题二 全等三角形中的基本模型 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十四章《全等三角形》 专题一 全等三角形的常考几何模型（1） ——三角形的变换 姓名： 1． 隐藏条件型（公共边、公共角、对顶角相等） 常见图形 隐藏条件 全等三角形 1．如图，与相交于点，已知点为的中点，．求证： 2．如图，在四边形中，，，连接，，求的度数. 3．如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1) 求证：； (2)连接图中BD两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． (3)连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 2． 平移型 常见图形 5．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 3． 旋转型 常见图形 7．如图所示和，延长分别交，于点F，G，已知，，，，，则的度数为___． 8．如图，已知四边形中，，，，，垂足为E，求证：． 9．将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数； 4． 对称型 常见图形 10．已知：如图，．求证：． 11．如图，．试说明：． 12．如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，将长方形的纸片沿翻折使点C与E重合，若，，则的长为______．    14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 5． 一线三等角 常见图形 15．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明 第十四章《全等三角形》 专题一 全等三角形的常考几何模型（2） ——常见辅助线模型 姓名： 6． 倍长中线 常见图形 16．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 17．【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 7． 截长补短 常见图形 18．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 19．阅读下面材料： 在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题： 问题1：如图①，在中，平分，且．求证：． 小亮通过思考，给出了两种辅助线思路： 思路1：如图②，在上截取，使得，连接，利用全等三角形证明． 思路2：如图③，延长到点，使得，连接，构造等腰三角形证明． (1)根据以上材料，任选一种思路完成证明：； (2)问题2：如图④，在中，为的平分线，，线段，，有怎样的数量关系?请说明理由． 8． 半角模型 常见图形 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 20．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 21. 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $第十四章《全等三角形》 专题一全等三角形的常考几何模型(1) 一三角形的变换姓名： 隐藏条件型（公共边、公共角、对顶角相等） 常见图形 隐藏条件 全等三角形 AC=AC △ABC≌△ADC BC=CB △ABC≌△DCB B BC=CB △ABC≌△AEF ∠ABC=∠DBE △ABC≌△DBE 1.如图，AB与CD相交于点O,己知点O为AB的中 点，AC∥BD.求证：AC=BD 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，BC=DC, 连接，∠BCA=50°，求∠CAD的度数. D 3.如图，已知AC、BD交于点O,∠ABC=∠DCB, 添加下列哪个条件后，仍不能使△ABC≌△DCB的是 () A.AB=DC B.AC=DB C.∠A=∠D D.OB=OC 4.如图，己知：点E、C分别在线段AB、AD上， AE=AC,∠B=∠D. E B (1)求证：△ADE≌AABC; (2)连接图中BD两点，得到一组全等的三角形是： 并给出证明， (3)连接图中EC两点，得到一组全等的三角形是： 并给出证明. 二.平移型 常见图形 5. （25-26八年级上·吉林.阶段检测)如图，点A、B、 C、D在同一条直线上，AB=CD,AE=DF,CE=BF. (1)求证：△AEC2ADFB; (2)求证：AE∥DF; (3)若C是边BD的中点，且AC=2,将△AEC向右平移， 点A的对应点A'与点D重合，则平移的距离为 6.(25-26八年级下·浙江台州·期末)将△ABC平移得 到△DEF,DE经过BC的中点G,已知AB=3,则 DG= 三.旋转型 常见图形 7.如图所示△ABC和△ADE,延长BC分别交AD,DE 于点F,G,己知AB=AD,BC=DE,∠B=∠D=30°， ∠CAD=12°，∠EAB=118°，则∠EGF的度数为 G 8.如图，已知四边形ABCD中，AD‖BC,∠A=90°， BC=BD,CE⊥BD,垂足为E,求证：△ABD≌△ECB. 9.将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式 摆放，连接DC.己知BA=DB,BE=BC, AC=DE=DC. (1)求证：△ABC≌△DBE; (2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数： B 四.对称型 常见图形 10.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证： △ACB≌△ACD. 3 11.如图，AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.试说明： ∠C=∠E. 12.如图，点E、F在BD上，BE=DF,∠A=∠C, AF,CE交于点O,且OE=OF. (1)求证：AB=CD; (2)若∠A=95°，∠D=45°，求∠CED的度数. B F D 13.（25-26八年级上黑龙江哈尔滨阶段检测)如图， 将长方形的纸片ABCD沿BD翻折使点C与E重合，若 ∠CBD=30°，EH=4,则AD的长为 E H 14.（24-25八年级上江苏无锡·阶段检测)四边形ABCD 中，∠C=∠D=90°，AD=1,BC=6,M为CD的中点， 将△ADM沿AM翻折，点D恰好落在AB上的N处， (1)证明BM平分∠ABC; (2)求AB长； 五.一线三等角 常见图形 N 15.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经 过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. 图1 图2 图3 (1)当直线N绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC=ACEB;②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，直接写出 DE、AD、BE的关系为：一： (3)当直线N绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、 AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系， 并加以证明 第十四章《全等三角形》 专题一全等三角形的常考几何模型(2) 一常见辅助线模型 姓名： 六.倍长中线 常见图形 倍长中线 倍长类中线 16.【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如 下问题：如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC 边上的中线AD的取值范围. B 图1 图2 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延 长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)选择：由已知和作图能得到△ADC2△EDB的理由 是() A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)填空：求得AD的取值范围是 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延 长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的 结论集合到同一个三角形中. 【问题解决】 (3)如图2，己知：CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是 △ABD的中线，求证：∠C=∠BAE. 17.【特例感知】 如图1，在△ABC中，AB=8,AC=6,求边BC上的中 线AD的取值范围. 图1 图2 图3 (1)中线AD的取值范围是 【类比迁移】 (2)如图2，在四边形ABED中，P为BE的中点，点C 在AD上，∠BAD+∠EDA=180°，AB=AC,DC=DE, 求证：AP平分∠BAC. 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E 是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,AF=EF, 求证：AC=BE. 七.截长补短 常见图形 18.如图，已知API‖BC,∠PAB的平分线与∠CBA的 平分线相交于点E,CE的连线交AP于点D,求证： AD+BC=AB P E D 19.阅读下面材料： 在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决 线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题： 问题1：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,且 AC=AB+BD.求证：∠ABC=2∠C. 小亮通过思考，给出了两种辅助线思路： 思路1：如图②，在AC上截取AE,使得AE=AB, 连接DE,利用全等三角形证明. 思路2：如图③，延长AB到点E,使得BE=-BD,连接 DE,构造等腰三角形证明. B ① ② ③ (1)根据以上材料，任选一种思路完成证明： ∠ABC=2∠C: (2)问题2：如图④，在△ABC中，AD为∠CAF的平分 线，∠ACB=2∠B,线段AB,AC,CD有怎样的数量 关系？请说明理由. 八.半角模型 常见图形 如图：已知∠2A0B,0A=OB 0 23 F B O B 20.(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上 的点，且∠EAP=7∠BAD,线段EF,BE,FD之间 的关系是 一；（不需要证明） (2)如图2，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上 的点，且∠BAP=】∠BAD,(1)中的结论是否仍然成 2 立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数 量关系，并证明： (3)如图3，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD 延长线上的点，且R4P-BAD,(①中的结论是 否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们 之间的数量关系，并证明 图 图2 图3 21 从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连 接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何 模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论， 例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的 ∠EAF=45°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F 两点.易证得EF=BE+FD 大致证明思路：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转 90°，得到△ABH,由∠HBE=180°可得H、B、E三 点共线，∠HAE=∠EAF=45°，进而可证明 △AEH≌AAEF,故EF=BE+DF. 任务：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD, ∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的 ∠EAF=60°，AE、AF与BC、CD边分别交于E、F 两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 EF=BE+DF是否依然成立，若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由. 459 H-- B E 图1 图2 图3 第十四章《全等三角形》 专题一 全等三角形的常考几何模型（1） ——三角形的变换 姓名： 1． 隐藏条件型（公共边、公共角、对顶角相等） 常见图形 隐藏条件 全等三角形 1．如图，与相交于点，已知点为的中点，．求证： 【答案】证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，，求的度数. 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 3．如图，已知、交于点，，添加下列哪个条件后，仍不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知及公共边，根据全等三角形判定定理逐项验证即可． 【详解】解：已知，且为公共边，即． A．添加． ，，， ，不符合题意． B．添加，此时为，，，属于，不能判定，符合题意． C．添加． ，，， ，不符合题意． D．添加． ， ，即． ，，， ，不符合题意． 4．如图，已知：点、分别在线段、上，，． (1) 求证：； 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴ (2)连接图中BD两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． (2)， 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (3)连接图中两点，得到一组全等的三角形是：________并给出证明． 得到， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ 2． 平移型 常见图形 5．（25-26八年级上·吉林·阶段检测）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若是边的中点，且，将向右平移，点的对应点与点重合，则平移的距离为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行线的判定，平移，熟练掌握三角形的判定是解题的关键． (1)根据得到即证明即可． (2)根据得到,证明即可． (3)根据得到，结合是边的中点，得到，平移距离，计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 又，， , ∴． （2）∵， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴平移距离， 故答案为：3． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 【答案】/ 【分析】证明四边形是平行四边形，再证明，求解即可； 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴ ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 3． 旋转型 常见图形 7．如图所示和，延长分别交，于点F，G，已知，，，，，则的度数为___． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．证明是解题的关键． 利用“边角边”证明，可得到，即可求，由三角形内角和定理得到后即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 故答案为： ． 8．如图，已知四边形中，，，，，垂足为E，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 又∵， ， ∴， 在和中， ∵， ． 【难度】0.85 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据得到，结合， 得到，即可得到证明； 【详解】略 9．将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，． (1)求证：≌； (2)若，求的度数； 【答案】(1) 证明：在和中， ，，， ； (2) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的证明与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，，，可证； （2）根据，，，可证，可知，结合，得到，结合，可知，从而得到答案． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ， ， ， ， ． 4． 对称型 常见图形 10．已知：如图，．求证：． 【答案】 证明：∵，，， ∴， ， ∴． 【难度】0.85 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可． 【详解】略 11．如图，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先根据角的和差可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 12．如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ； (2) 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“角角边”可证明，再由全等三角形的性质即可得证； （2）由全等三角形的性质得到，再结合三角形内角和定理即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 中，， 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，将长方形的纸片沿翻折使点C与E重合，若，，则的长为______．    【答案】12 【分析】由翻折得到，，利用长方形的性质得到，推出，证明，得到，求出，由此求出，继而得到答案． 【详解】解：由翻折得， 在长方形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 故答案为：12． 【点睛】此题考查了翻折的性质，长方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 14．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据折叠可得，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，即可证得结果； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 翻折， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）由（1）知，， ， ， ． 5． 一线三等角 常见图形 15．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，直接写出、、的关系为：______； (3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1) 证明：①∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； (2) (3) 、、的关系为：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 故、、的关系为：． 6． 倍长中线 常见图形 16．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B； （2）； （3）证明：延长到，使，连接，如图所示， 是中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 在与中 ， ， ， . 【难度】0.65 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）由证明，即可求解； （2）在中，，即，即可求解； （3）证明、，得到，即可求解； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：是中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由知，， 在中， ， ， ， 故答案为：； （3）略 17．【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【难度】0.65 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）略 （3）略 18．【发现问题】 在综合与实践课上，小宣遇到了如下问题： (1)如图，，，求边上的中线的取值范围．请你帮小宣解决此问题，的取值范围是 ； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【灵活运用】 (2)大为同学又遇到了新的问题．如图，是的中线，是的中线，，求证：；请你尝试帮助该同学解决问题． 【拓展延伸】 (3)如图，在中，，，与相交于点，，，，的面积为，则的面积是________． 【答案】(1) (2)证明：如图2，延长至点M，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 是的中线，， ，， ， 在和中， ， ， ， 即； (3)20 【难度】0.52 【知识点】确定第三边的取值范围、全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，将、、转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求的取值范围； （2）同（1）采用“倍长中线法”构造全等三角形，结合的条件推导边和角的等量关系，再证明包含和的三角形全等，进而得到角相等； （3）先采用“倍长中线法”构造全等三角形，求出、，再证明，将转化为，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图1所示，延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 的取值范围是； （2）略； （3）解：如图3，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ． 7． 截长补短 常见图形 18．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】略 19．阅读下面材料： 在几何探究活动中，我们常通过“截长补短”的方法解决线段与角度的相关问题，阅读以下材料回答问题： 问题1：如图①，在中，平分，且．求证：． 小亮通过思考，给出了两种辅助线思路： 思路1：如图②，在上截取，使得，连接，利用全等三角形证明． 思路2：如图③，延长到点，使得，连接，构造等腰三角形证明． (1)根据以上材料，任选一种思路完成证明：； (2)问题2：如图④，在中，为的平分线，，线段，，有怎样的数量关系?请说明理由． 【答案】(1) 证明：按照思路1： 平分， ， 在和中， ， ，， ，， , 是等腰三角形， ， ， ∴． 按照思路2： ， 是等腰三角形， ， ， ， 平分， 在和中， ， ， ． (2) ，，三者之间的关系是： ． 理由如下： 在射线上截取线段，使， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， ， ． 【难度】0.54 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．重点在于利用材料里的“截长补短”法，构造全等三角形． （1）先通过证明，证得，再证明是等腰三角形，，所以； （2）在射线上截取线段，使，先证明，证得，，然后再证明，，最后证得 【详解】（1）略 （2）略 8． 半角模型 常见图形 如图：已知∠2=∠AOB，OA=OB 20．（1）如图1，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，线段，，之间的关系是_______；（不需要证明） （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边，延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）（1）中的结论不成立，， 证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴． ∵在与中， ， ∴， ， ∴， 又∵， ， 在和中， ， ， ， ， ． 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】 解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 学科网（北京）股份有限公司 $