专题07 实数（期中真题汇编，河南专用）八年级数学上学期

专题07 实数 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．C 2．B 3．A 4．C 5．【答案】① 6    ②     ③ 【分析】 本题考查了平方根，算术平方根，立方根的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别利用算术平方根，算术平方根，立方根的概念去求解即可． 【详解】 解：，，， 故答案为：6，，． 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了求一个数的平方根，根据算术平方根和立方根求原数，根据算术平方根和立方根的定义可求出a、b的值，进而求出的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】 解：∵的算术平方根是5，的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 7．【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根、求代数式的值，先根据算术平方根计算出，，再代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵a是的算术平方根，b是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】 解：的平方根是， 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】 解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 10．【答案】（1），，；     （2）的平方根为．      【分析】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； (2) 小问详解： 解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 11．【答案】（1），；     （2）的平方根为．      【分析】 本题考查了立方根和平方根的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和平方根的定义即可求解； （2）把的值代入求出其值，再根据平方根的定义即可求解． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的一个平方根是， ∴， 把代入，得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 考点02 立方根 1．D 2．C 3．A 考点03 实数及其简单运算 1．C 2．C 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．D 9．C 10．B 11．D 12．A 13．C 14．D 15．【答案】 【分析】 此题主要考查了实数比较大小．根据即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 16．【答案】小于 【分析】 本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，实数比较大小，根据勾股定理求出的长，进而得到点E表示的数，再根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴点E表示的数为， ∵， ∴， ∴点E表示的数小于， 故答案为：小于． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了无理数的估算、绝对值的性质以及整式的加减运算．根据绝对值的几何意义，由和，可知在和之间，因此，，求和后化简为常数即可解答． 【详解】 因为，且由和，所以， 故，， 于是， 故答案为：． 18．【答案】（1）     （2） 0或1，理由如下： 因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， 无论进行多少次运算都不可能是无理数；     （3）7或49      【分析】 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． (1) 小问详解： 解：当x＝9时，9的算术平方根为， 而3是有理数，3的算术平方根为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若1次运算就是无理数，则输入的数为7， 若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是49， 故答案为：7或49． 【点睛】 本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 19．【答案】＞ 【分析】 本题考查了实数的大小比较，比较与平方的大小即可． 【详解】 解：，， ∵， ∴． 故答案为：＞． 20．【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算以及二次根式的运算．理解新定义运算的运算法则是解题的关键． 根据新运算的定义，将和代入公式直接计算即可． 【详解】 由定义， 代入和， 得 ， 故答案为:． 21．【答案】① 64    ② 4 【分析】 本题主要考查了有理数的乘方运算，根据运算定义，由可得，求出；再代入中，得，求出即可解答． 【详解】 解：根据定义，得， 解得， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故答案为：，． 22．【答案】 【分析】 本题考查实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．先求得的长度，根据点、点到点的距离相等，即可得出的长，再用的长度加上即可得出点C所对应的实数． 【详解】 解：∵A、B两点对应的实数是和， ∴， ∵点、点到点的距离相等，， ∴， ∴点C所对应的实数是， 故答案为：． 23．【答案】 【分析】 本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 24．【答案】（1）； （2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长， 理由如下：从图中可以看到，面积为的正方形在面积为正方形的左边，所对应的边长在数轴上的位置为在的左边. 在数轴上右边的数总比左边的大， 所以小于， 即， 所以面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长； （3）从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长. 设两个正方形的面积分别为和，根据正方形面积公式，它们的边长分别为和. 因为面积大于，所以对应的边大于， 所以两个正数，那么. 【分析】 本题主要考查了正方形的面积公式，实数大小的比较，算术平方根的应用，读懂图形是解答关键. （1）根据正方形面积公式求解； （2）观察图形，利用在数轴上右边的数总比左边的大,边长长的正方形面积也大来求解； （3）利用从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长来求解. 【详解】 解：根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为. 故答案为：； （2）略 （3）略 考点04 二次根式及其性质 1．B 2．A 3．【答案】（1） ；（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，二次根式的化简等知识，解二元一次方程组等知识；本题涉及的知识点较多，掌握它们是关键． （1）利用加减法，两个方程直接相加即可消去未知数x，求出y的值，进而求得x的值； （2）分别利用零指数幂的意义、二次根式性质等知识分别计算后，最后可得结果． 【详解】 解：（1）两式相加得：， 解得：； 把代入第一个方程，得， 即； 故方程组的解为： ； （2） ． 4．【答案】 【分析】 根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据平方根的定义解答． 【详解】 解：根据题意得，且， 解得且， ∴， ∴， ∴， ∵20的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 5．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式的被开方数非负，求出x的值，再代入计算y，最后求即可． 【详解】 解：∵和都有意义， ∴且， 即且， ∴， 当时， ， ∴． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质，由三角形的三边关系得，，即得，，再根据二次根式的性质对等式的左边化简后即可求解，由三角形的三边关系判断出式子和的符号是解题的关键． 【详解】 解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．C 2．C 3．A 4．A 5．D 6．【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算立方根，零指数幂，平方差公式，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 考点06 二次根式的加法与减法 1．C 2．D 3．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 5．【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，求平方根和求立方根的方法解方程，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算分子中的二次根式加法，最后计算二次根式除法即可得到答案； （2）先根据乘法分配律去括号，再计算二次根式乘法，最后计算二次根式加法即可得到答案； （3）根据求平方根的方法解方程即可； （4）根据求立方根的方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或； (4) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．【答案】（1） 平方；；     （2）25     （3）625      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）把等式两边同时平方可得，据此可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，据此可得答案； （3）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． (1) 小问详解： 证明：和为相邻的两个整数，其中， ， 等式两边同时平方，得， 整理得． (2) 小问详解： 解：∵和为相邻的两个整数， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵和为相差4的两个整数， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．【答案】1 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件、无理数的估算、二次根式的加减，根据二次根式的被开方数为非负数求出x、y，再求出z，然后代入求解即可 【详解】 解∶ ∵，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴ ． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据乘法公式化简，再算加减； （2）先根据二次根式的乘除、二次根式的性质、立方根的意义化简，再算加减． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式． 9．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，立方根的意义． （1）先根据二次根式的除法、二次根式的性质、立方根的意义化简，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式．熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式以及完全平方公式进行化简，然后按照二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 11．【答案】（1）需要到达地面；     （2） 解：把，，代入： 因为， 所以不认同明明的想法．      【分析】 本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键． （1）将，代入关系式，计算出时间 （2）先将，代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系． (1) 小问详解： 解：把，代入得 (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，负指数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先运用完全平方公式，平方差公式，再去括号，最终合并同类项即可． （2）化简二次根式，去绝对值，零指数幂，负指数幂，最后合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 实数 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）下列说法：（1）是的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为；（4）的算术平方根是；（5）平方根等于它本身的数是和：（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）小明发现根据小明的发现，若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（　　） A. 25的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D.  4．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列算式中错误的是　　 A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）　　　　　　　　；　　　　　　　　；　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）已知的算术平方根是5，的立方根为，求的平方根． 7．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）a是的算术平方根，b是，那么　　　． 8．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）的平方根是　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）填空：的平方根是　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 11．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）已知的立方根是3，的一个平方根是． （1）求a ，b的值； （2）求的平方根． 考点02 立方根 1．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 任何实数都有平方根 B. 若，则 C. 1的立方根是 D. 的立方根是 2．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（     ） A.  B.  C. 3倍 D. 9倍 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各数是无理数的是（    ） A. 0 B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列各数中2，，（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，0，，无理数有（     ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）下列实数为无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（       ） A. 分数 B. 负数 C. 有理数 D. 无理数 5．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）如图，数轴上表示实数的点可能是（       ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）比较3和的大小，下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 8．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）有下列各数：，，，，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在，，，，0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1），，127，中，无理数的个数有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 11．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）下列各数中，其中是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，则的值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）下列说法中正确的是（       ） A. 不带根号的数都是有理数 B. 两个无理数的和还是无理数 C. 无理数就是开方开不尽的数 D. 立方根等于本身的数是，， 15．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）比较大小：1　　　　　　．（填“”“”或“”） 16．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数与的大小关系是　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，则　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）一个数值转换器，如图所示： （1）当输入的x为9时，输出的y值是 　     　； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； （3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：　     　． 19．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）比较大小：　　　　　　（填“＞”，“＜”或“＝”）． 20．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）我们来定义一种新运算：对于任意实数、，，则值为　　　　　　． 21．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）规定：如果两数、满足，则记为．例如：因为，所以．如果，，则　　　　　　，　　　　　　． 22．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是　　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）比较大小：　　　　　　（填“”“ ”“ ”）． 24．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）下列式子正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）（1）解方程： ； （2）计算：． 4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）若，则的平方根是　　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知，则　　　　　　． 6．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知，，是的三边长，若，求的值． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）下列式子是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）计算： （1）； （2）． 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 5．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 6．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则． 并给出了论证： 和为相邻的两个整数，其中， ， 等式两边同时               ，得               ， 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的论证过程； （2）若和为相邻的两个整数，求a的值； （3）若和为相差4的两个整数，求a的值． 7．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知实数x，y满足，z是的小数部分，求的值． 8．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）计算： （1） （2）． 9．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 10．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）计算： （1）； （2）． 11．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） （1）小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ （2）明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 12．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）计算： （1） （2） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 实数 6大高频考点概览 考点01 平方根 考点02 立方根 考点03 实数及其简单运算 考点04 二次根式及其性质 考点05 二次根式的乘法与除法 考点06 二次根式的加法与减法 考点01 平方根 1．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）下列说法：（1）是的平方根；（2）任何数都有立方根；（3）一个正数的两个平方根之和为；（4）的算术平方根是；（5）平方根等于它本身的数是和：（6）无限小数一定是无理数．其中错误的有（　　）个 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了实数，熟练掌握平方根、立方根、无理数的概念是解题的关键．根据平方根、立方根、无理数的概念逐一判断即可． 【详解】 解：（1）是的平方根，故原说法正确； （2）任何数都有立方根，故原说法正确； （3）一个正数的两个平方根之和为，故原说法正确； （4）的算术平方根是，故原说法错误； （5）平方根等于它本身的数是，故原说法错误； （6）无限小数不一定是无理数，故原说法错误； 错误的有个． 故选：C ． 2．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）小明发现根据小明的发现，若，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查算术平方根，根据算术平方根的性质即可求得答案． 【详解】 解：∵， ∴． 故选：B 3．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）下列说法正确的是（　　） A. 25的平方根是 B. 的平方根是 C. 9是的算术平方根 D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了求一个数的平方根，立方根，算术平方根．解题的关键是掌握相关定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 根据平方根，立方根，算术平方根的定义即可进行解答． 【详解】 解：A、25的平方根是．故A正确，符合题意； B、∵， ∴的平方根是不是3．故B不正确，不符合题意； C、∵， ∴的算术平方根为．故C不正确，不符合题意； D、．故D不正确，不符合题意． 故选：A． 4．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列算式中错误的是　　 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】A选项，A正确； B选项，B正确； C选项，C错误； D选项，D正确. 故选C. 5．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）　　　　　　　　；　　　　　　　　；　　　　　　　　． 【答案】① 6    ②     ③ 【分析】 本题考查了平方根，算术平方根，立方根的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别利用算术平方根，算术平方根，立方根的概念去求解即可． 【详解】 解：，，， 故答案为：6，，． 6．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）已知的算术平方根是5，的立方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求一个数的平方根，根据算术平方根和立方根求原数，根据算术平方根和立方根的定义可求出a、b的值，进而求出的值，再由平方根的定义可得答案． 【详解】 解：∵的算术平方根是5，的立方根为， ∴， ∴， ∴， ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 7．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）a是的算术平方根，b是，那么　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了算术平方根、求代数式的值，先根据算术平方根计算出，，再代入所求代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵a是的算术平方根，b是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）的平方根是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再求平方根即可． 【详解】 解：的平方根是， 故答案为：． 9．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）填空：的平方根是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】 解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． （1）求，，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），，；     （2）的平方根为．      【分析】 本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是解题的关键． （）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的，，的值即可； （）把，，的值先代入求解，然后根据平方根的概念即可得出结果． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是，算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵，即， ∴整数部分， ∴，，； (2) 小问详解： 解：由（）得，，，， ∴， ∴的平方根为． 11．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）已知的立方根是3，的一个平方根是． （1）求a ，b的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），；     （2）的平方根为．      【分析】 本题考查了立方根和平方根的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和平方根的定义即可求解； （2）把的值代入求出其值，再根据平方根的定义即可求解． (1) 小问详解： 解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的一个平方根是， ∴， 把代入，得：， 解得：； (2) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 考点02 立方根 1．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）下列说法正确的是（     ） A. 任何实数都有平方根 B. 若，则 C. 1的立方根是 D. 的立方根是 【答案】D 【分析】 本题主要考查平方根，立方根，根据平方根，立方根的定义解答即可． 【详解】 解：A，负数没有平方根，故A错误； B，若，则或，故B错误； C，1的立方根是1，故C错误； D，的立方根是，故D正确. 故选：D． 2．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）下列计算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．根据平方根与立方根的意义判断即可． 【详解】 解：选项A.，故不符合题意， B. ，故不符合题意， C. ，故正确，符合题意， D. ，故不符合题意， 故选：C 3．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知正方体的体积是正方体体积的，那么正方体的表面积是正方体表面积的（     ） A.  B.  C. 3倍 D. 9倍 【答案】A 【分析】 此题主要考查了立方根，正确掌握立方根的定义是解题关键． 根据正方体体积比求出边长比，再根据表面积与边长平方成正比，求出表面积比． 【详解】 解：设正方体的边长为，则体积， 则正方体的体积为， 正方体的边长为． 正方体的表面积为， 正方体的表面积为， ． 故选：A． 考点03 实数及其简单运算 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各数是无理数的是（    ） A. 0 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】 解∶ A、0是整数，不是无理数，不符合题意； B、是分数，不是无理数，不符合题意； C、是开方开不尽的数，是无理数，符合题意； D、是整数，不是无理数，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列各数中2，，（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，0，，无理数有（     ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；② 开方开不尽的数，如，等；③ 虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】 解：在数2，，（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，0，中，无理数有（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，共3个， 故选：C． 3．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）下列实数为无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】 解：A、是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是无理数，故此选项符合题意； C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； D、是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）圆周率日（）是一年一度的庆祝圆周率的节日，由圆周率最常用的近似值3.14而来，时间被定在3月14日．那么圆周率是（       ） A. 分数 B. 负数 C. 有理数 D. 无理数 【答案】D 【分析】 本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此求解即可． 【详解】 解：圆周率是无理数． 故选D． 5．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）如图，数轴上表示实数的点可能是（       ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【分析】 估计的范围即可． 【详解】 解：∵， ∴， 数轴上在这个范围内的只有点P． 故选：C． 【点睛】 本题考查无理数的估计，正确估计的范围是求解本题的关键． 6．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽的才是无理数，无限不循环小数为无理数．分别根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】 解：A． 是分数，属于有理数； B．，是整数，属于有理数； C．是循环小数，属于有理数； D． 是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 7．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）比较3和的大小，下列正确的是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的大小比较，通过比较3和的平方大小来判断即可． 【详解】 解：∵，，且， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，数轴上，，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查用数轴上的点表示实数及数轴上两点间的距离．掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．求出的距离，再求出点C所表示的数． 【详解】 解：设点C所表示的数是m， 数轴上，A、B两点对应的实数分别是和， ，点C在点A的右侧， 点C所对应的实数是． 故选：D． 9．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）有下列各数：，，，，，（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了无理数的定义：无理数就是无限不循环小数，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数判断作答即可． 【详解】 解：由题意得，：是无限不循环小数，因此也是无限不循环小数，是无理数； ：（整数），是有理数； ：有限小数，是有理数； ：开立方开不尽，结果是无限不循环小数，是无理数； ：分数，是有理数； （自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）：无限不循环小数，是无理数； 综上所述，无理数有个， 故选C． 10．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在，，，，0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1），，127，中，无理数的个数有（       ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；② 开方开不尽的数，如，等；③ 具有特殊结构的数，如0.1010010001…（相邻两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（相邻两个2之间依次增加1个1）．据此解答即可． 【详解】 解：是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是循环小数，属于有理数； 是π的倍数，π是无理数，是无理数； 0.2121121112… 是无限不循环小数，是无理数； ，9不是立方数，是无理数； 127是整数，属于有理数； ，是分数，属于有理数． 无理数有 、0.2121121112…、，共3个． 故选B． 11．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）下列各数中，其中是无理数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了无理数，算术平方根的求解，通过判断每个数是否是无理数（即无限不循环小数或不能表示为分数），逐一分析选项即可 【详解】 解：A、，是整数，属于有理数； B、是分数，属于有理数； C、是循环小数（循环节为15），属于有理数； D、中是无理数，除以3后仍为无限不循环小数，属于无理数， 故选：D 12．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年一季度全国可再生能源发电量达到8160亿千瓦时．将8160亿用科学记数法表示为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，解答即可． 【详解】 解：8160亿； 故选：A． 13．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，则的值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 先根据三边长计算半周长P，再代入公式求面积S，最后估算S的范围确定n的值． 本题考查秦九韶公式的应用和无理数的估算，熟练掌握估算是解题的关键． 【详解】 解：∵ 三角形的三边长分别为2, 4, 4， ∴， ∴， ∵ ，， ∴ ， ∴， 又， 故． 故选：C． 14．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）下列说法中正确的是（       ） A. 不带根号的数都是有理数 B. 两个无理数的和还是无理数 C. 无理数就是开方开不尽的数 D. 立方根等于本身的数是，， 【答案】D 【分析】 本题考查实数的运算，立方根以及无理数的性质，利用无理数的定义及立方根的定义判断即可．熟练掌握各自的性质是解题的关键． 【详解】 解：A．不带根号的数不一定是有理数，例如 ，故此选项不符合题意； B．两个无理数的和不一定是无理数，例如，故此选项不符合题意； C．无理数不一定是开方开不尽的数，例如 ，故此选项不符合题意； D．立方根等于本身的数是，，，故此选项符合题意． 故选：D． 15．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）比较大小：1　　　　　　．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】 此题主要考查了实数比较大小．根据即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， 故答案为：． 16．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数与的大小关系是　　　　　　　． 【答案】小于 【分析】 本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，实数比较大小，根据勾股定理求出的长，进而得到点E表示的数，再根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴点E表示的数为， ∵， ∴， ∴点E表示的数小于， 故答案为：小于． 17．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）已知，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了无理数的估算、绝对值的性质以及整式的加减运算．根据绝对值的几何意义，由和，可知在和之间，因此，，求和后化简为常数即可解答． 【详解】 因为，且由和，所以， 故，， 于是， 故答案为：． 18．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）一个数值转换器，如图所示： （1）当输入的x为9时，输出的y值是 　     　； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由； （3）若输出的y是，请写出两个满足要求的x值：　     　． 【答案】（1）     （2） 0或1，理由如下： 因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1， 无论进行多少次运算都不可能是无理数；     （3）7或49      【分析】 （1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案； （3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案． (1) 小问详解： 解：当x＝9时，9的算术平方根为， 而3是有理数，3的算术平方根为， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若1次运算就是无理数，则输入的数为7， 若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是49， 故答案为：7或49． 【点睛】 本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 19．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）比较大小：　　　　　　（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【答案】＞ 【分析】 本题考查了实数的大小比较，比较与平方的大小即可． 【详解】 解：，， ∵， ∴． 故答案为：＞． 20．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）我们来定义一种新运算：对于任意实数、，，则值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了新定义运算以及二次根式的运算．理解新定义运算的运算法则是解题的关键． 根据新运算的定义，将和代入公式直接计算即可． 【详解】 由定义， 代入和， 得 ， 故答案为:． 21．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）规定：如果两数、满足，则记为．例如：因为，所以．如果，，则　　　　　　，　　　　　　． 【答案】① 64    ② 4 【分析】 本题主要考查了有理数的乘方运算，根据运算定义，由可得，求出；再代入中，得，求出即可解答． 【详解】 解：根据定义，得， 解得， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故答案为：，． 22．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．先求得的长度，根据点、点到点的距离相等，即可得出的长，再用的长度加上即可得出点C所对应的实数． 【详解】 解：∵A、B两点对应的实数是和， ∴， ∵点、点到点的距离相等，， ∴， ∴点C所对应的实数是， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）比较大小：　　　　　　（填“”“ ”“ ”）． 【答案】 【分析】 本题考查了实数的大小比较和无理数的估算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 通过比较分子的大小来确定分数的大小，由于分母相同，只需比较分子和1的大小，然后即可求解 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 24．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）（1）如图，展示了六个面积分别为，，，，，的正方形，根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为______；（用二次根式表示） （2）观察图形中面积为和的两个正方形边长在数轴上的位置，请比较这两个正方形边长的大小，并借助数轴解释理由； （3）如果两个正数，那么．请借助下图进行解释． 【答案】（1）； （2）面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长， 理由如下：从图中可以看到，面积为的正方形在面积为正方形的左边，所对应的边长在数轴上的位置为在的左边. 在数轴上右边的数总比左边的大， 所以小于， 即， 所以面积为的正方形边长小于面积为的正方形边长； （3）从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长. 设两个正方形的面积分别为和，根据正方形面积公式，它们的边长分别为和. 因为面积大于，所以对应的边大于， 所以两个正数，那么. 【分析】 本题主要考查了正方形的面积公式，实数大小的比较，算术平方根的应用，读懂图形是解答关键. （1）根据正方形面积公式求解； （2）观察图形，利用在数轴上右边的数总比左边的大,边长长的正方形面积也大来求解； （3）利用从图中可以看到，面积大的正方形，它的边长也长来求解. 【详解】 解：根据正方形面积公式（其中表示正方形的边长，表示正方形的面积），则面积为的正方形的边长为. 故答案为：； （2）略 （3）略 考点04 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）下列式子正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，，据此求解即可． 【详解】 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知实数，在数轴上的对应点如图，则化简为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴上点的位置确定，，a的符号是解题的关键． 利用数轴上点的位置确定，，，再利用二次根式的性质解答即可． 【详解】 解：根据数轴可得，，，， ∴，， ∴原式 ． 故选：A． 3．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）（1）解方程： ； （2）计算：． 【答案】（1） ；（2） 【分析】 本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，二次根式的化简等知识，解二元一次方程组等知识；本题涉及的知识点较多，掌握它们是关键． （1）利用加减法，两个方程直接相加即可消去未知数x，求出y的值，进而求得x的值； （2）分别利用零指数幂的意义、二次根式性质等知识分别计算后，最后可得结果． 【详解】 解：（1）两式相加得：， 解得：； 把代入第一个方程，得， 即； 故方程组的解为： ； （2） ． 4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）若，则的平方根是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据平方根的定义解答． 【详解】 解：根据题意得，且， 解得且， ∴， ∴， ∴， ∵20的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次根式有意义的条件以及平方根的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件． 5．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式的被开方数非负，求出x的值，再代入计算y，最后求即可． 【详解】 解：∵和都有意义， ∴且， 即且， ∴， 当时， ， ∴． 故答案为：． 6．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知，，是的三边长，若，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质，由三角形的三边关系得，，即得，，再根据二次根式的性质对等式的左边化简后即可求解，由三角形的三边关系判断出式子和的符号是解题的关键． 【详解】 解：∵，，是的三边长， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得． 考点05 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）下列式子是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用最简二次根式的定义判断即可． 【详解】 A、原式=，不符合题意； B、原式= 2，不符合题意； C、原式为最简二次根式，符合题意； D、原式= 4，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 2．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】 解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、故本选项错误，不符合题意； 故选：C 3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A、是最简二次根式，符合题意； B、不是二次根式，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列各式中，是最简二次根式的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】 解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：① 被开方数的因数是整数，因式是整式，② 被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 5．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”，由此即可求解． 【详解】 解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D ． 6．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）0      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）先计算立方根，零指数幂，平方差公式，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解：； (2) 小问详解： 解：． 考点06 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）下列计算正确的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的化简、四则运算法则、完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键．根据以上知识点，分别对各选项进行计算和判断，即可求解． 【详解】 A、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； B、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； C、，本选项计算正确，故本选项符合题意； D、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】 解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： （1）化简：； （2）化简：； （3）计算：． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 4．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 5．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，求平方根和求立方根的方法解方程，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算分子中的二次根式加法，最后计算二次根式除法即可得到答案； （2）先根据乘法分配律去括号，再计算二次根式乘法，最后计算二次根式加法即可得到答案； （3）根据求平方根的方法解方程即可； （4）根据求立方根的方法解方程即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴或； (4) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）阅读材料： 和为整数，； 和为整数，； 和为整数，； …… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则． 并给出了论证： 和为相邻的两个整数，其中， ， 等式两边同时               ，得               ， 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： （1）请补全小明的论证过程； （2）若和为相邻的两个整数，求a的值； （3）若和为相差4的两个整数，求a的值． 【答案】（1） 平方；；     （2）25     （3）625      【分析】 本题主要考查了二次根式的混合计算，正确理解题意是解题的关键． （1）把等式两边同时平方可得，据此可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，据此可得答案； （3）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案． (1) 小问详解： 证明：和为相邻的两个整数，其中， ， 等式两边同时平方，得， 整理得． (2) 小问详解： 解：∵和为相邻的两个整数， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 小问详解： 解：∵和为相差4的两个整数， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）已知实数x，y满足，z是的小数部分，求的值． 【答案】1 【分析】 本题考查二次根式有意义的条件、无理数的估算、二次根式的加减，根据二次根式的被开方数为非负数求出x、y，再求出z，然后代入求解即可 【详解】 解∶ ∵，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴ ． 8．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）计算： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据乘法公式化简，再算加减； （2）先根据二次根式的乘除、二次根式的性质、立方根的意义化简，再算加减． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式． 9．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，立方根的意义． （1）先根据二次根式的除法、二次根式的性质、立方根的意义化简，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． (1) 小问详解： 解： (2) 小问详解： 解： 10．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式．熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式以及完全平方公式进行化简，然后按照二次根式的混合运算的运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 11．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）物体在做自由落体运动时，下落到地面的时间（单位：s）和下落高度（单位：m）之间满足关系式，其中取．（不考虑空气阻力） （1）小球从高空自由落下，需要多长时间到达地面？ （2）明明认为，小球从的高空自由落下，到达地面所需要的时间是从高空自由落下所需时间的2倍，你是否认同明明的想法？请说明理由． 【答案】（1）需要到达地面；     （2） 解：把，，代入： 因为， 所以不认同明明的想法．      【分析】 本题主要考查了二次根式的运算以及对自由落体运动时间与高度关系的应用，熟练掌握二次根式的化简计算是解题的关键． （1）将，代入关系式，计算出时间 （2）先将，代入关系式求出时间，再与（1）中结果比较，判断是否为2倍关系． (1) 小问详解： 解：把，代入得 (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，零指数幂，负指数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先运用完全平方公式，平方差公式，再去括号，最终合并同类项即可． （2）化简二次根式，去绝对值，零指数幂，负指数幂，最后合并同类项即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $