专题05 圆、直线与圆的位置关系（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题05 圆、直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 直线与圆相离、相切、相交 考点07 圆的切线 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（     ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 2．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）已知的半径为2，，则点P在（     ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 3．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（     ） A. 分米 B. 分米 C. 2分米 D. 3分米 3．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（） A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D.  5．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，是的直径，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，已知是的直径，，，那么的度数为　　　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）为加强中学生的法治观念，增强法治教育，某校开展“法治知识知多少”的调查活动，随机抽取了部分学生，对他们进行法治知识问答的小测验，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次参加调查的人数为_______人，并将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，等级C对应的圆心角的度数为________度： （3）若规定达到A、B等级为优秀，该校共有学生650人，请通过样本估计该校法治知识水平达到优秀标准的学生人数． 4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）课本再现 如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．    （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，在中，，则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图，点A，B，C为上的三个点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，在中，为直径，为圆上的点，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，在中，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 8．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图1，将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，，． （1）请直接写出的形状； （2）在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转． ①如图2，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，求的面积； ②如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则折扇所在扇形的长为　　　　　（结果保留） 4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）求叶瓣①的面积．（结果保留）． 5．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）请求出在（2）中点B经过的路径长（结果保留π）． 6．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是　　　　　　． 7．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标             ； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 考点06 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 考点07 圆的切线 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 2．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠BAD＝∠B＝30°． （1）求证：BD是⊙O的切线． （2）若OA＝8，求OA、OD与弧AD围成的扇形的面积． 3．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图，四边形内接于，是直径，平分，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为4，长为7，求的长． 4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．    （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 5．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求半径． 考点08 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（       ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 2．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝　　　　　　．（结果保留） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆、直线与圆的位置关系 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 直线与圆相离、相切、相交 考点07 圆的切线 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．A 2．C 3．D 考点02 垂直于弦的直径 1．C 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 考点03 圆心角 1．D 2．【答案】 【分析】 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，解题关键是熟练掌握同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等． 根据同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等，即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 3．【答案】（1）50， 条形统计图补充完整为；      （2）     （3）455人      【分析】 本题考查了统计知识的综合应用，条形统计图与扇形统计图的关联，圆心角度数的计算，用样本估计总体，需熟练掌握对统计图表的理解，数据的运算，根据样本中优秀等级（A、B）的比例推算全校达到优秀标准的人数是解决本题的关键 （1）根据扇形统计图和条形统计图中A组的信息即可求解总人数，进而可求解C组与D组的人数画出条形统计图即可； （2）先求出C等的占比，再由占比求解即可； （3）先求出B等占比，即可得A等和B等的总占比，再结合全校人数即可求解． (1) 小问详解： 解：由扇形统计图可知，A等占比， 由条形统计图可知，A等人数为15人， ∴本次参加调查的人数为人， 故答案为：50； D等对应人数，C等对应人数． (2) 小问详解： 解：∵C等对应人数人， 那么C等占比为， ∴在扇形统计图中，等级C对应的圆心角的度数为； 故答案为：72； (3) 小问详解： 解：B等所占百分数， 全校优秀标准人数人， 答：该校法治知识水平达到优秀标准的学生人数为455人． 4．【答案】（1）证明：连接，    ∵，C是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，同理， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【分析】 （1）连接，证明是等边三角形，则，同理，得到，即可得出结论； （2）连接，求出，，则平分，得到，则，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可． 【详解】 （1）略 （2）连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 考点04 圆周角 1．B 2．D 3．A 4．D 5．B 6．【答案】n度 【分析】 本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于⊙，可得，又由，即可求得． 【详解】 解：∵四边形内接于⊙， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 7．【答案】（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2） 【分析】 （1）① 分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，② 按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论． 【详解】 解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）结论：．理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 8．【答案】 【分析】 通过轨迹分析，即可解答． 【详解】 解：四边形是矩形， ，． ，， ， 点在以为直径的半圆上运动， 如图，设圆心为，连接交于点，此时最短． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的轨迹与最短距离问题，熟练掌握由直角推导点的轨迹，结合勾股定理和圆的性质求最短距离是解题的关键． 9．【答案】（1）为等腰直角三角形     （2）①；②最大值为，最小值为      【分析】 （1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）①证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解；②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，证明四边形是平行四边形，可得，再根据四边形是平行四边形，可得，从而得到点H在以为直径的圆上，设的中点为点T，再根据勾股定理可得，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵两个完全相同的矩形纸片和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； (2) 小问详解： 解：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴； ②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，则， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点H在以为直径的圆上， 设的中点为点T， ∴，且的半径为， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】 本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．B 2．C 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了求弧长，根据弧长公式计算，即，n为圆心角的度数，r为扇形的半径． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求扇形面积，圆的基本性质： （1）证明四边形是正方形，即可求解； （2）根据叶瓣①的面积为等于，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵以原点，为圆心、以2为半径作圆， ∴两个圆是等圆，， ∴， ∴叶瓣①的面积为． 5．【答案】（1） 解：如图，即为所求； ；     （2） 解：如图，即为所求；     （3）π      【分析】 （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，， 即可． （3）结合（2）根据弧长公式即可求出点经过的路径长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知， 点经过的路径长． 【点睛】 本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 6．【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，即，进而求出正方形的对角线长，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，设圆锥底面圆的半径为， 由题意， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，, ∴， ∴， 故答案为：． 7．【答案】（1） 解：即为所求作；      （2）解：即为所求作； ；     （3）      【分析】 本题是三角形综合题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、扇形面积，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，根据图写出坐标，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 在旋转过程中所扫过的面积为． 考点06 直线与圆相离、相切、相交 1．C 考点07 圆的切线 1．D 2．【答案】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°， ∴∠A＝∠ADO＝30°， ∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°， ∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°， ∵OD是半径， ∴BD是⊙O的切线 （2）π. 【分析】 （1）求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】 （1）略 （2）∵∠DOB＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵AO＝8， ∴OA、OD与弧AD围成的扇形的面积＝＝π． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定，扇形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 3．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的切线的判定方法，等腰三角形的性质，圆周角定理． （1）连接，先根据角平分线和等腰三角形得到，那么，即可证明； （2）先由圆周角定理得到，在中由勾股定理求解，再证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴. 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 4．【答案】（1） 证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明； （2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的半径为4， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】 此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线；     （2）3      【分析】 本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键． （1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径为3． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为r，，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 考点08 正多边形与圆 1．B 2．【答案】 【分析】 本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长．过点作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定半径的长，得出花窗的周长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】 解：如图所示：过点作交于点， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴花窗的周长为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆、直线与圆的位置关系 8大高频考点概览 考点01 圆的有关概念 考点02 垂直于弦的直径 考点03 圆心角 考点04 圆周角 考点05 弧长和扇形面积 考点06 直线与圆相离、相切、相交 考点07 圆的切线 考点08 正多边形与圆 考点01 圆的有关概念 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（     ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 【答案】A 【分析】 本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】 解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在外， 故选：A ． 2．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）已知的半径为2，，则点P在（     ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 【答案】C 【分析】 本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆位置关系的判定方法． 根据点与圆的位置关系判定规则，比较点到圆心的距离与圆半径的大小，从而确定点的位置． 【详解】 解：已知的半径，点到圆心的距离， 因为，即， 根据点与圆的位置关系：当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外， 所以点在圆外． 故选：C． 3．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D.        “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 考点02 垂直于弦的直径 1．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，圆形拱门的形状是以点为圆心的圆的一部分，点是的弦的中点，连接并延长交于点，若，，则的半径为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，先证明，设半径为，在中列方程求出即可． 【详解】 解：连接， ∵点是的弦的中点， ， 设半径为，则， ∵，， ∴， 在中，， ， 解得：， 则的半径为， 故选：C． 2．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（     ） A. 分米 B. 分米 C. 2分米 D. 3分米 【答案】C 【分析】 本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】 解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 3．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为8m，轮子的吃水深度为2m，半径于点D，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查垂径定理，勾股定理．设半径为，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案． 【详解】 解：如图，连接， 设半径为，则， ， ，， ， 在中，有 ，即， 解得， 则该桨轮船的轮子直径为， 故选D． 4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立的是（） A. ∠COE=∠DOE B. CE=DE C. OE=BE D.  【答案】C 【分析】 根据垂径定理可得：，DE=CE，进而得到∠COE=∠DOE，无法得到OE=BE． 【详解】 ∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E， ∴，DE=CE，， ∴B，D选项正确； ∵， ∴， ∴∠COE=∠DOE， ∴A选项正确； 只有当∠COE=60°时，才有OE=BE． ∴C选项不成立； 故选：C． 【点睛】 本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．解题的关键是熟练掌握垂径定理．垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧． 5．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（       ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【分析】 本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【分析】 连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D，根据垂径定理求得OC，利用圆的半径求得CD即可. 【详解】 如图，连接OA，作OD⊥AB，交AB于点C，交圆于点D， ∵AB=24， ∴AC=12， ∵OA=13， 在直角三角形OAC中， OC==5， ∴CD=OD-OC=13-5=8， 故选C. 【点睛】 本题考查了垂径定理的应用，过圆心向弦作垂线构造垂径定理是解题的关键. 考点03 圆心角 1．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，是的直径，，则的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】 解：，是的直径， ， 故选：D． 2．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，已知是的直径，，，那么的度数为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，解题关键是熟练掌握同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等． 根据同圆（或等圆）中，等弧所对的圆心角相等，即可． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 3．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）为加强中学生的法治观念，增强法治教育，某校开展“法治知识知多少”的调查活动，随机抽取了部分学生，对他们进行法治知识问答的小测验，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题： （1）本次参加调查的人数为_______人，并将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，等级C对应的圆心角的度数为________度： （3）若规定达到A、B等级为优秀，该校共有学生650人，请通过样本估计该校法治知识水平达到优秀标准的学生人数． 【答案】（1）50， 条形统计图补充完整为；      （2）     （3）455人      【分析】 本题考查了统计知识的综合应用，条形统计图与扇形统计图的关联，圆心角度数的计算，用样本估计总体，需熟练掌握对统计图表的理解，数据的运算，根据样本中优秀等级（A、B）的比例推算全校达到优秀标准的人数是解决本题的关键 （1）根据扇形统计图和条形统计图中A组的信息即可求解总人数，进而可求解C组与D组的人数画出条形统计图即可； （2）先求出C等的占比，再由占比求解即可； （3）先求出B等占比，即可得A等和B等的总占比，再结合全校人数即可求解． (1) 小问详解： 解：由扇形统计图可知，A等占比， 由条形统计图可知，A等人数为15人， ∴本次参加调查的人数为人， 故答案为：50； D等对应人数，C等对应人数． (2) 小问详解： 解：∵C等对应人数人， 那么C等占比为， ∴在扇形统计图中，等级C对应的圆心角的度数为； 故答案为：72； (3) 小问详解： 解：B等所占百分数， 全校优秀标准人数人， 答：该校法治知识水平达到优秀标准的学生人数为455人． 4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）课本再现 如图1，A，B是上的两点，，C是的中点．    （1）求证：四边形是菱形． 拓展延伸 （2）如图2，将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段，交于点E，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：连接，    ∵，C是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，同理， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【分析】 （1）连接，证明是等边三角形，则，同理，得到，即可得出结论； （2）连接，求出，，则平分，得到，则，，由勾股定理求出，由勾股定理求出答案即可． 【详解】 （1）略 （2）连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕圆心O逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 此题考查了垂径定理、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转等知识，熟练掌握菱形的判定、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 考点04 圆周角 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，在中，，则的大小是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理． 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半作答即可． 【详解】 解：在中，，则， 故选：B． 2．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图，点A，B，C为上的三个点，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 根据圆周角定理即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， 故选：D． 3．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，在中，为直径，为圆上的点，若，则的大小为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余，根据圆周角定理可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得． 【详解】 解：是的直径， ， ， ， ． 故选：A． 4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图，四边形内接于，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了圆的内接四边形，根据圆的内接四边形对角互补，即可作答． 【详解】 解：四边形内接于，若， ， 故选：D． 5．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，在中，，则的度数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， 故选：B． 6．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则　　　　　　　　． 【答案】n度 【分析】 本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于⊙，可得，又由，即可求得． 【详解】 解：∵四边形内接于⊙， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接． （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系． 【答案】（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2） 【分析】 （1）① 分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，② 按照语句依次作图即可； （2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论． 【详解】 解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；    以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示： （2）结论：．理由如下： 由作图可得：是的垂直平分线， 四边形是圆的内接四边形， 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键． 8．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 通过轨迹分析，即可解答． 【详解】 解：四边形是矩形， ，． ，， ， 点在以为直径的半圆上运动， 如图，设圆心为，连接交于点，此时最短． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆的轨迹与最短距离问题，熟练掌握由直角推导点的轨迹，结合勾股定理和圆的性质求最短距离是解题的关键． 9．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图1，将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，，． （1）请直接写出的形状； （2）在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转． ①如图2，当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，求的面积； ②如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）为等腰直角三角形     （2）①；②最大值为，最小值为      【分析】 （1）证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）①证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，然后在中，利用勾股定理可得，即可求解；②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，证明四边形是平行四边形，可得，再根据四边形是平行四边形，可得，从而得到点H在以为直径的圆上，设的中点为点T，再根据勾股定理可得，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵两个完全相同的矩形纸片和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； (2) 小问详解： 解：①∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴； ②连接，取的中点P，连接，取的中点M、N，连接，则， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点H在以为直径的圆上， 设的中点为点T， ∴，且的半径为， ∴的最大值为，最小值为． 【点睛】 本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 考点05 弧长和扇形面积 1．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】 解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】 解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 3．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）中国扇文化底蕴深厚，竹制扇骨尽显东方风骨，而扇面之上，则以书法泼墨、绘画点染，方寸之间，意蕴无穷.如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径，则折扇所在扇形的长为　　　　　（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查了求弧长，根据弧长公式计算，即，n为圆心角的度数，r为扇形的半径． 【详解】 解：∵， ∴． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）请直接写出，两点的坐标； （2）求叶瓣①的面积．（结果保留）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了求扇形面积，圆的基本性质： （1）证明四边形是正方形，即可求解； （2）根据叶瓣①的面积为等于，即可求解． (1) 小问详解： 解：∵以原点，为圆心、以2为半径作圆，两圆相交于，两点， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵以原点，为圆心、以2为半径作圆， ∴两个圆是等圆，， ∴， ∴叶瓣①的面积为． 5．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）请求出在（2）中点B经过的路径长（结果保留π）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； ；     （2） 解：如图，即为所求；     （3）π      【分析】 （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，， 即可． （3）结合（2）根据弧长公式即可求出点经过的路径长． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由图可知， 点经过的路径长． 【点睛】 本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 6．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，即，进而求出正方形的对角线长，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：如图，设圆锥底面圆的半径为， 由题意， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，, ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）． （1）请画出关于轴对称的图形； （2）将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出点的坐标             ； （3）在（2）的条件下，求线段在旋转过程中扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1） 解：即为所求作；      （2）解：即为所求作； ；     （3）      【分析】 本题是三角形综合题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、扇形面积，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形面积公式是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，根据图写出坐标，即可得出答案． （3）利用勾股定理求出的长，再利用扇形的面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由勾股定理得，， 在旋转过程中所扫过的面积为． 考点06 直线与圆相离、相切、相交 1．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 本题主要考查了圆与直线的位置关系：圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．将圆心到直线距离与半径比较，即可解答． 【详解】 解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为4，， ∴直线L与的位置关系是相离， 故选：C． 考点07 圆的切线 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【分析】由切线长定理可得PA=PB, CA=CE,DE=DB, 由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD, 所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, 故可求得三角形的周长. 【详解】解:PA、PB为圆的两条相交切线, PA=PB, 同理可得: CA=CE, DE=DB. △PCD的周长=PC+CE+ED+PD, △PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, △PCD的周长=10, 故选D 【点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用. 2．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠BAD＝∠B＝30°． （1）求证：BD是⊙O的切线． （2）若OA＝8，求OA、OD与弧AD围成的扇形的面积． 【答案】（1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°， ∴∠A＝∠ADO＝30°， ∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°， ∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°， ∵OD是半径， ∴BD是⊙O的切线 （2）π. 【分析】 （1）求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】 （1）略 （2）∵∠DOB＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵AO＝8， ∴OA、OD与弧AD围成的扇形的面积＝＝π． 【点睛】 本题考查了圆周角定理，切线的判定，扇形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 3．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图，四边形内接于，是直径，平分，． （1）求证：是的切线； （2）若的半径长为4，长为7，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵是的半径， ∴是的切线；     （2）      【分析】 本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的切线的判定方法，等腰三角形的性质，圆周角定理． （1）连接，先根据角平分线和等腰三角形得到，那么，即可证明； （2）先由圆周角定理得到，在中由勾股定理求解，再证明即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵是的直径， ∴. 在中，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B．    （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线；     （2）      【分析】 （1）首先根据切线的性质得到，然后根据角平分线的性质定理得到即可证明； （2）首先根据勾股定理得到，然后求得，最后利用，代入求解即可． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：∵的半径为4， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】 此题考查了圆切线的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上且，过点作于点，延长和的延长线交于点． （1）证明：是的切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线；     （2）3      【分析】 本题为圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键． （1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径为3． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设的半径为r，，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 考点08 正多边形与圆 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（       ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键．由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案． 【详解】 解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点，即正六边形的中心， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）＝　　　　　　．（结果保留） 【答案】 【分析】 本题主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长．过点作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定半径的长，得出花窗的周长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】 解：如图所示：过点作交于点， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴花窗的周长为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $