14.3 角的平分线(第1课时)角平分线的性质 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

14.3 角的平分线 第一课时 角的平分线的画法及性质 学习目标 1. 会用尺规作图作一个角的平分线，理解尺规作角平分线的方法和原理. 2. 理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质定理，并 能运用这个定理解决相关问题. 复习回顾 角平分线的概念. 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 几何语言： ∵ ∠1=∠2， ∴ OC是∠AOB的角平分线 （角平分线的定义）. 1 2 C O B A 复习回顾 角平分线的概念. 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 几何语言： ∵ OC是∠AOB的角平分线, ∴ ∠1=∠2（角平分线的定义）. 1 2 C O B A 新知探究 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 新知探究 在黑板上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 新知探究 如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON. 点P在∠AOB的内部，PM=PN. 连接OP，求证：∠POM=∠PON. A M O N B P 思考：由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ OM=ON PM=PN 分析 根据上述结论： ①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. ②在角的内部作出与这两点距离相等的点. ③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了. 新知探究 A O B M N C 新知探究 A O B M N 变式1 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 新知探究 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 PD=PE C O B A p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 新知探究 已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 验证猜想 新知探究 文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 几何语言： ∵点P在∠AOB的平分线上， 且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴PD=PE. A O B C D E P 三个条件缺一不可！！！ 一平分， 两垂直， 得相等 新知探究 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 例题讲解 例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 例题讲解 A B C P 例2：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. D 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 例题讲解 A B C P 例2：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14. （1）则点P到AB的距离为_______. 4 温馨提示：存在一条垂线段———构造应用 例题讲解 A B C P 例2：如图，在Rt △ABC中，AC=BC，∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面积. D （3）求∆PDB的周长. ·AB·PD=28. 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， = 课堂练习 1.如图,已知BG是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=6,则DF的长度是(　　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)6 D 2.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,AD=3,BC=10,则△BDC的面积是　 　. 15 课堂练习 3.如图，在直线 MN 上求作一点P，使点P在∠AOB 的内部，且点P到射线 OA 和 OB 的距离相等. A O B N M 解：如图所示：作∠AOB 的平分线与 MN交于点 P，点 P即为所求. P 课堂练习 3.如图，在直线 MN 上求作一点P，使点P在∠AOB 的内部，且点P到射线 OA 和 OB 的距离相等. A O B N M 解：如图所示：作∠AOB 的平分线与 MN交于点 P，点 P即为所求. 课堂练习 4. 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG. 求证PF=PG. A O B C D E P F G 课堂练习 A O B C D E P F G 课程小结 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 为证明线段相等提供了又一途径 课堂练习 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 . A B C D 3 E 1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= . 60 BF E B D F A C G 课堂练习 3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等 A B M N C O A 课堂练习 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 D C E A D 解析：过点D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， ∴DF＝DE＝2， 解得AC＝3. F 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 课堂练习 E D C B A 6 8 10 5.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则： (1)哪条线段与DE相等？为什么？ (2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长. 解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等. （2）在Rt△CDB和Rt△EDB中， DC=DE，DB=DB， ∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)， ∴BE＝BC=8. ∴ AE＝AB-BE=2. ∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8. 课堂练习 6.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离. 解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间 的距离. ∵ AP平分∠BAD, PM⊥AD , PE⊥AB， ∴ PM= PE. 同理， PN= PE. ∴ PM= PN= PE=3. ∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6. 课堂练习 7.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF. $