专题06 勾股定理（期中真题汇编，河南专用）八年级数学上学期

专题06 勾股定理 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．D 9．A 10．B 11．D 12．D 13．D 14．D 15．B 16．【答案】 【分析】 根据题意得当AF≥AD-DF时，可得当A，F，D在同一直线上时，AF的长最小；再根据勾股定理进行计算，即可得到线段AF长的最小值． 【详解】 解：如图，连接AD， 由题意得：DF=DB=CD=， ∵AF+DF≥AD， ∴ ， ∴当A、F、D三点共线时，AF的长最小， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， 即 线段AF长的最小值为． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 17．【答案】 【分析】 根据关于y轴对称的点的坐标特征、二次根式的加减，根据轴对称的性质得到点B的坐标，再根据两点间距离公式计算A、B之间的距离即可． 【详解】 解：∵点B与点A关于y轴对称，， ∴点B的坐标为， ∴A、B两点之间的距离是． 故答案为：． 18．【答案】12 【分析】 利用勾股定理可得斜边长，再根据面积法即可得到斜边上的高． 【详解】 解：∵直角三角形的两直角边分别为15cm和20cm， ∴斜边（cm）， 设斜边上的高为h cm，依题意得： ， 解得h=12， ∴斜边上的高为12cm， 故答案为：12． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 19．【答案】3 【分析】 过点作，根据题意可得，再根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积可得，从而进行求解即可．本题考查勾股定理的逆定理、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质证明是解题的关键． 【详解】 解：过点作， ，，， 即， ， 为的角平分线，，， ， ， 又， ， 即， 解得， ， 故答案为：3． 20．【答案】15 【分析】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】 解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 21．【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【详解】 解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 22．【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 23．【答案】（1）此刻风筝离地面的高度为16.6米     （2）该同学应该收回7米      【分析】 （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为16.6米； (2) 小问详解： 解：如图，设风筝沿方向下降9m至点，则 ， 在中，由勾股定理可知， ， 答：该同学应该收回7米． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 24．【答案】（1） 如图所示坐标系即为所求， ； 点B在点A的西北方向，与点A相距；     （2） 如图所示，      （3）如图所示，点P即为所求，       【分析】 本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系可得到点C的坐标；过点A作轴于M，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可得，据此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，可证明当B、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：如图所示坐标系即为所求，则“海昌海洋公园”C的坐标为， 过点A作轴于M，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴点B在点A的西北方向，与点A相距； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，则点P即为所求； 由轴对称的性质可得，则， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 25．【答案】10 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开成长方形，应购买彩带的长为4个一样，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：将圆柱的侧面展开呈长方形，则应购买彩带的长为4个一样的长方形并排后形成的大长方形的对角线长， ∵大厅圆柱的高为，底而周长为， ∴， ∴， ∴至少需要彩带， 故答案为：10． 26．【答案】3或27 【分析】 分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】 解：如图1， ∵折叠， ∴△AD′E≌△ADE， ∴∠AD′E=∠D=90°， ∵∠AD′B=90°， ∴B、D′、E三点共线， 又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC， ∴ABD′≌△BEC， ∴BE=AB=15， ∵， ∴DE=D′E=15-12=3； 如图2， ∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°， ∴∠CBE=∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中， ∴△ABD″≌△BEC， ∴BE=AB=15， ∴DE=D″E=15+12=27． 综上所知，3或27． 故答案为：3或27 【点睛】 此题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键． 27．【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]① 根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ② 如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】 [解决问题]① 解：由题意得，， 故答案为：、；         ② 如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；         [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 28．【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 29．【答案】17 【分析】 本题考查了平面展开－最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径的半圆的弧长，矩形的长等于，解决本题的关键是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】 解：如图是其侧面展开图：， 在中，， 故他滑行的最短距离约为； 故答案为：17． 30．【答案】（1）     （2）7.5m      【分析】 （1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴点C表示的数是； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设秋千绳索的长度为xm， 由题意可得xm， 四边形为矩形，， ∴， 在中，， 即 解得； 即的长度为7.5m； 答：绳索的长为7.5m． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 31．【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，分母有理化，整体代入法． （1）因为正方形网格中的每个正方形边长都是1，根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长为，长为2，宽为1的长方形的对角线长为，然后选取一条为3的线段，使它们能首尾相接，可得所求三角形； （2）由得，然后利用整体代入法求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴ ， ． 32．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，扇形面积公式，由勾股定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 33．【答案】旗杆的高度为米 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，分别选择两种方案利用勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：选择小明的方案： 如图2，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米； 或者选择小亮的方案： 如图3，设旗杆的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米． 34．【答案】 【分析】 在上截取，连接，则，可得，作于点，由垂线段最短，可知的最小值为线段的长度，解直角三角形即可． 【详解】 解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查角平分线，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 35．【答案】10 【分析】 延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D，根据垂直平分线的性质、勾股定理、三线合一和点的坐标即可求出AO、AB、OB、AD的长，然后利用三角形外角的性质和等角对等边可得AC=AO，从而求出BC，根据勾股定理即可求出OC，再利用三角形外角的性质和等角对等边可得PB=PC，从而得出结论． 【详解】 解：延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D ∵点坐标是，是的垂直平分线上一点 ∴AO=AB ，OB=2OD=4， ∠OAB =2∠OAD，AD=5 根据勾股定理可得AB= AO= ∵PO⊥x轴 ∴AD∥PO ∴∠OAD=∠AOP ∴∠OAB =2∠AOP ∵∠OAB=∠AOP＋∠ACO ∴∠AOP=∠ACO ∴AC=AO= ∴BC=AB＋AC= 根据勾股定理可得OC= ∵ ∴∠OPB=2∠AOP=2∠ACO ∵∠OPB=∠ACO＋∠ABP ∴∠ACO=∠ABP ∴PB=PC ∴PO＋PC=OC=10 故答案为：10． 【点睛】 此题考查的是垂直平分线的性质、勾股定理和等腰三角形的判定及性质，掌握垂直平分线的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边和三线合一是解决此题的关键． 36．【答案】（1） ∴ ∴； （2）： （3）； （4） 【分析】 本题考查勾股定理的几何应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）求出，进而求出，，即可求解； （4）根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得到，，之间的关系，进而得解． 【详解】 解：（1）略 （2）∵， ∴ ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴ ∴根据对称性可知：“帽子”外围轮廓（实线）的周长为：； （4）如图，过点A作于点K，交于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， ∵，， ∴． 37．【答案】（1） 如图中，    ∴即为所求， ，     （2） 解：如图，    ∴正方形即为所求；     （3） 解：如图（答案不唯一）， 【分析】 （）根据题目要求作出即可，利用勾股定理求出； （）个小正方形的面积和为，拼成的正方形的边长为，由此即可解决问题； （）截取一个边长为的正方形即可； 本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理与无理数，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) 小问详解： 解：第三边的长， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 38．【答案】3 【分析】 本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 39．【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】 本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】 解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 40．【答案】9 【分析】根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可． 【详解】∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处， ∴点C、E关于AD对称， ∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC， ∵∠C=90°，∠BAC=30°， ∴BC=AB， ∴BC=9． ∴PB+PE的最小值为 9. 故答案为9． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，翻折变换的性质，解直角三角形，难点在于判断出PB+PE取得最小值时点P与点D重合． 41．【答案】26 【分析】 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为22米，得到展开图的矩形长为米，宽为10米，一只蚂蚁从点处到点处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 本题主要考查勾股定理的应用，难度一般，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 【详解】 解：根据题意，得展开图的矩形长为米，宽为10米， 故， 故答案为：26． 42．【答案】（1）     （2） 解：（1）中的结论仍然成立． 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， 即；     （3）或      【分析】 （1）如图，连接，证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （2）（1）中的结论仍然成立．证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （3）设，则，分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上，当点在线段的延长线上时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴，即， ∴，，三者之间的数量关系：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，则， 当点在线段上时，如图， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上，如图， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， ∵，，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时，，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 43．【答案】5或20 【分析】 本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，解题关键是正确识别图形，注意利用分类讨论的数学思想解决问题． 分两种情况进行讨论：① 当点在线段上时；② 当点在射线上时，分别画出图形，设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】 解：① 当点在线段上时，如图1所示： 设， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 在中，， ， 解得：； ② 当点在射线上时，如图2所示： 由折叠可知：， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， ∴的长为5或20． 故答案为：5或20． 44．【答案】（1），     （2） 解：能得到，证明如下： 如图， ∵， ， ∴， 即；     （3）      【分析】 本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）根据和作答即可； （2）仿照（1）根据等面积法证明即可； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设故，又在 中，，则，求出后可列式计算得解． (1) 小问详解： 解：大正方形的面积有两种表示方法，一种是，另一种是，得到结论； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将，代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 45．【答案】或 【分析】 本题考查了折叠问题，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，综合性强，难度较大﹒由题意得，得到中，不可能为直角﹒分和两种情况分类讨论﹒当时，得到，，根据折叠得到，﹒设，根据勾股定理得，即可求出；② 当时，作于H，由① 得﹒设，根据勾股定理得即，求出，，，，设，根据勾股定理得，解方程舍去不合题意的解，即可求出﹒ 【详解】 解：由题意得， ∴中，不可能为直角﹒ ① 如图1，当时， ∵， ∴， ∴， 由题意得折叠得到， ∴，， ∴﹒ 设，则，， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴； ② 如图2，当时，作于H﹒ 由① 得﹒ 设，∵， ∴根据勾股定理得， 即 解得， 即， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ ∴中，根据勾股定理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴﹒ 综上所述：的长为或﹒ 46．【答案】（1） 如图所示，作关于的对称点，再连接，与的交点为，点即为水泵站的位置；      （2）最节省的铺设水管的费用为元      【分析】 本题主要考查了最短路线问题，正确作出图形，确定线路是解决该题的关键． （1）作关于的对称点，连接，与的交点即为水泵站的位置； （2）首先利用轴对称的性质得到，然后在中，利用勾股定理可以求出的长，再在中，利用勾股定理可以求出的长，最后根据两点之间线段最短的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点作的垂线，过作的平行线， 设这两线交于点，则． 又过点作于点， 依题意得，，， 由勾股定理得，， ． 由平移关系，， 在中， ，， ， ． ， ． 铺设水管的工程费用为每千米元， 最节省的铺设水管的费用为：（元）． 答：最节省的铺设水管的费用为元． 47．【答案】或15 【详解】解：根据折叠的性质可知，，设对称轴与的交点分别为点，则，，分两种情况讨论：① 当点在线段上时，点落在上，如解图① ，在中，∵，∴，设，则，，在中，，解得，即；② 当点在线段的延长线上时，点落在上如解图② ，在中，，则，设，则，，在中，，解得，即．综上所述，的长为或15． 48．【答案】3或 【分析】 过点C作，交的延长线于点D，过点C作，交的延长线于点， 利用勾股定理，等腰三角形性质，解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，读懂题意，理解“妙分线”并熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形是解题关键． 【详解】 解：过点C作，交的延长线于点D， 设， ∵，． ∴，， ∴， 解得， ∴； 过点C作，交的延长线于点， 设， ∵，． ∴，， 解得， 故答案为：3或． 49．【答案】（1）90；； （2）①（1）中的结论仍然成立，证明： ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ② 【分析】 （1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】 解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）① 略 ② 在中，∵，，， ∴， 由① 得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由① 得：， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．A 2．A 3．B 4．D 5．C 6．B 7．【答案】没有变形 【分析】 本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解． 【详解】 解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为， ， ， 则小红家的木门没有变形， 故答案为：没有变形． 8．【答案】A，B之间的距离为. 【分析】 连接AC得到两个直角三角形△ACD、△ABC，先利用勾股定理求出线段AC的长，再利用勾股定理求出AB即可得到答案. 【详解】 解：连接 在中，， 由勾股定理得 在中，， 由勾股定理得 答：A，B之间的距离为 【点睛】 此题考查勾股定理实际应用，连接AC，将四边形转化为两个直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键. 9．【答案】是，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理是解题的关键，勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】 略 10．【答案】（1）的长为     （2）图中阴影部分的面积为      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后分别计算出和即可求解． (1) 小问详解： 解：在，，，， 根据勾股定理有， 的长为． (2) 小问详解： 解：在中，， ，， ， 是直角三角形， ， 又， 图中阴影部分的面积． 11．【答案】（1）     （2）秒      【分析】 （1）先运用勾股定理列式计算，再利用勾股定理的逆定理解答即可． （2）过点B作于点H，再运用面积法，勾股定理计算，最后结合运动速度作答即可． 本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴． (2) 小问详解： 解：过点B作于点H， ∵，，，， ， ∴， ∴， 故时间为：， 故小狗跑秒时与小熙的距离最近． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 1，，2 B. 5，12，13 C. ，， D. ，， 2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（       ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 0.3，0.4，0.5 D. 6，8，10 3．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，在中，，以点为圆心、长为半径画弧，交边于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的面积为（     ） A.  B. 7 C.  D. 6 4．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，一架长的梯子靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端到墙根的距离为，如果梯子的顶端下滑至处，那么梯子底端将滑动（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知直角三角形两边的长分别为5和12，则此三角形的周长为（     ） A. 30 B.  C. 30或 D. 以上都不对 6．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（          ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（     ） A. 小明对，小亮错 B. 小明错，小亮对 C. 两人都错 D. 两人都对 9．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（       ） A. 2026 B. 2025 C.  D.  10．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是　　 A. 36 B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，是边长为2的等边三角形，则点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（     ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 14．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在中，，，分别以点B，点C为圆心，以，的长为半径画弧，分别交于点E，点D，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）小熙在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为1的正方形，以对角线为边长作第2个正方形，再以对角线为边长作第3个正方形，……，依次下去，点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值为　　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）平面直角坐标系内一点，点B与点A关于y轴对称，则A、B两点之间的距离是　　　　　　　　． 18．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）直角三角形的两直角边分别为15cm和20cm，则斜边上的高为　　　　　　　　　　　cm． 19．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，中为的角平分线，　　　　　． 20．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是　　　　　　． 21．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 22．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为　　　　　　． 23．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计） （1）求此刻风筝离地面的高度； （2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？ 24．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）近两年文旅盛行，众多游客来郑州探索“建业电影小镇”的复古风情，漫步“郑州海昌海洋公园”的蓝色奇境，沉浸于“只有河南”的深厚文化！图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知“建业电影小镇”A的坐标为，“只有河南”B的坐标为．（单位：） （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出“海昌海洋公园”C的坐标               ．请用方位角和距离描述点B相对于点A的位置               ． （2）若要在“建业电影小镇”A关于直线轴对称的位置点D处再打造一个特色景点，请在图中描出点D，点D的坐标是               ． （3）为了缓解“建业电影小镇”和“只有河南”之间的交通压力，在x轴上找一点P修建一个摆渡车车站，使点P“到建业电影小镇”A和“只有河南”B的路程和最短，请在坐标系中描出点P，并求出的最小值． 25．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带．已知大厅圆柱的高为，底而周长为．如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带　　　　　　　米． 26．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=9，AB=CD=15．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为　　　　　　　　　． 27．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 28．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为　　　　　　　　　　　m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 30．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．    （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 31．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）小熙同学热爱思考，通过学习《勾股定理》和《实数》，发现给定单位长度1，一些无理数可以借助网格构造出来，同时小熙还发现有些无理数的计算有巧妙方法，请和小熙同学一起思考完成下列问题． （1）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，按要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、、（画一个即可）． （2）已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴， 把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题：已知，求代数式的值． 32．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是　　　　　　． 33．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图1，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2． 小亮：先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结（打结所用绳长忽略不计），然后举起绳结拉到如图3所示的点处．已知小亮举起的绳结离地面2.25米高，此时绳结离旗杆6.75米远． 请选择一种方案求出旗杆的高度． 34．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　　　． 35．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上， 是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时，则　　　　　　　　　　　． 36．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移： （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为                    ． 方法运用： （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长为                    ． （4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设其中，，，当，，则                    ． 37．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为）． （1）如图，线段的长为，请以为一边，画出一个面积为的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为                      ；    （2）截取出方格纸的局部如图，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出剪切线，在图中画出拼成的正方形；    （3）截取出方格纸的局部如图，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出这两条剪切线． 38．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为　　　　　　　． 39．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 40．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，点 D 是 BC 边上的点，AB=18，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 BP+EP 的最小值是　　　　． 41．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是　　　　　　米． 42．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． （1）如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； （2）如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． （3）若，点是中点，请直接写出的值． 43．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，在中，，，．为射线上一点，把沿折叠，点落在直线上的点处，则的长为　　　　　　　　　　　． 44．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知的三边长分别为，，． （1）中国数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，用它证明了勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是__________________，另一种是__________________，得到结论； （2）若用两个与全等的三角形按如图2所示的方式放置，其中，，你是否能得到呢？若能，请用该图形证明；若不能，请说明理由； （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，即，得到图3所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为28，求这个风车图案的面积． 45．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图，在中，，，，P是线段上一动点，将沿直线折叠，使点B落在点D处交于点E．当是直角三角形时，的长为 　　　 ． 46．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李庄送水，已知张村、李庄到河边的距离分别为和，且张、李两村庄相距． （1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置； （2）如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 47．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图，在矩形ABCD中，，点P是射线BC上一动点，l为矩形的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点落在l上时，BP的长为　　　　　　　　． 48．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在中，，．若为的“妙分线”，则的长为　　　　　　． 49．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（     ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 2．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（     ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 2，2，3 D. 6，8，11 3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为（       ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 46° 4．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是    A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）适合下列条件的，直角三角形的个数为（       ） ①，，；②；③；④ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门　　　　　　（填“已变形”或“没有变形”）． 8．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离(A，B之间有水池，无法直接测量).智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得，.请你根据上述数据求出A，B之间的距离. 9．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图，在中，，垂足为D．如果，，，请判断是否是直角三角形吗？并说明理由． 10．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． （1）求的长； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 11．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）如图，郑州北龙湖湿地公园有一块四边形草坪，草坪内为一条小路，经测量，，，，，． （1）求草坪拐角的度数； （2）小熙和小狗在草坪上玩耍，小熙站在点处，小狗从点开始以的速度沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，小狗跑多少秒时与小熙的距离最近？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 勾股定理 2大高频考点概览 考点01 勾股定理及其应用 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 考点01 勾股定理及其应用 1．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（     ） A. 1，，2 B. 5，12，13 C. ，， D. ，， 【答案】B 【分析】 此题考查的知识点是勾股数，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数，逐项进行判断即可．解答此题要理解勾股数的定义，并能够熟练运用． 【详解】 解：A、不是正整数，所以不能构成勾股数，不符合题意； B、，能构成勾股数，符合题意； C、，，， ∵， ∴，，不能构成勾股数，不符合题意； D、，，不是整数，所以不能构成勾股数，不符合题意． 故选：B． 2．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（       ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 0.3，0.4，0.5 D. 6，8，10 【答案】D 【分析】 本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可． 【详解】 解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵， ∴4，2，3不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5不是整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10是勾股数，故此选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，在中，，以点为圆心、长为半径画弧，交边于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的面积为（     ） A.  B. 7 C.  D. 6 【答案】A 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，作图—基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 利用基本作图得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算的长，即可求解． 【详解】 解：由作法得，则， ∵，， ∴， 在中，， ∴的面积为． 故选：A 4．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，一架长的梯子靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端到墙根的距离为，如果梯子的顶端下滑至处，那么梯子底端将滑动（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据可求出的长，由此可求出的长，在中，根据勾股定理可求出的长，由此可求出的长． 【详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴（米）， ∵梯子的顶端下滑至处， ∴，则，， ∴在中，， ∴（米）， 故选：． 【点睛】 本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理求线段长度是解题的关键． 5．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知直角三角形两边的长分别为5和12，则此三角形的周长为（     ） A. 30 B.  C. 30或 D. 以上都不对 【答案】C 【分析】 本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的灵活运用及分类的思想方法是解题关键． 首先根据勾股定理求出第三边的长，再求出三角形的周长． 【详解】 解：① 当5和12是直角边，则根据勾股定理可得： 第三边长度为 ∴三角形周长为； ②当12是斜边，5是一条直角边，则根据勾股定理可得： 第三边长度为 ， ∴三角形周长为， 故选：C． 6．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，M，N为方格纸中格点上的两点，若以为边，在方格中取一点P(在格点上)，使得为等腰三角形，则点P的个数为（          ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【分析】 本题主要考查格点作等腰三角形．根据格点可得，根据等腰三角形的性质，分类讨论：① 当时；② 当时；③ 当时；根据格点中作等腰三角形的方法，图形结合分析即可求解． 【详解】 解：如图所示，为等腰三角形，，         ① 当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴，， ∴点即为所求； ② 当时，以点为圆心，以为半径画弧，交格点于点， ∴， ∴点即为所求； ③ 当时，作线段的垂直平分线交格点于点， ∴，，则，符合题意， ，，则，符合题意， ∴点即为所求； 综上所述：使得为等腰三角形，则点的个数为个， 故选：C． 7．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图是一块长方形草坪，是一条被踩踏的小路，已知米，米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】 解：米，米， （米）， （米）， 故选：D． 8．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）下图是小明和小亮比较与大小的过程，关于两人的思路说法正确的是（     ） A. 小明对，小亮错 B. 小明错，小亮对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】D 【分析】 本题考查了实数比较大小，勾股定理，三角形三边关系，根据两个正数比较大小，平方数越大，则这个正数就越大，则小明的思路进行判断，再根据勾股定理和三角形的三边关系对小亮的思路进行判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：由，， ∵， ∴，故小明思路正确； 设直角三角形的两直角边为，， ∴斜边为， ∴根据三角形的三边关系得，，故小亮思路正确； 综上可得：两人都对， 故选：． 9．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（       ） A. 2026 B. 2025 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】 解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 10．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）如图，三角形是直角三角形，四边形是正方形，已知正方形A的面积是64，正方形B的面积是100，则半圆C的面积是　　 A. 36 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据正方形的性质分别求出DE，EF，根据勾股定理求出DF，根据圆的面积公式计算． 【详解】 解：正方形A的面积是64，正方形B的面积是100， ，， 由勾股定理得，， 半圆C的面积， 故选B． 【点睛】 本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 11．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】 解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 12．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，是边长为2的等边三角形，则点关于轴对称的点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．过点作轴于点，根据等边三角形的性质可得，，再结合勾股定理得出，从而可得，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】 解：如图，过点作轴于点， 是以边长为2的等边三角形， ，， ， 点在第一象限， ， 点A关于x轴的对称点的坐标为， 故选：D． 13．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b、若大正方形的面积为，小正方形的面积是 ，则等于（     ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积−4个直角三角形的面积，可求的值，大正方形面积为：，再将展开代入即可． 【详解】 解：根据大正方形面积4个直角三角形面积=小正方形面积得：， ∴， 而大正方形面积为：， ∴， 故选：D． 14．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在中，，，分别以点B，点C为圆心，以，的长为半径画弧，分别交于点E，点D，则图中阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查扇形面积的计算、勾股定理、等腰直角三角形，根据图形和等腰三角形的性质，可以得到、的度数，和的长，再根据图形可知阴影部分的面积（扇形的面积的面积），然后代入数据计算即可． 【详解】 解：作于点F，如图所示， ∵，， ∴点F为的中点，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积是：， 故选：D． 15．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）小熙在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），先画一个边长为1的正方形，以对角线为边长作第2个正方形，再以对角线为边长作第3个正方形，……，依次下去，点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由正方形的性质确定点，，，，，，，，，由此发现规律是每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次的坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的，据此即可求解． 本题考查点的坐标特征、正方形的性质，探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键． 【详解】 解：由正方形的性质确定点，，，，，，，，， 第1次正方形的边长为， 第2次正方形的边长为， 第3次正方形的边长为， 第4次正方形的边长为， 故第n次正方形的边长为， 故第2026次正方形的边长为， 由此发现规律是每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次的坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的， 由， 点的横坐标为，形式与第2个一样， 故点的坐标为． 故选：B． 16．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意得当AF≥AD-DF时，可得当A，F，D在同一直线上时，AF的长最小；再根据勾股定理进行计算，即可得到线段AF长的最小值． 【详解】 解：如图，连接AD， 由题意得：DF=DB=CD=， ∵AF+DF≥AD， ∴ ， ∴当A、F、D三点共线时，AF的长最小， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， 即 线段AF长的最小值为． 故答案为： 【点睛】 本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、最值问题等几何知识点及其应用问题，熟练掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 17．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）平面直角坐标系内一点，点B与点A关于y轴对称，则A、B两点之间的距离是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据关于y轴对称的点的坐标特征、二次根式的加减，根据轴对称的性质得到点B的坐标，再根据两点间距离公式计算A、B之间的距离即可． 【详解】 解：∵点B与点A关于y轴对称，， ∴点B的坐标为， ∴A、B两点之间的距离是． 故答案为：． 18．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）直角三角形的两直角边分别为15cm和20cm，则斜边上的高为　　　　　　　　　　　cm． 【答案】12 【分析】 利用勾股定理可得斜边长，再根据面积法即可得到斜边上的高． 【详解】 解：∵直角三角形的两直角边分别为15cm和20cm， ∴斜边（cm）， 设斜边上的高为h cm，依题意得： ， 解得h=12， ∴斜边上的高为12cm， 故答案为：12． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，关键是掌握：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 19．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，中为的角平分线，　　　　　． 【答案】3 【分析】 过点作，根据题意可得，再根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积可得，从而进行求解即可．本题考查勾股定理的逆定理、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质证明是解题的关键． 【详解】 解：过点作， ，，， 即， ， 为的角平分线，，， ， ， 又， ， 即， 解得， ， 故答案为：3． 20．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是　　　　　　． 【答案】15 【分析】 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理应用，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】 解：将台阶展开，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故答案为：15． 21．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【详解】 解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 22．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 23．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计） （1）求此刻风筝离地面的高度； （2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？ 【答案】（1）此刻风筝离地面的高度为16.6米     （2）该同学应该收回7米      【分析】 （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为16.6米； (2) 小问详解： 解：如图，设风筝沿方向下降9m至点，则 ， 在中，由勾股定理可知， ， 答：该同学应该收回7米． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 24．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）近两年文旅盛行，众多游客来郑州探索“建业电影小镇”的复古风情，漫步“郑州海昌海洋公园”的蓝色奇境，沉浸于“只有河南”的深厚文化！图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知“建业电影小镇”A的坐标为，“只有河南”B的坐标为．（单位：） （1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出“海昌海洋公园”C的坐标               ．请用方位角和距离描述点B相对于点A的位置               ． （2）若要在“建业电影小镇”A关于直线轴对称的位置点D处再打造一个特色景点，请在图中描出点D，点D的坐标是               ． （3）为了缓解“建业电影小镇”和“只有河南”之间的交通压力，在x轴上找一点P修建一个摆渡车车站，使点P“到建业电影小镇”A和“只有河南”B的路程和最短，请在坐标系中描出点P，并求出的最小值． 【答案】（1） 如图所示坐标系即为所求， ； 点B在点A的西北方向，与点A相距；     （2） 如图所示，      （3）如图所示，点P即为所求，       【分析】 本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据点A和点B的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系可得到点C的坐标；过点A作轴于M，连接，可证明是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可得，据此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，可证明当B、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． (1) 小问详解： 解：如图所示坐标系即为所求，则“海昌海洋公园”C的坐标为， 过点A作轴于M，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴点B在点A的西北方向，与点A相距； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：作点A关于x轴的对称点E，连接交x轴于P，则点P即为所求； 由轴对称的性质可得，则， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 25．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带．已知大厅圆柱的高为，底而周长为．如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带　　　　　　　米． 【答案】10 【分析】 本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开成长方形，应购买彩带的长为4个一样，利用勾股定理求解即可． 【详解】 解：将圆柱的侧面展开呈长方形，则应购买彩带的长为4个一样的长方形并排后形成的大长方形的对角线长， ∵大厅圆柱的高为，底而周长为， ∴， ∴， ∴至少需要彩带， 故答案为：10． 26．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=9，AB=CD=15．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE为　　　　　　　　　． 【答案】3或27 【分析】 分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】 解：如图1， ∵折叠， ∴△AD′E≌△ADE， ∴∠AD′E=∠D=90°， ∵∠AD′B=90°， ∴B、D′、E三点共线， 又∵ABD′∽△BEC，AD′=BC， ∴ABD′≌△BEC， ∴BE=AB=15， ∵， ∴DE=D′E=15-12=3； 如图2， ∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°， ∴∠CBE=∠BAD″， 在△ABD″和△BEC中， ∴△ABD″≌△BEC， ∴BE=AB=15， ∴DE=D″E=15+12=27． 综上所知，3或27． 故答案为：3或27 【点睛】 此题考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键． 27．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]① 根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ② 如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】 [解决问题]① 解：由题意得，， 故答案为：、；         ② 如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；         [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 28．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】或（或） 【分析】 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 【详解】 如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 29．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的型池的示意图，该型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，，一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为　　　　　　　　　　　m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 【答案】17 【分析】 本题考查了平面展开－最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径的半圆的弧长，矩形的长等于，解决本题的关键是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】 解：如图是其侧面展开图：， 在中，， 故他滑行的最短距离约为； 故答案为：17． 30．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）勾股定理是重要的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具，也是数形结合的纽带．    （1）应用场景——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上找出表示3的点A，过点A作直线L垂直于，在L上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，求弧与数轴的交点C表示的数． （2）应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度m，将它往前推6m至C处时，水平距离m，踏板离地的垂直高度m，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）     （2）7.5m      【分析】 （1）勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结论； （2）设秋千绳索的长度为xm，在中，利用，列出方程进行求解即可． (1) 小问详解： 解：在中，， ∴， ∴点C表示的数是； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：设秋千绳索的长度为xm， 由题意可得xm， 四边形为矩形，， ∴， 在中，， 即 解得； 即的长度为7.5m； 答：绳索的长为7.5m． 【点睛】 本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 31．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）小熙同学热爱思考，通过学习《勾股定理》和《实数》，发现给定单位长度1，一些无理数可以借助网格构造出来，同时小熙还发现有些无理数的计算有巧妙方法，请和小熙同学一起思考完成下列问题． （1）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，按要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、、（画一个即可）． （2）已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴， 把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题：已知，求代数式的值． 【答案】（1） 如图所示：      （2）      【分析】 本题主要考查了勾股定理，分母有理化，整体代入法． （1）因为正方形网格中的每个正方形边长都是1，根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长为，长为2，宽为1的长方形的对角线长为，然后选取一条为3的线段，使它们能首尾相接，可得所求三角形； （2）由得，然后利用整体代入法求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ∵， ∴， ∴ ， ． 32．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，扇形面积公式，由勾股定理可得，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 33．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图1，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2． 小亮：先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结（打结所用绳长忽略不计），然后举起绳结拉到如图3所示的点处．已知小亮举起的绳结离地面2.25米高，此时绳结离旗杆6.75米远． 请选择一种方案求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】 此题考查了勾股定理的应用，分别选择两种方案利用勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】 解：选择小明的方案： 如图2，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米； 或者选择小亮的方案： 如图3，设旗杆的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米． 34．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 在上截取，连接，则，可得，作于点，由垂线段最短，可知的最小值为线段的长度，解直角三角形即可． 【详解】 解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， 作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查角平分线，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，含角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 35．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上， 是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时，则　　　　　　　　　　　． 【答案】10 【分析】 延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D，根据垂直平分线的性质、勾股定理、三线合一和点的坐标即可求出AO、AB、OB、AD的长，然后利用三角形外角的性质和等角对等边可得AC=AO，从而求出BC，根据勾股定理即可求出OC，再利用三角形外角的性质和等角对等边可得PB=PC，从而得出结论． 【详解】 解：延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D ∵点坐标是，是的垂直平分线上一点 ∴AO=AB ，OB=2OD=4， ∠OAB =2∠OAD，AD=5 根据勾股定理可得AB= AO= ∵PO⊥x轴 ∴AD∥PO ∴∠OAD=∠AOP ∴∠OAB =2∠AOP ∵∠OAB=∠AOP＋∠ACO ∴∠AOP=∠ACO ∴AC=AO= ∴BC=AB＋AC= 根据勾股定理可得OC= ∵ ∴∠OPB=2∠AOP=2∠ACO ∵∠OPB=∠ACO＋∠ABP ∴∠ACO=∠ABP ∴PB=PC ∴PO＋PC=OC=10 故答案为：10． 【点睛】 此题考查的是垂直平分线的性质、勾股定理和等腰三角形的判定及性质，掌握垂直平分线的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边和三线合一是解决此题的关键． 36．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）课本再现： （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理，请证明：． 类比迁移： （2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为                    ． 方法运用： （3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若，，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长为                    ． （4）如图4，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设其中，，，当，，则                    ． 【答案】（1） ∴ ∴； （2）： （3）； （4） 【分析】 本题考查勾股定理的几何应用，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）根据，即可求解； （3）求出，进而求出，，即可求解； （4）根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得到，，之间的关系，进而得解． 【详解】 解：（1）略 （2）∵， ∴ ∴； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴ ∴根据对称性可知：“帽子”外围轮廓（实线）的周长为：； （4）如图，过点A作于点K，交于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， ∵，， ∴． 37．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）课本上有很多与方格纸相关的问题，请你来完成（方格纸中每个小方格的边长为）． （1）如图，线段的长为，请以为一边，画出一个面积为的钝角三角形，三角形的顶点均为格点，使得一条边为，则第三边的长为                      ；    （2）截取出方格纸的局部如图，将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出剪切线，在图中画出拼成的正方形；    （3）截取出方格纸的局部如图，只剪两刀就可以将其剪拼成一个无重叠无缝隙的正方形，请在图中用实线画出这两条剪切线． 【答案】（1） 如图中，    ∴即为所求， ，     （2） 解：如图，    ∴正方形即为所求；     （3） 解：如图（答案不唯一）， 【分析】 （）根据题目要求作出即可，利用勾股定理求出； （）个小正方形的面积和为，拼成的正方形的边长为，由此即可解决问题； （）截取一个边长为的正方形即可； 本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理与无理数，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) 小问详解： 解：第三边的长， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 38．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】 解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 39．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【分析】 本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】 解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 40．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，点 D 是 BC 边上的点，AB=18，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则 BP+EP 的最小值是　　　　． 【答案】9 【分析】根据翻折变换的性质可得点C、E关于AD对称，再根据轴对称确定最短路线问题，BC与AD的交点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠BAC=60°，再求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求解即可． 【详解】∵将△ACD沿直线AD翻折，点C落在AB边上的点E处， ∴点C、E关于AD对称， ∴点D即为使PB+PE的最小值的点P的位置，PB+PE=BC， ∵∠C=90°，∠BAC=30°， ∴BC=AB， ∴BC=9． ∴PB+PE的最小值为 9. 故答案为9． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，翻折变换的性质，解直角三角形，难点在于判断出PB+PE取得最小值时点P与点D重合． 41．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）在一个长22米，宽为10米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，从正面看木块是边长2米的等边三角形，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是　　　　　　米． 【答案】26 【分析】 将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为22米，得到展开图的矩形长为米，宽为10米，一只蚂蚁从点处到点处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可． 本题主要考查勾股定理的应用，难度一般，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短是解题关键． 【详解】 解：根据题意，得展开图的矩形长为米，宽为10米， 故， 故答案为：26． 42．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）已知和均为等腰直角三角形，，点是等腰直角三角形斜边所在直线上一点（不与点重合）． （1）如图，当点在线段上时，直接写出，，三者之间的数量关系：______； （2）如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请你利用图2给出证明过程．若不成立，请说明理由． （3）若，点是中点，请直接写出的值． 【答案】（1）     （2） 解：（1）中的结论仍然成立． 证明：∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， 即；     （3）或      【分析】 （1）如图，连接，证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （2）（1）中的结论仍然成立．证明得，，推出为直角三角形，利用勾股定理可得结论； （3）设，则，分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上，当点在线段的延长线上时，分别求解即可． (1) 小问详解： 解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴，即， ∴，，三者之间的数量关系：， 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 设，则， 当点在线段上时，如图， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上，如图， ∴， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即为直角三角形， ∴， ∵，，，点是中点， ∴，， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时，，不符合题意； 综上所述，的值为或． 【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 43．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，在中，，，．为射线上一点，把沿折叠，点落在直线上的点处，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】5或20 【分析】 本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，解题关键是正确识别图形，注意利用分类讨论的数学思想解决问题． 分两种情况进行讨论：① 当点在线段上时；② 当点在射线上时，分别画出图形，设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】 解：① 当点在线段上时，如图1所示： 设， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 在中，， ， 解得：； ② 当点在射线上时，如图2所示： 由折叠可知：， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， ∴的长为5或20． 故答案为：5或20． 44．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）已知的三边长分别为，，． （1）中国数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，用它证明了勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种表示方法，一种是__________________，另一种是__________________，得到结论； （2）若用两个与全等的三角形按如图2所示的方式放置，其中，，你是否能得到呢？若能，请用该图形证明；若不能，请说明理由； （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，即，得到图3所示的“数学风车”．若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为28，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），     （2） 解：能得到，证明如下： 如图， ∵， ， ∴， 即；     （3）      【分析】 本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理是解决问题的关键． （1）根据和作答即可； （2）仿照（1）根据等面积法证明即可； （3）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得，又设故，又在 中，，则，求出后可列式计算得解． (1) 小问详解： 解：大正方形的面积有两种表示方法，一种是，另一种是，得到结论； 故答案为：，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将，代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 45．（25-26学年八上·河南郑州中学·期中）如图，在中，，，，P是线段上一动点，将沿直线折叠，使点B落在点D处交于点E．当是直角三角形时，的长为 　　　 ． 【答案】或 【分析】 本题考查了折叠问题，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，综合性强，难度较大﹒由题意得，得到中，不可能为直角﹒分和两种情况分类讨论﹒当时，得到，，根据折叠得到，﹒设，根据勾股定理得，即可求出；② 当时，作于H，由① 得﹒设，根据勾股定理得即，求出，，，，设，根据勾股定理得，解方程舍去不合题意的解，即可求出﹒ 【详解】 解：由题意得， ∴中，不可能为直角﹒ ① 如图1，当时， ∵， ∴， ∴， 由题意得折叠得到， ∴，， ∴﹒ 设，则，， 在中，根据勾股定理得， 解得， ∴； ② 如图2，当时，作于H﹒ 由① 得﹒ 设，∵， ∴根据勾股定理得， 即 解得， 即， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ ∴中，根据勾股定理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴﹒ 综上所述：的长为或﹒ 46．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村和李庄送水，已知张村、李庄到河边的距离分别为和，且张、李两村庄相距． （1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置； （2）如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？ 【答案】（1） 如图所示，作关于的对称点，再连接，与的交点为，点即为水泵站的位置；      （2）最节省的铺设水管的费用为元      【分析】 本题主要考查了最短路线问题，正确作出图形，确定线路是解决该题的关键． （1）作关于的对称点，连接，与的交点即为水泵站的位置； （2）首先利用轴对称的性质得到，然后在中，利用勾股定理可以求出的长，再在中，利用勾股定理可以求出的长，最后根据两点之间线段最短的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 过点作的垂线，过作的平行线， 设这两线交于点，则． 又过点作于点， 依题意得，，， 由勾股定理得，， ． 由平移关系，， 在中， ，， ， ． ， ． 铺设水管的工程费用为每千米元， 最节省的铺设水管的费用为：（元）． 答：最节省的铺设水管的费用为元． 47．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图，在矩形ABCD中，，点P是射线BC上一动点，l为矩形的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点落在l上时，BP的长为　　　　　　　　． 【答案】或15 【详解】解：根据折叠的性质可知，，设对称轴与的交点分别为点，则，，分两种情况讨论：① 当点在线段上时，点落在上，如解图① ，在中，∵，∴，设，则，，在中，，解得，即；② 当点在线段的延长线上时，点落在上如解图② ，在中，，则，设，则，，在中，，解得，即．综上所述，的长为或15． 48．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．如图，在中，，．若为的“妙分线”，则的长为　　　　　　． 【答案】3或 【分析】 过点C作，交的延长线于点D，过点C作，交的延长线于点， 利用勾股定理，等腰三角形性质，解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，读懂题意，理解“妙分线”并熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形是解题关键． 【详解】 解：过点C作，交的延长线于点D， 设， ∵，． ∴，， ∴， 解得， ∴； 过点C作，交的延长线于点， 设， ∵，． ∴，， 解得， 故答案为：3或． 49．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________． 【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】（1）90；； （2）①（1）中的结论仍然成立，证明： ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴,； ② 【分析】 （1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】 解：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）① 略 ② 在中，∵，，， ∴， 由① 得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由① 得：， ∴． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性，勾股定理，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 考点02 勾股定理的逆定理及其应用 1．（25-26学年八上·河南郑州高新区第一中学·期中）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（     ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都不对 【答案】A 【分析】 考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】 解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 2．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）下列各组三条线段组成的三角形是直角三角形的是（     ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 2，2，3 D. 6，8，11 【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】 解：A、，故是直角三角形，符合题意； B、，故不是直角三角形，不符合题意； C、，故不是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 3．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在如图所示的小正方形网格中，均为小正方形的顶点，线段和相交于点，则的度数为（       ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 46° 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理与网格，平行四边形的性质，根据题意得出四边形是平行四边形，进而勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】 解：如图， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故选：B． 4．（25-26学年八上·河南郑州第八中学·期中）下列条件中，不能判定是直角三角形的是    A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用．根据三角形内角和定理可分析出A、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、C的正误． 【详解】 解：A、，， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵ ∴设 ， 为直角三角形，故此选项不合题意； C、，即， ， 为直角三角形，故此选项不合题意； D、∵， ∴设，，， ∵ ∴， 解得：， 则， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26学年八上·河南郑州七中·期中）在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、， 是直角三角形，不符合题意； B、， 设，则，， ， ， 解得， ， 是直角三角形，不符合题意； C、设，，， ， 解得：， 则， 不是直角三角形，符合题意； D、，， ， 为直角三角形，不符合题意， 故选：C． 6．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）适合下列条件的，直角三角形的个数为（       ） ①，，；②；③；④ A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，三角形内角和定理，以及平方差公式． 通过勾股定理的逆定理可判断① 和③ ；根据三角形内角和定理可判断② 和④ ． 【详解】 ① ∵，，，b最大， ∴， ∴，故是直角三角形． ② ∵，设， ∴， ∴， ∴，没有角，故不是直角三角形． ③ ∵， ∴， ∴，故是直角三角形． ④ ∵，且， ∴，即，故是直角三角形． 综上，直角三角形的个数为3个． 故选：B． 7．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门　　　　　　（填“已变形”或“没有变形”）． 【答案】没有变形 【分析】 本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解． 【详解】 解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为， ， ， 则小红家的木门没有变形， 故答案为：没有变形． 8．（25-26学年八上·河南省实验中学·期中）在一次综合实践活动中，老师让同学们测量公园里凉亭A，B之间的距离(A，B之间有水池，无法直接测量).智慧小组的同学们在公园里选了凉亭C，D，测得，.请你根据上述数据求出A，B之间的距离. 【答案】A，B之间的距离为. 【分析】 连接AC得到两个直角三角形△ACD、△ABC，先利用勾股定理求出线段AC的长，再利用勾股定理求出AB即可得到答案. 【详解】 解：连接 在中，， 由勾股定理得 在中，， 由勾股定理得 答：A，B之间的距离为 【点睛】 此题考查勾股定理实际应用，连接AC，将四边形转化为两个直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键. 9．（25-26学年八上·河南郑州第十九初级中学·期中）如图，在中，，垂足为D．如果，，，请判断是否是直角三角形吗？并说明理由． 【答案】是，理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【分析】 本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理是解题的关键，勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】 略 10．（25-26学年八上·河南郑州外国语中学·期中）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． （1）求的长； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）的长为     （2）图中阴影部分的面积为      【分析】 本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后分别计算出和即可求解． (1) 小问详解： 解：在，，，， 根据勾股定理有， 的长为． (2) 小问详解： 解：在中，， ，， ， 是直角三角形， ， 又， 图中阴影部分的面积． 11．（25-26学年八上·河南实验省中学·期中）如图，郑州北龙湖湿地公园有一块四边形草坪，草坪内为一条小路，经测量，，，，，． （1）求草坪拐角的度数； （2）小熙和小狗在草坪上玩耍，小熙站在点处，小狗从点开始以的速度沿的方向奔跑，跑到点时停止奔跑，小狗跑多少秒时与小熙的距离最近？ 【答案】（1）     （2）秒      【分析】 （1）先运用勾股定理列式计算，再利用勾股定理的逆定理解答即可． （2）过点B作于点H，再运用面积法，勾股定理计算，最后结合运动速度作答即可． 本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴． (2) 小问详解： 解：过点B作于点H， ∵，，，， ， ∴， ∴， 故时间为：， 故小狗跑秒时与小熙的距离最近． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $