14.3 第1课时 角平分线的性质（课件）-- 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质”核心知识点，涵盖性质定理及尺规作图，通过折叠、量角器度量和尺规作图等情境导入操作，以全等三角形判定为学习支架，帮助学生从已有知识自然过渡到性质探究，构建完整知识脉络。 其亮点在于融合动手操作与逻辑推理，通过折叠发现PE=PF等性质猜想，再用AAS证明全等验证，培养几何直观与推理意识。练习题分层设计，课堂小结结构化梳理要点，助力学生夯实基础、发展数学思维，为教师提供系统教学资源和有效教学支持。

人教版（新教材）数学八年级上册 第14章 全等三角形 14.3 第1课时 角平分线的性质 授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/18 人教版八年级上册数学14.3第1课时角平分线的性质专项练习题 知识点核心：角的平分线上的点到角两边的距离相等；能够利用直尺和圆规规范作角平分线，结合全等三角形证明线段、角度关系，解决几何计算与证明问题。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于角平分线的说法正确的是（） A. 角平分线可以平分角的对边 B. 角平分线上任意一点到角两边的距离相等 C. 只有三角形才有角平分线 D. 一个角有无数条角平分线 2. 用直尺和圆规作角平分线的依据是（） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=9，BD=6，则点D到AB的距离为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. OP平分∠MON，PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，若PA=4，则PB的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 5. 三角形中，到三边距离相等的点是（） A. 三条高线交点 B. 三条中线交点 C. 三条角平分线交点 D. 三边垂直平分线交点 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 若点P在∠AOB的平分线上，且点P到OA的距离为5cm，则点P到OB的距离为______cm。 7. 在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，则AE=______。 8. 已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点D在OC上，DE⊥OA于E，DE=2，则点D到OB的距离为______。 9. 如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC，若S△ABD:S△ACD=3:2，则AB:AC=______。 10. 角平分线的性质定理的核心是：角平分线上的点________________________。 三、解答题（共60分） 11.（12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF。求证：CF=EB。 12.（12分）如图，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A、B。求证：OA=OB。 13.（12分）在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD平分∠BAC，求证：AB+BD=AC。 14.（12分）如图，已知CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E、F，BF、CE交于点D，且BD=CD。求证：点D在∠BAC的平分线上。 15.（12分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF。求证：AD垂直平分EF。 四、参考答案及详细解析 （一）选择题答案 1.B 解析：角平分线的核心性质是平分线上的点到角两边距离相等，一个角只有一条角平分线，普通角无对边，ACD错误。 2.A 解析：尺规作角平分线构造两个三边对应相等的三角形，依据SSS全等判定。 3.B 解析：BC=9，BD=6，得CD=3，AD平分∠BAC，∠C=90°，故D到AB距离=CD=3。 4.B 解析：OP是角平分线，PA、PB为角两边的垂线段，根据性质PB=PA=4。 5.C 解析：三角形三条角平分线交点为内心，到三边距离相等。 （二）填空题答案 6.5 解析：角平分线上的点到角两边距离相等。 7.6 解析：AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，△ACD≌△AED（HL），故AE=AC=6。 8.2 解析：OC为角平分线，点D到OA、OB距离相等。 9.3:2 解析：DB=DC（角平分线性质），三角形面积比等于底边长之比。 10.到角两边的距离相等 （三）解答题解析 11. 证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE。在Rt△DCF和Rt△DEB中，DF=BD，DC=DE，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），∴CF=EB。 12. 证明：∵OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA=PB。在Rt△OPA和Rt△OPB中，OP=OP，PA=PB，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴OA=OB。 13. 证明：过D作DE⊥AC于E。∵AD平分∠BAC，∠B=90°，∴BD=DE。可证Rt△ABD≌Rt△AED，∴AB=AE。∵AB=BC，∠B=90°，∴∠C=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，DE=EC，∴BD=EC。∵AC=AE+EC，∴AB+BD=AC。 14. 证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°。在△BDE和△CDF中，∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE=DF。又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上。 15. 证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF。在Rt△ADE和Rt△ADF中，AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF。∵DE=DF，∴点A、D均在EF的垂直平分线上，故AD垂直平分EF。 总结：本节习题紧扣角平分线核心性质，涵盖基础概念、计算与几何证明，重点考查性质的灵活运用及全等三角形的综合应用，夯实几何解题规范与逻辑思维。 情境导入 1.能用尺规作图作一个角的平分线，知道作图的理论依据. 2.探索并证明角的平分线的性质，能够利用该性质解决几何 问题； 3.熟练掌握证明几何命题的一般步骤. 学习目标 操作 请你作出∠AOB的平分线OC，你有怎样的方法？ A O B 用量角器度量； 将角剪下来，用折纸的方法对折．　　 情境导入 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等. 本节利用这个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特性，以及满足什么条件的点在角的平分线上. 情境导入 知识点1：角平分线的作法 活动探究 拿出一个小三角形纸，按照如图所示的步骤，动手折叠. 探究1：折痕 BD 平分∠ABC 吗？为什么呢？ B D A C M ② B A M ① 情境导入 【思考】如果不能折叠，我们用数学作图工具，能做出角的平分线吗？ 合作探究 想一想：在如图所示的折叠过程中，按照先后顺序保证了哪些条件相等，使得折痕平分∠ABC ？ 那么可否按照折叠中先后顺序的相等条件作图？动手画一画！ 先 AB = AC，后 AD = DC. B D A C M 情境导入 作法：(1) 以点 O 为圆心， 适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. A B M N C O 已知：∠AOB. 求作：∠AOB 的平分线. 仔细观察作图步骤 画一画 情境导入 知识点2：角平分线的性质 活动探究 在刚才折叠的基础上(在折叠状态，未展开)将BC 自身重合对折(点 B 与点 C 重合)观察折叠后的展开图，你发现了什么? B D A C M ② B D A C M P ③ 情境导入 纸上又多了两条折痕，设为 PE 和 PF (如图)，两条折痕相交于点 P，并且点 P 在角平分线 BD上； 观察折痕与边的关系得到： B D A C M P E F PE⊥BC，PF⊥AB，PE = PF. 对于任意角的平分线是否都有这样的结论？ 情境导入 PD PE 第一次 第二次 第三次 在刚作出的∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，过点画出 OA，OB 的垂线，分别记垂足为 D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在 OC 上多取几点试试. 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 通过以上测量，你发现了角平分线的什么性质？ 情境导入 怎样验证猜想呢？ 1. 问题：写出上述命题的题设(已知)和结论(求证). 题设：角的平分线上有一点 结论：这一点到角的两边的距离相等 已知： 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 画出图形，几何语言描述 P A O B C D E ∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB 求证： PD = PE 情境导入 证一证 已知：如图，∠AOC =∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE. 探究新知 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少 定义总结 点在角的平分线上 垂线段的长 探究新知 例1 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 探究新知 知识点1 角的平分线的画法 1.如图，作已知的平分线 ，合理的顺序是( ) C （第1题） ① 作射线；②在，上分别截取，，使 ；③ 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交 于点 . A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②① 返回 举一反三 15 （第2题） 2.如图，用直尺和圆规作 的平分线，根据作 图痕迹，下列结论不一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 16 探究2： 若支架 PE、PF 不相等，则风筝在飞行过程中又会出现哪些情况？在实际制作中如何做到 PE、PF 相等. 方法一 方法二 方法三 BE = BF 探究新知 1.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中错误的是 ( ) A. PC=PD. B. ∠CPO=∠DPO. C. OC=OP. D. OC=OD. C 当堂检测 2. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC=2，DE=1，则S△ACD=_______. 1 F 当堂检测 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D. （2）分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E. （3）作射线OE.交MN于P. 此时点P到射线OA和OB的距离相等. 3.如图，在直线MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等. O B A M N E C D P 当堂检测 4.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∵OD平分∠AOB，∴∠1=∠2. 在△AOD和△BOD中, OA=OB， ∠2=∠1， OD=OD， ∴△AOD≌△BOD（SAS）， 当堂检测 4.如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N. 求证：PM=PN. 证明：∴∠3=∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM=PN. (角平分线上的点到角两边的距离相等) 当堂检测 3.如图，已知四边形，利用尺规作图法作的平分线交 于 点 .（不写作法，保留作图痕迹） 解：如图所示. 返回 举一反三 23 知识点2 角的平分线的性质 4.如图，是的平分线，点在 上， 于点，于点，若 ，则 的长为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 举一反三 24 （第5题） 5.［2025唐山期末］如图，点为 的平分线上一 点，于点，，点为 上任意一点， 则满足的点 有( ) A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 返回 举一反三 25 角平分线 性质定理 一个点：________________； 二距离：________________； 两相等：____________________ 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段(距离)相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $