5.3.2 用函数观点求解方程与不等式（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

5.3.2 用函数观点求解 方程与不等式 第5章函数的概念、性质与应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 学 习 目 标 1 2 了解函数的零点与方程的解之间的关系. 在简单的情况下，能借助函数的性质求解方程与不等式，能借助函数的图像解释求解的过程. 情景引入 方程x3+2x=99是否有整数解？说明理由 新知探究 函数的零点 问题1 方程与函数之间有怎样的联系？ -2 =0 2x - 1=0 x²- 5x + 4 =0 y=-2 y= 2x - 1 y=x²-5x + 4 y=-2 =0 y= 2x - 1=0 y=x²-5x + 4=0 对于含有一个未知数的方程，经过适当地化简，总可以化为在一定的范围D内形如f(x)=0的方程，这里y=f(x),x∈D是一个与之对应的函数. 新知探究 函数的零点 定义 对于函数y=f(x),x∈D,如果存在实数c∈D,当x=c时，f(c)=0,就把x=c叫做函数y=f(x),x∈D的零点(zero). 问题2 函数的零点是该函数图像上的点吗？ 函数y=f(x),x∈D的零点是方程f(x)=0（x∈D）的解. 函数y=f(x),x∈D的零点是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标. 典例分析 例1 方程x3+2x=99是否有整数解？说明理由. 分析 整理该方程，可得x3+2x-99=0 令f(x)=x3+2x-99 f(4) = - 27 , f(5) =36. 典例分析 例1 方程x3+2x=99是否有整数解？说明理由. 解 记函数y=x³+2x-99为y=f(x). 对任意给定的x1、x2∈R,当x1<x2时，根据不等式的性质，可得x13<x23,并且2x1<2x2,因此f(x1)<f(x2),故该函数在其定义域上是一个严格增函数. 经计算得 f(4)=-27<0,f(5)=36>0. 由单调性可知，当n∈Z,且n≤4时，f(n)≤f(4)<0; 而当n∈Z,且n≥5时，f(n)≥f(5)>0. 因此，任一整数一定不是函数f(x)=x³+2x-99的零点，从而方程x³+2x+1=100没有整数解. 新知探究 问题3 一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？ 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合； ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 新知探究 典例分析 例2 (1)证明函数y=x+在区间(0,1]上是严格减函数，在区间[1,+∞]上是严格增函数； (2)用函数的观点解不等式. 解(1)记f(x)=,对任意给定的x1、x2∈(0,+∞),有 f(x1)-f(x2)=. 当0<x1<x2≤1时，有x1-x2<0,x1x2>0及x1x2-1<0,由此得到f(x1)>f(x2),故该函数在区间(0,1]上是严格减函数； 而当1≤x1<x2时，有x1-x2<0,x1x2>0及x1x2-1>0,由此得到f(x1)<f(x2),故该函数在区间[1,+∞]上是严格增函数. 典例分析 例2 (1)证明函数y=x+在区间(0,1]上是严格减函数，在区间[1,+∞]上是严格增函数； (2)用函数的观点解不等式. 解(2)仍记f(x)=, 先解相应的方程,得其解为x1=和x2=2. 令g(x)=f(x)-,则函数y=的零点为x1=和x2=2. 此外，由于g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x1),故y=g(x)的单调性与y=f(x)的单调性一致. 典例分析 例2 (2)用函数的观点解不等式. 解： 因此，函数y=g(x)在区间(0,1]上是严格减函数，而在区间[1,十∞)上是严格增函数； 当x<0时，<0;当x=0时，无意义.它们都不是不等式的解. 而当x>0时，由函数y=g(x)的零点及单调性可知，当且仅当x∈(0,)∪(2,+∞)时，g(x)>0,如图所示. 因此，不等式的解集为(0,)∪(2,+∞). 求函数的零点 题型一 题型探究 求函数的零点 题型一 题型探究 求函数的零点 题型一 题型探究 有零点个数求参数 题型二 题型探究 有零点个数求参数 题型二 题型探究 有零点个数求参数 题型二 题型探究 解方程与不等式 题型三 题型探究 课堂小结 逻辑推理 逻辑推理 数学抽象 直观想象 数学建模 用函数观点求解方程与不等式 借助函数的图像与性质研究 方程 函数 联系 解 零点 感谢聆听! $