专题08 平面直角坐标系与一次函数（期中真题汇编，河南专用）八年级数学上学期

专题08 平面直角坐标系与一次函数 10大高频考点概览 考点01 平面直角坐标系的概念 考点02 用坐标描述简单几何图形 考点03 用坐标表示地理位置 考点04 用坐标表示平移 考点05 函数的概念 考点06 函数的表示 考点07 一次函数的概念 考点08 一次函数的图象和性质 考点09 一次函数与方程（组）、不等式 考点10 实际问题与一次函数 考点01 平面直角坐标系的概念 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各点中，位于第二象限内的是（） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限内点的坐标特征为，第二象限内点的坐标特征为，第三象限内点的坐标特征为，第四象限内点的坐标特征为轴上的点纵坐标为轴上的点横坐标为0． 根据平面直角坐标系中点的坐标特征解答即可． 【详解】 解：A．在第一象限，故不符合题意；        B．在第四象限，故不符合题意；        C．在第二象限，故符合题意；        D．在第三象限，故不符合题意；        故选：C． 2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）已知点在x轴上，则P点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，点在x轴上，则其纵坐标为0，由此求出参数a的值，再代入横坐标表达式计算即可． 【详解】 解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是(       ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特征，进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴点在第二象限； 故选B． 4．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据第二象限点的坐标特征，横坐标为负，纵坐标为正；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】 ∵点P在第二象限， ∴，， ∵点P到x轴的距离为2， ∴，即， ∵点P到y轴的距离为1，且， ∴，即， ∴点P的坐标为． 故选：C． 5．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】 解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 6．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）点M在第四象限，点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则M点坐标是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】 ∵点M在第四象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，得 ，， 由点位于第四象限，得 ，， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 7．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点不可能在第　　　　　　象限． 【答案】一 【分析】 分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解． 【详解】 解：①m-3＞0，即m＞3时，-2m＜-6， 4-2m＜-2， 所以，点P（m-3，4-2m）在第四象限； ②m-3＜0，即m＜3时，-2m＞-6， 4-2m＞-2， 点P（m-3，4-2m）可以在第二或三象限， 综上所述，点P不可能在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 8．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）已知，则在第　　　　　　　象限． 【答案】二 【分析】 本题考查平方的非负性，算术平方根的非负性，点所在的象限． 根据平方和算术平方根的非负性求出、的值，再判断所在的象限． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵在第二象限， ∴在第二象限． 故答案为：二． 9．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． （1）已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______； （2）已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查坐标系中点的坐标，对新定义的理解； （1）根据题目给出的定义直接计算出的坐标即可； （2）先根据定义求出Q点的坐标，再根据Q点在轴上，利用轴上的点横坐标为0，即可求解； （3）先求出P点坐标，由轴得K点纵坐标与P点纵坐标相同，可设出K点坐标，利用建立方程再结合K点所在象限可求出K点坐标. (1) 小问详解： 解：∵， ∴“2级倍减点”点横坐标为：，纵坐标为：， ∴坐标为. 故答案为：. (2) 小问详解： 解：∵点的“-3级倍减点”为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即， 又∵位于轴上， ∴， 解得 ∴， ∴. 故答案为：. (3) 小问详解： 解：由（2）得 ∴， ∵轴，且， ∴K点纵坐标与P点纵坐标相同， ∴设， ∴， 即或 解得或 ∵点在第二象限， ∴， ∴舍去， ∴． 10．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）四边形各个顶点的坐标分别是，，，． （1）在所给的平面直角坐标系中画出四边形； （2）求出四边形的面积； （3）点是轴上一点，使得的面积等于四边形面积的一半，请直接写出点坐标． 【答案】（1） 如图：四边形如图所示： ；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了坐标与图形，利用网格求面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点的坐标作图即可； （2）作于，于，则，，，，，再由四边形的面积计算即可得解； （3）设，则，根据的面积等于四边形面积的一半，得出，计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作于，于， 则，，，，， ∴四边形的面积 ； (3) 小问详解： 解：∵点是轴上一点， ∴设，则， ∵的面积等于四边形面积的一半， ∴， 解得：或， ∴或． 11．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： （1）以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； （2）在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． 【答案】（1） 如图所示建立平面直角坐标系： 长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、     （2），，三点坐标分别为：，，      【分析】 题目主要考查建立直角坐标系，求点的坐标，理解题意是解题关键． （1）根据题意建立直角坐标系即可得出结果； （2）根据题意结合图形即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：∵长方形草坪（长12米、宽8米）， ∴， ∴长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、； (2) 小问详解： ∵喷头在草坪中心， ∴过点A作轴，轴， ∴， ∴， ∵石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米； ∴即， ∵花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米， ∴ ． 12．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点P在x轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标； （3）若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查坐标平面内图形性质与点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）点P在x轴上时，点P的纵坐标为零，据此列方程即可求解； （2）直线平行于x轴，即P点纵坐标等于A点纵坐标，据此列方程求解即可； （3）点P到x轴，y轴距离相等，即P点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，据此列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点在x轴上， ∴， ， 此时， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵直线平行于x轴，且， ∴， 解得， 此时， ∴点P的坐标为； (3) 小问详解： 解：点P到x轴，y轴距离相等， ∴， 或， 解得：或． 考点02 用坐标描述简单几何图形 1．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）已知线段，轴，若点M坐标为，则N点坐标为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查了坐标与图形，平行于x轴的线段上所有点的纵坐标相等，且该线段上两点间的距离等于横坐标之差的绝对值，据此求解即可． 【详解】 解：∵轴，点M坐标为， ∴点 N的纵坐标为2． ∵， ∴点N的横坐标为或， ∴点N的坐标为或， 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点 （1）若在轴上，求点的坐标； （2）若轴，且，求的值． 【答案】（1）；     （2）的值为4或2．      【分析】 本题考查的是坐标与图形性质，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标等于解答即可； （2）根据轴可知，再由可知，求出的值，进而可得出的值． (1) 小问详解： 解：在轴上， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：轴， ， ， ， 或， 或， 当时，； 当时，， 点的坐标为， 故的值为4或2． 考点03 用坐标表示地理位置 1．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（     ） A. 河南省中北部 B. 东经，北纬 C. 嵩山东麓，黄河之滨 D. 黄河中下游分界处 【答案】B 【分析】 本题考查了用有序数对表示位置，根据坐标确定位置需要两个数据解答． 【详解】 解：东经，北纬能确定郑州位置 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）根据下列描述，能确定具体位置的是（     ） A. 中原西路 B. 南偏西 C. 东经北纬 D. 某电影院5排 【答案】C 【分析】 本题考查位置描述的精确性．只有提供足够信息以唯一确定一个点的描述才能确定具体位置． 经纬度坐标是地理定位的精确方式，其他描述均缺乏唯一性． 【详解】 解：选项A“中原西路”仅为道路名称，未指定具体地点； 选项B“南偏西”仅为方向，未指定参考点和距离； 选项C“东经北纬”为经纬度坐标，能唯一确定地球上的一个点； 选项D“某电影院5排”仅为排数，未指定座位号； 故选：C． 3．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）根据下列表述，能确定具体位置的是 （     ） A. 东岗东路北侧 B. 甘肃省兰州市 C. 北纬，东经 D. 南偏西 【答案】C 【分析】 本题主要考查了用有序数对表示位置，用方向角和距离确定物体的位置，逐项判断即可，熟练掌握用有序数对表示位置、用方向角和距离确定物体的位置是解题的关键． 【详解】 解：、东岗东路北侧，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 、甘肃省兰州市，不能确定具体位置，故本选项不合题意； 、北纬，东经，能确定具体位置，故本选项符合题意； 、南偏西，不能确定具体位置，故本选项不合题意， 故选：． 4．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了坐标确定位置，先根据“炮”和“相”的坐标建立平面直角坐标系，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系： ∴“帅”位于点， 故选：A． 考点04 用坐标表示平移 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）已知点P（-2，3）与Q（-2，5），下列说法不正确的是（        ） A. PQ// y轴 B. PQ =2 C. PQ =8 D. P，Q都在第二象限 【答案】C 【分析】 根据第二象限内点的坐标特征，平行于y轴的点的横坐标相等解答． 【详解】 解：点P（-2，3）与Q（-2，5）都在第二象限， ∵横坐标都是-2， ∴PQy轴，PQ=5-3=2， 所以，说法不正确的是PQ=8． 故选：C． 【点睛】 本题考查了坐标与图形性质，掌握平行于y轴的直线上的点的坐标特征以及两点间的距离的求法是解题的关键． 2．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【分析】 根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵、两点纵坐标分别为1、3， ∴， ∴， 解得：， ∴点的纵坐标为6，故C正确． 故答案为：6． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键． 3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了点坐标规律探究，理解友好点的定义是解题的关键． 根据友好点的定义，计算前5个点的坐标，发现点的坐标每4个点为一个循环，进而确定的坐标，再根据友好点的定义得到的友好点为，即可得出答案． 【详解】 解：∵点的友好点为，的坐标为 ∴的坐标为，即， 同理可得，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， …… ∴点的坐标每4次为循环， ∵，， ∴的坐标为，的坐标为， ∵，， ∴的友好点为， ∴点的友好点为， 故选：B． 4．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了坐标类规律探索，由题意可得，从点开始，点所到达的位置每个一循环，再结合得出点在第三象限内，由题意可得，在第三象限的点为，，，…，，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得，从点开始，点所到达的位置每个一循环， ∵， ∴点在第三象限内， 由题意可得，在第三象限的点为，，，…，， ∵， ∴点的坐标为， 故选：B． 5．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了矩形的性质，一次函数与几何，中点坐标公式的相关知识点．根据矩形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵， ∴，即； ∵四边形是矩形，， ∴，为中点， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴，即； ，， ∴，， ∴“L”形的重心坐标为． 故选：D． 6．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查点的坐标的规律，列举几次滚动后点的坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出点的坐标． 【详解】 解：滚动1次后，； 滚动2次后，； 滚动3次后，； 滚动4次后，． 滚动4次为1个循环． ∴，，，． ∵， ∴，即． 故选：D． 7．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值， （2）在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点的坐标． （3）若点在第二、第四象限的角平分线上，求点的坐标； 【答案】（1）5     （2）     （3）点M的坐标为      【分析】 本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键． （1）若点在x轴上，则M的纵坐标为0，即； （2）根据轴得到点的横坐标相等，即可求出，继而求解； （3）若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的横纵坐标互为相反数，即，解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵点M在x轴上， ，解得， 即m的值为5； (2) 小问详解： 解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵点M在第二、第四象限的角平分线上， ∴点的横坐标和纵坐标互为相反数， ，解得， ， ∴点M的坐标为． 8．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2个格子，再向下移动6个格子，点A恰好落在点处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可． 【详解】 解：∵将点A向左移动2个格子，再向下移动6个格子恰好落在点处， 即将点向右移动2个格子，再向上移动6个格子得到点A， ∴，即， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，点、的坐标分别为，且满足，现同时将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点，连接． （1）求点、的坐标； （2）如图1，点是轴负半轴上一动点，连接，其中直线交轴于点，若，求的值； （3）如图2，连接，在直线上取一点，使，求点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或者      【分析】 （1）利用实数的非负性，得到，确定a，b的值，即可求得点、的坐标； （2）先利用平移确定C，D的坐标，再根据，利用分割法表示出面积等式，构造关于的方程，解答即可； （3）利用分类思想解答即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ． (2) 小问详解： 解：， 将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点， ， 点是轴负半轴上一动点， ， 整理得： ． (3) 小问详解： 分如下两种情况进行讨论： ① 当在中间，如图所示：过作于于，过点作于， ， ， ， ， ② 当在延长线上，则只能在第二象限，如图所示：过作于，于，过点作于， ， ， ， ， 在第二象限 -14分 综上所述：或者． 【点睛】 本题考查了非负性的应用，平移，图形面积分割法表示，线段的计算，分类思想应用，熟练掌握平移，面积表示是解题的关键． 考点05 函数的概念 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）下列不一定是函数关系的是（     ） A. 正方形周长和边长的关系 B. 在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C. 匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D. 某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 【答案】D 【分析】 本题考查了函数关系的判断． 函数的定义：对于自变量每一个取值，因变量有唯一值与之对应． 函数关系要求每个自变量值对应唯一因变量值．A、B、C均符合此定义，D中数学成绩与物理成绩可能不满足唯一对应． 【详解】 解：选项A：正方形周长C与边长a的关系为，对于每个a，C唯一确定，是函数关系； 选项B：在弹性限度内，弹簧长度l与质量m的关系为（k为常数），对于每个m，l唯一确定，是函数关系； 选项C：匀速行驶时，路程s与时间t的关系为（v为常数），对于每个t，s唯一确定，是函数关系； 选项D：数学成绩与物理成绩之间，可能存在多个物理成绩对应同一数学成绩，或反之，不满足唯一性，故不一定是函数关系； ∴不一定是函数关系的是D． 故选：D． 2．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）对于正整数x，规定函数 ．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】 解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． 3．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【详解】 解：由题意，得：； 故答案为：． 4．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用(元/张) 茶叶价格(元/kg) 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． （1）请直接写出关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【答案】（1），     （2）千克     （3）按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶      【分析】 （1）由总费用等于会员卡费用加上茶叶费用可得答案； （2）由，再建立方程即可； （3）把代入，，再求解，再比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ； (2) 小问详解： 由题意可得：， 解得：， 答：该公司此次购买茶叶的质量为千克． (3) 小问详解： 按照第一种方式购买茶叶：，解得； 按照第二种方式购买茶叶：，解得． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 【点睛】 本题考查的是列函数关系式，一元一次方程的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键． 5．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量的取值范围是______； （2）如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 【答案】（1）全体实数     （2）①；②     （3） 函数的图象如图， ①； ②函数图象如图；， 【分析】 （1）根据题意得自变量的取值范围是全体实数； （2）① 把代入，即可求出m；② 把代入，即可求出n； （3）① 画出该函数的图象即可求解；② 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，即可求解． (1) 小问详解： 解： 在函数中，自变量的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 (2) 小问详解： 解：① 把代入得：； 故答案为： ② 当时，， 解得：， ∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为： (3) 小问详解： ①观察图象得：该函数的最小值为； 故答案为； ②对于，当时，；当时，， 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象， 观察图象得：点C的坐标是，点D的坐标是． 故答案为：， 【点睛】 考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 考点06 函数的表示 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）“司马光砸缸”是大家熟知的故事，故事情节是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水逐渐没过孩童头顶，同伴们除了大声呼救，毫无办法，此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水逐渐流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了函数的图象，掌握折线图的特征是解决问题的关键． 统计图的纵轴表示水面的高度，横轴表示时间，水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，据此解答． 【详解】 解：水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水面上涨，水已没过孩童头顶后．水面高度不变，此时，举起石头砸破水缸，水流出后，水面下降，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是C． 故选：C． 2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列图象中，表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查函数的定义以及根据图象判断是否为的函数，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】 解：选项A：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项B：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义，符合题意； 选项C：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项D：当取一个大于的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 故选B． 3．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（     ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，函数图象，认真分析图象，理解纵横坐标的意义是解题的关键，因为如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示，所以得出图象的每一次循环需要的时间是，当时，小明与入口的距离为，当时，y随x的增大而增大，即可作答． 【详解】 解：A、观察图2，图象的每一次循环需要的时间是，则旋转木马转一圈需要，故该选项不符合题意； B、观察图2的图象，当时，小明与入口的距离为，故该选项不符合题意； C、观察图2的图象，当小明与入口的距离为时，旋转木马不一定转了（如下图所示），故该选项符合题意； D、观察图2的图象，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C 4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的定义即可判断． 【详解】 解：A、对于一部分自变量的值，有多个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； B、对于自变量的任何值，都有唯一的值与之相对应，是的函数，故选项符合题意； C、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； D、对于一部分自变量的值，有两个值与之相对应，不是的函数，故选项不符合题意； 5．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，其中正确的结论个数为（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【分析】 本题考查了从函数图象获取信息，路程、时间与速度的关系，正确理解函数图象得到相关信息并运用数形结合的思想是解题的关键．由图象所给信息对结论逐一进行判断即可． 【详解】 解：由图象可知当时，甲、乙两人在A、B两地还未出发， 故A，B之间的距离为，故① 正确； 前为甲、乙的速度和行走了， 故， 由图象可知乙用了走完了， 则， 则， ，故② 正确； 又∵两人相遇时停留了， ∴两人相遇后从开始继续行走，由图象时的拐点可知，到乙到达目的地， 则两人相遇后行走了，两人之间的距离为（米）， 则，故③ 正确； 从开始为甲独自行走， 则 ， 故，故④ 正确； 故选：A． 6．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（     ） A. 乙用12分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走1440米才到达 C. 甲乙两人之间的最远距离是300米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟 【答案】C 【分析】 本题考查了函数图像的知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合思想获取所求问题需要的条件．根据题意和函数图像中的数据可以逐个判断结论是否正确，即可解答． 【详解】 解：由函数图像可知，16分钟时两人相遇， ∴乙追上甲用时分钟，故选项A正确，不符合题意； 设甲的速度为米/秒，甲的速度为米/秒， 则有 ，解得 ， ∴乙追上甲时，甲行走距离为米， ∴乙追上甲后，再走米才到达，故选项B正确，不符合题意； 当乙到达终点，用时分钟， 此时甲步行了米，甲离终点还有米， 故甲乙两人之间的最远距离是360米，故选项C不正确，符合题意； ∵乙到达终点后，甲到达终点还需步行时间为分钟， ∴甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 7．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（     ） A.  B.  C. 当时， D. 的周长为 【答案】D 【分析】 本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】 解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 8．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． （1）填空： ①当时，_______； ②当时，______； ③当时，_______； （2）在平面直角坐标系中作出函数的图象； … 0 1 2 3 … … 0 1 2 1 0 … （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解； ②方程有_______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是_______． 【答案】（1）①2；②；③     （2） 函数的图象，如图所示：      （3）①2，2；②1；③      【分析】 此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数图象； （3）直接利用函数图象得出答案． (1) 小问详解： 解：（1）①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：2；，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；． 9．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： （1）列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； （4）关于的方程无解，则的取值范围是______． 【答案】（1）     （2） 根据题意，下图为所求： ．     （3）最小值，；增大     （4）      【分析】 本题考查了描点法画函数图象，函数图象以及性质，数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得关于直线对称，根据，为该函数图象上不同的两点，关于直线对称，故，解答即可． （2）根据描点法作图即可； （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可； （4）根据图象解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得关于直线对称， 又，为该函数图象上不同的两点，是对称点， 故， 解得， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据图象，得到： 结论1：该函数有最小值，这个值是， 故答案为：最小值，； 结论2：当时，随增大而增大， 故答案为：增大； (4) 小问详解： 解：根据图象，当时，与有唯一交点， 当时，与无交点， 那么关于的方程无解时，， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】 解：设矩形中，（）．    ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．    ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．    最大值. 故答案为：． 11．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 【答案】建立模型：； 应用模型： （1）不能， 令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2） 【分析】 本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】 解：建立模型：将点，代入得： ， 解得 ， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）略 （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴ ， 解得， 所以的取值范围为． 12．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数：如表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中         ； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是                  ，当时，y随x的增大而             ； （4）进一步探究： ①不等式的解集是                     ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是                       ． 【答案】（1）3     （2） 解：该函数图象的另一部分如图所示： ；     （3），减小     （4）①或；②或      【分析】 本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的关系等知识﹒ （1）把代入即可求解； （2）根据（1）表格描点，连线即可； （3）结合函数图象即可求解； （4）① 结合函数图象即可得当时，或，问题得解； ②当直线经过点时，，当直线经过点时，，若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ (1) 小问详解： 解：当时，﹒ 故答案为：3 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图所得该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而减小﹒ 故答案为：，减小； (4) 小问详解： 解：① 由图象得的解集是或﹒ 故答案为：或； ② ∵当直线经过点时，，当直线经过点时，， ∴若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 故答案为：或． 考点07 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）若函数是关于的一次函数，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一次函数的定义可得，求解即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数解析式的结构特征是解题的关键． 考点08 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）已知是一次函数图象上的两点，下列判断中正确的是（     ） A.  B.  C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的性质，由可得随的增大而减小，据此即可判断求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴随的增大而减小， 当时，，故正确， 故选：． 2．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 不能确定 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键； 根据一次函数中可知，随的增大而减小，据此求解． 【详解】 直线过点和点， ， 随的增大而减小， ， ， 故选：B． 3．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分别求出当时， 此时一次函数经过第二、三、四象限；当时， 此时一次函数经过第一、二、三象限，由此即可得到答案． 【详解】 解：∵一次函数解析式为， ∴当时，， ∴此时一次函数与y轴交于负半轴，即此时一次函数经过第二、三、四象限； ∴当时，， ∴此时一次函数与y轴交于正半轴，即此时一次函数经过第一、二、三象限； ∴满足题意的只有B选项， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了判定一次函数图象，熟知一次函数的性质是解题的关键． 4．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）若，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数中、的符号对图象的影响：当时，直线从左到右呈下降趋势；当时，直线与轴的交点在轴正半轴． 【详解】 解：对于一次函数， ∵， ∴直线从左到右呈下降趋势，由此排除选项A、B； ∵， ∴直线与轴的交点在轴正半轴，由此排除选项C； 选项D中直线的特征完全符合的条件， 故选：D． 5．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）将直线向上平移2个单位长度，可得直线的表达式为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查一次函数图像的平移，熟练掌握一次函数图像的平移规则，上加下减是解题的关键． 根据一次函数平移的规则解答即可． 【详解】 解：将直线向上平移2个单位长度，可得直线的表达式为， 故选：C． 6．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）对于函数，下列结论：①它的图象必经过点   ②它的图象经过第一、二、四象限   ③当时，   ④的值随值的增大而增大，其中正确的个数有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【分析】 求出当时y的值即可判断①；根据一次函数图象与系数的关系即可判断② ④；求出当时，，则由增减性可判定③． 【详解】 解：当时，，则该函数的函数图象不经过，故①错误； ∵， ∴该函数函数图象经过第一、二、四象限且的值随值的增大而减小，故② 正确，④ 错误； 当时，， ∴当时，， ∴时，，故③正确； ∴正确的有2个， 故选C． 【点睛】 本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 7．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（       ） A. 函数图象与轴的交点坐标是 B. 函数图象经过第一、二、四象限 C. 若点，在该函数的图象上，且，则 D. 自变量每增加1，函数值就增加2 【答案】D 【分析】 本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，其中，函数图象递减且与y轴交于正半轴，逐一验证各选项即可． 【详解】 解： A．当时，，∴ 与y轴交点为，正确，不符合题意； B．∵，∴ 图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； C．∵，∴y随x的增大而减小，∴ 当时，，正确，不符合题意； D．∵，∴变量每增加1，函数值就减少2，错误，符合题意， 故选：D． 8．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）对于一次函数，下列说法错误的是（     ） A. 图象是经过两点，的一条直线 B. 图象不经过第一象限 C. 的值随着的值增大而减小 D. 图象与轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质，判断各选项的正误即可． 【详解】 解：当时，，点在图像上；当时，，点在图像上，故A正确； 点在图像上，故B错误； ∵，∴ y随x增大而减小，故C正确； 令，得，解得，∴与x轴交点为，故D正确； 故选：B． 9．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据一次函数的增减性可得，进一步可知的图象经过的象限，即可判断． 【详解】 解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴经过第二、三、四象限，故选项B符合题意． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 10．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握其增减性是解题的关键． 一次函数，当时，函数值随的增大而减小，利用此性质比较大小即可． 【详解】 解：由知，，函数值随的增大而减小， ， ， 故选：B． 11．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】 解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 12．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知一次函数，（，，，均为常数，且）在平面直角坐标系中的图象如图所示，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 首先根据函数图像可知，，，，由图象可以得到函数与轴的交点在函数与轴的交点的上方，故，由图象可以发现函数的图象的倾斜度比函数的图象的倾斜度缓，故，即可求解． 【详解】 解：由图象可得，，，，， 由图象可以得到函数与轴的交点在函数与轴的交点的上方，故，由图象可以发现函数的图象的倾斜度比函数的图象的倾斜度缓，故， 由上可得，， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 13．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知一次函数（是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数的图像与性质．熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 由条件 得 ，代入一次函数 ，通过消元法找到点坐标使等式恒成立即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ． 当 时，， ∴ 无论 取何值（），函数图象必经过点 ． 故选：B． 14．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断． 【详解】 解：由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故A不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，一致，故B符合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故C不合题意； 由一次函数图象可知，，由一次函数可知，，矛盾，故D不合题意； 故选：B． 15．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一次函数的图象和性质，根据直线经过第一、三、四象限，可知，，可得，所以直线的图象经过一、二、三象限． 【详解】 解：直线经过第一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 16．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式　　　　　　　　　　　 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可． 【详解】 ∵一次函数y随x的增大而减小 ∴k＜0 ∴y=-x+2（答案不唯一）． 故答案是：y=-x+2（答案不唯一）． 17．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）请写出一个图象经过第二、四象限的一次函数的解析式：　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查一次函数的图象，根据一次函数解析式为，当时，必经过第二象限和第四象限，因此，本题只需满足，b可取任意实数即可． 【详解】 解：取一次函数，由知，该图象函数经过第二、四象限． 故答案为：（答案不唯一）． 18．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 【答案】函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当是，y随x增大而减小；当时， 一次函数图象与y轴交于正半轴，当时，一次函数经过原点，当时，一次函数与y轴交于负半轴． 【分析】 本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，先利用列表法画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的一次函数的性质即可． 【详解】 解：列表如下： 2 4 0 4 2 1 19．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知、是一次函数的图象上的两点，则　　　　　　．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】 根据一次函数的增减性即可得． 【详解】 解：一次函数中的， 随的增大而增大， 、是一次函数的图象上的两点，且， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键． 20．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）若一次函数 的图象与两坐标轴交于A，B两点，则线段的长为　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．设一次函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用勾股定理可求出线段的长． 【详解】 解：设一次函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点， 当时，， 所以点A的坐标为，， 当时，，解得：， 所以点的坐标为，， , 故答案为：． 21．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）小明在学习画直线的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，回答下列问题： （1）这个算错的函数值是               ，这个函数的表达式是               ． （2）若直线过点，，且与y轴交于点B，直线经过点C，且与直线平行的，交y轴于点D，连接．求的面积． （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）可证明自变量的值每增大1，则函数值增大，据此结合表格中的数据可得第一空的答案，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再分别求出点B和点D的坐标，最后根据列式求解即可； （3）求出，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设都是直线上一点， ∴， ∴， ∴自变量的值每增大1，则函数值增大， 由表格中的数据可知，自变量从到时，函数值增大， 自变量从到0时，函数值增大， 自变量从0到1时，函数值增大， ∴这个算错的函数值是， ∴ ， ∴ ， ∴这个函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴； ∵直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵直线经过点C， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：由（2）， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或． 22．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线和直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）动点在直线和直线上运动，如果存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线的函数表达式为，直线的函数表达式为     （2）     （3）或或或      【分析】 本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先求出的值，再分两种情况：① 动点在直线上运动；② 动点在直线上运动，求出的值，建立方程求解即可得． (1) 小问详解： 解：设直线的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入得： ，解得 ， 则直线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：对于一次函数， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴的边上的高为， 则的面积为． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ① 当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ② 当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 23．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）     （2）是等腰直角三角形     （3）或      【分析】 本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． (1) 小问详解： 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得 ， ∴直线对应的函数表达式； (2) 小问详解： 解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 小问详解： 解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 考点09 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了根据函数图象求方程的解． 根据函数图象作答即可． 【详解】 解：根据函数图象可知，一次函数经过， 即， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 考点10 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据．当时间为时，对应的水位为（       ） … 1 2 3 … … … A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，设，根据表格中的数据利用待定系数法可求出，再求出时，的值即可得到答案． 【详解】 解：设， 把，代入中得 ， ∴ ， ∴， 当时，， ∴当时间为时，对应的水位为， 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（     ） A. 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解． 【详解】 解：A、由图象知，客人距离厨房门口，选项说法正确，故不符合题意； B、由图象得，慧慧比聪聪晚出发，选项说法正确，故不符合题意； C、由图象得，慧慧提速前的速度是，则慧慧提速后速度为， 故提速后慧慧行走所用时间为：， ∴， ∴聪聪的速度为，选项说法不正确，故符合题意； D、∵聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴，解得， ∴的解析式为， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， ∵当时，，， ∴； ∵， ∴当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为， ∴选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）珊珊与姐姐司司相约去离家的图书馆看书，珊珊从家骑自行车去图书馆，司司从家出发，乘车沿相同路线去图书馆，珊珊和司司的行进路程（）与时间（时）的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A. 点时司司追上了珊珊； B. 司司坐车的平均速度是珊珊骑自行车的平均速度的倍； C. 司司到达图书馆时，珊珊离目的地还有； D. 司司在距家处与珊珊相遇； 【答案】D 【分析】 本题考查了根据函数图像获取信息，依次对选项判断即可． 【详解】 解：A、根据图像，点时交汇，此时司司追上了珊珊，选项正确，不符合题意； B、司司坐车的平均速度 珊珊骑自行车的平均速度 选项正确，不符合题意； C、观察图像，司司到达图书馆时，珊珊又骑行了： 离目的地还有：； 选项正确，不符合题意； D、根据图像可知，点时司司追上了珊珊，此时司司坐车行驶了： 此时距家 选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，已知直线，过轴上的点分别作垂直于轴的直线交于点，将、四边形、四边形的面积依次记为，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及找规律，根据一次函数图象上点的坐标特征以及，从而确定面积的变化规律是解决问题的关键． 根据直线，以及三角形的面积可以得到、四边形的面积，根据数的变化找出变化规律为：，即可得到答案． 【详解】 解：如图所示： 、直线， ，则； 、直线， ，则； 、直线， ，则； 、直线， ，则； ， 故选：C． 5．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立 ， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 6．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一次函数、坐标的规律变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 根据点由轴对称可得点，再逐次由轴对称得，，……，由此即可归纳类推出一般规律，由此即可得，代入，即可求得点的纵坐标． 【详解】 解：∵点，轴，轴，轴，轴，……，轴，轴， 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； 点与点O关于直线对称；∴点，即； ……， ∴， 当时，， 代入， 得， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，经过这个水池内有水，可得到关系式，请说明关系式中，所表示的实际意义是　　　　　　． 【答案】进水速度 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，关系式为一次函数形式，其中为一次项系数，表示水量随时间的变化率，即进水速度． 【详解】 解：在关系式中，将其与一次函数标准形式对比，可得，则表示每小时进水的体积，即进水速度． 故答案为：进水速度． 8．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地运费（元/吨）目的地                C县                D县 A县 40 45 B县 35 50 （1）设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为             吨，从D县运往A县的化肥为               吨，从D县运往B县的化肥为        吨； （2）求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【答案】（1），，     （2）     （3）最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县      【分析】 本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． (1) 小问详解： 解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； (2) 小问详解： 解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； (3) 小问详解： 解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 9．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如下表所示的数据． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104 （1）观察表格中的数据，华氏温度与摄氏温度之间的关系是__________（填“一次”、“反比例”或“二次”）函数；在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； （2）求y与x之间的函数解析式； （3）设（1）中所画的图象与直线交于点A，点A的实际意义是__________； （4）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16，求该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 【答案】（1）一次， 如下图：      （2）     （3）华氏温度的值与摄氏温度的值相等     （4）40      【分析】 （1）观察表格中的数据发现：摄氏温度每升高，华氏温度就升高，然后利用描点法画出图象，即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据题意可得，解出即可． (1) 小问详解： 解：观察表格中的数据发现：摄氏温度每升高，华氏温度就升高， ∴华氏温度与摄氏温度之间的关系是一次函数； (2) 小问详解： 解：设y与x的函数解析式为． 将，代入中，得： ， 解得 ， ∴y与x的函数解析式为； (3) 小问详解： 解：点A的实际意义是华氏温度的值与摄氏温度的值相等； 故答案为：华氏温度的值与摄氏温度的值相等 (4) 小问详解： 解：根据题意得：． 当时， 解得； 当时， 解得， ， 该温度区间的最大温差是40摄氏度． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： （1）如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； （2）设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； （3）当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】（1） 描点并作图如图所示： ；     （2）；     （3）此时双层部分的长度为．      【分析】 本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． （1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． (1) 小问详解： 解：根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得 ， 解得 ， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； (2) 小问详解： 解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； (3) 小问详解： 解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 11．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 （1）当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是2978元，求该户去年一年的用电量． 【答案】（1）     （2）2182元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出y与x之间的关系式即可； （2）代入到（1）中的关系式即可求解； （3）通过计算说明该户去年一年的用电量超过，设该户去年一年的用电量为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，； ∴当时，y与x之间的关系式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴代入到，得， ∴该户这一年的电费为2182元； (3) 小问详解： 解：代入到，得， ∵， ∴该户去年一年的用电量超过， 设该户去年一年的用电量为， 根据题意得，， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 12．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）王老师想骑共享电动车，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行，收费元，且；B品牌电动车骑行，收费元，且 ，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）写出点P表示的实际意义                                                                                  ． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）当                         时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【答案】（1）当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元     （2）选择品牌共享电动车会更省钱，理由见解析     （3）或35      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和函数图象是解题关键． （1）根据点的坐标为即可得交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元； （2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为，再结合函数图象可得当时，，由此即可得； （3）先利用待定系数法求出当时，，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元， 故答案为：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元． (2) 小问详解： 解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下： ∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为， ∴王老师从家骑行到学校所需时间为， 观察函数图象可知，当时，， 所以选择品牌共享电动车会更省钱． (3) 小问详解： 解：将和代入得： ， 解得 ， 则当时，， 当时，令，即，解得，符合题设； 当时，令，即，解得，不符合题设，舍去； 当时，令，即，解得，符合题设； 综上，当为或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元， 故答案为：或35． 13．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）2025年在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案： 方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次七折优惠； 方案二：不购买羽毛球健身卡，每次九折优惠． 设小熙每年去俱乐部打羽毛球次，按照方案一所需费用为（元），且； 按照方案二所需费用为（元），且，其函数图象如图所示． （1）请直接写出方案一的函数表达式：______，并写出的实际意义：______； （2）求方案二健身所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． （3）小熙给自己制定了一个2026年健身计划，每周去俱乐部打球1次（一年365天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 【答案】（1），购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元．     （2），的实际意义是打九折后每次费用为45元     （3）方案一， 理由：当， 解得， 故当40次时，两种方案的费用一样； 当时，解得 当大于40次时，方案一便宜； 当时，解得, 当小于40次时，方案二便宜， 由，超过40次， 故方案一便宜．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意，得，解得，故当40次时，两种方案的费用一样；当大于40次时，方案一便宜；当小于40次时，方案二便宜，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，方案选择问题，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把时，；时，分别代入解析式，得 ， 解得 ， 故， 故b的实际意义为：购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元， 故答案为：，购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元． (2) 小问详解： 解：根据，得打一次羽毛球价格为（元）， 方案二打一次羽毛球的价格为（元）， 故函数关系式，的实际意义是打九折后每次费用为45元． (3) 小问详解： 略 14．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/［元］ 第一档 第二档 第三档 （1）当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是元，求该户去年一年的用电量． 【答案】（1）     （2）该户这一年的电费元     （3）该户去年一年的用电量      【分析】 本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键． （1）需考虑分档计费，第一档得电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式； （2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可； （3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可． (1) 小问详解： 解：， 化简得． (2) 小问详解： 解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元． (3) 小问详解： 解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 该户去年一年的用电量为． 15．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）某文具店售卖有钢笔和笔记本，钢笔每支定价30元，笔记本每本定价4元．在促销期间，店方向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一支钢笔就赠送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的付款． 某班级计划购进50支钢笔和本笔记本（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式； （2）当时， ①请通过计算说明该班级选择上面哪种方案更省钱； ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明购买方案，并计算出该方案所需费用；若没有，请说明理由． 【答案】（1），     （2）①选择方案一更省钱；②有更省钱的购买方案，先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，所需费用为1680元      【分析】 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）① 将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；② 先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，最省钱，计算即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得：， ； (2) 小问详解： 解：① 当时，． ∵， ∴选择方案一更省钱． ② 有更省钱的购买方案： 先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本， 该方案所需费用为（元）． 16．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． （1）求，两点的坐标及线段的长； （2）当时，连接，求的面积． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，线段的长为10     （2）的面积为6      【分析】 本题考查了一次函数的性质． （1）先将、代入中，求出求，两点的坐标，再根据两点间的距离公式计算即可； （2）求出当时，，，则，，根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：将代入中，可得，解得，所以点的坐标为． 将代入中，可得，所以点的坐标为． 由点、点，可知，， 在中，由勾股定理得：； (2) 小问详解： 解：当时，由图可知，，， 则，， 所以的面积，因此，的面积为6． 17．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，与之间的关系式为；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有　　　　　　．（填序号） 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查一次函数的实际应用，用到了数形结合的思想，读懂题意，求出两个气球的上升速度是解题的关键． ① 利用待定系数法求出解析式即可判断；② 观察图象看时甲乙谁的图象在上方即可判断；③ 分别求出两个气球的上升速度，再列方程解答即可判断；④ 根据乙气球的上升速度列式计算即可判断． 【详解】 解：设甲气球上升过程中与的函数关系为：，观察图象可知，函数图象经过点和点， 则 ， 解得 ， 故甲气球上升过程中与的函数关系为：，所以① 正确； 观察图象可知，时，甲气球在乙气球的下方，所以② 正确； 由甲气球上升过程中与的函数关系为，可知甲气球的上升速度为， 观察图象可知，乙气球用时从上升至， 故乙气球的上升速度为：， 设上升时间为x时，两气球高度差为， 根据题意，, 解得， 故两气球高度差为时，上升时间为，所以③ 正确； 上升时，乙气球距离地面高度为： ，所以④ 错误， 综上，错误的结论有：① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 18．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　　　　　　公里就必须去加油． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据表格信息运用待定系数法得到一次函数解析式，再根据题意求自变量或函数值即可． 【详解】 解：根据题意，设行驶的路程与油箱剩余油量的函数解析式为， 当时，， ∴， 解得，， ∴， 当是，， 解得，， ∴小明家的轿车至多开公里就必须去加油， 故答案为： ． 19．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）“双11”天猫商城做促销活动，小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖． （1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式； （2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由． （3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？ 【答案】（1）y甲=0.6x+4，y乙=0.8x；（2）小明要买15本练习本，到乙商店购买较省钱；（3）最多可买40本练习本． 【分析】 （1）根据甲、乙两店的优惠方案，可找出y甲、y乙与x之间的函数关系； （2）代入x=15求出y甲、y乙的值，比较后即可得出结论； （3）分别代入y甲=15、y乙=15求出x的值，比较后即可得出结论． 【详解】 解：（1）根据题意得：y甲=1×10+0.6×1×（x-10）=0.6x+4； y乙=0.8×1×x=0.8x． （2）到乙商店购买较省钱，理由如下： 当x=15时，y甲=0.6×15+4=13，y乙=0.8×15=12， ∵13＞12， ∴小明要买15本练习本，到乙商店购买较省钱． （3）当y甲=28时，有0.6x+4=28， 解得：x=40； 当y乙=28时，有0.8x=28， 解得：x=35． ∵40＞35， ∴最多可买40本练习本． 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据两店的优惠方案，找出函数关系式；（2）代入x=15求出y甲、y乙的值；（3）分别代入y甲=15、y乙=15求出x的值． 20．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． （1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是．     （2）成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时      【分析】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． (1) 小问详解： 解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得 ， ∴ ， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． (2) 小问详解： 解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 21．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了规律型、点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，掌握从特殊到一般探究规律，再利用规律解决问题的思路是解题的关键． 分别过点作 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作 轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴ ，∴． 故答案为：． 22．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）如图1，点为射线上一动点，若，求点的坐标； （3）如图2，点为射线上一动点，连接，将沿直线翻折得到．连接，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N；利用面积分割法解答即可． （3）根据折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，分类解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，分割法求面积，折叠性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，折叠性质，勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：过点， 故， 解得， ∴， 根据题意，得 ， 解得 ， ∴直线解析式为． 故一次函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N； ∵一次函数的解析式为， ∴． ∵， ∴， 根据题意，得的面积为， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴点； 故点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：当在x轴的下方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点S，过点作，交的延长线于点R， 则四边形是矩形， ∴， 根据题意，得， ∴, ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵H在x轴的负半轴， ∴； 当在x轴的上方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点T，交y轴于点N，过点C作于点M， 则四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴,， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵H在x轴的正半轴， ∴． 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面直角坐标系与一次函数 10大高频考点概览 考点01 平面直角坐标系的概念 考点02 用坐标描述简单几何图形 考点03 用坐标表示地理位置 考点04 用坐标表示平移 考点05 函数的概念 考点06 函数的表示 考点07 一次函数的概念 考点08 一次函数的图象和性质 考点09 一次函数与方程（组）、不等式 考点10 实际问题与一次函数 考点01 平面直角坐标系的概念 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各点中，位于第二象限内的是（） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）已知点在x轴上，则P点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是(       ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）点M在第四象限，点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则M点坐标是　　　　　． 7．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）在平面直角坐标系中，点不可能在第　　　　　　象限． 8．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）已知，则在第　　　　　　　象限． 9．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）定义：在平面直角坐标系中，有一点M的坐标为，若点N的坐标为，其中a为常数，则称点N是点M的“a级倍减点”． （1）已知点的“2级倍减点”是点，则点的坐标为______； （2）已知点的“-3级倍减点”位于轴上，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，若第二象限存在点，使轴，且，求点的坐标． 10．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）四边形各个顶点的坐标分别是，，，． （1）在所给的平面直角坐标系中画出四边形； （2）求出四边形的面积； （3）点是轴上一点，使得的面积等于四边形面积的一半，请直接写出点坐标． 11．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，为美化校园环境，学校计划在教学楼前的长方形草坪（长12米、宽8米）内规划3个景观区域：（自动灌溉喷头）、（石凳）、（小型花坛）．请按要求完成以下任务： （1）以长方形草坪左下角顶点为坐标原点，水平向右方向为轴正方向，竖直向上方向为轴正方向，1个单位长度代表1米，请建立平面直角坐标系，并写出长方形草坪四个顶点的坐标； （2）在（1）的基础上，已知喷头在草坪中心，石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米；花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米，请直接写出，，三点的坐标． 12．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）在平面直角坐标系中，已知点． （1）当点P在x轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线平行于x轴，且，求出点P的坐标； （3）若点P到x轴和y轴距离相等，求m的值． 考点02 用坐标描述简单几何图形 1．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）已知线段，轴，若点M坐标为，则N点坐标为（     ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点 （1）若在轴上，求点的坐标； （2）若轴，且，求的值． 考点03 用坐标表示地理位置 1．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）北京时间2024年5月20日11时6分，“郑州航空港号”卫星搭乘长征二号丁运载火箭发射升空，从这天起，星空中有了一颗以“郑州航空港”来命名的星星．下列表述，能确定郑州位置的是（     ） A. 河南省中北部 B. 东经，北纬 C. 嵩山东麓，黄河之滨 D. 黄河中下游分界处 2．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）根据下列描述，能确定具体位置的是（     ） A. 中原西路 B. 南偏西 C. 东经北纬 D. 某电影院5排 3．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）根据下列表述，能确定具体位置的是 （     ） A. 东岗东路北侧 B. 甘肃省兰州市 C. 北纬，东经 D. 南偏西 4．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（     ） A.  B.  C.  D.  考点04 用坐标表示平移 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）已知点P（-2，3）与Q（-2，5），下列说法不正确的是（        ） A. PQ// y轴 B. PQ =2 C. PQ =8 D. P，Q都在第二象限 2．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（       ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点，已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，这样依次得到各点，若的坐标为，则的友好点是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）重心是一个物体受力的平衡点，例如：三角形的重心是三条中线的交点、平行四边形的重心是对角线的交点……“探究学习小组”在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，重心分别为，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点B为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，是边长为个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点依次放在点的位置，然后向右滚动，第次滚动使点落在点的位置，第次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第次滚动后，顶点的坐标是(       ) A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值， （2）在同一平面直角坐标系中，点，且轴，求点的坐标． （3）若点在第二、第四象限的角平分线上，求点的坐标； 8．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块向左移动2个格子，再向下移动6个格子，点A恰好落在点处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，点、的坐标分别为，且满足，现同时将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点，连接． （1）求点、的坐标； （2）如图1，点是轴负半轴上一动点，连接，其中直线交轴于点，若，求的值； （3）如图2，连接，在直线上取一点，使，求点的坐标． 考点05 函数的概念 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）下列不一定是函数关系的是（     ） A. 正方形周长和边长的关系 B. 在弹性限度内，某弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系 C. 匀速行驶的汽车，其行驶的路程与时间之间的关系 D. 某班学生的数学成绩和物理成绩的关系 2．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）对于正整数x，规定函数 ．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用(元/张) 茶叶价格(元/kg) 方式一：金卡会员 500 1600 方式二：银卡会员 200 1800 设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． （1）请直接写出关于x的函数解析式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 5．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： （1）在函数中，自变量的取值范围是______； （2）如表是与的几组对应值． … 0 1 2 3 … … 1 0 0 … ①______； ②若，为该函数图象上不同的两点，则______； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象；根据函数图象可得： ①该函数的最小值为______； ②已知直线与函数的图象交于、两点（C点在D点左侧），请作出直线，并直接写出点C和点D的坐标，点C的坐标是______，点D的坐标是______． 考点06 函数的表示 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）“司马光砸缸”是大家熟知的故事，故事情节是水缸里原有一部分水（未满），玩耍的孩童落入水缸中，水逐渐没过孩童头顶，同伴们除了大声呼救，毫无办法，此时，司马光急中生智，举起石头砸破水缸，水逐渐流出后，孩童得救．下面比较符合“司马光砸缸”的故事情节的图是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列图象中，表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（     ） A. 旋转木马转一圈需要 B. 当时，小明与入口的距离为 C. 小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了 D. 当时，y随x的增大而增大 4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列曲线中，表示是的函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，其中正确的结论个数为（     ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（     ） A. 乙用12分钟追上甲 B. 乙追上甲后，再走1440米才到达 C. 甲乙两人之间的最远距离是300米 D. 甲到终点时，乙已经在终点处休息了6分钟 7．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（     ） A.  B.  C. 当时， D. 的周长为 8．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． （1）填空： ①当时，_______； ②当时，______； ③当时，_______； （2）在平面直角坐标系中作出函数的图象； … 0 1 2 3 … … 0 1 2 1 0 … （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有_______个交点，方程有_______个解； ②方程有_______个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是_______． 9．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）小熙根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小熙的探究过程，请你解决相关问题： （1）列表如下：若，为该函数图象上不同的两点，则______． … 0 1 2 … … 3 1 1 3 … （2）在下面的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，补充关于该函数的两条结论． 结论1：该函数有______（填“最大值”或“最小值”），这个值是______； 结论2：当时，随增大而______（填“增大”或“减小”）； （4）关于的方程无解，则的取值范围是______． 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为　　　　　． 11．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）． 水平距离 0 2 3 5 6 … 竖直高度 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分． 【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 【应用模型】 （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为，发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于．求的取值范围． 12．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数：如表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中         ； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现： 该函数图象的最低点坐标是                  ，当时，y随x的增大而             ； （4）进一步探究： ①不等式的解集是                     ； ②若关于x的方程只有一个解，则k的取值范围是                       ． 考点07 一次函数的概念 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）若函数是关于的一次函数，则　　　　　　． 考点08 一次函数的图象和性质 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）已知是一次函数图象上的两点，下列判断中正确的是（     ） A.  B.  C. 当时， D. 当时， 2．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知直线过点和点，则和的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D. 不能确定 3．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）若，则一次函数的图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）将直线向上平移2个单位长度，可得直线的表达式为（    ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）对于函数，下列结论：①它的图象必经过点   ②它的图象经过第一、二、四象限   ③当时，   ④的值随值的增大而增大，其中正确的个数有（       ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（       ） A. 函数图象与轴的交点坐标是 B. 函数图象经过第一、二、四象限 C. 若点，在该函数的图象上，且，则 D. 自变量每增加1，函数值就增加2 8．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）对于一次函数，下列说法错误的是（     ） A. 图象是经过两点，的一条直线 B. 图象不经过第一象限 C. 的值随着的值增大而减小 D. 图象与轴的交点坐标为 9．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）已知一次函数的函数值y随x的增大而减小，则该函数的图象大致是（　　） A.      B.      C.      D.      10．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）若点在一次函数（m是常数）的图象上，则的大小关系是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知一次函数，（，，，均为常数，且）在平面直角坐标系中的图象如图所示，则（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知一次函数（是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）直线和在同一平面直角坐标系内的大致图象为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）如图，若直线经过第一、三、四象限，则直线的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式　　　　　　　　　　　 17．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）请写出一个图象经过第二、四象限的一次函数的解析式：　　　　　　　　　　　　　　　　 ． 18．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）请在下面平面直角坐标系中画出：，，的图象，并根据图象写出2条一次函数的性质． 2 4 0 4 2 1 19．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知、是一次函数的图象上的两点，则　　　　　　．（填“”或“”或“”） 20．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）若一次函数 的图象与两坐标轴交于A，B两点，则线段的长为　　　　． 21．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）小明在学习画直线的图象时，列表如下： x … 0 1 … y … 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，回答下列问题： （1）这个算错的函数值是               ，这个函数的表达式是               ． （2）若直线过点，，且与y轴交于点B，直线经过点C，且与直线平行的，交y轴于点D，连接．求的面积． （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？如果存在，请直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 22．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，直线交轴于点，交轴于点． （1）求直线和直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）动点在直线和直线上运动，如果存在一点，使得，请直接写出点的坐标． 23．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． （1）求出直线对应的函数表达式； （2）分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 考点09 一次函数与方程（组）、不等式 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为　　　　　　． 考点10 实际问题与一次函数 1．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据．当时间为时，对应的水位为（       ） … 1 2 3 … … … A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（     ） A. 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 3．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）珊珊与姐姐司司相约去离家的图书馆看书，珊珊从家骑自行车去图书馆，司司从家出发，乘车沿相同路线去图书馆，珊珊和司司的行进路程（）与时间（时）的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（     ） A. 点时司司追上了珊珊； B. 司司坐车的平均速度是珊珊骑自行车的平均速度的倍； C. 司司到达图书馆时，珊珊离目的地还有； D. 司司在距家处与珊珊相遇； 4．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，已知直线，过轴上的点分别作垂直于轴的直线交于点，将、四边形、四边形的面积依次记为，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，经过这个水池内有水，可得到关系式，请说明关系式中，所表示的实际意义是　　　　　　． 8．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地运费（元/吨）目的地                C县                D县 A县 40 45 B县 35 50 （1）设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为             吨，从D县运往A县的化肥为               吨，从D县运往B县的化肥为        吨； （2）求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 9．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如下表所示的数据． 摄氏温度值 0 10 20 30 40 华氏温度值 32 50 68 86 104 （1）观察表格中的数据，华氏温度与摄氏温度之间的关系是__________（填“一次”、“反比例”或“二次”）函数；在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接； （2）求y与x之间的函数解析式； （3）设（1）中所画的图象与直线交于点A，点A的实际意义是__________； （4）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16，求该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）综合与实践 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？ 素材1：如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计． 素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是，单层部分的长度是，得到几组数据如下表所示． 双层部分的长度 2 6 10 … 单层部分的长度 116 108 100 … 素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为． 素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为；如图2，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为身高的． 请根据以上素材，解答下列问题： （1）如图3，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接；根据图象思考y与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围； （2）设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人的身高h与这款单肩包背带的双层部分的长度x之间的函数表达式，直接写出x的取值范围； （3）当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 11．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/[元] 第一档 0.53 第二档 0.58 第三档 0.83 （1）当时，写出电费y（单位：元）与x之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是2978元，求该户去年一年的用电量． 12．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）王老师想骑共享电动车，有A，B两种品牌的共享电动车可选择．已知：A品牌电动车骑行，收费元，且；B品牌电动车骑行，收费元，且 ，A，B两种品牌电动车所收费用y与骑行时间x之间的函数图象如图所示． （1）写出点P表示的实际意义                                                                                  ． （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． （3）当                         时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 13．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）2025年在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案： 方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次七折优惠； 方案二：不购买羽毛球健身卡，每次九折优惠． 设小熙每年去俱乐部打羽毛球次，按照方案一所需费用为（元），且； 按照方案二所需费用为（元），且，其函数图象如图所示． （1）请直接写出方案一的函数表达式：______，并写出的实际意义：______； （2）求方案二健身所需费用的函数关系式，并说明的实际意义． （3）小熙给自己制定了一个2026年健身计划，每周去俱乐部打球1次（一年365天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 14．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）为了鼓励市民节约用电，某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户年用电量及分档计费标准： 计费档 户年用电量 单价/［元］ 第一档 第二档 第三档 （1）当时，写出电费（单位：元）与之间的关系式； （2）某户年用电量是，求该户这一年的电费； （3）某户去年一年的电费是元，求该户去年一年的用电量． 15．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）某文具店售卖有钢笔和笔记本，钢笔每支定价30元，笔记本每本定价4元．在促销期间，店方向顾客提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一支钢笔就赠送一本笔记本； 方案二：钢笔和笔记本都按定价的付款． 某班级计划购进50支钢笔和本笔记本（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式； （2）当时， ①请通过计算说明该班级选择上面哪种方案更省钱； ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明购买方案，并计算出该方案所需费用；若没有，请说明理由． 16．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． （1）求，两点的坐标及线段的长； （2）当时，连接，求的面积． 17．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60min，气球所在位置距离地面的高度与气球上升的时间之间的关系如图所示．给出下列说法：①甲气球上升过程中，与之间的关系式为；②10min时，甲气球在乙气球下方；③当两只气球高度差为15m时，上升时间为50min；④上升60min时，乙气球距离地面的高度为40m．其中正确的有　　　　　　．（填序号） 18．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　　　　　　公里就必须去加油． 19．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）“双11”天猫商城做促销活动，小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖． （1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式； （2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由． （3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？ 20．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． （1）请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 21．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，都是等腰直角三角形，点均在轴正半轴上，直角顶点均在直线上．设的面积分别为，则　　　　　． 22．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的坐标为． （1）求一次函数的表达式； （2）如图1，点为射线上一动点，若，求点的坐标； （3）如图2，点为射线上一动点，连接，将沿直线翻折得到．连接，若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平面直角坐标系与一次函数 考点01 平面直角坐标系的概念 考点02 用坐标描述简单几何图形 考点03 用坐标表示地理位置 考点04 用坐标表示平移 考点05 函数的概念 考点06 函数的表示 考点07 一次函数的概念 考点08 一次函数的图象和性质 考点09 一次函数与方程（组）、不等式 考点10 实际问题与一次函数 考点01 平面直角坐标系的概念 1．C 2．A 3．B 4．C 5．C 6．【答案】 【分析】 本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，根据第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】 ∵点M在第四象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，得 ，， 由点位于第四象限，得 ，， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 7．【答案】一 【分析】 分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解． 【详解】 解：①m-3＞0，即m＞3时，-2m＜-6， 4-2m＜-2， 所以，点P（m-3，4-2m）在第四象限； ②m-3＜0，即m＜3时，-2m＞-6， 4-2m＞-2， 点P（m-3，4-2m）可以在第二或三象限， 综上所述，点P不可能在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 8．【答案】二 【分析】 本题考查平方的非负性，算术平方根的非负性，点所在的象限． 根据平方和算术平方根的非负性求出、的值，再判断所在的象限． 【详解】 解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵在第二象限， ∴在第二象限． 故答案为：二． 9．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查坐标系中点的坐标，对新定义的理解； （1）根据题目给出的定义直接计算出的坐标即可； （2）先根据定义求出Q点的坐标，再根据Q点在轴上，利用轴上的点横坐标为0，即可求解； （3）先求出P点坐标，由轴得K点纵坐标与P点纵坐标相同，可设出K点坐标，利用建立方程再结合K点所在象限可求出K点坐标. (1) 小问详解： 解：∵， ∴“2级倍减点”点横坐标为：，纵坐标为：， ∴坐标为. 故答案为：. (2) 小问详解： 解：∵点的“-3级倍减点”为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即， 又∵位于轴上， ∴， 解得 ∴， ∴. 故答案为：. (3) 小问详解： 解：由（2）得 ∴， ∵轴，且， ∴K点纵坐标与P点纵坐标相同， ∴设， ∴， 即或 解得或 ∵点在第二象限， ∴， ∴舍去， ∴． 10．【答案】（1） 如图：四边形如图所示： ；     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了坐标与图形，利用网格求面积，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点的坐标作图即可； （2）作于，于，则，，，，，再由四边形的面积计算即可得解； （3）设，则，根据的面积等于四边形面积的一半，得出，计算即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：如图，作于，于， 则，，，，， ∴四边形的面积 ； (3) 小问详解： 解：∵点是轴上一点， ∴设，则， ∵的面积等于四边形面积的一半， ∴， 解得：或， ∴或． 11．【答案】（1） 如图所示建立平面直角坐标系： 长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、     （2），，三点坐标分别为：，，      【分析】 题目主要考查建立直角坐标系，求点的坐标，理解题意是解题关键． （1）根据题意建立直角坐标系即可得出结果； （2）根据题意结合图形即可得出点的坐标． (1) 小问详解： 解：∵长方形草坪（长12米、宽8米）， ∴， ∴长方形草坪四个顶点的坐标分别为：、、、； (2) 小问详解： ∵喷头在草坪中心， ∴过点A作轴，轴， ∴， ∴， ∵石凳在的右上方，且到的水平距离为3米、竖直距离为2米； ∴即， ∵花坛到轴的距离为5米，到轴的距离为9米， ∴ ． 12．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 本题考查坐标平面内图形性质与点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）点P在x轴上时，点P的纵坐标为零，据此列方程即可求解； （2）直线平行于x轴，即P点纵坐标等于A点纵坐标，据此列方程求解即可； （3）点P到x轴，y轴距离相等，即P点纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值，据此列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵点在x轴上， ∴， ， 此时， ∴点P的坐标为； (2) 小问详解： 解：∵直线平行于x轴，且， ∴， 解得， 此时， ∴点P的坐标为； (3) 小问详解： 解：点P到x轴，y轴距离相等， ∴， 或， 解得：或． 考点02 用坐标描述简单几何图形 1．B 2．【答案】（1）；     （2）的值为4或2．      【分析】 本题考查的是坐标与图形性质，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标等于解答即可； （2）根据轴可知，再由可知，求出的值，进而可得出的值． (1) 小问详解： 解：在轴上， ， ， ， ； (2) 小问详解： 解：轴， ， ， ， 或， 或， 当时，； 当时，， 点的坐标为， 故的值为4或2． 考点03 用坐标表示地理位置 1．B 2．C 3．C 4．A 考点04 用坐标表示平移 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．【答案】（1）5     （2）     （3）点M的坐标为      【分析】 本题考查的知识点是象限及点坐标的特点，掌握以上知识点是解题的关键． （1）若点在x轴上，则M的纵坐标为0，即； （2）根据轴得到点的横坐标相等，即可求出，继而求解； （3）若点M在第二、四象限的角平分线上，则点M的横纵坐标互为相反数，即，解方程即可． (1) 小问详解： 解：∵点M在x轴上， ，解得， 即m的值为5； (2) 小问详解： 解：∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵点M在第二、第四象限的角平分线上， ∴点的横坐标和纵坐标互为相反数， ，解得， ， ∴点M的坐标为． 8．【答案】 【分析】 本题考查了坐标平移的性质：上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可． 【详解】 解：∵将点A向左移动2个格子，再向下移动6个格子恰好落在点处， 即将点向右移动2个格子，再向上移动6个格子得到点A， ∴，即， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）     （3）或者      【分析】 （1）利用实数的非负性，得到，确定a，b的值，即可求得点、的坐标； （2）先利用平移确定C，D的坐标，再根据，利用分割法表示出面积等式，构造关于的方程，解答即可； （3）利用分类思想解答即可． (1) 小问详解： 解： ， ， ． (2) 小问详解： 解：， 将分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到、对应点， ， 点是轴负半轴上一动点， ， 整理得： ． (3) 小问详解： 分如下两种情况进行讨论： ① 当在中间，如图所示：过作于于，过点作于， ， ， ， ， ② 当在延长线上，则只能在第二象限，如图所示：过作于，于，过点作于， ， ， ， ， 在第二象限 -14分 综上所述：或者． 【点睛】 本题考查了非负性的应用，平移，图形面积分割法表示，线段的计算，分类思想应用，熟练掌握平移，面积表示是解题的关键． 考点05 函数的概念 1．D 2．A 3．【答案】 【分析】 本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【详解】 解：由题意，得：； 故答案为：． 4．【答案】（1），     （2）千克     （3）按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶      【分析】 （1）由总费用等于会员卡费用加上茶叶费用可得答案； （2）由，再建立方程即可； （3）把代入，，再求解，再比较即可． (1) 小问详解： 解：由题意可得：， ； (2) 小问详解： 由题意可得：， 解得：， 答：该公司此次购买茶叶的质量为千克． (3) 小问详解： 按照第一种方式购买茶叶：，解得； 按照第二种方式购买茶叶：，解得． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 【点睛】 本题考查的是列函数关系式，一元一次方程的应用，理解题意，确定函数关系式与相等关系建立方程是解本题的关键． 5．【答案】（1）全体实数     （2）①；②     （3） 函数的图象如图， ①； ②函数图象如图；， 【分析】 （1）根据题意得自变量的取值范围是全体实数； （2）① 把代入，即可求出m；② 把代入，即可求出n； （3）① 画出该函数的图象即可求解；② 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象，即可求解． (1) 小问详解： 解： 在函数中，自变量的取值范围是全体实数； 故答案为：全体实数 (2) 小问详解： 解：① 把代入得：； 故答案为： ② 当时，， 解得：， ∵，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为： (3) 小问详解： ①观察图象得：该函数的最小值为； 故答案为； ②对于，当时，；当时，， 在同一平面直角坐标系中画出函数与函数的图象， 观察图象得：点C的坐标是，点D的坐标是． 故答案为：， 【点睛】 考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．正确画出函数的图象是解题的关键． 考点06 函数的表示 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．C 7．D 8．【答案】（1）①2；②；③     （2） 函数的图象，如图所示：      （3）①2，2；②1；③      【分析】 此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案； （2）直接利用（1）中所求得出函数图象； （3）直接利用函数图象得出答案． (1) 小问详解： 解：（1）①当时，； ②当时，； ③当时，； 故答案为：2；，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解； ②方程有1个解； ③若关于的方程无解，则的取值范围是． 故答案为：2，2；1；． 9．【答案】（1）     （2） 根据题意，下图为所求： ．     （3）最小值，；增大     （4）      【分析】 本题考查了描点法画函数图象，函数图象以及性质，数形结合思想，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得关于直线对称，根据，为该函数图象上不同的两点，关于直线对称，故，解答即可． （2）根据描点法作图即可； （3）根据图象，利用数形结合思想解答即可； （4）根据图象解答即可． (1) 小问详解： 解：根据题意，得关于直线对称， 又，为该函数图象上不同的两点，是对称点， 故， 解得， 故答案为：． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：根据图象，得到： 结论1：该函数有最小值，这个值是， 故答案为：最小值，； 结论2：当时，随增大而增大， 故答案为：增大； (4) 小问详解： 解：根据图象，当时，与有唯一交点， 当时，与无交点， 那么关于的方程无解时，， 故答案为：． 10．【答案】16 【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】 解：设矩形中，（）．    ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．    ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．    最大值. 故答案为：． 11．【答案】建立模型：； 应用模型： （1）不能， 令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到． （2） 【分析】 本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． 建立模型：将点，代入计算即可得； 应用模型：（1）令，则可得，利用一元二次方程根的判别式进行判断即可得； （2）先求出，再根据当时，；当时，建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】 解：建立模型：将点，代入得： ， 解得 ， 所以与的函数解析式为． 应用模型：（1）略 （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴的值不变，即， ∴改变发球方式后，羽毛球飞行路线对应的抛物线为， ∵发球点与球网的水平距离是．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过，且球的落地点与球网的水平距离小于， ∴当时，；当时，， ∴ ， 解得， 所以的取值范围为． 12．【答案】（1）3     （2） 解：该函数图象的另一部分如图所示： ；     （3），减小     （4）①或；②或      【分析】 本题为绝对值函数问题，考查了求函数值，画函数图象，一次函数的性质，函数与方程不等式的关系等知识﹒ （1）把代入即可求解； （2）根据（1）表格描点，连线即可； （3）结合函数图象即可求解； （4）① 结合函数图象即可得当时，或，问题得解； ②当直线经过点时，，当直线经过点时，，若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ (1) 小问详解： 解：当时，﹒ 故答案为：3 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图所得该函数图象的最低点坐标是，当时，y随x的增大而减小﹒ 故答案为：，减小； (4) 小问详解： 解：① 由图象得的解集是或﹒ 故答案为：或； ② ∵当直线经过点时，，当直线经过点时，， ∴若关于x的方程只有一个解，结合图象得k的取值范围是或﹒ 故答案为：或． 考点07 一次函数的概念 1．【答案】 【分析】 根据一次函数的定义可得，求解即可． 【详解】 解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数解析式的结构特征是解题的关键． 考点08 一次函数的图象和性质 1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 9．B 10．B 11．B 12．B 13．B 14．B 15．A 16．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可． 【详解】 ∵一次函数y随x的增大而减小 ∴k＜0 ∴y=-x+2（答案不唯一）． 故答案是：y=-x+2（答案不唯一）． 17．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查一次函数的图象，根据一次函数解析式为，当时，必经过第二象限和第四象限，因此，本题只需满足，b可取任意实数即可． 【详解】 解：取一次函数，由知，该图象函数经过第二、四象限． 故答案为：（答案不唯一）． 18．【答案】函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当是，y随x增大而减小；当时， 一次函数图象与y轴交于正半轴，当时，一次函数经过原点，当时，一次函数与y轴交于负半轴． 【分析】 本题主要考查了画一次函数图象，一次函数图象的性质，先利用列表法画出对应的函数图象，再结合函数图象写出对应的一次函数的性质即可． 【详解】 解：列表如下： 2 4 0 4 2 1 19．【答案】 【分析】 根据一次函数的增减性即可得． 【详解】 解：一次函数中的， 随的增大而增大， 、是一次函数的图象上的两点，且， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．设一次函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用勾股定理可求出线段的长． 【详解】 解：设一次函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点， 当时，， 所以点A的坐标为，， 当时，，解得：， 所以点的坐标为，， , 故答案为：． 21．【答案】（1）；     （2）     （3）或      【分析】 本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）可证明自变量的值每增大1，则函数值增大，据此结合表格中的数据可得第一空的答案，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，再分别求出点B和点D的坐标，最后根据列式求解即可； （3）求出，进而得到的面积，根据三角形面积计算公式求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：设都是直线上一点， ∴， ∴， ∴自变量的值每增大1，则函数值增大， 由表格中的数据可知，自变量从到时，函数值增大， 自变量从到0时，函数值增大， 自变量从0到1时，函数值增大， ∴这个算错的函数值是， ∴ ， ∴ ， ∴这个函数的解析式为； (2) 小问详解： 解：在中，当时，， ∴； ∵直线与直线平行， ∴可设直线的解析式为， ∵直线经过点C， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， ∴ ； (3) 小问详解： 解：由（2）， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或． 22．【答案】（1）直线的函数表达式为，直线的函数表达式为     （2）     （3）或或或      【分析】 本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）先求出的值，再分两种情况：① 动点在直线上运动；② 动点在直线上运动，求出的值，建立方程求解即可得． (1) 小问详解： 解：设直线的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则直线的函数表达式为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入得： ，解得 ， 则直线的函数表达式为． (2) 小问详解： 解：对于一次函数， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴的边上的高为， 则的面积为． (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴， ① 当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； ② 当动点在直线上运动时，则设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 23．【答案】（1）     （2）是等腰直角三角形     （3）或      【分析】 本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． (1) 小问详解： 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得 ， ∴直线对应的函数表达式； (2) 小问详解： 解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 小问详解： 解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 考点09 一次函数与方程（组）、不等式 1．【答案】 【分析】 本题考查了根据函数图象求方程的解． 根据函数图象作答即可． 【详解】 解：根据函数图象可知，一次函数经过， 即， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 考点10 实际问题与一次函数 1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．【答案】进水速度 【分析】 本题主要考查了一次函数的实际应用，关系式为一次函数形式，其中为一次项系数，表示水量随时间的变化率，即进水速度． 【详解】 解：在关系式中，将其与一次函数标准形式对比，可得，则表示每小时进水的体积，即进水速度． 故答案为：进水速度． 8．【答案】（1），，     （2）     （3）最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县      【分析】 本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． (1) 小问详解： 解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； (2) 小问详解： 解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； (3) 小问详解： 解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 9．【答案】（1）一次， 如下图：      （2）     （3）华氏温度的值与摄氏温度的值相等     （4）40      【分析】 （1）观察表格中的数据发现：摄氏温度每升高，华氏温度就升高，然后利用描点法画出图象，即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据题意可得，解出即可． (1) 小问详解： 解：观察表格中的数据发现：摄氏温度每升高，华氏温度就升高， ∴华氏温度与摄氏温度之间的关系是一次函数； (2) 小问详解： 解：设y与x的函数解析式为． 将，代入中，得： ， 解得 ， ∴y与x的函数解析式为； (3) 小问详解： 解：点A的实际意义是华氏温度的值与摄氏温度的值相等； 故答案为：华氏温度的值与摄氏温度的值相等 (4) 小问详解： 解：根据题意得：． 当时， 解得； 当时， 解得， ， 该温度区间的最大温差是40摄氏度． 【点睛】 本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 10．【答案】（1） 描点并作图如图所示： ；     （2）；     （3）此时双层部分的长度为．      【分析】 本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式、求出小明爸爸的身高是本题的关键． （1）直接描点并作图，利用待定系数法求出函数关系式，并求出的最大值和最小值； （2）根据“背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和”和与之间的函数关系式，用含的代数式将背带的总长度表示出来，再由背带总长度与身高的比例关系列出等式，将表示为的函数的形式即可； （3）当背包的背带调节到最短时都为双层部分，求出此时的值，从而求出手离地面的高度；设小明爸爸的身高为未知数，根据臂展与身高的关系及肩宽，将一条胳膊的长度用身高表示出来，头顶到肩膀的垂直高度、一条胳膊的长度、手离地面的高度之和为身高，利用此等量关系列方程求出身高，将其代入任务2中得到的函数关系式，求出对应的值即可． (1) 小问详解： 解：根据图象可知，变量、满足一次函数关系． 设、为常数，且， 将，和，代入， 得 ， 解得 ， ． 当背带都为单层部分时，； 当背带都为双层部分时，，即，解得， 的取值范围是； (2) 小问详解： 解：∵背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和， 总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得， ∴； (3) 小问详解： 解：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，． 背包提在手上，且背包的悬挂点离地面高度为， 手到地面的距离为，即． 设小明爸爸的身高为 ． 臂展和身高一样，且肩宽为， 小明爸爸一条胳膊的长度为， ，解得， 根据任务2，得，解得， 此时双层部分的长度为． 11．【答案】（1）     （2）2182元     （3）      【分析】 本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出y与x之间的关系式即可； （2）代入到（1）中的关系式即可求解； （3）通过计算说明该户去年一年的用电量超过，设该户去年一年的用电量为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． (1) 小问详解： 解：由题意得，； ∴当时，y与x之间的关系式为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴代入到，得， ∴该户这一年的电费为2182元； (3) 小问详解： 解：代入到，得， ∵， ∴该户去年一年的用电量超过， 设该户去年一年的用电量为， 根据题意得，， 解得， 答：该户去年一年的用电量为． 12．【答案】（1）当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元     （2）选择品牌共享电动车会更省钱，理由见解析     （3）或35      【分析】 本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和函数图象是解题关键． （1）根据点的坐标为即可得交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元； （2）先求出王老师从家骑行到学校所需时间为，再结合函数图象可得当时，，由此即可得； （3）先利用待定系数法求出当时，，再分三种情况：，和，分别建立方程，解方程即可得． (1) 小问详解： 解：∵点的坐标为， ∴交点表示的实际意义是当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元， 故答案为：当骑行时间为时，两种品牌的共享电动车收费都为8元． (2) 小问详解： 解：选择品牌共享电动车会更省钱．理由如下： ∵王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为， ∴王老师从家骑行到学校所需时间为， 观察函数图象可知，当时，， 所以选择品牌共享电动车会更省钱． (3) 小问详解： 解：将和代入得： ， 解得 ， 则当时，， 当时，令，即，解得，符合题设； 当时，令，即，解得，不符合题设，舍去； 当时，令，即，解得，符合题设； 综上，当为或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元， 故答案为：或35． 13．【答案】（1），购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元．     （2），的实际意义是打九折后每次费用为45元     （3）方案一， 理由：当， 解得， 故当40次时，两种方案的费用一样； 当时，解得 当大于40次时，方案一便宜； 当时，解得, 当小于40次时，方案二便宜， 由，超过40次， 故方案一便宜．      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意，得，解得，故当40次时，两种方案的费用一样；当大于40次时，方案一便宜；当小于40次时，方案二便宜，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，方案选择问题，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键． (1) 小问详解： 解：把时，；时，分别代入解析式，得 ， 解得 ， 故， 故b的实际意义为：购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元， 故答案为：，购买一张羽毛球健身的年卡费用为400元． (2) 小问详解： 解：根据，得打一次羽毛球价格为（元）， 方案二打一次羽毛球的价格为（元）， 故函数关系式，的实际意义是打九折后每次费用为45元． (3) 小问详解： 略 14．【答案】（1）     （2）该户这一年的电费元     （3）该户去年一年的用电量      【分析】 本题考查了分段函数的应用．根据不同用电量区间的单价来计算电费是解题的关键． （1）需考虑分档计费，第一档得电费按照计算，超过的部分按单价计算，将两部分电费相加并化简即可得到关系式； （2）已知年用电量是，判断其处于区间，将代入（1）中的关系式并计算即可； （3）先计算第一档最多电费为元，与已知电费元比较，可知用电量超过第一档；再计算用电量为时的电费，与已知电费元比较，可知用电量在区间，最后将代入计算即可． (1) 小问详解： 解：， 化简得． (2) 小问详解： 解：将代入， 得到， 该户这一年的电费为元． (3) 小问详解： 解：元元， 该户用电量超过， 将代入， 解得， 该户用电量在区间， 将代入， 得到， 解得， 该户去年一年的用电量为． 15．【答案】（1），     （2）①选择方案一更省钱；②有更省钱的购买方案，先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，所需费用为1680元      【分析】 本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）① 将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；② 先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本，最省钱，计算即可． (1) 小问详解： 解：根据题意可得：， ； (2) 小问详解： 解：① 当时，． ∵， ∴选择方案一更省钱． ② 有更省钱的购买方案： 先按方案一购买50支钢笔，再按方案二购买50本笔记本， 该方案所需费用为（元）． 16．【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，线段的长为10     （2）的面积为6      【分析】 本题考查了一次函数的性质． （1）先将、代入中，求出求，两点的坐标，再根据两点间的距离公式计算即可； （2）求出当时，，，则，，根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 解：将代入中，可得，解得，所以点的坐标为． 将代入中，可得，所以点的坐标为． 由点、点，可知，， 在中，由勾股定理得：； (2) 小问详解： 解：当时，由图可知，，， 则，， 所以的面积，因此，的面积为6． 17．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查一次函数的实际应用，用到了数形结合的思想，读懂题意，求出两个气球的上升速度是解题的关键． ① 利用待定系数法求出解析式即可判断；② 观察图象看时甲乙谁的图象在上方即可判断；③ 分别求出两个气球的上升速度，再列方程解答即可判断；④ 根据乙气球的上升速度列式计算即可判断． 【详解】 解：设甲气球上升过程中与的函数关系为：，观察图象可知，函数图象经过点和点， 则 ， 解得 ， 故甲气球上升过程中与的函数关系为：，所以① 正确； 观察图象可知，时，甲气球在乙气球的下方，所以② 正确； 由甲气球上升过程中与的函数关系为，可知甲气球的上升速度为， 观察图象可知，乙气球用时从上升至， 故乙气球的上升速度为：， 设上升时间为x时，两气球高度差为， 根据题意，, 解得， 故两气球高度差为时，上升时间为，所以③ 正确； 上升时，乙气球距离地面高度为： ，所以④ 错误， 综上，错误的结论有：① ② ③ ． 故答案为：① ② ③ ． 18．【答案】 【分析】 本题考查了一次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据表格信息运用待定系数法得到一次函数解析式，再根据题意求自变量或函数值即可． 【详解】 解：根据题意，设行驶的路程与油箱剩余油量的函数解析式为， 当时，， ∴， 解得，， ∴， 当是，， 解得，， ∴小明家的轿车至多开公里就必须去加油， 故答案为： ． 19．【答案】（1）y甲=0.6x+4，y乙=0.8x；（2）小明要买15本练习本，到乙商店购买较省钱；（3）最多可买40本练习本． 【分析】 （1）根据甲、乙两店的优惠方案，可找出y甲、y乙与x之间的函数关系； （2）代入x=15求出y甲、y乙的值，比较后即可得出结论； （3）分别代入y甲=15、y乙=15求出x的值，比较后即可得出结论． 【详解】 解：（1）根据题意得：y甲=1×10+0.6×1×（x-10）=0.6x+4； y乙=0.8×1×x=0.8x． （2）到乙商店购买较省钱，理由如下： 当x=15时，y甲=0.6×15+4=13，y乙=0.8×15=12， ∵13＞12， ∴小明要买15本练习本，到乙商店购买较省钱． （3）当y甲=28时，有0.6x+4=28， 解得：x=40； 当y乙=28时，有0.8x=28， 解得：x=35． ∵40＞35， ∴最多可买40本练习本． 【点睛】 本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据两店的优惠方案，找出函数关系式；（2）代入x=15求出y甲、y乙的值；（3）分别代入y甲=15、y乙=15求出x的值． 20．【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是．     （2）成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时      【分析】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． (1) 小问详解： 解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得 ， ∴ ， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． (2) 小问详解： 解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 21．【答案】 【分析】 本题主要考查了规律型、点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，掌握从特殊到一般探究规律，再利用规律解决问题的思路是解题的关键． 分别过点作 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，然后归纳面积的规律并按照规律求解即可． 【详解】 解：如图，分别过点作 轴的垂线段，垂足分别为点C、D、E， ∵，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， ∴点坐标为， 将点坐标代入得：，解得：， ∴，， ∴， 同理求得， ∴ ，∴． 故答案为：． 22．【答案】（1）     （2）     （3）或      【分析】 （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N；利用面积分割法解答即可． （3）根据折叠的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，分类解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，分割法求面积，折叠性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握待定系数法，折叠性质，勾股定理是解题的关键． (1) 小问详解： 解：过点， 故， 解得， ∴， 根据题意，得 ， 解得 ， ∴直线解析式为． 故一次函数的解析式为． (2) 小问详解： 解：过点P作于点Q，过点C作于点M，于点N； ∵一次函数的解析式为， ∴． ∵， ∴， 根据题意，得的面积为， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴点； 故点P的坐标为． (3) 小问详解： 解：当在x轴的下方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点S，过点作，交的延长线于点R， 则四边形是矩形， ∴， 根据题意，得， ∴, ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵H在x轴的负半轴， ∴； 当在x轴的上方时， 根据折叠的性质，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 过点C作于点T，交y轴于点N，过点C作于点M， 则四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴,， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∵H在x轴的正半轴， ∴． 综上所述，或． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $