精品解析：广西贺州市八步区多校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年广西贺州市八步区多校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 3. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ） A. 第二、三象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限 4. 下列命题中正确的个数是（ ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 1，3，6，12 C. 1.5，2，3.5，4 D. 4，5，8，10 6. 已知线段cm，线段cm，则线段、的比例中项是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 7. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与直线交于点和点，则当时，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 10. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 11. 如图，在中，点分别在边上，．若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 12. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共12分） 13. 抛物线的顶点坐标是_____． 14. 已知，则的值为____． 15. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为_____． 16. 已知，点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系为_____（用“＜”号表示）． 17. 若二次函数的图像经过原点，则_____． 18. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 三、解答题（共72分） 19. 计算或化简 （1） （2） 20. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 21. 如图，．求证：． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M，N两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积． 23. 如图，，若，，，，求DM，EK，FK的长. 24. 如图，在四边形中，，，点在上，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 25. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）若该商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？ （2）每千克涨价为多少元时，每天获得的盈利最多？最多是多少？ 26. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广西贺州市八步区多校九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数叫二次函数是解题的关键．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：A．中，当时，不是二次函数，不符合题意； B．，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； C．，未知数的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意； D．，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 2. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ） A. 第二、三象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴此函数的图象位于一、三象限， 故选：B． 4. 下列命题中正确的个数是（ ） （1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似 （2）斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 （3）两个等边三角形一定相似 （4）任意两个矩形一定相似 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理对前三个命题进行判定，根据相似图形的定义对第四个命题进行判定即可． 【详解】解：（1）有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故（1）正确； （2）斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故（2）正确； （3）两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故（3）正确； （4）任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故（4）错误； 故正确命题有（1）（2）（3）一共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的定义． 5. 在下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ） A. 2，3，4，5 B. 1，3，6，12 C. 1.5，2，3.5，4 D. 4，5，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，判定四条线段是否成比例，计算最长与最短线段的乘积，两较长线段的积，看是否相等即可． 【详解】解：∵， ∴长为2，3，4，5的线段不是成比例线段，故A不符合题意； ∵， ∴长为1，3，6，12的线段不是成比例线段，故B不符合题意； ∵， ∴长为1.5，2，3.5，4的线段不是成比例线段，故C不符合题意； ∵， ∴长为4，5，8，10的线段是成比例线段，故D符合题意； 故选D． 6. 已知线段cm，线段cm，则线段、的比例中项是（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：设线段c是a、b的比例中项， ∵线段a=2cm，b=6cm， ∴c2=ab=2×6=12， ∴c=2，c=-2（舍去）． 故选：A． 【点睛】本题考查了比例线段；解决问题的关键是理解比例中项的概念，这里需要注意线段长不能是负数． 7. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大， 令，则，解方程解得 ，， △， 抛物线与轴有两个交点． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，则函数y=ax2+bx的图象只可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数y=ax+b的图象位置确定a、b的符号，根据a、b的符号确定二次函数y=ax2+bx图象的位置即可得． 【详解】解：∵一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∴二次函数y=ax2+bx的图象开口向下， 对称轴x=->0，在y轴右边， ∴函数y=ax2+bx的图象只可能是D， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数解析式的系数与图象位置的关系．图象的所有性质都与解析式的系数有着密切关系． 9. 如图，抛物线与直线交于点和点，则当时，的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数函数值比较，解决的办法是首先求出交点坐标，然后根据图象找到抛物线在直线上方部分所对应的自变量范围，即可解答． 【详解】解：抛物线与直线交点为，， 由图象知，当时，的取值范围是或， 故选D． 10. 如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ） A. 1.5 B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k值的几何意义．利用反比例函数k值的几何意义，可知，再结合反比例函数的图象即可得解． 【详解】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则； 又由于，则． 故选：D 11. 如图，在中，点分别在边上，．若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得到，继而得到，再根据已知的线段长度和比例即可求解． 【详解】∵， ∴，即有：， ∵AD=2EC，BD=3，AE=4， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，依据此定理得到是解答本题的关键． 12. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题2分，共12分） 13. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式解析式，根据二次函数的顶点式解析式求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 14. 已知，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，再根据比例的性质，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 15. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象平移的规律，根据二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：由题意得，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 16. 已知，点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系为_____（用“＜”号表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，求得抛物线对称轴为，再根据抛物线开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，即可求解． 【详解】解：抛物线对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵离对称轴较近，离对称轴较远， ∴， 故答案为：． 17. 若二次函数的图像经过原点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图像经过原点，把代入二次函数解析式，求出的值，由二次函数的解析式知二次项系数不为，即，得到，即可求解． 【详解】解：二次函数的图像经过原点， ， 解得：， 又， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过____________秒时与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】因为题目中未明确相似三角形的对应边，所以需考虑两种不同的对应情况：和，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可得到符合条件的时间． 【详解】解：设经过秒时与相似， ∵动点的速度为，动点的速度为， ∴，， ∵， ∴， ∵是和的公共角，分两种情况讨论： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得； 综上，符合条件的的值为或． 三、解答题（共72分） 19. 计算或化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、多项式的混合运算，（1）先计算幂运算、再计算乘法运算，最后计算加减； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ， 该抛物线的顶点坐标为． 21. 如图，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 又， ． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M，N两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1），； （2）3 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数求出其解析式，从而求出点M，将两点代入直线解析式即可得到答案； （2）求出一次函数与坐标轴交点，求三个三角形的面积和即可得到答案； 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得， ， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 将点，代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，，解得：， ∴一次函数与坐标轴交点为：，， ∴； 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合题，解题的关键是求出两函数的交点． 23. 如图，，若，，，，求DM，EK，FK的长. 【答案】DM=7.5,， 【解析】 【分析】由于l1∥l2∥l3，根据平行线分线段成比例定理得到,，然后把已知线段代入计算即可． 【详解】∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵，，， ∴. ∴DM=7.5， 设EK=x，则KF=16-x， ∴=， ∴x=6，即EK=6， ∴KF=16−6=10. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例. 24. 如图，在四边形中，，，点在上，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，结合即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为． 25. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． （1）若该商场只要求保证每天的盈利为6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？ （2）每千克涨价为多少元时，每天获得的盈利最多？最多是多少？ 【答案】（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元 （2）每千克涨价为7.5元时，每天获得的盈利最多，最多是6125元 【解析】 【分析】（1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利元，销售量为千克，根据利润数量总利润，列式计算； （2）设涨价x元时总利润为y，构造二次函数，求函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价x元， 由题意，得， 整理，得， 解得：或， ∵为了使顾客得到实惠， ∴． 答：要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； 【小问2详解】 解：设涨价x元时总利润为y元， 由题意，得 ， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为6125元． 答：每千克涨价为7.5元时，每天获得的盈利最多，最多是6125元． 26. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围； （2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴△=， ∴m＞﹣1； 故答案为：m＞﹣1； （2）∵二次函数的图像过点A（3，0）， ∴， ∴m=3， ∴二次函数的解析式为：， 令x=0，则y=3，∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：，∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为：x=1， ∴，解得：， ∴P（1，2）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $