专题02 全等三角形（期中真题汇编，河南专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，若，则下列结论中一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）智能机器人的发展促进了生产生活的快速迭代更新．下列机器人公司的品牌图标是由全等形构成的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）有下列命题：①同旁内角互补；②一个三角形中至少有2个锐角；③全等三角形的对应边相等；④循环小数是有理数．其中是真命题的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图所示的两个三角形是全等三角形，图中的两个三角形都分别已知两边的长度，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数等于（       ）． A.  B.  C.  D. 无法确定 7．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 9．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是　　　　　　． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 2．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（     ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 5．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）如图，已知，再添加一个条件仍不能判定的是（   ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在和中，B，E，C，F四点在同一直线上，，，添加下列条件，不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）依据下列条件能画出唯一三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 12．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，，，要使，则只要（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，已知是的中点，平分，求证：．小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再证明即可（如图2）．下列作辅助线的方法中，不可以证明“”的是（     ） A. 过点作交于点 B. 在上取一点，使，连接 C. 在上取一点，使，连接 D. 在上取一点，使 14．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是　　　　　　　． 15．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 16．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，，，．求证． 17．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则　　． 18．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在和 中 ，，，，且点、、、 在同一条直线上．求证： 19．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限且，，过点B，点C向x轴作垂线，垂足分别为点F，点E．则点C的坐标为　　　　　　． 20．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是　　　　　　． 21．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AB//DE． 22．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，已知，，．求证：． 23．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 24．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为　　　　　　. 25．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 26．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）已知：如图，AB∥DE，且AB＝DE． （1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是　     　； （2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF． 27．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 28．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 29．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）如图，玲玲想要测量池塘的长度，但点，之间的距离不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，聪明的她想了一个办法：先在直线的一边取一点，再在直线的另一边取一点，使得，且，同时，若测得，求的长． 30．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些题中经常会转化角和边，进而解决问题． （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为_______． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点，于点，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由． 31．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，与交于点O，．求证：． 32．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，于点，于点，与交于点，若，． （1）求证：； （2）求的长． 33．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是        （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 34．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，四边形中，平分，，于． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 35．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）（多选）如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．（1）求证：AD=BD；（2）若∠C=65°，求∠ABE的度数． 36．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． （1）如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． （2）如图，，，，，为中点，求证：． 37．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）（多选）如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED． 38．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）（1）如图1，与都是等腰直角三角形，交于点，连接，，则线段与之间的数量关系是_______； （2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，连接，两线交于点，请写出和的数量关系和位置关系，并给出理由． 39．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当　　　　　　　　　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 40．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，且，且，，，，已知点F，A，G，C，H在同一直线上，则图中阴影部分的面积是　　　　　　　　　　　． 41．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 42．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为                 ； （2）类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； （3）拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 43．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A.      B.      C.      D.      2．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（    ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图AB＝AC，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC； ②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④∠ADB＝∠DBC．其中正确的结论有 （       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（       ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 6．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 7．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（       ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为　　　　　　． 9．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线． 10．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，中，，，平分 交 于点D， ，垂足为E，且， 求 的周长为　　　　　　． 11．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的平分线交于点； ②作边上的高； （2）若，的面积为13，求的值． 12．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，，，， （1）求作：的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求与的度数． 13．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图；的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为　　　　　　　　． 14．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 15．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DEAB于点E，DE=2，AB=4，则AC长是　　　　　． 16．（25-26学年八上·河南安阳·期中）在中，平分于． （1）求证：； （2）求的长． 17．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．C 8．【答案】的长度为或 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】 解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 9．【答案】1或 【分析】 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】 解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 考点02 三角形全等的判定 1．A 2．B 3．A 4．B 5．D 6．D 7．A 8．D 9．C 10．C 11．D 12．C 13．D 14．【答案】 【分析】 此题考查了作图，全等三角形的判定方法．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是可以判定是运用，答案可得． 【详解】 解：从作图可知，，， 在与， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 15．【答案】（1） 证明：∵EG⊥AD，EF⊥AC， ∴∠EGB=90°=∠EFC， ∴△EGB和△EFC是直角三角形， ∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG=∠EAF， ∵EA=EA， ∴△AGE≌△AFE， ∴EG=EF， ∵EB=EC， ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)， 得证；     （2）AF的长为1      【分析】 （1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC； （2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE， ∴BG=FC，AG=AF， ∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG， ∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5， ∵AB=3， ∴2AF+3=5， ∴AF=1， 即AF的长为1． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键． 16．【答案】证明：∵， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 证明，得到，即可解决问题． 【详解】 略 【点睛】 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质,牢固掌握全等三角形的判定定理是关键． 17．【答案】90 【分析】 本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】 解：如图， ∴，，， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 18．【答案】证明：，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先由平行线的性质得出，，再根据“角边角”证明，即可根据全等三角形的性质得证． 【详解】 略 19．【答案】 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定．坐标与图形，先证明，得出，即可求解． 【详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．【答案】边边边（或或三边分别相等的两个三角形全等） 【分析】 本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键． 根据作图方法可知，，由此可解． 【详解】 解：根据作图的步骤（2）知，由步骤（3）（4）知， 根据三组边对应相等（），可证． 故答案为：边边边． 21．【答案】解：（1）∵BE=CF， ∴BE+EC=EC+CF， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠DEF， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）． 【详解】 （1）用边边边证明两个三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质及平行线的判定即可证明. 略 22．【答案】证明：， ． ， 在与中 ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定，由已知先证，再根据可证． 【详解】 略 23．【答案】证明：， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，直接利用可证明． 【详解】 略 24．【答案】90º 【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°. 【详解】解：如图，根据方格纸的性质， 在△ABD和△CBE中 ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠1=∠BAD， ∵∠BAD+∠2=90°， ∴=90°. 故答案为：90°. 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 25．【答案】（1）证明： ， 即 又， （2） 【分析】 （1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F． 【详解】 （1）略 （2）解：，， 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 26．【答案】（1）∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝F （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA） 【分析】 （1）判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠A＝∠D，或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F； （2）若添加条件为∠A＝∠D，则可利用ASA可证明△ABC≌△DEF． 【详解】 （1）可添加条件为∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F． （2）略 【点睛】 本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 27．【答案】证明：， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据条件先利用证明，得出，再利用线段的和差，即可证明． 【详解】 略． 28．【答案】（1）； （2）； （3）的面积为10； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后证明出； （2）同（1）可得，，得到，然后根据结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为30得到，进而求解即可； （4）如图：延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】 解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4）略 29．【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长． 30．【答案】（1）6     （2） ，理由如下： ，， ， 又，则， 又， ， 在与中， ， ， ，， ． ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握了全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，得到，，即可求出； （2）用证明，得到，，由此即可得出、与之间满足的数量关系． (1) 小问详解： 解：，， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ，， ． 故答案为：6． (2) 小问详解： 略 31．【答案】证明：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据得出，，，再由根据等边对等角得到，进而根据角的等量关系推出，最终利用“”得证． 【详解】 略 32．【答案】（1） 证明：，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ；     （2）2      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键； （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ，， ． 33．【答案】（1）； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 由（1）可得， ， 平分， ， ； （3） 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，作辅助线-倍长中线法、全等三角形的判定与性质，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，根据（1）中可得，即可得到，即可解答； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】 解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 34．【答案】（1）见解析；     （2）的长为，的长为．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． (1) 小问详解： 证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 35．【答案】（1）证明：∵AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC， ∴∠C+∠CBE=90°， ∠BED+∠CBE=90°， ∴∠C=∠BED， 在△ACD和△BED中， ∴△ACD≌△BED（AAS）， ∴AD=BD； （2）20° 【详解】 试题分析：（1）利用同角的余角相等求出∠C=∠BED，再利用“角角边”证明△ACD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余求出∠FBC，再求出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABD=45°，再根据∠ABE=∠ABD-∠CBF代入数据计算即可得解． 试题解析：（1） 略 （2）∵BF⊥AC， ∴∠CBF=90°-∠C=90°-65°=25°， ∵AD⊥BC，AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABE=∠ABD-∠CBF=45°-25°=20°． 36．【答案】（1） 解： 是中线， ． 在和中， ， ．     （2） 解：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）是解题的关键． （1）要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． （2）通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED 【分析】 根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题； 【详解】 略 考点：三角形全等的判定． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型． 38．【答案】（1）； （2）且； 理由如下：， ． 即． 在和中， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 综上所述：且． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】 解：（1） 理由： ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 39．【答案】1或或12 【分析】 本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 40．【答案】72 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据同角的余角相等推出，由此证得，得到，，同理得，，进而根据求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， ∴． 故答案为：72． 41．【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】 （1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】 （1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 42．【答案】（1）     （2），     （3）的坐标为或      【分析】 （1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可； （3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，① 当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；② 当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可． (1) 小问详解： 解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， 即，， ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线对应的函数表达式为，把，代入得 ， 解得： ， ∴直线对应的函数表达式为； 令，得， ∴． (3) 小问详解： 解：过作轴于，交直线于， 根据题意，设，， ① 当在上方时，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 即 ， 解得 ， ∴的坐标为； ② 当在下方时，如图： 同理可得 ， 解得 ， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 43．【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】 （1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】 解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，    ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】 本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．C 8．【答案】3 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出的长，进而可求出的长． 【详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 9．【答案】证明：如图，过点E作于点F，    ∴，平分， ∴． ∴点E是BC的中点， ∴， ∴． 又∵，， ∴是的平分线． 【分析】 过点E作于点F，根据角平分线的性质，得到，根据中点，得到，进而得到，即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查角平分线的判定．熟练掌握到角两边相等的点在角的角平分线上，是解题的关键． 10．【答案】6 【分析】 此题考查了三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再由判定得出，再对构成的几条边进行变换，可得到其周长等于的长，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法、、、及其性质． 【详解】 解：∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴的周长为： ． 故答案为：6． 11．【答案】（1）①如图所示，即为的平分线； ②如图所示，高即为所求；      （2）      【分析】 本题考查了尺规作角平分线和垂线，角平分线的性质定理，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）①根据角平分线的作法，画出图形即可； ②过C点作即可； （2）作于，得到，根据三角形的面积公式即可解决问题． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：作于点H． ∵平分， ∴， ∵的面积为13， ∴ ∴ ∴． 12．【答案】（1） 为即为所求：      （2）；      【分析】 本题考查作图—作角平分线、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）由三角形内角和定理可得的度数，由角平分线可得，进而可求得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 13．【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，延长交于E，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】 解：如图，延长交于E， 垂直于的平分线于P， ，， 在与中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 故答案为：. 14．【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 15．【答案】6 【分析】 根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【详解】 解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2， ∵AB×DE×4×2=4， ∵△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积为10-4=6， ∴AC×DF=6， ∴AC=6． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 16．【答案】（1） 证明：， ， ，平分， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质； （1）根据角平分线的性质可得，再由“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 17．【答案】(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°. 又∵BC＝BC，∴△BCE≌△CBD(AAS)， ∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC. 又∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． (2)解：点O在∠BAC的平分线上． 理由如下：连接AO. 由(1)可知△BCE≌△CBD，∴EB＝CD. ∵OB＝OC，∴OE＝OD. 又∵OE⊥AC，OD⊥AB， ∴点O在∠BAC的平分线上． 【详解】 【分析】(1)由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB.再证∠BEC＝∠CDB＝90°由(AAS)可证△BCE≌△CBD，则∠DBC＝∠ECB，所以，含有60°的等腰三角形是等边三角形；（2）由（1△BCE≌△CBD，得，EB＝CD.又OB＝OC，所以OE＝OD，再由角平分线性质定理可证得. 略 【详解】 【点睛】本题考核知识点等边三角形判定，角平分线. 解题关键点：证三角形全等得到对应边相等，从而得到等腰三角形，再证三角形是等边三角形；利用角平分线的性质定理推出必要条件. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，若，则下列结论中一定成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等，对应角相等是解本题的关键，本题根据全等三角形的性质可得，，，结合角的和差可得，从而可得答案． 【详解】 解：∵， ∴，，， ∴； 故A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选D 2．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）智能机器人的发展促进了生产生活的快速迭代更新．下列机器人公司的品牌图标是由全等形构成的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等形，掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键．根据全等形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A、不是全等形，不符合题意，选项错误； B、是全等形，符合题意，选项正确； C、不是全等形，不符合题意，选项错误； D、不是全等形，不符合题意，选项错误； 故选：B． 3．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）有下列命题：①同旁内角互补；②一个三角形中至少有2个锐角；③全等三角形的对应边相等；④循环小数是有理数．其中是真命题的有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题考查了真假命题判断，同旁内角定义，三角形内角和定理，全等三角形性质，有理数的定义等知识﹒分别根据相关知识逐项判断即可求解﹒ 【详解】 解：同旁内角互补需两直线平行，否则不一定成立，故①是假命题； 因为钝角或直角三角形中有2个锐角，锐角三角形中有3个锐角，所以一个三角形中至少有2个锐角，故②是真命题； 全等三角形的对应边相等，故③是真命题； 循环小数可化为分数，属于有理数，故④ 是真命题﹒ 故选：C 4．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝ED， ∴AB﹣AE＝DE﹣AE， ∴EB＝AD， ∵AB＝7，AE＝2， ∴EB＝5， ∴AD＝5． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等及等式的基本性质是解题的关键． 5．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图所示的两个三角形是全等三角形，图中的两个三角形都分别已知两边的长度，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据判定两个三角形全等，得到的对边是8，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】 ∵根据边为7和的夹角为即符合判定两个三角形全等， ∴的对边是8， ∴， 故选D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 6．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数等于（       ）． A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角确定出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可知是边b、c的夹角，即可求解． 【详解】 解：第一个三角形中b、c之间的夹角为，另一个三角形中是b、c两边的夹角． ∵两个三角形全等， ∴． 故选：A． 7．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）图中的两个三角形全等，则等于（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度计算出a，c边的夹角，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【详解】 解：在第一个图中，边b对应的角为：， 由图中的两个三角形全等，根据对应角相等可知， 故选C． 8．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在运动到某处时，有与全等，求此时的长度． 【答案】的长度为或 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】 解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∴， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的长度为或． 9．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，，，，如果点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则的值是　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由题意，可知，，然后分，或两种情况分类讨论即可得出答案． 【详解】 解：∵点在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵与全等， ∴，或， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的值是1或； 故答案为：1或． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（       ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可． 【详解】 解：根据题意得：， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即射线是的平分线． 故选：A． 2．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【详解】 解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 3．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】 解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 4．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图是某物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是（     ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，先根据中点的定义，得出，，再根据对顶角相等得到，从而证得即可，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：如图，连接，设与交于点， ∵为，中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴量出，两点之间的距离，即可得到的长度，其依据是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等， 故选：． 5．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）如图，已知，再添加一个条件仍不能判定的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据三角形的判定方法，逐一判断即可求解． 【详解】 在和中，已知AC=AD，AB=AB 当时，符合HL，两三角形全等，故A正确； 当时，符合SAS，两三角形全等，故B正确； 当时，符合SSS，两三角形全等，故C正确； 当，不能判定两三角形全等，故D错误； 故选D． 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握并灵活应用三角形的判定方法：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，和直角三角形的判定方法“HL”是本题的关键． 6．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了角平分线的定义，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质．先通过角平分线的定义及直角三角形两锐角互余得出的度数，再过点M作交于点E，证明得到，，由M是的中点得出，再证明，得出，，最终经过计算可求得结果． 【详解】 解：∵平分，且， ∴， 又∵， ∴， 如图，过点M作交于点E， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵M是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 7．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在和中，B，E，C，F四点在同一直线上，，，添加下列条件，不能判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形的判定方法，利用全等三角形的判定依次判断即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， A、添加，则两个三角形满足，不一定全等，符合题意； B、若添加，则两个三角形由证明全等，不符合题意； C、若添加，则两个三角形由证明全等，不符合题意； D、若添加，则两个三角形由证明全等，不符合题意； 故选：A． 8．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质， 根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可． 【详解】 解：由作图可知，在与中， ， 则． ∴，即， ∴． 故选：D． 9．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】 解：A、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，， 不可利用证明，故此选项符合题意； D、添加条件，结合，， 可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：C． 10．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】 解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 11．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）依据下列条件能画出唯一三角形的是（     ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【分析】 此题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】 解：A、，，，可画出无数个三角形，故本选项不符合题意； B、，，，，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、，，，不是的夹角，不能画出唯一三角形； 故本选项不符合题意； D、，，，边角边，可以画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 12．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，，，要使，则只要（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， 又∵， 当添加时，只知道三角形中两个条件相等，不能判定，故选项不合题意； 当添加时，由两边及一边的对角相等，不能判定，故选项不合题意； 当添加时，可得，由判定定理“”得，故选项符合题意； 当添加时，无法得出，不能判定，故选项不合题意； 故选：． 13．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）数学课上，老师给出了如下问题：如图1，已知是的中点，平分，求证：．小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再证明即可（如图2）．下列作辅助线的方法中，不可以证明“”的是（     ） A. 过点作交于点 B. 在上取一点，使，连接 C. 在上取一点，使，连接 D. 在上取一点，使 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 选项A：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项B：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项C：证明，由全等三角形的性质得出，，证明，得出，则得出结论； 选项D：由已知条件无法证明，故不能证明结论． 【详解】 解：A．如图，过作，垂足为点， 可得， 则， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； B．如图， 在上取一点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； C． 如图，在上取一点，使，连接 平分， ， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ； D． 如图，在上取一点，使， ，，， 不能证明， 这种辅助线的添加方式不能证明结论． 故选：D． 14．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）用直尺和圆规作一个三角形全等于已知三角形的示意图如图所示，则说明的依据是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题考查了作图，全等三角形的判定方法．通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是可以判定是运用，答案可得． 【详解】 解：从作图可知，，， 在与， ， ∴， ∴判定的依据是． 故答案为：． 15．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）（多选）如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD的平分线上一点，EB=EC，过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）求证：△EGB≌△EFC； （2）若AB=3，AC=5，求AF的长． 【答案】（1） 证明：∵EG⊥AD，EF⊥AC， ∴∠EGB=90°=∠EFC， ∴△EGB和△EFC是直角三角形， ∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG=∠EAF， ∵EA=EA， ∴△AGE≌△AFE， ∴EG=EF， ∵EB=EC， ∴Rt△EGB≌Rt△EFC(HL)， 得证；     （2）AF的长为1      【分析】 （1）先证明△AGE≌△AFE，即有EG=EF，结合EB=EC，即可得Rt△EGB≌Rt△EFC； （2）根据Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE，可得BG=FC，AG=AF，根据AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG，可得AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5，即可得2AF+3=5，AF可求． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在（1）中证得：Rt△EGB≌Rt△EFC，△AGE≌△AFE， ∴BG=FC，AG=AF， ∵AC=5，AC=AF+FC，BG=AB+AG， ∴AF+FC=AF+BG=AF+AB+AG=2AF+AB=5， ∵AB=3， ∴2AF+3=5， ∴AF=1， 即AF的长为1． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AGE≌△AFE是解答本题的关键． 16．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，，，．求证． 【答案】证明：∵， ∴； ∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 证明，得到，即可解决问题． 【详解】 略 【点睛】 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质,牢固掌握全等三角形的判定定理是关键． 17．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图正方形网格，点，，，均落在格点上，则　　． 【答案】90 【分析】 本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．证明，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】 解：如图， ∴，，， ， ， ， ， ， 故答案为：90． 18．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，在和 中 ，，，，且点、、、 在同一条直线上．求证： 【答案】证明：，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先由平行线的性质得出，，再根据“角边角”证明，即可根据全等三角形的性质得证． 【详解】 略 19．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C在第一象限且，，过点B，点C向x轴作垂线，垂足分别为点F，点E．则点C的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 该题考查了全等三角形的性质和判定．坐标与图形，先证明，得出，即可求解． 【详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知，小明利用圆规和直尺，按照如下操作作出： （1）作射线； （2）以点D为圆心，为半径作弧交射线于点E； （3）以点D为圆心，为半径作弧； （4）以点E为圆心，为半径作弧，与上一步的弧相交于点F； （5）连接，． 小明说作出的与全等，依据是　　　　　　． 【答案】边边边（或或三边分别相等的两个三角形全等） 【分析】 本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键． 根据作图方法可知，，由此可解． 【详解】 解：根据作图的步骤（2）知，由步骤（3）（4）知， 根据三组边对应相等（），可证． 故答案为：边边边． 21．（25-26学年八上·河南濮阳·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证： （1）△ABC≌△DEF； （2）AB//DE． 【答案】解：（1）∵BE=CF， ∴BE+EC=EC+CF， 即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． （2）∵△ABC≌△DEF， ∴∠B=∠DEF， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）． 【详解】 （1）用边边边证明两个三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质及平行线的判定即可证明. 略 22．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，已知，，．求证：． 【答案】证明：， ． ， 在与中 ， ． 【分析】 本题考查了三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定，由已知先证，再根据可证． 【详解】 略 23．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在中，于点，，，求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ． 【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，直接利用可证明． 【详解】 略 24．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为　　　　　　. 【答案】90º 【分析】首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与∠2的和为90°. 【详解】解：如图，根据方格纸的性质， 在△ABD和△CBE中 ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠1=∠BAD， ∵∠BAD+∠2=90°， ∴=90°. 故答案为：90°. 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质． 25．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求∠F的度数． 【答案】（1）证明： ， 即 又， （2） 【分析】 （1）根据平行线的性质可得，根据线段的和差关系可得，进而根据即证明； （2）根据三角形内角和定理以及补角的意义求得∠E，进而根据（1）的结论即可求得∠F． 【详解】 （1）略 （2）解：，， 【点睛】 本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形全等的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 26．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）已知：如图，AB∥DE，且AB＝DE． （1）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，你添加的条件是　     　； （2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF． 【答案】（1）∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝F （2）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA） 【分析】 （1）判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL，所以可添加条件为∠A＝∠D，或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F； （2）若添加条件为∠A＝∠D，则可利用ASA可证明△ABC≌△DEF． 【详解】 （1）可添加条件为∠A＝∠D或BC＝EF或BE＝CF或∠ACB＝∠F． （2）略 【点睛】 本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASA、SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 27．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【答案】证明：， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据条件先利用证明，得出，再利用线段的和差，即可证明． 【详解】 略． 28．（25-26学年八上·河南新乡牧野区河南师范大学附属中学·期中）【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3）的面积为10； （4），理由如下： 如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． （1）首先由角平分线得到，然后由垂直得到，然后证明出； （2）同（1）可得，，得到，然后根据结合三角形外角的性质得到，进而求解即可； （3）如图所示，延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为30得到，进而求解即可； （4）如图：延长交延长线于F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】 解：（1）∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴； （2）同（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵的面积为30 ∴ ∴ ∵ ∴的面积； （4）略 29．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）如图，玲玲想要测量池塘的长度，但点，之间的距离不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，聪明的她想了一个办法：先在直线的一边取一点，再在直线的另一边取一点，使得，且，同时，若测得，求的长． 【答案】 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的长． 30．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）我们在《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些题中经常会转化角和边，进而解决问题． （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为_______． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点，于点，猜想、与之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）6     （2） ，理由如下： ，， ， 又，则， 又， ， 在与中， ， ， ，， ． ．      【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握了全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，得到，，即可求出； （2）用证明，得到，，由此即可得出、与之间满足的数量关系． (1) 小问详解： 解：，， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ，， ． 故答案为：6． (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，与交于点O，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据得出，，，再由根据等边对等角得到，进而根据角的等量关系推出，最终利用“”得证． 【详解】 略 32．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，于点，于点，与交于点，若，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ；     （2）2      【分析】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键； （1）利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知，， ，， ． 33．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）【方法呈现】 （1）如图①：在 中，若，点D为边的中点.求边上的中线的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，可证，从而把（即）集中在中，利用三角形三边的关系可求出的取值范围，从而可求出中线的取值范围是        （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 中，点D是的中点，平分，判断与的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形中， ，与的延长线交于点F.点E是的中点，若是的角平分线. 若，求的长. 【答案】（1）； （2）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 由（1）可得， ， 平分， ， ； （3） 【分析】 本题考查了三角形的三边关系，作辅助线-倍长中线法、全等三角形的判定与性质，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）由已知得出，即，为的一半，即可得出答案； （2）延长到点，使，连接，根据（1）中可得，即可得到，即可解答； （3）延长，交于点，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】 解：（1）如图①，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：如图③，延长，交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 34．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，四边形中，平分，，于． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析；     （2）的长为，的长为．      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键： （1）过点作，交的延长线于，根据角平分线的性质可得，再证明△，进而得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，再证，可得，求出，进而可得出答案． (1) 小问详解： 证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 35．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）（多选）如图，AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC，BE=AC．（1）求证：AD=BD；（2）若∠C=65°，求∠ABE的度数． 【答案】（1）证明：∵AD是△ABC一边上的高，BF⊥AC， ∴∠C+∠CBE=90°， ∠BED+∠CBE=90°， ∴∠C=∠BED， 在△ACD和△BED中， ∴△ACD≌△BED（AAS）， ∴AD=BD； （2）20° 【详解】 试题分析：（1）利用同角的余角相等求出∠C=∠BED，再利用“角角边”证明△ACD和△BED全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据直角三角形两锐角互余求出∠FBC，再求出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ABD=45°，再根据∠ABE=∠ABD-∠CBF代入数据计算即可得解． 试题解析：（1） 略 （2）∵BF⊥AC， ∴∠CBF=90°-∠C=90°-65°=25°， ∵AD⊥BC，AD=BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD=45°， ∴∠ABE=∠ABD-∠CBF=45°-25°=20°． 36．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． （1）如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． （2）如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】（1） 解： 是中线， ． 在和中， ， ．     （2） 解：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（等）是解题的关键． （1）要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． （2）通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 37．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）（多选）如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2．求证：△ABC≌△AED． 【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD， 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED 【分析】 根据ASA只要证明∠BAC=∠EAD即可解决问题； 【详解】 略 考点：三角形全等的判定． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型． 38．（25-26学年八上·河南鹤壁·期中）（1）如图1，与都是等腰直角三角形，交于点，连接，，则线段与之间的数量关系是_______； （2）如图2，两个等腰直角三角形和中，，连接，两线交于点，请写出和的数量关系和位置关系，并给出理由． 【答案】（1）； （2）且； 理由如下：， ． 即． 在和中， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 综上所述：且． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是： （1）根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】 解：（1） 理由： ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 39．（25-26学年八上·河南开封河南大学附属中学·期中）如图，直线经过的直角顶点C，的边上有两个动点D、E，点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，垂足分别为点M、N，若，设运动时间为t，则当　　　　　　　　　　s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】 本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类． 由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分：当在上，在上时；当在上，在上时；当到达，在上时，分别讨论． 【详解】 解：当E在上，D在上时，即， 则，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ， 当在上，在上时，即， 则，， ， 当到达，在上时，即， 则，， ， ， 故答案为：或或12． 40．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，且，且，，，，已知点F，A，G，C，H在同一直线上，则图中阴影部分的面积是　　　　　　　　　　　． 【答案】72 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据同角的余角相等推出，由此证得，得到，，同理得，，进而根据求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， ∴． 故答案为：72． 41．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）【课例改编】 数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____． 【改编拓展】 张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （3）如图3，在四边形中，平分，求的长． 【答案】（1）9； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接，   ， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【分析】 （1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】 （1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 42．（25-26学年八上·河南平顶山·期中）我们将等腰直角三角板放在平面直角坐标系中进行探究． （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点在原点，若顶点恰好落在点处，则点的坐标为                 ； （2）类比探究：如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，求出的坐标及直线对应的函数表达式； （3）拓展应用：如图3，为坐标原点，的坐标为，的坐标为，过点作直线轴，已知点是直线上的一点，点在直线上运动，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）     （2），     （3）的坐标为或      【分析】 （1）过作轴于，过作轴于，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）过作轴于，先求出直线与坐标轴的交点与的坐标，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，得出点的坐标，根据待定系数法求出直线对应的函数表达式，再求出直线与轴的交点坐标即可； （3）过作轴于，交直线于，根据题意，设，，① 当在上方时，根据直角三角形两锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，据此列出二元一次方程组，解方程组即可；② 当在下方时，同理列出二元一次方程组，解方程组即可． (1) 小问详解： 解：过作轴于，过作轴于，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 故答案为：． (2) 小问详解： 解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， 即，， ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线对应的函数表达式为，把，代入得 ， 解得： ， ∴直线对应的函数表达式为； 令，得， ∴． (3) 小问详解： 解：过作轴于，交直线于， 根据题意，设，， ① 当在上方时，如图： ∵， 即，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 即 ， 解得 ， ∴的坐标为； ② 当在下方时，如图： 同理可得 ， 解得 ， ∴的坐标为 综上所述，的坐标为或． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 43．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】 （1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】 解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，    ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】 本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】 解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 2．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理．在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断． 【详解】 解：由题意知平分在上， A、满足休息亭的位置要求，故A符合题意； B、不一定平分，故B不符合题意； C、不在上，故C不符合题意； D、垂直平分的直线交于，故D不符合题意， 故选：A． 3．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图AB＝AC，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC； ②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD；④∠ADB＝∠DBC．其中正确的结论有 （       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，依据三角形的外角性质以及平行线的判定和性质，即可得到正确结论． 【详解】 解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，AC=AB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC，故① 正确； ∴∠ADB=∠DBC，故④ 正确； ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF ∴∠DCF=∠ACF，∠DBC=∠ABC， ∵∠DCF是△BCD的外角， ∴∠BDC=∠DCF-∠DBC=∠ACF-∠ABC=（∠ACF-∠ABC）=∠BAC，故② 错误； ∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF， ∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ACF， ∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， ∴∠ADC=180°-（∠DAC+∠ACD） =180°-（∠EAC+∠ACF） =180°-（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC） =180°-（180°+∠ABC） =90°-∠ABC =90°-∠ABD，故③ 正确； 故选：C． 【点睛】 本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力． 4．（25-26学年八上·河南开封第三十三中学·期中）如图，的面积为，平分，且于点，则的面积是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交于点，根据角平分线和垂直可得到，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】 解：如图，延长交于点， 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 5．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（       ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 【答案】D 【分析】 此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】 解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 6．（25-26学年八上·河南新乡第一中学·期中）如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】 解： 过点作于点，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，，， 平分， 故结论①正确； 是由，平分、得到的， 实际关系为， 显然（例如取特殊角验证，若，则，和为而非）， 故结论②错误； 若于，于点， 则， 由，，且， ， ， 由，，且， ， ， ， 故结论③正确； 是的外角， ， 平分，平分， ． 又是的外角， ， 联立得， ， 故结论④正确； 综上所述，结论① ③ ④正确， 故选B． 7．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（       ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【分析】 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断① ；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断② ；由角平分线的定义可以判断③ ；由全等三角形的性质可以判断④ ； 【详解】 解：① 过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故① 正确； ② ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故② 错误； ③ ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③ 正确； ④ 由② 可知（）， （）， ∴，， ∴，④ 正确， 故选：C． 8．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，，平分，交于点．于．若，，则的长为　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两端的距离相等，据此可求出的长，进而可求出的长． 【详解】 解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 9．（25-26学年八上·河南开封金明中学·期中）如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线． 【答案】证明：如图，过点E作于点F，    ∴，平分， ∴． ∴点E是BC的中点， ∴， ∴． 又∵，， ∴是的平分线． 【分析】 过点E作于点F，根据角平分线的性质，得到，根据中点，得到，进而得到，即可得证． 【详解】 略 【点睛】 本题考查角平分线的判定．熟练掌握到角两边相等的点在角的角平分线上，是解题的关键． 10．（25-26学年八上·河南开封第二十七中学·期中）如图，中，，，平分 交 于点D， ，垂足为E，且， 求 的周长为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 此题考查了三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，先利用角平分线的性质得出，再由判定得出，再对构成的几条边进行变换，可得到其周长等于的长，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法、、、及其性质． 【详解】 解：∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴的周长为： ． 故答案为：6． 11．（25-26学年八上·河南三门峡·期中）如图，在中，． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作的平分线交于点； ②作边上的高； （2）若，的面积为13，求的值． 【答案】（1）①如图所示，即为的平分线； ②如图所示，高即为所求；      （2）      【分析】 本题考查了尺规作角平分线和垂线，角平分线的性质定理，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）①根据角平分线的作法，画出图形即可； ②过C点作即可； （2）作于，得到，根据三角形的面积公式即可解决问题． (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 解：作于点H． ∵平分， ∴， ∵的面积为13， ∴ ∴ ∴． 12．（25-26学年八上·河南许昌魏都区许昌第一中学·期中）如图，在中，，，， （1）求作：的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求与的度数． 【答案】（1） 为即为所求：      （2）；      【分析】 本题考查作图—作角平分线、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）由三角形内角和定理可得的度数，由角平分线可得，进而可求得的度数． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， ， 是角平分线， ， ， ， ． 13．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）如图；的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，延长交于E，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【详解】 解：如图，延长交于E， 垂直于的平分线于P， ，， 在与中， ， ， ，， 和等底同高， ， ， 故答案为：. 14．（25-26学年八上·河南新乡第十中学·期中）图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分．     （2）      【分析】 本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 15．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DEAB于点E，DE=2，AB=4，则AC长是　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案． 【详解】 解：过D作DF⊥AC于F， ∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DF=2， ∵AB×DE×4×2=4， ∵△ABC的面积为10， ∴△ADC的面积为10-4=6， ∴AC×DF=6， ∴AC=6． 故答案为：6． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 16．（25-26学年八上·河南安阳·期中）在中，平分于． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，平分， ， ， ；     （2）      【分析】 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质； （1）根据角平分线的性质可得，再由“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ． 17．（25-26学年八上·河南安阳·期中）如图，锐角△ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC，∠A＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BEC＝∠CDB＝90°. 又∵BC＝BC，∴△BCE≌△CBD(AAS)， ∴∠DBC＝∠ECB，∴AB＝AC. 又∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． (2)解：点O在∠BAC的平分线上． 理由如下：连接AO. 由(1)可知△BCE≌△CBD，∴EB＝CD. ∵OB＝OC，∴OE＝OD. 又∵OE⊥AC，OD⊥AB， ∴点O在∠BAC的平分线上． 【详解】 【分析】(1)由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB.再证∠BEC＝∠CDB＝90°由(AAS)可证△BCE≌△CBD，则∠DBC＝∠ECB，所以，含有60°的等腰三角形是等边三角形；（2）由（1△BCE≌△CBD，得，EB＝CD.又OB＝OC，所以OE＝OD，再由角平分线性质定理可证得. 略 【详解】 【点睛】本题考核知识点等边三角形判定，角平分线. 解题关键点：证三角形全等得到对应边相等，从而得到等腰三角形，再证三角形是等边三角形；利用角平分线的性质定理推出必要条件. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $