2.1.1等式与不等式的性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

数学 高一年级 第一学期 等式与不等式单元 2.1 等式与不等式的性质（1） 上教版 《普通高中教科书 数学 必修第一册》 1 2.1 1 等式与不等式的性质 等式的性质与方程的解集 （一）创设情境 引入课题 相等关系 不等关系 恒等式、方程 （一）创设情境 引入课题 等式与不等式 等式与不等式的性质 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 不等式的性质 不等式的求解 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一元二次不等式的求解 分式不等式的求解 含绝对值不等式的求解 基本不等式及其应用 平均值不等式及其应用 三角不等式 （一）创设情境 引入课题 等式与不等式 等式与不等式的性质 等式的性质与方程的解集 一元二次方程的解集及根与系数的关系 不等式的性质 不等式的求解 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 一元二次不等式的求解 分式不等式的求解 含绝对值不等式的求解 基本不等式及其应用 平均值不等式及其应用 三角不等式 （一）创设情境 引入课题 相等关系 恒等式、方程 方程 （二）梳理性质 理解辨析 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 如果两个数相等，第三个数与其中一个相等，那么第三个数与另一个也相等． 如果等式两边同时加上同一个数，那么等式仍成立． 如果等式两边同时乘以同一个数，那么等式仍成立． 传递性 （1） 加法性质 （2） 乘法性质 （3） 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 加法性质 （2） 如果等式两边同时加上同一个数，那么等式仍成立． [问题1] 等式两边同时减去同一个数，该等式是否仍然成立？ 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 如果等式两边同时乘以同一个数，那么等式仍成立． 乘法性质 （3） [问题2] 等式两边同时除以同一个非零数，该等式是否仍然成立？ 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 如果两个数相等，第三个数与其中一个相等，那么第三个数与另一个也相等． 传递性 （1） [思考] 在进入高中前我们只学习了加法性质和乘法性质．等式的第一条性质似乎是不争的事实，也并没有涉及到具体运算，我们把它补充进来，意义何在？ 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 追问： 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 追问： 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 追问： ， 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 追问： 新命题： 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 分析： 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 分析： 如此反复运用（2），即得证． 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 请对该命题增加一个条件，使改动后的新命题成为真命题． 追问： 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 三个数都相等 三个数中存在两个数不相等 三个数不都相等 三个数两两相等 否定 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 1.等式的性质 且 或 否定 （二）梳理性质 理解辨析 因而假设不成立，命题得证． 是正数 1.等式的性质 （二）梳理性质 理解辨析 2.方程的解集 我们知道含有未知数的等式称为方程． 使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解． 以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集． （二）梳理性质 理解辨析 方程的解和未知数的取值范围有关． 同一方程在未知数的不同取值范围内求解，其解集不一定相同． 在自然数集中的解集为： 在有理数集中的解集为： 在实数集中的解集为： ； ； . 注：若不加具体说明，在本章中，我们都是在实数集中求解方程． 2.方程的解集 （三）例题讲解 巩固新知 （1） （2） （三）例题讲解 巩固新知 （3） （三）例题讲解 巩固新知 小结： （三）例题讲解 巩固新知 分析： （三）例题讲解 巩固新知 （1） 一个有序实数对 （三）例题讲解 巩固新知 （1） 该集合有且仅有一个元素 （三）例题讲解 巩固新知 （2） （三）例题讲解 巩固新知 该集合有且仅有一个元素 小结： （三）例题讲解 巩固新知 求解方程（组）的过程本质上就是一系列变形化简的操作，从中我们可以体会程序思想． ② 运用分类讨论、化归思想解决一类方程或方程组的求解问题. ① （四）课堂练习 迁移应用 错误 正确 正确 正确 当时， 当 （五）课堂小结 布置作业 数学抽象 逻辑推理 方程（组）的解集 等式的性质 等式的性质与方程的解集 传递性、 加法性质、 乘法性质 ②求二元一次方程组的解集 （五）课堂小结 布置作业 [基础练习] （五）课堂小结 布置作业 [能力拓展]（选做） 结 束 语 直径 周长 圆的面积公式 设、、均为实数，如果，且，那么． 设、、均为实数，如果，那么． 设、、均为实数，如果，那么． 命题1：设、、均为实数，如果，那么． 命题1是真命题． 根据加法性质，由，得，即成立． 设、、均为实数，如果，那么． “如果，那么” 命题2：设、、均为实数，且，如果，那么． 命题2是真命题． 根据乘法性质，由，得，即成立． 设、、均为实数，如果，那么． “如果，那么” 设、、均为实数，如果，且，那么． （5）如果，那么； （6）如果，那么． 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （1）如果，且，那么； （2）如果，且，那么； （3）如果，那么； （4）如果，那么，其中是正整数； 判断命题“如果，且，那么”的真假． （1）如果，且，那么； 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： 解 （1） 真命题． 等式两边同加上，得到． 等式两边同加上，得到，即． 于是，根据等式的传递性，得证． （1）如果，且，那么； 由和， 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： 判断命题“如果，且，那么”的真假． 解 （1） 真命题． 根据（1），得，即得证． 等式的两边同乘以，得到. 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： 解 （1） 真命题． （2）如果，且，那么； 等式两边端同乘以，得到． 等式两边同乘以，得到． 于是，运用等式的传递性，得证． 经约分, 得证． 如果我们将这个命题的条件和结论互换，得到一个新命题． 请同学们写出该新命题,并判断其真假． 等式两边端同乘以， 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （3）如果，那么； 解 （1） 真命题． 由于、都不为,所以． 得, 解 请同学们写出该新命题,并判断其真假． （3）如果，那么； 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： 该命题是真命题． 如果我们将这个命题的条件和结论互换，得到一个新命题． 如果，那么. 等式两边端同乘以，运用等式的乘法性质，经约分，即得证． 将（2）中的换成，换成，可得. （4）如果，那么，其中是正整数； 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： 解 （1） 真命题． 联想“（2）如果，且，那么”. 将（2）中的换成，换成，可得. 再将（2）中的换成，换成，可得. （4）如果，那么，其中是正整数； 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： 解 （1） 真命题． 联想“（2）如果，且，那么”. 等式两边同乘以，即得证． 解 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （5）如果，那么； 解 假命题． 反例：成立，但是． 新命题：如果，且，那么． （6）如果，那么． 解 （1） 真命题． 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （6）如果，那么． 解 （1） 真命题． 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： 例1 设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （6）如果，那么． (反证法) 假设、、不都相等． 解 （1） 真命题． 不妨设与不相等，则条件等式的左边为正数，右边为零，产生矛盾， 例如，方程 例2 设、，分别求下列关于的方程的解集： （1）； （2）； （23）设，求关于的方程 的解集. 当时，得， 解 解集为； 当时，方程为， 解集为． 当， 即时，方程为， 解集为． 解 例2 经移项、整理，得到方程. 设、，分别求下列关于的方程的解集： （1）； （2）； （23）设，求关于的方程 的解集. 当， 即时，得， 解集为. （23）设，求关于的方程 的解集. 当时，得， 当且时，方程为， 当且时，方程为， 解集为； 例2 解集为； 解集为． 解 设、，分别求下列关于的方程的解集： （1）； （2）； （2）； （23）设，求关于的方程 的解集. 关于的形如 (或可化为形如) 的方程，如有必要，我们要对未知数前面的系数进行讨论． 例2 设、，分别求下列关于的方程的解集： （1）； （1） （2） 例3 设，分别求下列关于与的二元一次方程组的解集： 例3 设，分别求下列关于与的二元一次方程组的解集： （1） （2） 解 当时，将代入方程，得． 两式相减，得． 当时， 此时，原方程组的解集为． 方程无解，从而原方程组无解． 例3 设，分别求下列关于与的二元一次方程组的解集： （1） （2） 解 当时，将代入方程，得． 两式相减，得． 此时，原方程组的解集为． 例3 设，分别求下列关于与的二元一次方程组的解集： （1） （2） 由于，将代入，得． 两式相减，得． 解 所以，原方程组的解集为． 例3 设，分别求下列关于与的二元一次方程组的解集： （1） （2） 教材P26 练习2.1（1）1，2，3. ①求解关于的形如(或可化为)的方程的解集 教材P32-33 习题2.1 A组1，2，B组1. 补充题. 补充题 1.设、、、均为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： （1）如果，那么； （2）如果，那么，其中是正整数； （3）如果，且，那么； 2.设、均为实数，求关于的方程的解集． 3.设为实数，求关于的方程的解集． 4.设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集． 1.设为实数，求关于与的二元一次方程组的解集． 2.设、均为正整数，求方程的解集． 3.设、、、均为实数，满足，且，求与的值． 解代数方程的基本原理就是有系统地运用运算律把所给的代数方程简化，从而确定其中所含的“未知数”所应取之值. ——项武义 $