专题04 等腰三角形与等边三角形（期中真题汇编，河南专用）八年级数学上学期

专题04 等腰三角形与等边三角形 2大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点01 等腰三角形 1．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】B 【分析】 根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】 解：由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， 所以斜边=2×2=4cm 故选B． 【点睛】 题目主要考查在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握运用此定理是解题关键． 2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由作图方法可得，则由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（     ） A. 8海里 B. 海里 C. 7海里 D. 海里 【答案】B 【分析】 此题考查了三角形外角的性质，等角对等边，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，首先得出，得到，然后求出，，进而求解即可． 【详解】 如图所示，连接， 根据题意得，， ∴ ∴ ∴（海里） ∵ ∴ ∴海里 ∴（海里）． 故选：B． 4．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）下面三个定理中，存在逆定理的有（     ） ①等边对等角；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【分析】 此题考查了逆定理，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定，同角的补角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 判断每个定理的逆命题是否为真命题，逆定理存在当且仅当逆命题为真． 【详解】 ∵ ①等边对等角的逆命题是等角对等边，为真命题，故存在逆定理； ∵ ②同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，为真命题，故存在逆定理； ∵ ③同角的补角相等的逆命题是相等的角是同角的补角，不一定成立，故不存在逆定理； ∴存在逆定理的有2个． 故选：B． 5．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（       ） A. 3 B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 此题考查了平行线的性质，等边对等角，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 由平行线的性质和等边对等角得到，然后利用角平分线的性质定理求解即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点D到边的距离． 故选：B． 6．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在中，D，E分别是边，上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，则． 【详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数是（       ）． A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题考查等腰三角形的性质（两底角相等）和三角形内角和定理（内角和为），需要分给定角是顶角或底角两种情况讨论． 【详解】 解：∵等腰三角形的一个内角为， 若这个角为顶角，则底角为：， 若这个角为底角，则另一个底角也为， ∴其一个底角的度数是或． 故选：C． 8．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，在中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 利用含30°的直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】 解：在中，，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了含30°的直角三角形的性质以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键． 9．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中，是横梁，是竖梁．在焊接竖梁时，只需要找到的中点D，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（     ） A. 三角形具有稳定性 B. 等腰三角形“三线合一” C. 垂线段最短 D. 等边对等角 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质解答即可，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 10．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，与角平分线有关的计算，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据平分，的垂直平分线交于点，得，再根据三角形内角和定理进行列式计算，即可作答． 【详解】 解：∵平分， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴ ∴， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：D 11．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再由平行线的性质和角平分线及三角形外角的性质，可得到的度数，从而利用直角三角形的性质求得的长，最后求出三角形面积． 【详解】 解：过点作于点，过点作于点， 是平分线上一点，，，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，掌握角平分线的性质定理是关键． 12．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质可得，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴. 故选：A． 13．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，在中，，于点C，平分交于点F，交于点D，连接．若，下面结论正确的个数是（       ）． ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【分析】 此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．根据，，得出，即可判断① ；结合① 即可证明，故② 正确；根据平分，得出，，求出，即可判断④ ；证明，得出，即可判断③ ； 【详解】 解：∵，， ，， ∴，故① 正确； 在和中 ， ，故② 正确； ， ∵平分， ， ∴， ∴， 即，故④ 正确； 在和中 ， ， ， ∴， 即，故③ 正确； 故选：D． 14．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 15．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角，是解题的关键．连接，中垂线的性质结合外角的性质得到，等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】 解：连接，     ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 16．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（       ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【分析】 本题考查了三角形周长的计算，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 根据可得：，从而得到，则三角形的周长可转化为，代入计算即可． 【详解】 解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 17．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 【答案】（1） 解：如图所示；      （2） 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即.      【分析】 本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等边对等角，同角的余角相等， 对于（1），以点D为圆心，以为半径画弧，交于点H，G，再以点H，G为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，连接，交于点E，交于点F，则点E，F即为所求作； 对于（2），先根据等边对等角得，再根据同角的余角相等可得，则此题可证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE=3，则DF=　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解． 【详解】 解：过点作，垂足为，如图所示． 是的平分线， ． 在中，，， ，即． 在中，，， ． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长是解题的关键． 19．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，，垂足为C，平分，交于点E，，，求： （1）的度数； （2）的度数； （3）的度数． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查三角形的内角与外角，等腰三角形的性质； （1）根据三角形内角和求解即可； （2）根据等腰三角形等边对等角得到； （3）根据三角形的外角得到 (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， (3) 小问详解： 解：． 20．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD． （1）求∠CAD的度数； （2）若BD=5，求CD的长． 【答案】（1）90°     （2）10      【分析】 （1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，结合等腰三角形的性质即可求解； （2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD ∴∠BAD=∠B=30° ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=30°，在△ABC中，∠BAC=180°-30°-30°=120° ∴∠CAD=120°-30°=90° ； (2) 小问详解： ∵BD=5， ∴AD=BD=5 ∵在直角△ACD中，∠C=30°， ∴CD=2AD=10 ． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质以及直角三角形的性质，掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键． 21．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，垂直平分，垂直平分，若，则　　　　　　　　　． 【答案】40 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，进而得到，则． 【详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故答案为：40． 22．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 【答案】证明：中，，点D是的中点， ，， 垂直平分线段， 点E在上， ． 【分析】 根据等腰三角形三线合一可证，可得垂直平分线段，进而可证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是证明垂直平分线段． 23．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】 解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 24．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，是中线，且．求证：是直角三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理，根据中线的定义和等腰三角形的判定得到，进而可得，再根据三角形内角和为即可证明． 【详解】 证明：略． 25．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若AD＝6cm，CD＝3cm，则图中阴影部分的面积是　　　　cm2． 【答案】9 【分析】根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高， ∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴， ∴△CEF和△BEF的面积相等， ∴S阴影=S△ABD， ∵AB=AC，AD是BC边上的高， ∴BD=CD=3，BC=2BD=6 ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC， ∵BC=6cm，AD=6cm， ∴S△ABC=BC•AD=×6×6=18cm2， ∴S阴影=18÷2=9cm2． 故答案为9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键． 26．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出，由，，可得，再推出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵周长为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 27．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在 中，，是 边上的中线，是 外角的平分线． （1）如图，用直尺和圆规作 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，设与交于点，判断的形状，并说明理由． （3）如图，若，，，、分别是线段 和线段上的动点，则的最小值为__________ 【答案】（1） 如下图，作 的平分线：      （2）解：如下图： 是等腰直角三角形，理由如下： ，是 边上的中线， ，， ， 是  外角的平分线， ， 中，， ， ， 是直角三角形， 是 的平分线， ， 是等腰直角三角形；     （3）．      【分析】 （1）由尺规作图作角平分线的方法即可得图； （2）是等腰直角三角形，由等腰三角形性质可得，，结合角平分线定义和外角性质得，再结合三角形内角和定理得，再由角平分线定义得即可得证； （3）连接，结合三线合一定理得是的垂直平分线，则，当取最小值时，点、、在一条直线上，且，最后由三角形面积计算公式即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， ，是 边上的中线， 是的垂直平分线， 是线段上的动点， ， 则当取最小值时，点、、在一条直线上，且， ， 又，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的知识点是尺规作图作角平分线、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、外角性质、三角形内角和定理、三线合一、垂直平分线的性质、垂线段最短，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 28．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】 解：，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 29．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当　　　　　　时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】 本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；分两种情况讨论：当时，当时，结合直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ， 当运动时，，，， ∵是直角三角形， ∴或， ① 当时， ， ， ， 即， 解得：； ②当时， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形． 故答案为：或． 30．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）【研究背景】学习了等腰三角形的性质和判定后，小张同学发现：“等腰三角形的两个底角相等”这一性质的逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”可以作为等腰三角形的一种判定方法．于是他开始思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题是否也可以作为等腰三角形的判定方法呢？于是他和兴趣小组的同学们展开了研究． 【初步探索】兴趣小组的同学们得出三个有关命题，请你补充完整． 命题1．如果三角形的一边上的中线，也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形． 命题2．如果三角形的一条角平分线，也是这个角所对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形． 命题3．__________________________________ 同学们明确命题的已知和求证，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，利用所学知识完成了命题1和命题2的证明．下面是针对命题3的研究过程，请你补充完整． 【深入研究】已知：如图1，在中，平分，D为中点． 求证：． 同学们发现利用是角平分线提供的和D是中点提供的，无法直接证明图中的三角形全等． 基于此，他们进行深入研究，充分发挥了角平分线和中线的作用，得出了不同的证明方法．请你根据提示，补全辅助线的作法和关键步骤． （1）方法一：倍长中线法——构造“8”字全等 辅助线作法：延长至点M，使得______，连接． 关键步骤：通过证明____________（），得到______，______，实现了边角的转化，最终证明． （2）方法二（请设计一种与方法一不同的思路，利用图3写出辅助线作法和关键步骤） 辅助线作法： 关键步骤： 【答案】（初步探索）如果三角形的一条角平分线，也是这个角所对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （深入研究） （1）；，； （2）辅助线作法：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ， 平分， ， 是的中线， ， ， ， ． 【分析】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （初步探索）仿照命题1、2即可解答． （深入研究）（1）方法一：证明，得到，进而求出，进而得到，进而得到，即可． （2）方法二：角平分线的性质，得到，中线得到，证明，得到，进而得到，即可得证； 【详解】 （初步探索）解：命题3．如果三角形的一条角平分线，也是这个角所对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形． （深入研究）（1）方法一：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， ， ， ． （2）方法二：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ， 平分， ， 是的中线， ， ， ， ． 31．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）已知，平分，点P在上，且，点A，点B分别是两边，上的点． （1）的最小值为　　　　　　； （2）若时，与的数量关系为　　　　　　． 【答案】① 2    ② 或（相等或互补） 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质． （1）根据垂线段最短和含30度的直角三角形的性质求解即可． （2）分情况画图讨论即可． 【详解】 解：（1）如图，当时，最小， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）过点作， ∵平分， ∴，， 如图① ，当时， ∴， ∴， ∴； 如图② ，当时， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图③ ，当时， 同② 可得； 如图④ ，当时， 同① 可得； 综上，或， 故答案为：或． 32．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在中，，，平分，若，则的长度为　　　　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．利用三角形内角和定理先求和，根据角平分线的定义可得，推出，得到，利用在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半进行求解即可． 【详解】 解：， ， ， ，， 平分， ， ， ， 在中，，， ， ． 33．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　　　　cm． 【答案】13 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 34．（25-26学年八上·河南安阳·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 【答案】（1）在和中， ， ∴， ∴； （2）如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质； （1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于H，证明是等腰直角三角形，可得，然后同（2）证明， ，即可得出答案． 【详解】 解：（1）略 （2） 略 （3）． 证明：如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即 ∴， 故答案为：． 35．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】（1）等腰     （2）或     （3）真命题      【分析】 本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论． （1）由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形； （2）或都有可能是，再求的度数； （3）由等腰三角形的性质推出，即可证明问题． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． (2) 小问详解： 解：若， ∴； 若， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． (3) 小问详解： 解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下： ∵，为的中点， ∴， ∴为线段的垂直平分线． 故答案为：真命题． 36．（25-26学年八上·河南安阳·期中）顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形．如图，中，，且． （1）用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点D．（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出的平分线后，请问是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1） 如图， 射线即为所求；      （2） 是黄金三角形， 理由如下： 中，， ， ， 平分， ， ， ， ， 是以为顶角的等腰三角形， 是黄金三角形．      【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理的应用等； （1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交边、，分别以两个交点为圆心，大于两交点连线段的长为半径画弧交于一点，以为端点，过此点作射线交于，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解； 理解新定义，掌握角平分线的尺规作图作法，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：① 当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；② 当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得． 【详解】 解：当为锐角时，如图， 根据题意得， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即，解得， ∴，， 由折叠得， ∴； ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴，即， ∴ ∴， ∴； 当为钝角时，如图， 过点作于点，则， ∴， 同（1）可得，， ∴， 同理可得 ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 38．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图所示，∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F． （1）求证：△AFD为等腰三角形； （2）若DF＝10cm，求DE的长． 【答案】（1）证明： 如图所示， ∵DF∥AC， ∴∠3＝∠2， ∵AD是角平分线， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴FD＝FA， ∴△AFD为等腰三角形． （2）DE＝5cm． 【分析】 （1）利用平行线和角平分线的性质，证得等角，利用等角对等边这一判定定理证明△AFD为等腰三角形． （2）AD是角平分线，易证∠GFD＝30°，又△GFD是直角三角形，所以30°锐角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，求出DE＝5． 【详解】 解：（1）略； （2）如图，过D作DG⊥AB，垂足为G， ∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠BAC＝30°， ∴∠1＝15°， 又∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠3＝15°， ∴∠GFD＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°， 在Rt△FDG中，DF＝10cm，∠GFD＝30°， ∴DG＝5cm， ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB， ∴DE＝DG＝5cm． 【点睛】 本题主要考查了角平分线与平行线性质及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 39．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 　　　　　　． 【答案】或 【分析】 分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】 解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 40．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）在同一平面内，已知点在等边外部，且与等边三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，若的度数不小于，则的度数为　　　　　　　． 【答案】或或 【分析】 本题考查等边三角形的性质（三边相等、三角均为）、等腰三角形的判定与性质（两边相等则底角相等，内角和为）、平面内点的位置与角度分析（分类讨论点的位置）、分类讨论思想； 根据题意，利用圆半径相等和等腰三角形的性质，作出图，分类讨论即可． 【详解】 解：根据点在等边外部，且与等边三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形作出以下图形： 由图可得，的度数不小于，符合题意有以下三种情况： ①在边的中垂线上，易证 ∴． ②在边的中垂线上，易证（圆的半径） ∴ ∴． ③在边的中垂线上， 同理可证， ∴． 故答案为：或或． 41．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）（1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证， （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，以为端点引一条射线与射线相交于点，在射线上取点，使，请用含的式子表示． 【答案】（1）证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2）解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （3）或 【分析】 （1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）当点在射线上时，在的延长线上找一点E，使，设，同（2）的证明方法得出，推出，，由此得出；当点在线段上时，同样的方法求得． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：当点在延长线上时， 如图，在的延长线上找一点E，使， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 当点在线段上时， 如图，在上找一点E，使， ∵，， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 42．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 43．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，    ∴， 在中，，    ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，； （2），； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，    ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）． 【分析】 （1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】 （1）解：同理，在中，， 在中   ，， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）略 （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 44．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论是　　　　　　　　．（填序号） 【答案】① ② ③ ④ ⑤ 【分析】 本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，如图，根据等边三角形的性质可得① 符合题意；证明，可得，结合，进一步可得② 符合题意；证明，可得， 可得③ 符合题意；证明，进一步可得④ 符合题意；求解，进一步可得⑤ 符合题意． 【详解】 解：连接，如图     ∵是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，，故① 符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故② 符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③ 符合题意； ∵，是的中点， ， 故④ 符合题意； ， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，故⑤ 符合题意． 故答案为：① ② ③ ④ ⑤ ． 45．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图1，在中，，，与相交于点，且，，垂足分别为点、. （1）若，，求的长. （2）如图2，取中点，连接、，请判断的形状，并说明理由. 【答案】（1）3；（2）为等腰直角三角形 【分析】 （1）根据AAS只要证明△ACF≌△CBE，得到CE=AF=5，CF=BE=2，即可得到EF； （2）连接CG，由（1）得到△ABC是等腰直角三角形，CG是中线，得到∠CBG=45°，得到CG=BG，易得到∠GCF=∠GBE，CF=BF，由SAS证明△CFG≌△BEG，得到FG=EG，∠CGF=∠BGE，再由等角互换得到∠FGE=∠AGC=90°，即可得到的形状为等腰直角三角形. 【详解】 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，∴ 在和△中 ∴                                                      ∴ ∵ ∴                                                                       （2）为等腰直角三角形                                                   理由如下：连接 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵， ∴ 由（1）证可知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴                                                      ∴                                                                                                                          ∵ ∴ 即                                                           ∴是等腰直角三角形 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 考点02 等边三角形 1．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，在等边中，D，E分别是的中点，P是上一动点，当的周长最小时，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，连接交于点F，连接，根据轴对称的性质得出P点与F点重合时，的周长最小，进而得出即可求解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接交于点F，连接，    ∵点D，E分别是等边的中点， ∴， ∴， ∵点P是上一动点，当的周长最小时，即， 即当E,P,C三点共线时，的周长最小，此时点P点与F点重合， ∵垂直平分，垂直平分 ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴P点与F点重合，， 故选B． 2．（25-26学年八上·河南安阳·期中）下列说法错误的是（     ） A. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合 B. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等 C. 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，对称轴是三条中线所在的直线 【答案】A 【分析】 本题考查轴对称图形，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，根据轴对称图形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质一一判断即可． 【详解】 解：A. 等腰三角形对应边上的中线、对应边上的高线以及对应角的角平分线互相重合，故选项A说法错误，符合题意； B. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等，说法正确，故此选项不符合题意； C. 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，说法正确，故此选项不符合题意； D. 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，对称轴是三条中线所在的直线，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理是解决问题的关键．设直线a与交于点D，与交于点E，先由对顶角的性质得，再由等边三角形的性质得，然后由三角形的外角定理可求出，最后再根据直线可得的度数． 【详解】 解：设直线a与交于点D，与交于点E，如图所示： ， ， 为等边三角形， ， 为的一个外角， ， 直线 ． 故选：A． 4．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）下列说法中，不正确的是（        ） A. 有两个角是的三角形是等边三角形 B. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 C. 若中，，则是直角三角形 D. 已知，，，则可以画出唯一确定的 【答案】B 【分析】 此题考查了等边三角形的判定，角平分线的性质，三角形内角和定理以及用判定三角形全等．利用等边三角形的判定，角平分线的性质，三角形内角和定理以及用判定三角形全等进行解答即可． 【详解】 解：A、有两个角是的三角形是等边三角形，正确，故该选项不符合题意； B、三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三个角的平分线的交点，原说法错误，故该选项符合题意； C、由三角形内角和定理得到：，正确，故该选项不符合题意； D、由判定可以画出唯一确定的，正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（     ） A. 130° B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的外角性质，全等三角形的性质与判定等知识，由四边形是正方形，得，，，然后证明，故有，然后通过等边三角形的性质可得，，从而求得，再根据三角形外角性质求得即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（     ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故① 正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③ 正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故② 错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④ 正确． 【详解】 解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故① 正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③ 正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故② 错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④ 正确； 综上所述：正确的有① ③ ④ ，一共3个； 故选：B． 7．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，过边长为的等边的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交于，则的长为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 过P作BC的平行线交AC于F，结合已知条件易证是等边三角形，由等边三角形的性质及可得．利用AAS证明≌，根据全等三角形的性质可得．利用等腰三角形三线合一的性质可得，由此可得，从而求得DE的长. 【详解】 过P作BC的平行线交AC于F， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ， ∴是等边三角形， ∴． ∵，∴． 在和中， ∵ ， ∴≌， ∴． ∵于， 是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，∴． 故的长为． 故选B. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形，利用等边三角形的性质建立等边三角形边长与ED之间的关系是解决问题的关键． 8．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称－最短路径、含的直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质求解最短路径问题是解题的关键． 如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，进而得出的值最小的情况，然后根据所对的直角边等于斜边的一半进而得出答案． 【详解】 解：如图：作点E关于y轴的对称点，过点作交y轴于点P，则此时的值最小，       ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴点A的坐标为． 故选：B． 9．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：在中，，， ， ∵点是的中点， ， 为等边三角形；     （2） 证明：∵和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， , ， ．      【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． （1）先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，由此可得出结论； （2）根据等边三角形性质得，，，由此得，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，等边中，是边上的中线，，则　　　　　　度． 【答案】15 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．利用等边三角形的性质求得，，利用等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】 解：∵等边，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 11．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 12．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，点是线段上一点，，，． （1）求证：． （2）若，判断的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴；     （2） 解：为等边三角形． 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定， （1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，然后利用三角形外角的性质得，据此可判定三角形的形状， 掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，，为上的一点，，为上一点，于点，于点，且．连接，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴点在角平分线上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分；     （2）．      【分析】 本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，则点在角平分线上，，，则，然后通过垂直平分线的判定即可求证； （）由（）得，又，则有是等边三角形，然后通过等边三角形性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． 14．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， （1）当是等腰三角形时，___________； （2）求证：； （3）求的最小值． 【答案】（1）；     （2） 证明：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴；     （3）的最小值为．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又是边上的高，所以，由是等腰三角形，则，然后通过角度和差即可求解； （）由是等边三角形，是等边三角形，得，，，然后通过“”即可求证； （）由等边三角形性质可得，，又是边上的高，所以，，由全等三角形性质可得，故有当时，最小，最后通过含度直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴，， 由（）得，， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴的最小值为． 15．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【答案】（1） 证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE．     （2）90°．      【分析】 （1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． 16．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）【课本再现】 （1）教材：P93第12题，请补充完整．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，则与的数量关系为______． 【深入研究】（2）如图，是等边三角形，若点D是线段一点，点E是延长线上一点，且．问（1）中与的数量关系还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【应用拓展】（3）在（2）的条件中，若点D是射线上一点，当是直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】（1）相等（或） （2）（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图所示，在上取一点使得，连接， ∵是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）或 【分析】 （1）先由等边三角形的性质得到，则，利用三角形外角的性质得到，则，即可证明； （2）如图所示，在上取一点使得，连接，证明是等边三角形，得到，再分别证明，进而证明，从而证明． （3）根据（2）可知，当是直角三角形时，则，故，分为点D是线段上一点，和点D是延长线上一点，分别计算即可． 【详解】 （1）． 证明：∵是等边三角形，是中线， ， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）根据（2）可知， 当是直角三角形时，则， 若点D是线段上一点， 则， ∴． 若点D是延长线上一点， 则， ∴． 综上，或． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 17．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ．      【分析】 此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）【模型感知】 （1）如图1，和都是等边三角形，求证，； 【模型应用】 （2）如图2，已知，点在直线上，以为边作等边三角形，连接，求证：； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点运动到射线上时，过点作于点，请写出线段，与之间存在的数量关系并加以说明． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析 【分析】 （1）由等边三角形的性质得，，．则，再根据全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）在上截取，使得，连接，则是等边三角形，同（1）可证，根据全等三角形的性质得出，进而得出结论； （3）连接，在的延长线上截取，使得，连接．根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，得出，再由含角的直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，在的延长线上截取，使得，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 故， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点． 【答案】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点． 【分析】 本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证． 【详解】 略 20．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，和都是等边三角形，点B在的延长线上 （1）求证：； （2）若，，求的长； 【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ， ， ， 在 和中， ， ；     （2）5．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质，由即能判定； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，即可得出，，进而得到,即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是证明三角形全等的关键． 21．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图1，点D是边长为的等边边所在直线上的一个动点，从点B向C方向运动，以为边向右侧作等边． （1）连接，若点D在边上时，易知线段三者之间的关系为（不用证明）；如图2当点D在C的右侧时，试探索线段三者之间的数量关系，并说明理由． （2）如图1，当点D从B运动到C时，若点D的运动速度为，则当运动时间为_______秒时，的周长取得最小值． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即．     （2）1      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合等边三角形的性质，得，，再整理得，即可证明，则，因为，所以，即可作答． （2）先理解题意，结合等边三角形的性质，得，，再整理得，即可证明，则，故的周长，根据的周长取得最小值，则取得最小值，即取得最小值，当时，则取得最小值，因为点D的运动速度为，且是等边三角形，进行分析列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， ∴， 即， ∴， ∴ 则的周长， ∵等边的边长为 ∴的周长， ∵的周长取得最小值 ∴取得最小值， 即取得最小值， ∵点D从B运动到C， ∴当时，则取得最小值， ∵点D的运动速度为，且是等边三角形， ∴此时， 即当运动时间为1秒时，的周长取得最小值． 22．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）①当的值为__________时，是等边三角形； ②当的值为__________时，为直角三角形． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， 当，则， 在中，， ， 在与中， ， ．     （2）①；②或4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题与分类讨论思想．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）由，得出，利用平行线的性质得出，结合，即可证明； （2）①由可得出，进而得出关于的一元一次方程，求解即可得出结论； ②由（1）可知，当为直角三角形，也为直角三角形，分与两种情况考虑，利用直角三角形角的对边等于斜边的一般可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①当是等边三角形，且中， ， ，， ， ， 当时，为等边三角形； ②当时， ， 在中，， ， ， ，， ， 解得； 当时， ， ，即， 解得， 综上所述，当或4时，为直角三角形． 23．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，过作于，根据角平分线的轴对称性，可作关于对称点，连接，则，由得，当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】 解：∵平分，如图，过作于，作关于对称点， ∴在上，连接， 则， 当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 24．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，点是轴上一个定点，点是轴正半轴上的一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中，正确的有　　　　　　　　　　　．（填序号） ； ； 直线与轴所夹的锐角恒为； 随点的移动，线段的值逐渐增大． 【答案】 【分析】 由和都是等边三角形，得，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，可判断正确； 由，得，可判断正确； 延长交轴于点，由，得，而，则，可判断正确； 因为点是轴上一个定点，所以的长为定值，由，得，可知的长为定值，可判断错误． 【详解】 解：和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， 故正确； ， ， 故正确； 延长交轴于点， ， ， ， ， 直线与轴的夹角恒为， 故正确； 点是轴上一个定点， 的长为定值， ， ， 的长为定值， 随点的移动，线段的值不变， 故错误， 故答案为：． 【点睛】 此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 25．（25-26学年八上·河南安阳·期中）阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 【答案】（1） 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求；     （2）①6，②      【分析】 （1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ② ∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 26．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）已知：点为直线上一定点，点为直线外一定点，，将点关于直线对称，得到点，连接交直线于点．点为直线上一动点（不与点重合），以为边，作等边（，，三点按顺时针方向排列），直线交直线于点． （1）如图1， ①求证：； ②用等式表示，和的数量关系，并证明； （2）若线段长的最小值为2，则线段的长为___________． 【答案】（1） ① 证明如下： 如图，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②或或，证明如下： 如图所示，截取， 由① 得，，为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由① 得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在上方，点下方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在点上方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或；     （2）8      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，含角的直角三角形，垂线段最短等知识，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）① 连接，根据等边三角形的判定和性质证明，即可得出结论； ② 利用① 中的结论，分三种情况进行讨论，根据含角的直角三角形的性质及线段的和差，即可求解； （2）当取最小值时，,然后根据含角的直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，由① 知，，当取最小值时，, ∴, 由① 得为等边三角形， ∴, 故答案为：8． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形与等边三角形 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点01 等腰三角形 1．B 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．C 12．A 13．D 14．A 15．C 16．C 17．【答案】（1） 解：如图所示；      （2） 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即.      【分析】 本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等边对等角，同角的余角相等， 对于（1），以点D为圆心，以为半径画弧，交于点H，G，再以点H，G为圆心，以为半径画弧，两弧交于点K，连接，交于点E，交于点F，则点E，F即为所求作； 对于（2），先根据等边对等角得，再根据同角的余角相等可得，则此题可证. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】6 【分析】 过点作，垂足为，则，在中，利用三角形内角和定理可求出，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半可求出的长，此题得解． 【详解】 解：过点作，垂足为，如图所示． 是的平分线， ． 在中，，， ，即． 在中，，， ． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及角所对的直角边等于斜边的一半，求出的长是解题的关键． 19．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查三角形的内角与外角，等腰三角形的性质； （1）根据三角形内角和求解即可； （2）根据等腰三角形等边对等角得到； （3）根据三角形的外角得到 (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵，， ∴， (2) 小问详解： 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， (3) 小问详解： 解：． 20．【答案】（1）90°     （2）10      【分析】 （1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，结合等腰三角形的性质即可求解； （2）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD ∴∠BAD=∠B=30° ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=30°，在△ABC中，∠BAC=180°-30°-30°=120° ∴∠CAD=120°-30°=90° ； (2) 小问详解： ∵BD=5， ∴AD=BD=5 ∵在直角△ACD中，∠C=30°， ∴CD=2AD=10 ． 【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质以及直角三角形的性质，掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键． 21．【答案】40 【分析】 本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，进而得到，则． 【详解】 解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 故答案为：40． 22．【答案】证明：中，，点D是的中点， ，， 垂直平分线段， 点E在上， ． 【分析】 根据等腰三角形三线合一可证，可得垂直平分线段，进而可证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是证明垂直平分线段． 23．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质和判定．证明，得，根据三角形面积公式可解答． 【详解】 解：为边上的高， ， ， ，为边上的中线， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 24．【答案】证明：∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】 此题考查了等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理，根据中线的定义和等腰三角形的判定得到，进而可得，再根据三角形内角和为即可证明． 【详解】 证明：略． 25．【答案】9 【分析】根据等腰三角形是轴对称图形知，△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半． 【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高， ∴△ABC是轴对称图形，且直线AD是对称轴， ∴△CEF和△BEF的面积相等， ∴S阴影=S△ABD， ∵AB=AC，AD是BC边上的高， ∴BD=CD=3，BC=2BD=6 ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC， ∵BC=6cm，AD=6cm， ∴S△ABC=BC•AD=×6×6=18cm2， ∴S阴影=18÷2=9cm2． 故答案为9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称性质；利用对称发现并利用△CEF和△BEF的面积相等是正确解答本题的关键． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）结合等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质求出，，再根据三角形外角性质、三角形内角和定理求解即可； （2）先求得，再求出，由，，可得，再推出，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：∵，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵周长为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 27．【答案】（1） 如下图，作 的平分线：      （2）解：如下图： 是等腰直角三角形，理由如下： ，是 边上的中线， ，， ， 是  外角的平分线， ， 中，， ， ， 是直角三角形， 是 的平分线， ， 是等腰直角三角形；     （3）．      【分析】 （1）由尺规作图作角平分线的方法即可得图； （2）是等腰直角三角形，由等腰三角形性质可得，，结合角平分线定义和外角性质得，再结合三角形内角和定理得，再由角平分线定义得即可得证； （3）连接，结合三线合一定理得是的垂直平分线，则，当取最小值时，点、、在一条直线上，且，最后由三角形面积计算公式即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：连接， ，是 边上的中线， 是的垂直平分线， 是线段上的动点， ， 则当取最小值时，点、、在一条直线上，且， ， 又，，， ， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查的知识点是尺规作图作角平分线、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、外角性质、三角形内角和定理、三线合一、垂直平分线的性质、垂线段最短，解题关键是熟练掌握三线合一定理． 28．【答案】20 【分析】 本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】 解：，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 29．【答案】或 【分析】 本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；分两种情况讨论：当时，当时，结合直角三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∵在中，， ∴， ， 当运动时，，，， ∵是直角三角形， ∴或， ① 当时， ， ， ， 即， 解得：； ②当时， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形． 故答案为：或． 30．【答案】（初步探索）如果三角形的一条角平分线，也是这个角所对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形； （深入研究） （1）；，； （2）辅助线作法：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ， 平分， ， 是的中线， ， ， ， ． 【分析】 本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键． （初步探索）仿照命题1、2即可解答． （深入研究）（1）方法一：证明，得到，进而求出，进而得到，进而得到，即可． （2）方法二：角平分线的性质，得到，中线得到，证明，得到，进而得到，即可得证； 【详解】 （初步探索）解：命题3．如果三角形的一条角平分线，也是这个角所对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形． （深入研究）（1）方法一：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， ， ， ． （2）方法二：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ， 平分， ， 是的中线， ， ， ， ． 31．【答案】① 2    ② 或（相等或互补） 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质． （1）根据垂线段最短和含30度的直角三角形的性质求解即可． （2）分情况画图讨论即可． 【详解】 解：（1）如图，当时，最小， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）过点作， ∵平分， ∴，， 如图① ，当时， ∴， ∴， ∴； 如图② ，当时， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图③ ，当时， 同② 可得； 如图④ ，当时， 同① 可得； 综上，或， 故答案为：或． 32．【答案】4 【分析】 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．利用三角形内角和定理先求和，根据角平分线的定义可得，推出，得到，利用在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半进行求解即可． 【详解】 解：， ， ， ，， 平分， ， ， ， 在中，，， ， ． 33．【答案】13 【分析】根据平行线的性质可证的△DPB和△EPC为等腰三角形，从而将△PDE的周长转化为BC的长． 【详解】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm． 即△PDE的周长是13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，难度不大，注意转化思想的运用． 34．【答案】（1）在和中， ， ∴， ∴； （2）如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】 本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质； （1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于H，证明是等腰直角三角形，可得，然后同（2）证明， ，即可得出答案． 【详解】 解：（1）略 （2） 略 （3）． 证明：如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即 ∴， 故答案为：． 35．【答案】（1）等腰     （2）或     （3）真命题      【分析】 本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论． （1）由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形； （2）或都有可能是，再求的度数； （3）由等腰三角形的性质推出，即可证明问题． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． (2) 小问详解： 解：若， ∴； 若， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． (3) 小问详解： 解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下： ∵，为的中点， ∴， ∴为线段的垂直平分线． 故答案为：真命题． 36．【答案】（1） 如图， 射线即为所求；      （2） 是黄金三角形， 理由如下： 中，， ， ， 平分， ， ， ， ， 是以为顶角的等腰三角形， 是黄金三角形．      【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理的应用等； （1）以为圆心，任意长为半径画弧分别交边、，分别以两个交点为圆心，大于两交点连线段的长为半径画弧交于一点，以为端点，过此点作射线交于，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解； 理解新定义，掌握角平分线的尺规作图作法，等腰三角形的判定及性质是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．【答案】或 【分析】 本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，分为锐角和钝角两种情况讨论求解：① 当为锐角时求出，，由折叠得，可求得，过点作于点，证明，可求出，可求出，根据可得结论；② 当为钝角时，过点作于点，得出，可求出，，从而可得． 【详解】 解：当为锐角时，如图， 根据题意得， ∵， ∴设，则， ∵， ∴，即，解得， ∴，， 由折叠得， ∴； ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴，即， ∴ ∴， ∴； 当为钝角时，如图， 过点作于点，则， ∴， 同（1）可得，， ∴， 同理可得 ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 38．【答案】（1）证明： 如图所示， ∵DF∥AC， ∴∠3＝∠2， ∵AD是角平分线， ∴∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴FD＝FA， ∴△AFD为等腰三角形． （2）DE＝5cm． 【分析】 （1）利用平行线和角平分线的性质，证得等角，利用等角对等边这一判定定理证明△AFD为等腰三角形． （2）AD是角平分线，易证∠GFD＝30°，又△GFD是直角三角形，所以30°锐角所对的直角边等于斜边的一半这一性质，求出DE＝5． 【详解】 解：（1）略； （2）如图，过D作DG⊥AB，垂足为G， ∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠BAC＝30°， ∴∠1＝15°， 又∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠3＝15°， ∴∠GFD＝∠1+∠3＝15°+15°＝30°， 在Rt△FDG中，DF＝10cm，∠GFD＝30°， ∴DG＝5cm， ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB， ∴DE＝DG＝5cm． 【点睛】 本题主要考查了角平分线与平行线性质及等腰三角形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 39．【答案】或 【分析】 分两种情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角或者当等腰三角形的顶角是钝角，分别进行求解即可得到答案． 【详解】 解：当等腰三角形的顶角是锐角时，如图： 则， ， 等腰三角形的顶角为； 当等腰三角形的顶角是钝角时，如图： 则， ， ， ， 等腰三角形的顶角为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为：或， 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，采用分类讨论的思想解题，是解决本题的关键． 40．【答案】或或 【分析】 本题考查等边三角形的性质（三边相等、三角均为）、等腰三角形的判定与性质（两边相等则底角相等，内角和为）、平面内点的位置与角度分析（分类讨论点的位置）、分类讨论思想； 根据题意，利用圆半径相等和等腰三角形的性质，作出图，分类讨论即可． 【详解】 解：根据点在等边外部，且与等边三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形作出以下图形： 由图可得，的度数不小于，符合题意有以下三种情况： ①在边的中垂线上，易证 ∴． ②在边的中垂线上，易证（圆的半径） ∴ ∴． ③在边的中垂线上， 同理可证， ∴． 故答案为：或或． 41．【答案】（1）证明：∵， ∴（等量代换） 即， 在和中 ∴． （2）解：∵中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （3）或 【分析】 （1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）当点在射线上时，在的延长线上找一点E，使，设，同（2）的证明方法得出，推出，，由此得出；当点在线段上时，同样的方法求得． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）解：当点在延长线上时， 如图，在的延长线上找一点E，使， ∵，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ． 当点在线段上时， 如图，在上找一点E，使， ∵，， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，三角形内角和定理的应用，属于规律探究题，难度逐步加大，解题的关键是充分利用类比方法，参考上一问的方法步骤找到解题方向． 42．【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴；     （2）     （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或      【分析】 （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：① 当时，；② 当时，；③ 当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； (3) 小问详解： 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ① 当时，，如图③ ， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ② 当时，，如图④ ， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③ 当时，，如图⑤ ， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1) 得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴ ，解得 ， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】 此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 43．【答案】（1），，，； （2），； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，    ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）． 【分析】 （1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】 （1）解：同理，在中，， 在中   ，， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）略 （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 44．【答案】① ② ③ ④ ⑤ 【分析】 本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．连接，如图，根据等边三角形的性质可得① 符合题意；证明，可得，结合，进一步可得② 符合题意；证明，可得， 可得③ 符合题意；证明，进一步可得④ 符合题意；求解，进一步可得⑤ 符合题意． 【详解】 解：连接，如图     ∵是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴，，故① 符合题意； ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 故② 符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③ 符合题意； ∵，是的中点， ， 故④ 符合题意； ， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，故⑤ 符合题意． 故答案为：① ② ③ ④ ⑤ ． 45．【答案】（1）3；（2）为等腰直角三角形 【分析】 （1）根据AAS只要证明△ACF≌△CBE，得到CE=AF=5，CF=BE=2，即可得到EF； （2）连接CG，由（1）得到△ABC是等腰直角三角形，CG是中线，得到∠CBG=45°，得到CG=BG，易得到∠GCF=∠GBE，CF=BF，由SAS证明△CFG≌△BEG，得到FG=EG，∠CGF=∠BGE，再由等角互换得到∠FGE=∠AGC=90°，即可得到的形状为等腰直角三角形. 【详解】 解：（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，∴ 在和△中 ∴                                                      ∴ ∵ ∴                                                                       （2）为等腰直角三角形                                                   理由如下：连接 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∵， ∴ 由（1）证可知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴                                                      ∴                                                                                                                          ∵ ∴ 即                                                           ∴是等腰直角三角形 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 考点02 等边三角形 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．B 9．【答案】（1） 证明：在中，，， ， ∵点是的中点， ， 为等边三角形；     （2） 证明：∵和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， , ， ．      【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． （1）先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，由此可得出结论； （2）根据等边三角形性质得，，，由此得，进而可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 10．【答案】15 【分析】 本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理．利用等边三角形的性质求得，，利用等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】 解：∵等边，是边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 11．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，      （2）     （3） 解：如上图所示，点即为所求，．      【分析】 本题主要考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可画出； （2）利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，从而解决问题． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：的面积； (3) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴；     （2） 解：为等边三角形． 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定， （1）证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，然后利用三角形外角的性质得，据此可判定三角形的形状， 掌握全等三角形的判定和等边三角形的判定是解题的关键． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1） 证明：∵，，， ∴点在角平分线上，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分；     （2）．      【分析】 本题考查了垂直平分线的判定，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，，则点在角平分线上，，，则，然后通过垂直平分线的判定即可求证； （）由（）得，又，则有是等边三角形，然后通过等边三角形性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴． 14．【答案】（1）；     （2） 证明：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴；     （3）的最小值为．      【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质，垂线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由是等边三角形，则，又是边上的高，所以，由是等腰三角形，则，然后通过角度和差即可求解； （）由是等边三角形，是等边三角形，得，，，然后通过“”即可求证； （）由等边三角形性质可得，，又是边上的高，所以，，由全等三角形性质可得，故有当时，最小，最后通过含度直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴，， 由（）得，， ∴， ∴当时，最小，最小值为， ∴的最小值为． 15．【答案】（1） 证明：如图，过点A作AF⊥BC于F． ∵AB＝AC，AD＝AE． ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BD＝CE．     （2）90°．      【分析】 （1）作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF=CF，DF=EF，相减后即可得到正确的结论． （2）根据等边三角形的判定得到△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵AD＝DE＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠ADE＝60°． ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA． ∴∠DAB∠ADE＝30°． ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°． 【点睛】 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质是本题的关键． 16．【答案】（1）相等（或） （2）（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图所示，在上取一点使得，连接， ∵是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）或 【分析】 （1）先由等边三角形的性质得到，则，利用三角形外角的性质得到，则，即可证明； （2）如图所示，在上取一点使得，连接，证明是等边三角形，得到，再分别证明，进而证明，从而证明． （3）根据（2）可知，当是直角三角形时，则，故，分为点D是线段上一点，和点D是延长线上一点，分别计算即可． 【详解】 （1）． 证明：∵是等边三角形，是中线， ， ， ， ， ， ， ． （2）略 （3）根据（2）可知， 当是直角三角形时，则， 若点D是线段上一点， 则， ∴． 若点D是延长线上一点， 则， ∴． 综上，或． 【点睛】 本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 17．【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形；     （2） 证明：， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 是的中点， 是边的中线， 是等边三角形， ．      【分析】 此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），理由见解析 【分析】 （1）由等边三角形的性质得，，．则，再根据全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）在上截取，使得，连接，则是等边三角形，同（1）可证，根据全等三角形的性质得出，进而得出结论； （3）连接，在的延长线上截取，使得，连接．根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，得出，再由含角的直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】 （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：．理由如下： 如图，在的延长线上截取，使得，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 故， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19．【答案】证明：如图，连接． ∵在等边中，点是的中点， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点． 【分析】 本题考查了等腰三角形与等边三角形，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证． 【详解】 略 20．【答案】（1） 证明：和都是等边三角形， ， ， ， 在 和中， ， ；     （2）5．      【分析】 （1）根据等边三角形的性质，由即能判定； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，即可得出，，进而得到,即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质是证明三角形全等的关键． 21．【答案】（1） 解：，理由如下： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即．     （2）1      【分析】 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合等边三角形的性质，得，，再整理得，即可证明，则，因为，所以，即可作答． （2）先理解题意，结合等边三角形的性质，得，，再整理得，即可证明，则，故的周长，根据的周长取得最小值，则取得最小值，即取得最小值，当时，则取得最小值，因为点D的运动速度为，且是等边三角形，进行分析列式计算，即可作答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， ∴， 即， ∴， ∴ 则的周长， ∵等边的边长为 ∴的周长， ∵的周长取得最小值 ∴取得最小值， 即取得最小值， ∵点D从B运动到C， ∴当时，则取得最小值， ∵点D的运动速度为，且是等边三角形， ∴此时， 即当运动时间为1秒时，的周长取得最小值． 22．【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， 当，则， 在中，， ， 在与中， ， ．     （2）①；②或4      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，动点问题与分类讨论思想．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）由，得出，利用平行线的性质得出，结合，即可证明； （2）①由可得出，进而得出关于的一元一次方程，求解即可得出结论； ②由（1）可知，当为直角三角形，也为直角三角形，分与两种情况考虑，利用直角三角形角的对边等于斜边的一般可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：①当是等边三角形，且中， ， ，， ， ， 当时，为等边三角形； ②当时， ， 在中，， ， ， ，， ， 解得； 当时， ， ，即， 解得， 综上所述，当或4时，为直角三角形． 23．【答案】 【分析】 本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，过作于，根据角平分线的轴对称性，可作关于对称点，连接，则，由得，当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解． 【详解】 解：∵平分，如图，过作于，作关于对称点， ∴在上，连接， 则， 当、、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值， ∵在锐角三角形中，，的面积为， ∴， ∴，即的最小值为， 故答案为：． 24．【答案】 【分析】 由和都是等边三角形，得，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，可判断正确； 由，得，可判断正确； 延长交轴于点，由，得，而，则，可判断正确； 因为点是轴上一个定点，所以的长为定值，由，得，可知的长为定值，可判断错误． 【详解】 解：和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， 故正确； ， ， 故正确； 延长交轴于点， ， ， ， ， 直线与轴的夹角恒为， 故正确； 点是轴上一个定点， 的长为定值， ， ， 的长为定值， 随点的移动，线段的值不变， 故错误， 故答案为：． 【点睛】 此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 25．【答案】（1） 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求；     （2）①6，②      【分析】 （1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）①由题意知，是等边的对称轴，作关于的对称点，连接，，则的最小值是，然后求解作答即可； ②由题意知，是的对称轴，如图2，作关于的对称点，连接，作于，由题意知，当三点共线时，，当重合时，的值最小，为，根据计算求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：① ∵等边，是的平分线， ∴是等边的对称轴， 如图1，作关于的对称点，连接，， ∴为的中点，为的平分线， ∴， 由题意知，的最小值是， 故答案为：6； ② ∵平分， ∴是的对称轴， 如图2，作关于的对称点，连接，作于， 由题意知，当三点共线时，， 当重合时，的值最小，为， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形三边关系，角平分线的性质，等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 26．【答案】（1） ① 证明如下： 如图，连接， 由轴对称的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； ②或或，证明如下： 如图所示，截取， 由① 得，，为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由① 得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在上方，点下方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点在点上方时， 同上可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或；     （2）8      【分析】 本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，轴对称的性质，含角的直角三角形，垂线段最短等知识，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）① 连接，根据等边三角形的判定和性质证明，即可得出结论； ② 利用① 中的结论，分三种情况进行讨论，根据含角的直角三角形的性质及线段的和差，即可求解； （2）当取最小值时，,然后根据含角的直角三角形的性质即可求解． (1) 小问详解： 解：① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：如图所示，由① 知，，当取最小值时，, ∴, 由① 得为等边三角形， ∴, 故答案为：8． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形与等边三角形 2大高频考点概览 考点01 等腰三角形 考点02 等边三角形 考点01 等腰三角形 1．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 2．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，一艘快艇从地出发，向正北方向航行5海里后到达地，然后右转继续航行到达地，若地在地北偏东方向上，，则的距离为（     ） A. 8海里 B. 海里 C. 7海里 D. 海里 4．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）下面三个定理中，存在逆定理的有（     ） ①等边对等角；②同位角相等，两直线平行；③同角的补角相等． A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 5．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在四边形中，，，，， 则点D到边的距离为（       ） A. 3 B. 2 C.  D.  6．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在中，D，E分别是边，上的点，垂直平分，连接．若，，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数是（       ）． A.  B.  C. 或 D. 或 8．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，在中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中，是横梁，是竖梁．在焊接竖梁时，只需要找到的中点D，就可以保证竖梁与横梁垂直，这样操作的数学依据是（     ） A. 三角形具有稳定性 B. 等腰三角形“三线合一” C. 垂线段最短 D. 等边对等角 10．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，已知是平分线上一点，，交于点，且，，则的面积等于（        ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，在中，，于点C，平分交于点F，交于点D，连接．若，下面结论正确的个数是（       ）． ①；②；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 14．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  15．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，点在边上，．若，则的周长为（       ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 17．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可画出草图后解答（2）题）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 18．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE=3，则DF=　　　　　　　． 19．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，，垂足为C，平分，交于点E，，，求： （1）的度数； （2）的度数； （3）的度数． 20．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，连接AD． （1）求∠CAD的度数； （2）若BD=5，求CD的长． 21．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，垂直平分，垂直平分，若，则　　　　　　　　　． 22．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：． 23．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）在中，，为边上的中线，为边上的高，，相交于点．若，，则的面积是　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，是中线，且．求证：是直角三角形． 25．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若AD＝6cm，CD＝3cm，则图中阴影部分的面积是　　　　cm2． 26．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且． （1）若，求的度数； （2）若周长为，，求的长． 27．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在 中，，是 边上的中线，是 外角的平分线． （1）如图，用直尺和圆规作 的平分线；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）在（1）的条件下，设与交于点，判断的形状，并说明理由． （3）如图，若，，，、分别是线段 和线段上的动点，则的最小值为__________ 28．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，则的周长是　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在中，，动点从点A出发，沿向点运动，动点从点出发，沿向点运动，如果动点以以的速度同时出发．设运动时间为在运动过程中，的形状不断发生变化，当　　　　　　时，是直角三角形． 30．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）【研究背景】学习了等腰三角形的性质和判定后，小张同学发现：“等腰三角形的两个底角相等”这一性质的逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”可以作为等腰三角形的一种判定方法．于是他开始思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题是否也可以作为等腰三角形的判定方法呢？于是他和兴趣小组的同学们展开了研究． 【初步探索】兴趣小组的同学们得出三个有关命题，请你补充完整． 命题1．如果三角形的一边上的中线，也是这边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形． 命题2．如果三角形的一条角平分线，也是这个角所对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形． 命题3．__________________________________ 同学们明确命题的已知和求证，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，利用所学知识完成了命题1和命题2的证明．下面是针对命题3的研究过程，请你补充完整． 【深入研究】已知：如图1，在中，平分，D为中点． 求证：． 同学们发现利用是角平分线提供的和D是中点提供的，无法直接证明图中的三角形全等． 基于此，他们进行深入研究，充分发挥了角平分线和中线的作用，得出了不同的证明方法．请你根据提示，补全辅助线的作法和关键步骤． （1）方法一：倍长中线法——构造“8”字全等 辅助线作法：延长至点M，使得______，连接． 关键步骤：通过证明____________（），得到______，______，实现了边角的转化，最终证明． （2）方法二（请设计一种与方法一不同的思路，利用图3写出辅助线作法和关键步骤） 辅助线作法： 关键步骤： 31．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）已知，平分，点P在上，且，点A，点B分别是两边，上的点． （1）的最小值为　　　　　　； （2）若时，与的数量关系为　　　　　　． 32．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在中，，，平分，若，则的长度为　　　　　　　　　　　． 33．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　　　　　cm． 34．（25-26学年八上·河南安阳·期中）（1）【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】 如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，中，，，点在线段上，且，于，交于，请直接写出和之间的数量关系为　　． 35．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 36．（25-26学年八上·河南安阳·期中）顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形．如图，中，，且． （1）用无刻度的直尺和圆规作的平分线交于点D．（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）中作出的平分线后，请问是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． 37．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）等腰三角形纸片中，，将纸片沿直线l折叠，使点A与点B重合，直线l交于点D，交直线于点E，连接，若，，则的面积为　　　　　　　　　　． 38．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图所示，∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F． （1）求证：△AFD为等腰三角形； （2）若DF＝10cm，求DE的长． 39．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是 　　　　　　． 40．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）在同一平面内，已知点在等边外部，且与等边三个顶点中的任意两个顶点形成的三角形都是等腰三角形，若的度数不小于，则的度数为　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）（1）【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证， （2）【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，以为端点引一条射线与射线相交于点，在射线上取点，使，请用含的式子表示． 42．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1                              图2                            图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 43．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，    ∴， 在中，，    ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 44．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的结论是　　　　　　　　．（填序号） 45．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图1，在中，，，与相交于点，且，，垂足分别为点、. （1）若，，求的长. （2）如图2，取中点，连接、，请判断的形状，并说明理由. 考点02 等边三角形 1．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，在等边中，D，E分别是的中点，P是上一动点，当的周长最小时，则的值为（       ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年八上·河南安阳·期中）下列说法错误的是（     ） A. 等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合 B. 关于某条直线对称的两个三角形一定全等 C. 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等 D. 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，对称轴是三条中线所在的直线 3．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）下列说法中，不正确的是（        ） A. 有两个角是的三角形是等边三角形 B. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 C. 若中，，则是直角三角形 D. 已知，，，则可以画出唯一确定的 5．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在正方形的外侧，以为边作等边三角形，连接，交正方形的对角线于点，连接，则的度数为（     ） A. 130° B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（     ）个 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，过边长为的等边的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交于，则的长为（   ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在第三象限，是等边三角形，点在线段上，且，点是线段上的动点，点是轴负半轴上的动点，当的值最小时，，则点的坐标是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）求证：． 10．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，等边中，是边上的中线，，则　　　　　　度． 11．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． （2）求的面积． （3）在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使的值最小，请写出点P的坐标． 12．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，点是线段上一点，，，． （1）求证：． （2）若，判断的形状并说明理由． 13．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，，为上的一点，，为上一点，于点，于点，且．连接，交于点． （1）求证：垂直平分； （2）求的长． 14．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作等边三角形，连接，， （1）当是等腰三角形时，___________； （2）求证：； （3）求的最小值． 15．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． （1）求证：BD＝CE； （2）若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 16．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）【课本再现】 （1）教材：P93第12题，请补充完整．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，则与的数量关系为______． 【深入研究】（2）如图，是等边三角形，若点D是线段一点，点E是延长线上一点，且．问（1）中与的数量关系还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【应用拓展】（3）在（2）的条件中，若点D是射线上一点，当是直角三角形时，直接写出的度数． 17．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 18．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）【模型感知】 （1）如图1，和都是等边三角形，求证，； 【模型应用】 （2）如图2，已知，点在直线上，以为边作等边三角形，连接，求证：； 【类比探究】 （3）在（2）的条件下，当点运动到射线上时，过点作于点，请写出线段，与之间存在的数量关系并加以说明． 19．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，已知等边中，点D是的中点，点E是延长线上的一点，且，，垂足为M，求证：点M是的中点． 20．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，和都是等边三角形，点B在的延长线上 （1）求证：； （2）若，，求的长； 21．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图1，点D是边长为的等边边所在直线上的一个动点，从点B向C方向运动，以为边向右侧作等边． （1）连接，若点D在边上时，易知线段三者之间的关系为（不用证明）；如图2当点D在C的右侧时，试探索线段三者之间的数量关系，并说明理由． （2）如图1，当点D从B运动到C时，若点D的运动速度为，则当运动时间为_______秒时，的周长取得最小值． 22．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． （1）求证：； （2）①当的值为__________时，是等边三角形； ②当的值为__________时，为直角三角形． 23．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为　　　　　　． 24．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，点是轴上一个定点，点是轴正半轴上的一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中，正确的有　　　　　　　　　　　．（填序号） ； ； 直线与轴所夹的锐角恒为； 随点的移动，线段的值逐渐增大． 25．（25-26学年八上·河南安阳·期中）阅读材料： 如图1，课本再现：综合与实践活动一“牧民饮马问题”抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，在直线上存在点，使得的值最小． “智慧小组”的作法是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为点，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点的位置即为所求，“智慧小组”经探究发现，只需在直线上另外任取一点，连接．证明即可． （1）请完成图3中的证明； （2）类比应用： ①如图4，在等边中，是中点，是的平分线，是上的动点．若，则的最小值是______； ②如图5，在中，，，，，平分，点分别为上的动点，连接．则的最小值是______． 26．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）已知：点为直线上一定点，点为直线外一定点，，将点关于直线对称，得到点，连接交直线于点．点为直线上一动点（不与点重合），以为边，作等边（，，三点按顺时针方向排列），直线交直线于点． （1）如图1， ①求证：； ②用等式表示，和的数量关系，并证明； （2）若线段长的最小值为2，则线段的长为___________． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $