精品解析：吉林长春市榆树市红星乡中学等学校2026-2027学年度第一学期9月 八年级数学学情自测

2026—2027学年度第一学期9月份月考八年级数学 一、单选题（共24分） 1. “25的平方根是”用数学式子表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列定理的逆命题为假命题的是(    ) A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 若，则 D. 对顶角相等 5. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 6. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 8. 下列各数中，介于6和7之间的数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 9. 若，则的值是______． 10. 如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则______． 11. 如图，的角平分线相交于点O，且，已知，则______． 12. 在，，4，，，，中，无理数有_____个． 13. 三角形的周长为10cm，其中有两边的长相等且长为整数，则第三边长为______cm． 14. 黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是______． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） （3） 16. 计算： （1）； （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 计算 （1）计算： （2）化简 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，点，将线段OA平移至线段BC，． （1）请直接写出点C的坐标： （2）若，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合，点P不在直线BC上）．试探究∠CPO与∠BCP之间的数量关系． 21. 如图，在的网格中，，，均为格点（网格线的交点）． （1）点绕点顺时针旋转后与点重合，画出点的位置； （2）填空：__________； （3）仅用无刻度直尺过点作的平行线． 22. 如图，在中，，．点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点． （1）求证：； （2）若的面积是50，则_________． 23. 如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）求证：； （2）写出线段的长（用含t的式子表示）； （3）连接，当线段经过点C时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期9月份月考八年级数学 一、单选题（共24分） 1. “25的平方根是”用数学式子表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数，正数的平方根记作，据此求解即可． 【详解】解：“25的平方根是”用数学式子表示正确的是． 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A.，故A不是， B.，故B不是， C. ，故C不是， 故选D. 【点睛】本题考查的知识点是最简二次根式，解题关键是正确理解最简二次根式的概念． 3. 如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 4. 下列定理的逆命题为假命题的是(    ) A. 两直线平行，内错角相等 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 若，则 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】利于平行线的性质、角平分线的性质、对顶角的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A选项：两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，为真命题； B选项：直角三角形的两锐角互余的逆命题为两角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； C选项：若，则，逆命题为若为真命题； D选项：对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题， 故选D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的性质及直角三角形的性质等知识. 5. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根据，代入计算即可． 【详解】解：由勾股定理得： ∵AB2+AC2=25，BC2=25， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∴ ∴， ∴AD=2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆应用，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC=90°是解题的关键． 6. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项代入，寻找正确答案即可. 【详解】解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3； B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1； C选项满足m≤n，则y=2m+1=3； D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1； 故答案为D； 【点睛】本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B. 角平分线上的点到角两边的距离相等 C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 在角的内部,到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上，故选项错误，符合题意； B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确，不符合题意； C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故选项正确，不符合题意； D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故选项正确，不符合题意； 故选：A 8. 下列各数中，介于6和7之间的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三次根式的定义得到，以及，，，即可得到答案； 【详解】解：因为，故A不正确； ，故B不正确； ，故C正确； ，故D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是能估算出每个数的范围，是基础题目，难度不大． 二、填空题（共18分） 9. 若，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】要使，只有当和时成立，即可求出、的值，再代入到求解即可． 【详解】解：，而，， ，， 解得，， 所以 故答案为： 【点睛】此题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 10. 如图，中，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据题意，得，继而得到，结合等腰三角形的性质，计算即可． 本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E． ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 11. 如图，的角平分线相交于点O，且，已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的相关计算和三角形外角的性质，根据角平分线求出，由垂直得到，最后由三角形外角的性质得到答案． 【详解】解：∵的角平分线相交于点O，， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为： 12. 在，，4，，，，中，无理数有_____个． 【答案】2 【解析】 【分析】根据无理数、有理数的定义即可求解（无理数为无限不循环小数，整数和分数统称有理数）． 【详解】解：，是有限小数，属于有理数； 4，，是整数，属于有理数； ，是分数，属于有理数； ，−π，是无理数，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 13. 三角形的周长为10cm，其中有两边的长相等且长为整数，则第三边长为______cm． 【答案】4 或 2 【解析】 【分析】可分相等的两边的长为1cm，2cm，3cm，4cm，依此讨论，根据三角形三边关系（三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边）即可求解． 【详解】解：相等的两边的长为1cm，则第三边为：10-1×2=8（cm），1+1＜8，不符合题意； 相等的两边的长为2cm，则第三边为：10-2×2=6（cm），2+2＜6，不符合题意； 相等的两边的长为3cm，则第三边为：10-3×2=4（cm），3+3＞4，符合题意； 相等的两边的长为4cm，则第三边为：10-4×2=2（cm），2+4＞4，符合题意． 故第三边长为4或2cm． 故答案为：4或2． 【点睛】此题考查了三角形三边关系（三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），等腰三角形的性质和周长计算，分类思想的运用是解题的关键． 14. 黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用立方根和算术平方根的定义化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用绝对值的意义化简，然后再进行计算即可解答； （3）算术平方根的定义、绝对值的意义化简各式，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键． 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算算术平方根、乘方，再计算加减即可得解； （2）先计算绝对值和算术平方根，再计算加减即可得解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先计算有理数的乘方、立方根与算术平方根，再计算有理数的加减运算即可得； （2）移项合并，化系数为1，然后利用平方根解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方、立方根与算术平方根的混合运算，利用平方根解方程；解题的关键是正确计算一个数的平方根和算术平方根． 18. 计算 （1）计算： （2）化简 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握绝对值的性质和立方根、平方根的定义是解题关键． （1）先根据绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义进行化简，再合并即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义及绝对值的性质进行化简，再计算即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，点，将线段OA平移至线段BC，． （1）请直接写出点C的坐标： （2）若，点P为y轴上一动点（点P不与原点重合，点P不在直线BC上）．试探究∠CPO与∠BCP之间的数量关系． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）先确定平移方式，再利用平移方式可得坐标的变化规律，从而得出点C坐标； （2）分三种情况讨论计算，①当点P在y轴正半轴时．②当点P在y轴负半轴时，BC与y轴交点（不含交点）上方时，③当点P在y轴负半轴时，BC与y轴交点（不含交点）下方时，再利用平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质的答案． 【小问1详解】 解： 点，将线段OA平移至线段BC，． 平移方式为先向右平移2个单位，再向下平移个单位， 【小问2详解】 ①如图， 当点P在y轴的正半轴时，记与轴的交点为E． ②如图， 当点P在y轴负半轴时，BC与y轴交点（不含交点）上方时． 过点P作直线，交轴于 ∵， ∴， ③当点P在y轴负半轴时，且在BC与y轴交点（不含交点）下方时， 延长BC与y轴交于点Q， 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，平移的坐标变化规律，平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质的应用，解本题的关键是清晰的分类，易漏解． 21. 如图，在的网格中，，，均为格点（网格线的交点）． （1）点绕点顺时针旋转后与点重合，画出点的位置； （2）填空：__________； （3）仅用无刻度直尺过点作的平行线． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求， （2）45 （3） 如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定、旋转的作图等知识，熟练掌握网格的特点是解题的关键． （1）根据网格的特点并利用旋转的性质进行作图即可； （2）利用勾股定理及其逆定理进行求解即可； （3）如图，即为所求，根据正切相等证明，证明，得到，由得到，即可证明即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为： 【小问3详解】 理由：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ 即， ∴． 22. 如图，在中，，．点在直线上，分别过点、作直线于点，直线于点． （1）求证：； （2）若的面积是50，则_________． 【答案】（1） 证明：∵直线于点，直线于点， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差，勾股定理等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边相等，利用线段的和差即可得出结论； （2）根据等腰直角三角形的面积得出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， 即， 由勾股定理得，， 故答案为：6． 23. 如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为． （1）求证：； （2）写出线段的长（用含t的式子表示）； （3）连接，当线段经过点C时，求t的值． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ， ． （2）当时，；当时，． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，三角形全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等，以及三角形全等的判定定理． （1）证明，得到对应角相等，再根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据路程速度时间以及几何关系即可解答； （3）先求出，证明得到，列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，； 当时，， ． 【小问3详解】 解：根据题意得，则， 由（1）得，， 在和中， ， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当线段经过点时，的值为或． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $