专题04 旋转（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题04 旋转 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．B 8．【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，旋转的性质，根据直角三角形两锐角互余得到，根据旋转的性质得到即可求解． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵绕点顺时针旋转旋转后与重合， ∴旋转角为， 故答案为： ． 9．【答案】60度 【分析】 本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转角的定义是解题的关键． 根据旋转的性质可得，进而可求的度数． 【详解】 解：由旋转得：， ， 故答案为：． 10．【答案】（1） 如图所示；．      （2）如图所示；． 【分析】 本题考查作图—旋转变换，中心对称，掌握旋转及中心对称的性质是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质确定、、，然后顺次连接即可完成作图，再写出点的坐标； （2）先确定的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点、、，然后顺次连接即可完成作图，再写出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．【答案】（1）；     （2） 证明：由旋转的性质得，， ∵D为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定． （1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解； （2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，其中，；     （2）      【分析】 （1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 弧的长度． 【点睛】 本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． 13．【答案】60 【分析】 本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．先结合平移的性质得，根据旋转性质得，运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，即，进行作答． 【详解】 解：∵，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即旋转角为， 故答案为：． 14．【答案】72 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】 解：∵360°÷5=72°， ∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合． 故答案为72． 15．【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 由旋转性质得，， ∴， ∵轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∵点Q在第三象限， 故答案为：． 16．【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理可求解； （2）连接，可证是等边三角形，可得，由旋转的性质可得，可得，由勾股定理可求解． (1) 小问详解： 解：∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据旋转的性质解答即可求解； （）利用正方形的性质和勾股定理解答即可； 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴的长度是； (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴． 18．【答案】（1）     （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形；     （3）      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． (1) 小问详解： 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 19．【答案】（1），； （2）证明：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ； （3）的最小值为． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）通过旋转性质得，结合、证，得；由且（等腰顶角），得与关系． （2）利用旋转得，结合推导，再由证，得． （3）延长到使，证得，确定的轨迹，过作，求长度即最小值． 【详解】 （1）解：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ，， 故答案为：，， （2）略 （3）延长到，使，则， ，， ，， 由旋转得，， ， ，即， 又，， ， ， 在过且与夹角为的直线上， 过作于，则为的最小值， 在中，，， ，即的最小值为． 20．【答案】（1）①或或或(写出一个即可)；②     （2）， 理由如下：如图：  ∵等边绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；     （3）或      【分析】 （1）①根据为等边三角形，将绕点A旋转，得到，可得，又F为中点，故，，可知； ②由是的中位线，可得； （2）由等边绕点A逆时针旋转，得到，可得，，，即得，而F为中点，，有，故是等腰直角三角形，，从而； （3）分两种情况：当在下方时，求出，，可得，故；当在上方时，，，有． (1) 小问详解： 解：① ∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴， ∵F为中点， ∴，是的中位线，也是的中位线， ∴， ∴； 故答案为：或或或(写出一个即可)； ②由①知，是的中位线， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当在下方时，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当BE在BC上方时，如图：    ∵， ∴； 综上所述，的长为或1． 【点睛】 本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系． 21．【答案】（1）     （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了旋转的性质，掌握三角形的内角和定理及三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质求解； （2）由证得，即可得证． (1) 小问详解： 解：由题意得， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 22．【答案】（1）①； ② 如图1－1，过点A作交的延长线于， 则， 由旋转的性质可得， ， ， ， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点F为的中点；     （2） 解：成立． 证明：过点A作交的延长线于G，则， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即F为的中点；     （3）      【分析】 此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）① 由旋转的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出； ② 过点A作交的延长线于G，则，证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点A作交的延长线于G，则，证出，证明，由全等三角形的性质得出； （3）根据三角形的三边关系得出当时，最大，此时，、、三点共线，的面积最大，由勾股定理求得，根据旋转的性质得，，则，再根据三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵将绕点B顺时针旋转，得到，， ∴，， ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴当时，最大，此时，、、三点共线，的面积最大， ∵在中，，，， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴面积的最大值为． 23．【答案】（1）； （2）① 由旋转知，， ∵， ∴， ②是等腰直角三角形，理由如下： ∴， 同（1）由三角形的中位线得，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3） 【分析】 此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用； （1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，再利用平行得出，，最后用互余即可得出结论； （2）① 先利用判断出；② 得出，同（1）的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，即可得出，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】 解：（1），理由如下： ∵点P，N是的中点， ∴， ∵点P，M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① 略 ② 略 （3）如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形， ∴最大时，的面积最大， ∴且在顶点A上面， ∴， 连接， 在中，， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 考点02 中心对称及其性质 1．D 2．【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2） 如图，即为所求作；      （3）．      【分析】 本题考查了网格作图——旋转变换，掌握旋转变换作图是解题的关键． （1）关于原点O 成中心对称，横纵坐标均互为相反数，找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ． 考点03 中心对称图形 1．D 2．B 3．C 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．B 11．【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形， （2）如图，△A2B2C2，即为所求作的三角形， （3） 【分析】 （1）分别确定向右平移4个单位后的对应点 再顺次连接即可得到答案； （2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点 再顺次连接即可得到答案； （3）连接与的交点坐标为 结合图形特点可得答案． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）连接与的交点坐标为 所以△A1B1C1与△A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为： 【点睛】 本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，确定对称中心，掌握以上知识是解题的关键． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．C 2．C 3．B 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标关于原点对称的性质，根据对称特征直接求解．即在平面直角坐标系中，点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均变为原来的相反数． 【详解】 解：点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 本题考查求关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于原点对称点的特征即可得解． 【详解】 解：点关于原点的对称点为，则点的坐标为． 故答案为：． 6．【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】 解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 根据点关于原点成中心对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数即可解答．此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【详解】 解：根据点关于原点成中心对称的坐标变换规则，点的对称点为． 因此，点关于原点的对称点为． 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求解即可得． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答． 【详解】 解：点关于原点成中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 10．【答案】（1） 解：如图所示， ，．     （2）．      【分析】 本题主要考查了中心对称图形的绘制、中心对称点的坐标特征以及三角形面积的割补法计算，熟练掌握中心对称的坐标规律和割补法求图形面积是解题的关键． （1）根据中心对称点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）确定、的坐标，再描点连线得到； （2）利用“割补法”，用矩形面积减去周围三角形面积计算的面积． (1) 小问详解： ∵关于原点中心对称的点，横、纵坐标互为相反数，、， ∴，． (2) 小问详解： 解：的面积为． 11．【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，坐标与中心对称，把代入函数解析式，求出的值，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：把代入，得， 则， 解得； ∴； ∴点关于原点的对称点的坐标是； 故答案为： 12．【答案】（1）即为所求： ；     （2）点即为所求： 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及利用轴对称求最短路径问题（即三角形周长最小问题，将军饮马模型），涉及平面直角坐标系中的图形变换和几何图形的性质．解题关键在于关于原点对称的点的坐标变化规律，准确求出对称点的坐标才能正确画出对称三角形．理解利用轴对称将三角形周长问题转化为两点之间线段最短问题是关键，通过作对称点找到使周长最小的点的位置． （1）根据关于原点对称的点的坐标变化规律，即横、纵坐标都互为相反数，分别求出三个顶点、、关于原点对称的点、、的坐标，然后在平面直角坐标系中依次连接这三个点，画出，并写出点的坐标． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，此时的周长最小． (1) 小问详解： 已知，，． 根据关于原点对称的点的坐标特征：点关于原点对称的点的坐标为． 可得关于原点对称的点； 关于原点对称的点； 关于原点对称的点． 依次连接、、，得到． 所以点的坐标为． (2) 小问详解： 利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，时，而线段为定值，而点为动点，所以当最小，即、、三点共线时，的周长最小． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据旋转的性质，用除以3计算即可． 【详解】 解：∵， ∴旋转的角度是的整数倍， ∴旋转的角度至少是． 故选：C． 【点睛】 本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解答本题的关键． 2．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据旋转的性质可知，对应边  与  的夹角即为旋转角，从而可以得到  的度数，由  结合角的和差关系可以得到  的度数． 【详解】 解： 绕点  按逆时针方向旋转  后得到 ， ， ， ． 3．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了旋转的性质和三角形内角和定理，熟练掌握“旋转前后对应角相等”以及“三角形内角和为”是解题的关键．利用旋转的性质得出对应角相等，再结合三角形内角和定理计算的度数． 【详解】 解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴． 在中， ∵三角形内角和为，，， ∴ ． 故选：． 4．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】C 【分析】 本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】 解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 5．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接．若，，，则（       ）． A.  B. 1 C. 2 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；根据勾股定理构建方程求解是解题的关键． 过点作于点F，则，可证，于是．设，，，解得，于是． 【详解】 解：过点作于点F， ∵四边形是矩形， 则， ∵， ∴． 又， ∴. ∴． 设，矩形中，， ∴， 在中，， 解得， ∴． 故选：C 6．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解． 【详解】根据旋转的性质,可得：AB=AD,∠BAD=100°， ∴∠B=×(180°−100°)=40°. 故选D. 【点睛】本题考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 7．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质可得 然后判断出是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得 主要利用了旋转前后对应边相等以及旋转角的定义． 【详解】 解：绕点顺时针旋转得到 是等边三角形， 故选：． 8．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，在中，，点在斜边上．如果绕点顺时针旋转旋转后与重合，那么旋转角等于　　　　　　度． 【答案】 【分析】 本题考查了直角三角形两锐角互余，旋转的性质，根据直角三角形两锐角互余得到，根据旋转的性质得到即可求解． 【详解】 解：在中，， ∴， ∵绕点顺时针旋转旋转后与重合， ∴旋转角为， 故答案为： ． 9．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，将绕点O逆时针旋转，得到，已知，则的度数是　　　　　　． 【答案】60度 【分析】 本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转角的定义是解题的关键． 根据旋转的性质可得，进而可求的度数． 【详解】 解：由旋转得：， ， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，的顶点坐标分别为，，和． （1）画出与关于原点对称的，并写出点A的对应点的坐标． （2）画出将绕点O顺时针旋转得到的，并写出点B的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图所示；．      （2）如图所示；． 【分析】 本题考查作图—旋转变换，中心对称，掌握旋转及中心对称的性质是解题的关键． （1）先根据中心对称的性质确定、、，然后顺次连接即可完成作图，再写出点的坐标； （2）先确定的各顶点都绕点顺时针旋转后得到对应点、、，然后顺次连接即可完成作图，再写出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 11．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． （1）若，求的长； （2）若D为的中点，求证：是等边三角形． 【答案】（1）；     （2） 证明：由旋转的性质得，， ∵D为的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形．      【分析】 本题考查了旋转的性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定． （1）由勾股定理求得，由旋转的性质得，，求得，再根据勾股定理即可求解； （2）由旋转的性质推出是线段的垂直平分线，得到，即可证明是等边三角形． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴； (2) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：    （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，其中，；     （2）      【分析】 （1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， 弧的长度． 【点睛】 本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． 13．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为　　　　　　　　　°． 【答案】60 【分析】 本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．先结合平移的性质得，根据旋转性质得，运用有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形，得是等边三角形，即，进行作答． 【详解】 解：∵，将沿射线的方向平移，得到， ∴， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即旋转角为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转　　度后能与原来图形重合． 【答案】72 【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答． 【详解】 解：∵360°÷5=72°， ∴该图形绕中心至少旋转72度后能和原来的图案互相重合． 故答案为72． 15．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转至点，则点的坐标为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了旋转的性质，过点作轴于点，过点作轴于点，构造一线三直角全等模型证明三角形全等即可． 【详解】 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 由旋转性质得，， ∴， ∵轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∵点Q在第三象限， 故答案为：． 16．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图， 已知是等边三角形， 在外有一点 D， 连接， 将绕点A按顺时针方向旋转得到，与交于点 F，． （1）求的大小； （2）连接， 若，，， 求的长． 【答案】（1）     （2）4      【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，由三角形的内角和定理可求解； （2）连接，可证是等边三角形，可得，由旋转的性质可得，可得，由勾股定理可求解． (1) 小问详解： 解：∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：如图，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，在正方形中，是边上一点，将绕点按逆时针方向旋转到的位置．已知，． （1）求的长度； （2）求的长度． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （）根据旋转的性质解答即可求解； （）利用正方形的性质和勾股定理解答即可； 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴的长度是； (2) 小问详解： 解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴． 18．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1）     （2）四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，， ，， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形；     （3）      【分析】 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判断与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解决本题的关键． （1）由勾股定理求出，再求出，由旋转的性质得：，则可得出答案； （2）先证四边形是矩形，再证明是正方形； （3）点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，当点、、依次共线时，最大，计算即可． (1) 小问详解： 解：（1），，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图：    当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即长度的最大值为． 19．（25-26学年九上·广西防城港·期中）综合与实践 【问题背景】 在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接． 【发现问题】 （1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是          ； 【初步探究】 （2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1），； （2）证明：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ； （3）的最小值为． 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）通过旋转性质得，结合、证，得；由且（等腰顶角），得与关系． （2）利用旋转得，结合推导，再由证，得． （3）延长到使，证得，确定的轨迹，过作，求长度即最小值． 【详解】 （1）解：绕顺时针旋转得， ，， ，即， 又， ， ，， 故答案为：，， （2）略 （3）延长到，使，则， ，， ，， 由旋转得，， ， ，即， 又，， ， ， 在过且与夹角为的直线上， 过作于，则为的最小值， 在中，，， ，即的最小值为． 20．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角        ； ②图1中与的数量关系是        ． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①或或或(写出一个即可)；②     （2）， 理由如下：如图：  ∵等边绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴；     （3）或      【分析】 （1）①根据为等边三角形，将绕点A旋转，得到，可得，又F为中点，故，，可知； ②由是的中位线，可得； （2）由等边绕点A逆时针旋转，得到，可得，，，即得，而F为中点，，有，故是等腰直角三角形，，从而； （3）分两种情况：当在下方时，求出，，可得，故；当在上方时，，，有． (1) 小问详解： 解：① ∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴， ∵F为中点， ∴，是的中位线，也是的中位线， ∴， ∴； 故答案为：或或或(写出一个即可)； ②由①知，是的中位线， ∴； 故答案为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当在下方时，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当BE在BC上方时，如图：    ∵， ∴； 综上所述，的长为或1． 【点睛】 本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系． 21．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点在上，． （1）求的度数； （2）若，与交于点，求证：． 【答案】（1）     （2） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了旋转的性质，掌握三角形的内角和定理及三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据旋转的性质及等腰三角形的性质求解； （2）由证得，即可得证． (1) 小问详解： 解：由题意得， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 小问详解： 略 22．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，射线交于点．                （1）如图1，当时： ①的度数是______； ②求证：点为的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 证明：如图1－1，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质可得， ， ， ， ，， ， ， ，…… 请将小明的证明过程补充完整 （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，连接，请直接写出在旋转的过程中面积的最大值． 【答案】（1）①； ② 如图1－1，过点A作交的延长线于， 则， 由旋转的性质可得， ， ， ， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点F为的中点；     （2） 解：成立． 证明：过点A作交的延长线于G，则， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即F为的中点；     （3）      【分析】 此题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）① 由旋转的性质得出，，由等腰直角三角形的性质得出； ② 过点A作交的延长线于G，则，证明，由全等三角形的性质得出； （2）过点A作交的延长线于G，则，证出，证明，由全等三角形的性质得出； （3）根据三角形的三边关系得出当时，最大，此时，、、三点共线，的面积最大，由勾股定理求得，根据旋转的性质得，，则，再根据三角形的面积公式求解即可． (1) 小问详解： 解：① ∵将绕点B顺时针旋转，得到，， ∴，， ∴， 故答案为：； ② 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵， ∴当时，最大，此时，、、三点共线，的面积最大， ∵在中，，，， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴面积的最大值为． 23．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）综合与探究 如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． 【观察猜想】（1）图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】（2）把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，， ①证明： ②判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）； （2）① 由旋转知，， ∵， ∴， ②是等腰直角三角形，理由如下： ∴， 同（1）由三角形的中位线得，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3） 【分析】 此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用； （1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，再利用平行得出，，最后用互余即可得出结论； （2）① 先利用判断出；② 得出，同（1）的方法得出，即可得出，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，即可得出，最后用面积公式即可得出结论． 【详解】 解：（1），理由如下： ∵点P，N是的中点， ∴， ∵点P，M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）① 略 ② 略 （3）如图2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形， ∴最大时，的面积最大， ∴且在顶点A上面， ∴， 连接， 在中，， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】 解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 2．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O 成中心对称，画出； （2）将绕着点A 顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）求的面积 【答案】（1） 如图，即为所求作；      （2） 如图，即为所求作；      （3）．      【分析】 本题考查了网格作图——旋转变换，掌握旋转变换作图是解题的关键． （1）关于原点O 成中心对称，横纵坐标均互为相反数，找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （2）找到A、B、C的对应点，顺次连接即可； （3）根据三角形面积公式计算即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ． 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·广西防城港·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】 解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】 本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转180°后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念． 2．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】 解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B 3．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）下列图形属于中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据中心对称图形的定义判定即可． 【详解】 解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查中心对称图形的识别，解题关键是掌握如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、图形不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、图形是中心对称图形，符合题意，选项正确； 故选：D． 5．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】 解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 6．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）下列自然能源图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】 解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意． B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合． 7．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”及“一个图形绕某点旋转后能够与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】 解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选B． 8．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】A、是中心对称图形．故错误； B、是中心对称图形．故错误； C、不是中心对称图形．故正确； D、是中心对称图形．故错误． 故选C． 9．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键； 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，不符合题意，故此选项错误； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确； 故选：D． 10．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】 解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 11．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣1），B（﹣4，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）把△ABC向右平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（　     　，　     　）成中心对称． 【答案】（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形， （2）如图，△A2B2C2，即为所求作的三角形， （3） 【分析】 （1）分别确定向右平移4个单位后的对应点 再顺次连接即可得到答案； （2）分别确定绕原点O旋转180°后的对应点 再顺次连接即可得到答案； （3）连接与的交点坐标为 结合图形特点可得答案． 【详解】 解：（1）略 （2）略 （3）连接与的交点坐标为 所以△A1B1C1与△A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为： 【点睛】 本题考查的是平移的作图，中心对称的作图，确定对称中心，掌握以上知识是解题的关键． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·广西防城港·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点P关于原点对称的点的坐标． 【详解】 解：∵点， ∴P点关于原点对称的点为， 故选：C． 2．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）点关于原点对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标特征．解题的关键在于熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．根据“关于原点对称的点的坐标关系，横坐标与纵坐标都互为相反数”，即可求解． 【详解】 解：关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标与纵坐标都互为相反数， 点关于原点对称点的坐标为， 故选：C． 3．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（       ） A. 12 B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键．利用关于原点对称点的性质，即它们的坐标互为相反数，得到a，b的值，再利用有理数的乘方法则计算得到答案． 【详解】 解：点关于原点的对称点为， ， ， 故选：B． 4．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标关于原点对称的性质，根据对称特征直接求解．即在平面直角坐标系中，点关于原点对称时，横坐标和纵坐标均变为原来的相反数． 【详解】 解：点关于原点对称点的坐标为． 故答案为：． 5．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）点关于原点的对称点为，则点的坐标为　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查求关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于原点对称点的特征即可得解． 【详解】 解：点关于原点的对称点为，则点的坐标为． 故答案为：． 6．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查关于原点对称的点的坐标变换规律，即如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数． 根据原点对称的点的坐标变换规律，得到点关于原点对称的点的坐标为． 【详解】 解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，故坐标为， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据点关于原点成中心对称时，横坐标和纵坐标均互为相反数即可解答．此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【详解】 解：根据点关于原点成中心对称的坐标变换规则，点的对称点为． 因此，点关于原点的对称点为． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标“如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数”，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变换规律是解题关键．根据如果两个点关于原点对称，那么这两个点的横、纵坐标均互为相反数求解即可得． 【详解】 解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答． 【详解】 解：点关于原点成中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） 解：如图所示， ，．     （2）．      【分析】 本题主要考查了中心对称图形的绘制、中心对称点的坐标特征以及三角形面积的割补法计算，熟练掌握中心对称的坐标规律和割补法求图形面积是解题的关键． （1）根据中心对称点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）确定、的坐标，再描点连线得到； （2）利用“割补法”，用矩形面积减去周围三角形面积计算的面积． (1) 小问详解： ∵关于原点中心对称的点，横、纵坐标互为相反数，、， ∴，． (2) 小问详解： 解：的面积为． 11．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）已知点在二次函数的图像上，则点关于原点的对称点的坐标是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，坐标与中心对称，把代入函数解析式，求出的值，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数即可得出结果． 【详解】 解：把代入，得， 则， 解得； ∴； ∴点关于原点的对称点的坐标是； 故答案为： 12．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1）即为所求： ；     （2）点即为所求： 【分析】 本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及利用轴对称求最短路径问题（即三角形周长最小问题，将军饮马模型），涉及平面直角坐标系中的图形变换和几何图形的性质．解题关键在于关于原点对称的点的坐标变化规律，准确求出对称点的坐标才能正确画出对称三角形．理解利用轴对称将三角形周长问题转化为两点之间线段最短问题是关键，通过作对称点找到使周长最小的点的位置． （1）根据关于原点对称的点的坐标变化规律，即横、纵坐标都互为相反数，分别求出三个顶点、、关于原点对称的点、、的坐标，然后在平面直角坐标系中依次连接这三个点，画出，并写出点的坐标． （2）利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，此时的周长最小． (1) 小问详解： 已知，，． 根据关于原点对称的点的坐标特征：点关于原点对称的点的坐标为． 可得关于原点对称的点； 关于原点对称的点； 关于原点对称的点． 依次连接、、，得到． 所以点的坐标为． (2) 小问详解： 利用轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，时，而线段为定值，而点为动点，所以当最小，即、、三点共线时，的周长最小． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转 4大高频考点概览 考点01 图形的旋转 考点02 中心对称及其性质 考点03 中心对称图形 考点04 关于原点对称的点的坐标 考点01 图形的旋转 1．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，则的度数为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A.  B.  C. 或 D. 或 5．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接．若，，，则（       ）． A.  B. 1 C. 2 D.  6．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为(     ) A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，若线段，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，在中，，点在斜边上．如果绕点顺时针旋转旋转后与重合，那么旋转角等于　　　　　　度． 9．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，将绕点O逆时针旋转，得到，已知，则的度数是　　　　　　． 10．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，的顶点坐标分别为，，和． （1）画出与关于原点对称的，并写出点A的对应点的坐标． （2）画出将绕点O顺时针旋转得到的，并写出点B的对应点的坐标． 11．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，在中，，把绕着点B顺时针旋转得到，点C的对应点D落在上，连接． （1）若，求的长； （2）若D为的中点，求证：是等边三角形． 12．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：    （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 13．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）实验班限制 如图，在中，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合，则旋转角为　　　　　　　　　°． 14．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图是中国共产主义青年团团旗上的图案（图案本身没有字母），则至少旋转　　度后能与原来图形重合． 15．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转至点，则点的坐标为　　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图， 已知是等边三角形， 在外有一点 D， 连接， 将绕点A按顺时针方向旋转得到，与交于点 F，． （1）求的大小； （2）连接， 若，，， 求的长． 17．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，在正方形中，是边上一点，将绕点按逆时针方向旋转到的位置．已知，． （1）求的长度； （2）求的长度． 18．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点，的对应点分别为点，． [问题解决]    （1）如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段长度的最大值． 19．（25-26学年九上·广西防城港·期中）综合与实践 【问题背景】 在中，点在平面内，连接并将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，，连接． 【发现问题】 （1）如图，如果点是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是，线段和线段的数量关系是          ； 【初步探究】 （2）如图，如果点为平面内任意一点，求证：； 【拓展探究】 （3）如图3，在中，，，，是线段上的任意一点连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 20．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：    （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角        ； ②图1中与的数量关系是        ． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 21．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）如图，绕点逆时针旋转得到，点在上，． （1）求的度数； （2）若，与交于点，求证：． 22．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，射线交于点．                （1）如图1，当时： ①的度数是______； ②求证：点为的中点； 小明经过思考给出下面证明过程： 证明：如图1－1，过点作交的延长线于点， 则， 由旋转的性质可得， ， ， ， ，， ， ， ，…… 请将小明的证明过程补充完整 （2）当时，（1）中②的结论还成立吗？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，连接，请直接写出在旋转的过程中面积的最大值． 23．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）综合与探究 如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． 【观察猜想】（1）图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 【探究证明】（2）把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，， ①证明： ②判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 考点02 中心对称及其性质 1．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形． （1）若和关于原点O 成中心对称，画出； （2）将绕着点A 顺时针旋转，画出旋转后得到的． （3）求的面积 考点03 中心对称图形 1．（25-26学年九上·广西防城港·期中）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过．以下新能源汽车图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）下列图形属于中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）下列自然能源图标中，是中心对称图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ） A.      B.      C.      D.      8．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（   ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（﹣2，﹣1），B（﹣4，﹣4），C（﹣1，﹣3）． （1）把△ABC向右平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（　     　，　     　）成中心对称． 考点04 关于原点对称的点的坐标 1．（25-26学年九上·广西防城港·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（        ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）点关于原点对称点的坐标为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则（       ） A. 12 B.  C. 1 D.  4．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点是　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）点关于原点的对称点为，则点的坐标为　　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）点关于原点成中心对称的点的坐标为　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点，的坐标； （2）求的面积． 11．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）已知点在二次函数的图像上，则点关于原点的对称点的坐标是　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）在轴上找一点，使得周长最小．（保留作图痕迹） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $