专题05 整式的乘法（期中真题汇编，河南专用）八年级数学上学期

专题05 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）下表是与（其中为自然数）的部分对应值表： 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为（       ） A. 1048576 B. 33554432 C. 1073741824 D. 3435973836 【答案】B 【分析】 本题考查同底数幂的乘法运算．利用表格找到和对应的指数，然后应用指数法则计算． 【详解】 解：∵，（从表格中得）， ∴， 又∵（从表格中时得）， ∴． 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，则之间的关系为（     ） A. 和为1 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 相等 【答案】A 【分析】 本题考查同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法运算法则，将两个等式相乘，得到，从而得出． 【详解】 解：∵ ，， ∴ 即， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）若，则y的值为　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查了同底数幂相乘法则．利用同底数幂的乘法法则，指数相加，建立方程求解，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 解得， 故答案为：20． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，据此相关性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：A、，故该选项不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了整式的运算，熟练掌握合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则；根据合并同类项，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法法则逐项计算即可． 【详解】 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；        B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）下列各式中，计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查整式的运算，包括幂的运算性质，如同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等．需根据运算法则逐一判断． 【详解】 解：∵选项A：不是同类项，不能合并，故错误； ∵选项B：，故正确； ∵选项C：，故错误； ∵ 选项D：，故错误． ∴故选B． 4．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）下列运算结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方以及零指数幂的性质．根据相关运算法则计算即可判断． 【详解】 解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）计算的结果是（     ） A. 1 B. －1 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查同底数幂乘法及积的乘方，将原式进行正确的变形是解题的关键．逆用同底数幂乘法及积的乘方法则将原式变形后进行计算即可． 【详解】 ∵ ， ∴ 原式 ． 故选：C． 6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）计算：　　　　　　　　． 【答案】./0.25 【分析】 通过观察指数相同，将 和 利用积的乘方逆运算简化，再与 运算解答即可． 本题考查了积的乘方的逆应用，同底数幂的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】 解： ， 故答案为 ． 7．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）若，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算，先整理得，再把代入计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：12 8．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）计算的值为　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了积的乘方的逆运算．依据“乘方的积等于积的乘方”进行化简计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：1． 9．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）已知：，则，　　　　　　　． 【答案】12 【分析】 本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （2）把看作底数，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （3）先整理得，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （4）根据积的乘方法则进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：． 11．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）已知，则　　　　　　　　． 【答案】64 【分析】 本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握幂的乘方“底数不变，指数相乘”、积的乘方“把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方与积的乘方法则化简等式左边，再通过相同底数的指数相等建立方程，求出、的值，最后计算． 【详解】 解： ， 所以，， 解得，． 则 故答案为：． 12．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，利用指数运算法则，将分解为 ，再代入已知条件求解． 【详解】 解：由，得， 由，且， 故 ． 因此，． 故答案为：． 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，则的值为（     ） A. 2 B. 6 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了代数式求值、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算多项式乘以多项式，代入计算即可得． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 2．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）下列计算结果等于是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查幂的运算，合并同类项，根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法逐一计算各选项，判断是否等于即可． 【详解】 解：A、10个a相加，即，不符合题意； B、，不符合题意； C、10个a相乘，即，符合题意； D、5个相加，即，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了实数的运算；分别计算算术平方根和零指数幂，然后相加，即可求解. 【详解】 解：原式， 故答案为：3. 4．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式法则计算，即可作答． （2）根据多项式乘多项式法则计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 5．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）先化简，再求值：，其中； 【答案】，0 【分析】 本题考查了单项式乘多项式，化简求值，先运用单项式乘多项式，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】 解： ， 当时，原式． 6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】(1)，(2) 【分析】 本题考查了实数的混合运算，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法等知识﹒ （1）根据乘方运算，绝对值，立方根，算术平方根等知识进行化简，再进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法等知识进行计算，再合并同类项即可求解﹒ 【详解】 解：（1）原式； （2）原式﹒ 7．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （2）当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 【答案】（1），；     （2）420平方米，930平方米；     （3）88500元      【分析】 本题考查整式乘法的应用． （1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． (1) 小问详解： 解：（平方米） （平方米） (2) 小问详解： 当米，米时 （平方米） （平方米） (3) 小问详解： （元） 8．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则． 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 9．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）规定两个有理数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，． （1）填空：________，________，________； （2）小明在研究这种运算时发现等式成立，他的证明过程如下： 设， 则． ，即． ，即． 仿照上述方法说明：． 【答案】（1）3，2，4．     （2） 设，，． ，，． ． ， ． ，即 等式成立．      【分析】 本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法，理解同底数幂的除法运算法则（底数不变，指数相减）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的除法运算法则进行分析计算． (1) 小问详解： 解：， ． ， ． ， ． 故答案为：3，2，4． (2) 小问详解： 解：略． 10．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）如图是2025年10月份的日历，在日历上用方框任意框选4个数字，将这4个数交叉相乘后，再相减，如：，可以发现，结果都是． （1）请你再选择类似地两个部分，通过计算验证结果是否符合规律； （2）这个月中任意选择这样的4个数是否都符合这一规律？若不符合，请举出反例；若符合，请用含字母的式子表示出这个规律，并通过运算对这个规律加以证明． 【答案】（1），（答案不唯一）；     （2） 解：设这个月中任意这样四个数中左上角的数为n，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为， ∴规律表示为：； 证明如下： ． ∴规律成立．      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式和单项式乘多项式运算的应用，解题的关键是正确表示各数． （1）根据题意写出等式，只要符合题意即可； （2）用代数式表示各数，然后写出规律；利用多项式的乘法，合并同类项等知识证明即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，，（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知长方形的面积为3a2﹣6ab，一边长为3a，则另一边长为　　　　　． 【答案】a﹣2b 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵长方形的面积为3a2﹣6ab，一边长为3a，∴另一边长为：（3a2﹣6ab）÷3a=a﹣2b． 故答案为a﹣2b． 【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 12．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查多项式乘以多项式，整式加减中的无关型问题，多项式系数、指数中字母求值，掌握知识点是解题的关键． 计算两个多项式的乘积，合并同类项后，令项的系数为零，解方程即可求出的值． 【详解】 解：计算乘积： ， ， ∵该多项式不含项， ∴项的系数为零，即， 解得，． 故答案为：1． 13．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查幂运算和多项式的乘法． （1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的运算方法即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）将转化为平方差的形式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征变形即可． 【详解】 解：， 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了平方差公式的应用，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键．在原式前乘上，再连续运用平方差公式即可得解． 【详解】 解： 故选：D． 考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，满足，求代数式的值． 【答案】． 【分析】 本题考查了整式的化简求值，因式分解的应用，偶次幂非负性，先按照完全平方公式，多项式乘以多项式的法则，平方差公式进行化简，然后合并同类项化成最简，然后根据，化为，求出，最后再把的值代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式 ． 2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）（1）解方程：． （2）对于正整数，整式是不是10的倍数？请说明理由． 【答案】(1) ；(2) 是． 【分析】 本题考查了解一元一次方程，平方差公式，正确的运算是解题的关键． （1）先去括号，再移项并合并，最后系数化为1，即可解答； （2）利用平方差公式把整式化简，化简后的式子中只要含有因数10即可． 【详解】 解：（1） ， ， ． （2）对于正整数，整式是10的倍数．理由如下： ． 对于正整数，整式是10的倍数． 3．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：；公式③：；公式④：． 图1对应公式____，图3对应公式____． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知，，求的值； ②化简． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【答案】（1）① ，④ ；（2）①；②；（3）32 【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）① 利用（1）中的公式④ 即可得解；② 利用多项式乘以多项式结合平方差计算即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④ 求出的值，即可得解． 【详解】 解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式① ； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式② ； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④ ； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③ ； 故答案为：① ；④ ； （2）① 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ② ； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 4．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的混合运算，整式的乘法运算，掌握幂的运算法则，多项式乘以多项式运算法则，牢记乘法公式是解题的关键． （1）先计算积的乘方，同底数幂的乘除法，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 5．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）计算求值 （1） （2），其中： 【答案】（1）     （2）；2      【分析】 本题主要考查了整式的四则混合运算，整式的化简求值． （1）先计算单项式乘单项式和积的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入化简后的结果计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 当时， 则原式． 6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】（1）①；②；（2）660；（3）553 【分析】 本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． （1）①根据等面积法即可得到答案； ②根据等面积法即可得到答案； （2）运用题干所给的方法进行计算即可； （3）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】 解：（1）①由图1的面积可得：． ②由图2正方形的面积可得：． （2）设，， 则， ， ； （3）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为553． 7．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 请你解决下面的问题： （1）①已知，，求的值； ②已知，则的值为_______． （2）两个正方形，按如图所示的方式摆放，面积和为，．求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式的变形应用，掌握熟练并运用完全平方公式的不同变形，结合已知条件求解代数式的值或图形面积是解题的关键． ()利用完全平方公式的变形，结合已知条件，即可解答；② 设，，则，利用完全平方公式的变形，结合已知条件，求出，即可解答； ()设两个正方形的边长分别为，利用完全平方公式，结合已知条件，逐步求出以及的值，再结合阴影部分面积的计算方法求解． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 设，， 则， ∴， ∵，即， ∴， 解得 ∵， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 设正方形的边长为，的边长为， 由题意知，，① ∴ 即：， ∴， ∴， ∵， ∴② ， 联立① ② ，解得， 即 ∴， ， 故图中阴影部分的面积为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法 5大高频考点概览 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）下表是与（其中为自然数）的部分对应值表： 5 10 15 20 25 30 35 32 1024 32768 1048576 33554432 1073741824 34359738368 根据表格提供的信息，计算的结果为（       ） A. 1048576 B. 33554432 C. 1073741824 D. 3435973836 2．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，则之间的关系为（     ） A. 和为1 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 相等 3．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）若，则y的值为　　　　　　　． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）下列计算中，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）下列运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）下列各式中，计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）下列运算结果正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）计算的结果是（     ） A. 1 B. －1 C.  D.  6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）计算：　　　　　　　　． 7．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）若，则的值为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）计算的值为　　　　　　． 9．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）已知：，则，　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 11．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）已知，则　　　　　　　　． 12．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）已知，，则　　　　　　　　　　 考点03 整式的乘法 1．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，则的值为（     ） A. 2 B. 6 C.  D.  2．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）下列计算结果等于是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）计算：　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）计算： （1） （2） 5．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）先化简，再求值：，其中； 6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）（1）计算：； （2）化简：． 7．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为米、宽为米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为米，宽为米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含、的式子表示篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （2）当米，米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用（元）． 8．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）先化简，再求值：，其中． 9．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）规定两个有理数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：，． （1）填空：________，________，________； （2）小明在研究这种运算时发现等式成立，他的证明过程如下： 设， 则． ，即． ，即． 仿照上述方法说明：． 10．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）如图是2025年10月份的日历，在日历上用方框任意框选4个数字，将这4个数交叉相乘后，再相减，如：，可以发现，结果都是． （1）请你再选择类似地两个部分，通过计算验证结果是否符合规律； （2）这个月中任意选择这样的4个数是否都符合这一规律？若不符合，请举出反例；若符合，请用含字母的式子表示出这个规律，并通过运算对这个规律加以证明． 11．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知长方形的面积为3a2﹣6ab，一边长为3a，则另一边长为　　　　　． 12．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）已知多项式与的乘积中不含项，则常数的值是　　　　　　　　　　． 13．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）计算： （1） （2） 考点04 平方差公式 1．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）将转化为平方差的形式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  考点05 完全平方公式 1．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，满足，求代数式的值． 2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）（1）解方程：． （2）对于正整数，整式是不是10的倍数？请说明理由． 3．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）【发现问题】《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：；公式②：；公式③：；公式④：． 图1对应公式____，图3对应公式____． 【解决问题】 （2）利用图形所表示的乘法公式，解决以下问题． ①已知，，求的值； ②化简． 【能力拓展】 （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形的面积和为36，直接写出阴影部分的面积____． （提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 4．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）计算： （1）； （2）； 5．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）计算求值 （1） （2），其中： 6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题． 【公式推导】 （1）①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，可得_______； ②如图2，用4个长和宽分别为的长方形拼成一个大正方形，可得______； 【阅读理解】“若满足，求的值．” 解：设，则．． 【解决问题】 （2）若满足，求的值； （3）如图3，正方形的边长为，长方形的面积是132，四边形和都是正方形，四边形是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值） 7．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题． 请你解决下面的问题： （1）①已知，，求的值； ②已知，则的值为_______． （2）两个正方形，按如图所示的方式摆放，面积和为，．求图中阴影部分的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 整式的乘法 考点01 同底数幂的乘法 考点02 幂的乘方与积的乘方 考点03 整式的乘法 考点04 平方差公式 考点05 完全平方公式 考点01 同底数幂的乘法 1．B 2．A 3．【答案】20 【分析】 本题考查了同底数幂相乘法则．利用同底数幂的乘法法则，指数相加，建立方程求解，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 解得， 故答案为：20． 考点02 幂的乘方与积的乘方 1．D 2．B 3．B 4．B 5．C 6．【答案】./0.25 【分析】 通过观察指数相同，将 和 利用积的乘方逆运算简化，再与 运算解答即可． 本题考查了积的乘方的逆应用，同底数幂的乘法，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】 解： ， 故答案为 ． 7．【答案】12 【分析】 本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂相乘的逆运算，先整理得，再把代入计算，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：12 8．【答案】1 【分析】 本题考查了积的乘方的逆运算．依据“乘方的积等于积的乘方”进行化简计算即可． 【详解】 解： ， 故答案为：1． 9．【答案】12 【分析】 本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】（1）     （2）     （3）     （4）      【分析】 本题考查了同底数幂相乘，积的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （2）把看作底数，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （3）先整理得，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可作答． （4）根据积的乘方法则进行计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：； (3) 小问详解： 解：； (4) 小问详解： 解：． 11．【答案】64 【分析】 本题主要考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握幂的乘方“底数不变，指数相乘”、积的乘方“把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方与积的乘方法则化简等式左边，再通过相同底数的指数相等建立方程，求出、的值，最后计算． 【详解】 解： ， 所以，， 解得，． 则 故答案为：． 12．【答案】 【分析】 本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，利用指数运算法则，将分解为 ，再代入已知条件求解． 【详解】 解：由，得， 由，且， 故 ． 因此，． 故答案为：． 考点03 整式的乘法 1．C 2．C 3．【答案】3 【分析】 本题考查了实数的运算；分别计算算术平方根和零指数幂，然后相加，即可求解. 【详解】 解：原式， 故答案为：3. 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式法则计算，即可作答． （2）根据多项式乘多项式法则计算，即可作答． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 5．【答案】，0 【分析】 本题考查了单项式乘多项式，化简求值，先运用单项式乘多项式，再合并同类项，得，然后把代入进行计算，即可作答． 【详解】 解： ， 当时，原式． 6．【答案】(1)，(2) 【分析】 本题考查了实数的混合运算，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法等知识﹒ （1）根据乘方运算，绝对值，立方根，算术平方根等知识进行化简，再进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法等知识进行计算，再合并同类项即可求解﹒ 【详解】 解：（1）原式； （2）原式﹒ 7．【答案】（1），；     （2）420平方米，930平方米；     （3）88500元      【分析】 本题考查整式乘法的应用． （1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． (1) 小问详解： 解：（平方米） （平方米） (2) 小问详解： 当米，米时 （平方米） （平方米） (3) 小问详解： （元） 8．【答案】， 【分析】 此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则． 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】 解： ， 当时，原式． 9．【答案】（1）3，2，4．     （2） 设，，． ，，． ． ， ． ，即 等式成立．      【分析】 本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法，理解同底数幂的除法运算法则（底数不变，指数相减）是解题关键． （1）根据新定义运算结合有理数乘方运算法则进行分析求解； （2）根据新定义运算，结合同底数幂的除法运算法则进行分析计算． (1) 小问详解： 解：， ． ， ． ， ． 故答案为：3，2，4． (2) 小问详解： 解：略． 10．【答案】（1），（答案不唯一）；     （2） 解：设这个月中任意这样四个数中左上角的数为n，右上角的数为，左下角的数为，右下角的数为， ∴规律表示为：； 证明如下： ． ∴规律成立．      【分析】 本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式和单项式乘多项式运算的应用，解题的关键是正确表示各数． （1）根据题意写出等式，只要符合题意即可； （2）用代数式表示各数，然后写出规律；利用多项式的乘法，合并同类项等知识证明即可． (1) 小问详解： 解：由题意得，，（答案不唯一）； (2) 小问详解： 略 11．【答案】a﹣2b 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵长方形的面积为3a2﹣6ab，一边长为3a，∴另一边长为：（3a2﹣6ab）÷3a=a﹣2b． 故答案为a﹣2b． 【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 12．【答案】1 【分析】 本题考查多项式乘以多项式，整式加减中的无关型问题，多项式系数、指数中字母求值，掌握知识点是解题的关键． 计算两个多项式的乘积，合并同类项后，令项的系数为零，解方程即可求出的值． 【详解】 解：计算乘积： ， ， ∵该多项式不含项， ∴项的系数为零，即， 解得，． 故答案为：1． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查幂运算和多项式的乘法． （1）根据同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方的运算法则计算即可； （2）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的运算方法即可求解． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点04 平方差公式 1．B 2．D 考点05 完全平方公式 1．【答案】． 【分析】 本题考查了整式的化简求值，因式分解的应用，偶次幂非负性，先按照完全平方公式，多项式乘以多项式的法则，平方差公式进行化简，然后合并同类项化成最简，然后根据，化为，求出，最后再把的值代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴原式 ． 2．【答案】(1) ；(2) 是． 【分析】 本题考查了解一元一次方程，平方差公式，正确的运算是解题的关键． （1）先去括号，再移项并合并，最后系数化为1，即可解答； （2）利用平方差公式把整式化简，化简后的式子中只要含有因数10即可． 【详解】 解：（1） ， ， ． （2）对于正整数，整式是10的倍数．理由如下： ． 对于正整数，整式是10的倍数． 3．【答案】（1）① ，④ ；（2）①；②；（3）32 【分析】 本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）① 利用（1）中的公式④ 即可得解；② 利用多项式乘以多项式结合平方差计算即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④ 求出的值，即可得解． 【详解】 解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式① ； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式② ； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④ ； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③ ； 故答案为：① ；④ ； （2）① 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ② ； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了幂的混合运算，整式的乘法运算，掌握幂的运算法则，多项式乘以多项式运算法则，牢记乘法公式是解题的关键． （1）先计算积的乘方，同底数幂的乘除法，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 5．【答案】（1）     （2）；2      【分析】 本题主要考查了整式的四则混合运算，整式的化简求值． （1）先计算单项式乘单项式和积的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再合并同类项，最后将代入化简后的结果计算即可． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 当时， 则原式． 6．【答案】（1）①；②；（2）660；（3）553 【分析】 本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式及整体思想是解题的关键． （1）①根据等面积法即可得到答案； ②根据等面积法即可得到答案； （2）运用题干所给的方法进行计算即可； （3）根据题意易得、的长，然后结合图形、运用题干所给的方法求解即可． 【详解】 解：（1）①由图1的面积可得：． ②由图2正方形的面积可得：． （2）设，， 则， ， ； （3）矩形的面积， 设，， 则 ∴阴影部分的面积 ． 答：阴影部分的面积为553． 7．【答案】（1）①；②     （2）      【分析】 本题考查完全平方公式的变形应用，掌握熟练并运用完全平方公式的不同变形，结合已知条件求解代数式的值或图形面积是解题的关键． ()利用完全平方公式的变形，结合已知条件，即可解答；② 设，，则，利用完全平方公式的变形，结合已知条件，求出，即可解答； ()设两个正方形的边长分别为，利用完全平方公式，结合已知条件，逐步求出以及的值，再结合阴影部分面积的计算方法求解． (1) 小问详解： 解：① ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； ② 设，， 则， ∴， ∵，即， ∴， 解得 ∵， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 设正方形的边长为，的边长为， 由题意知，，① ∴ 即：， ∴， ∴， ∵， ∴② ， 联立① ② ，解得， 即 ∴， ， 故图中阴影部分的面积为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $