专题02 二次函数（期中真题汇编，广西专用）九年级数学上学期

专题02 二次函数 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．D 2．B 3．A 4．D 5．A 6．A 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．A 2．【答案】上 【分析】 根据二次函数的开口方向和二次项系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵抛物线y＝3x2， 二次项系数， ∴抛物线y＝3x2的开口方向向上． 故答案为：上． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口． 3．【答案】(答案不唯一) 【分析】 由二次函数图象的性质可得：时图象开口向上． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴符合题意， 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数中二次项系数与开口的关系是解题的关键． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．A 12．B 13．B 14．B 15．【答案】(0，-2) 【分析】 抛物线的顶点坐标为：(0，k)， 从而可得答案． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)， 故答案为：(0，-2)． 【点睛】 本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键． 16．【答案】 【分析】 直接根据顶点式可求得答案． 【详解】 解：∵ ∴对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为,顶点坐标为． 17．【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的平移变换，熟练掌握 “上加下减，左加右减” 的平移规则是解题的关键．根据抛物线平移的 “上加下减，左加右减” 规则，逐步对原抛物线进行平移变换． 【详解】 解：原抛物线为 ．向上平移1个单位后，得到 ． 再向右平移2个单位，得到 ． 故答案为 . 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移，先将原二次函数化为顶点式，再根据“左右平移横坐标相加减，上下平移纵坐标相加减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：， 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 故得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 19．【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．分别把，代入解析式求解即可． 【详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．C 9．B 10．C 11．B 12．D 13．C 14．C 15．C 16．【答案】（1）     （2）     （3）当时，y的值随着x的增大而增大      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，将一般式化为顶点式，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法即可将一般式化为顶点式； （2）利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点， ∴， ∴解析式为； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线 ∵， ∴当时，y的值随着x的增大而增大． 17．【答案】（1）     （2）点不在该抛物线上， 理由：当时，．        ∵， ∴点不在该抛物线上．      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把点的坐标代入计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得       解得       ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 18．【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数解析式的求解、二次函数与一次函数的图象关系，熟练掌握函数图象上点的坐标特征及函数图象与不等式的关系是解题的关键． （1）分别令直线方程中、，求解对应的坐标； （2）将A、B坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数； （3）根据图象，确定抛物线在直线上方的x取值范围． (1) 小问详解： 解：令，代入得， 解得， ∴， 令，代入得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵抛物线经过、， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； (3) 小问详解： 解：∵直线与坐标轴交于、， ∴由图象可知，不等式的解集是． 19．【答案】（1）     （2）存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查待定系数法求二次函数，二次函数与特殊三角形的综合运用， （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据根据两点之间距离的计算方法可得的值，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；由此列式求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点和点， ∴ ， 解得， ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下， 由（1）可得，， ∴，抛物线对称轴为， 当时，， ∴，且， ∴ ∴， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 同理可得，或； 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或． 20．【答案】7或 【分析】 本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：的值为7或． 故答案为：7或． 21．【答案】（1），顶点坐标为（2，1）． （2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2， 平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上． 【分析】 （1）利用交点式得出，从而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可． （2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2，从而得出答案，答案不唯一． 【详解】 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）， ∴可设抛物线解析式为． 把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1． ∴抛物线解析式为，即． ∵， ∴顶点坐标为（2，1）． （2）略 22．【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题等，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 利用抛物线的对称轴、开口方向则可对① 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对② 进行判断；由对称轴方程得到，当时，，则可对③ 进行判断；当时，，且是抛物线的最大值，则可对④ 进行判断． 【详解】 解：∵抛物线开口方向向下， ， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解是，故② 正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ， 当时，，即， ∴， ∴，故③ 正确； 当时，，且是抛物线的最大值， 当时，，即 当时，， ∴， 综上所述：，故④ 不正确； ∴① ② ③ 是正确的， 故答案为：① ② ③ ． 23．【答案】（1） ；     （2） ；      【分析】 本题考查了用待定系数法求解析式、二次函数的图象的性质，关键是利用二次函数的图象性质求解； （1）把点分别代入二次函数与直线的解析式，即可求出的值； （2）把代入二次函数解析式即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出的取值． (1) 小问详解： 解：∵二次函数与直线的图象交于点， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴开口向上，对称轴是， ∴当时，随的增大而增大． 24．【答案】（1）28秒；（2）132.25米； ② 立如图所示的平面直角坐标系．先根据表格描点并用平滑的曲线依次连接如下． ③B； ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，涉及画函数图象、二次函数的性质、求函数值等知识点，求得二次函数解析式成为解题的关键． ．建立模型∶ ② 按照描点、连线的步骤画出函数图象即可；③ 根据函数图象确定函数类型即可解答；④ 运用待定系数法求得函数解析式即可． Ⅱ． 应用模型：（1）当时，求出对应的t即可解答；（3）先鸣笛在启动减速系统后的时间，然后将代入求解即可． 【详解】 解：．建立模型∶ ② 略； ③ 根据② 可知该函数图象是二次函数图象，即该函数可能是二次函数，即B选项符合题意． 故选B．         ④ 解：设 ，解得： ； 验证：当时，，故该函数表达式为； Ⅱ．应用模型 （1） 当时，则 ∴ ，解得：． ∴列车从开始减速到完全停止，共需28秒． ② 由提示音全程持续23秒，则鸣笛在启动减速系统后的时间， 当时， (米) 答：列车开始播放提示音时、距离体车线米． 25．【答案】 【分析】 先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可． 【详解】 解：点到轴的距离小于2， ， 点在二次函数的图象上， ， 当时，有最小值为1． 当时，， 的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键． 26．【答案】（1） （2）＋ （3）①S＝；② 存在，S最大值为1，E(－2，－2) 【分析】 （1）设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式； （2）利用配方法得到，从而得到，抛物线的对称轴为直线，连接交直线于，如图1，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，周长的最小值，然后利用勾股定理计算出和即可得到周长的最小值； （3）① 如图2，先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，则可表示出，根据三角形面积公式，利用得到； ② 先利用配方法得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】 解：（1）由题意得 ，解得 ∴该抛物线的表达式为 （2）∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC 又∵BC是定值 ∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小． ∵点A，点B关于对称轴l对称． ∴连接AC交l于点P，即点P为所求点． ∴AP＝BP ∴△PBC的周长最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC ∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3) ∴AC＝，BC＝ 故△PBC的周长最小值为＋    （3）① ∵抛物线的表达式为＝ ∴点D的坐标为(－1，－4) 设直线AD的表达式为，把点A(－3，0)，D(－1，－4)代入 得   ，解得 ∴直线AD的表达式为 ∵点E的横坐标为m． ∴E(m，－2m－6)，F(m，) ∴EF＝＝ ∴S＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∴S与m的函数表达式为S＝ ② 存在． ∵S＝＝ ∴当m＝－2时，S最大，最大值为1． 此时点E的坐标为(－2，－2)． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题． 27．【答案】（1）①②     （2）米     （3）至少为米      【分析】 （1）① 先得出，得，再结合点坐标为，求出，故点的坐标为； ② 理解题意，把，，分别代入，进行计算，即可作答． （2）先根据，得出开口方向向下，在对称轴处取得最大值，求出对称轴直线，代入，进行计算，即可作答． （3）理解题意，则把代入，得，即，因为主办方设置高为3米的保护网，得，整理得，结合，故，又因为，则，因为点在抛物线的对称轴上，则，即，考虑安全问题，即至少为米． (1) 小问详解： 解：① 过点B分别作轴，作轴，如图所示： ∵绳长为，与轴形成的夹角为，且， ∴， ∴，即， 则， ∵点坐标为， ∴， 则， 即， ∴点的坐标为； ② 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点、、，且点坐标为，点坐标为， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在（1）的条件下，抛物线的解析式为； ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 则对称轴为直线， 把代入，得， 即演员乙能达到的最高高度是米； (3) 小问详解： 解：∵演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，且点坐标为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵主办方设置高为3米的保护网， ∴， ∴， ∴， 则， ， 令，则在中，随着的增大而减小， ∴当时，则；当时，则， 即， 故， ∴， ∴， ∴， ∵若点在抛物线的对称轴上， ∴， 即． ∵预防表演时演员乙出现失误，安全问题， ∴至少为米． 【点睛】 本题考查了二次函数的其他应用，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．B 8．C 9．D 10．【答案】， 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可． 【详解】 解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线， ∴点也在的图象上． ∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，． 故答案是：，． 11．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】 解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 12．【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，即可得出结果； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用图像法求出自变量的范围即可； （4）利用图像法求出的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由图可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为； ∴关于的一元二次方程的解为； (2) 小问详解： 由图像可知，对称轴为直线， ∴； 当时，， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： 由图像可知，或时，； (4) 小问详解： ∵， ∴顶点坐标为， ∵直线与拋物线没有交点， ∴． 13．【答案】（1）①，3； ② 如图，          （2）①或或；② ：；     （3）函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象；      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，通过数形结合求解是解题的关键； （1）① 将和代入解析式求解；② 根据函数解析式及表格作图； （2）① 根据图象与轴的交点求解；② 根据图象求解； （3）由可得新函数图象是由函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位所得． (1) 小问详解： 解：① 将代入得， ， 将代入得， ， 故答案为：，3； ② 略 (2) 小问详解： 解：① 根据表格及图象可得或或时，， 故答案为：或或； ② 由图象可得当直线在轴下方，直线上方时，直线与函数图象有4个交点， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象， 如图，     由图象知当，的范围为：． 考点06 实际问题与二次函数 1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．【答案】（1）y＝﹣8x+320     （2）销售单价定为x=25元时，每天销售利润W最大，最大利润是1800元      【分析】 （1）根据该日用品每个售价为15元时，每天的销售量为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减少8个，列出函数关系即可； （2）根据利润等于单个日用品的利润乘以销售量求出W与x的关系式，再根据函数的性质解答． (1) 小问详解： 解：由题意得：y＝200﹣8（x﹣15）＝﹣8x+320， ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系式y＝﹣8x+320； (2) 小问详解： 解：由题意得：W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣8x+320） ＝﹣8x2+400x﹣3200 ＝﹣8（x﹣25）2+1800， ∵﹣8＜0， ∴当x＝25时，W有最大值，最大值为1800， ∴当销售单价定为25元时，每天销售利润W最大，最大利润是1800元． 【点睛】 此题考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 8．【答案】（1） 件，元     （2） 30元     （3） 20元      【分析】 本题考查代数式表示、一元二次方程和二次函数的应用． （1）根据销售单价降低x元，销售量增加件，每件利润减少x元，直接写出代数式； （2）根据利润公式列方程，解方程后选择降价较多的解以满足顾客实惠； （3）设每月利润为，建立利润关于x的二次函数，通过顶点公式求最大值对应的x值． (1) 小问详解： 解：销售单价降低x元，则销售量为（件），每件利润为（元）， 故答案为：件；元； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得，， 解得 ，， ∵要求顾客获得更多实惠，即销售单价更低， ∴， 答：销售单价应降30元； (3) 小问详解： 解：设每月利润为， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 对称轴为直线， ∴当时，利润最大， 答：销售单价应降20元． 9．【答案】（1）20元； （2）不能达到1500元， 假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【分析】 （1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】 解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2） 略 （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，和二次函数的最值，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 10．【答案】（1）     （2）销售产品所获利润是万元；     （3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元；      【分析】 （1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； (1) 小问详解： 解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； (3) 小问详解： 解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】 本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 11．【答案】（1），     （2）40元/件     （3）不能通过调整单价使每天利润达到1260元      【分析】 本题主要考查了一次函数、二次函数以及一元二次方程在销售问题中的应用． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润1260元，列出方程，再根据，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴ ， 解得 ， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元/件销售， ∴， ∴每天的销售利润为． ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元/件时，每天的销售利润为800元； (3) 小问详解： 解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得，， ∵，该方程无解， ∴不能通过调整单价使每天利润达到1260元． 12．【答案】（1）     （2）单价定为25元时，每天的销售利润可以达到150元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合成本价为20元/千克．该产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）有如下关系：．且设这种产品每天的销售利润为w（元），进行列式化简，得，即可作答． （2）理解题意，得出，再解方程，因为销售单价定得比较低，能提高销售量，，所以当销售单价定为25元时，每天的销售利润可以达到150元，且能提高销售量，即可作答． (1) 小问详解： 解：由题意，得， ∴w与x之间的函数关系式为：． (2) 小问详解： 解：由（1）得w与x之间的函数关系式：， 令，则． 整理，得， 解得，． 当销售单价定得比较低时，能提高销售量，， 故当销售单价定为25元时，每天的销售利润可以达到150元，且能提高销售量． 13．【答案】（1）；     （2）①，；② 该商品日销售利润的最大值为元．      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）① 设该产品的成本单价是元，根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）列方程，求出，再求出的值即可； ② 由题意可得，再根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式为， 则 ，解得： ， 则日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：① 设该产品的成本单价是元， 则， 解得：， 即该产品的成本单价是元， 则， 故答案为：，； ② 由题意可知，， ， 当，取最大值为， 即该商品日销售利润的最大值为元． 14．【答案】任务一：碗体的抛物线解析式为；任务二： 【分析】 任务一：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可； 任务二：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】 任务一： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ，， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 碗体的抛物线解析式为； 任务二： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 则 ，解得 ， ， 联立方程组 ， 解得 或 ， ， ． 【点睛】 本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 15．【答案】（1）     （2）① 能；②      【分析】 本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键． （1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）① 求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；② 求出时，或，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴拋物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，， 当时，， 当时，， 长绳能高过所有跳绳队员的头顶； ② 当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 16．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意和平面直角坐标系，设函数关系式为，将带入即可求出函数解析式，进而问题可求解． 【详解】 解：由平面直角坐标系得，，， 设函数关系式为， ， 解得， ， 当时，则， 解得， 水面宽， 故答案为：． 17．【答案】（1）     （2），，144元 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得： ， 解得： ， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 18．【答案】（1）     （2）小明此次试投的成绩能达到满分，理由： 令，即， 解得或（舍去）， ， ， 所以，小明此次试投的成绩能达到满分．      【分析】 （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，设抛物线解析式为，利用待定系数法代入求解即可； （2）令，即，解方程求解即可得出结论． (1) 小问详解： 由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点A， ， 解得， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 19．【答案】（1）     （2）当销售价格定为13.5元时，日获利最大，最大利润为845元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据日总利润（销售价格成本服务费）销售数量即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵ ∴W与x的函数关系式；； (2) 小问详解： 解：由（1）得 ∵， ∴当时，日获利最大，最大利润为845元， 答：当销售价格定为13.5元时，日获利最大，最大利润为845元． 20．【答案】（1）灯罩的口径为     （2），     （3）灯罩的高度的值为25      【分析】 本题考查列代数式，求二次函数的解析式，二次函数的应用． （1）根据“灯罩的高度为，它的口径等于高的倍”，即可求解； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得点的坐标，代入，可得，即可得抛物线的解析式； （3）根据题意可得，为上一点，代入计算，即可得新灯罩的模型高度的值． (1) 小问详解： 解：根据题意可知，灯罩的口径为. (2) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为（）. ∵，， ∴， ∴， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． (3) 小问详解： 解：∵灯罩的抛物线形状不变，则. 由题意知，，. ∴. ∴， 代入得， 解得（舍去）或， ∴灯罩的高度h的值为25． 21．【答案】任务1：； 任务2：纵坐标的最小值是，横坐标的取值范围是：； 任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼； 方案二：如图，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂6盏灯笼． 【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键． 任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式； 任务2：根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，计算悬挂点的纵坐标的最小值是； 任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，分别求解即可． 【详解】 解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：， 把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； 任务2： ∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离最高水位不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 任务3：略 22．【答案】（1）；喷出水的最大射程为     （2）     （3）的取值范围是      【分析】 （1）根据图形及题意将数据转化成函数图像上点的坐标，设函数解析式为，将点代入求解，再令，再解方程即可得到答案； （2）根据（1）求出对称轴，根据轴对称性质求出点的对称点，结合函数的平移关系即可得到答案； （3）如图，先看上边缘抛物线，求解点的纵坐标为0.5．当抛物线恰好经过点时，可得．可得．求解的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，可得的最小值为2，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：如图，时，， 由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； (2) 小问详解： 解：对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）下列函数，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）下列函数是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）二次函数的常数项是（     ） A.  B.  C. 2 D. 1 4．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（   ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西防城港·期中）下列函数中是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西梧州·期中）在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（     ） A. 3 B. 6 C.  D.  2．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）抛物线y＝3x2的开口方向向　　　　　　（填“上”或“下”）． 3．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：　　　　　　　． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）抛物线的对称轴是（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·广西防城港·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（） A. 顶点坐标 B. 有最小值为1 C. 开口向下 D. 对称轴是直线 5．（25-26学年九上·广西防城港·期中）二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法判定 6．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（   ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点，则平移后的函数解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）对二次函数的图象下列叙述正确的是（     ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 9．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为(　　) A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·广西梧州·期中）下列抛物线中，对称轴为直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 12．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）将抛物线向下平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）抛物线 的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）抛物线的对称轴是直线　　　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年九上·广西防城港·期中）在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·广西梧州·期中）抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）若点，在抛物线上，则，的大小关系为：　　　　　　　　　　　． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）抛物线的对称轴是，则b的值等于（       ） A. 6 B.  C. 4 D.  2．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）抛物线的顶点坐标（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）二次函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      4．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）二次的函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·广西防城港·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·广西梧州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A.          B.      C.      D.      14．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·广西防城港·期中）抛物线的图像过点． （1）求抛物线解析式； （2）将该二次函数的解析式化为的形式； （3）x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？ 17．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 18．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． （1）求A，B两点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 19．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）已知抛物线（n为常数），当时，其对应的函数值最大为，则n的值为　　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式． 22．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，抛物线（a，b，c为常数，且）的图象关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为，下列结论中：①；②关于x的一元二次方程的解是，；③；④．其中，正确的有　　　　　　．（填序号） 23．（25-26学年九上·广西梧州·期中）二次函数与直线的图象交于点． （1）求的值； （2）写出二次函数的表达式，并指出取值何值时，随的增大而增大． 24．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）项目式学习任务          南昌地铁减速运动建模 项目背景：南昌地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在某次运行中，南昌地铁1号线列车于距万寿宫站停车线196米处启动减速程序，快到站时播放提示音“列车即将到达万寿宫站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 核心问题： （1）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （2）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 为了解决这些问题，附中项目小组同学通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的函数关系： ．建立模型 ①收集数据 t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 s（米） 196 144 100 64 36 16 4 ②为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ③观察这条曲线的形状，它可能是                   的图象． A． 一次函数        B．二次函数          C．反比例函数 ④利用③中的结论，求此函数解析式． Ⅱ．应用模型 请你应用模型解答核心问题中的两个问题． 25．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图1，已知抛物线经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，其顶点为D，对称轴是直线，与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①试求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. （1）某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； （3）在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，直线与抛物线交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为（       ）． A. 或 B.  C.  D. 或 3．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）关于函数的图象叙述正确的是（       ）． A. 抛物线的开口向上 B. 顶点坐标是 C. 与x轴有两个交点 D. 对称轴是直线 4．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 5．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）二次函数的图象如右图，当时，的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D. 或 7．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 8．（25-26学年九上·广西梧州·期中）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 9．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　） A.  B.  C.  D. 1 10．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是　　　　　　． 11．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，已知二次函数的图像，回答以下问题： （1）关于的一元二次方程的解为_________； （2）求此二次函数的解析式； （3）当为何值时，？ （4）若直线与拋物线没有交点，直接写出的取值范围． 13．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： （1）作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 4 8 3 0 0 0 8 则                ，                  ；        ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象 （2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是          ； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是          ； （3）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 2．（25-26学年九上·广西防城港·期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A. 13米 B. 28米 C. 15米 D. 16米 3．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（       ） A. 6 B. 3 C.  D.  4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（     ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 6．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）某超市销售一批日用品，每个进价为10元，经市场调研发现：该日用品每个售价为15元时，每天的销售量为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减少8个，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（个），每天的销售利润为W（元）． （1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）求当销售单价x定为多少元时，每天销售利润W最大？最大利润是多少元？ 7．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 8．（25-26学年九上·广西防城港·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本；若销售单价降x元． （1）该商品每月的销售量为          ，每件利润为          ；（用含x的代数式表示） （2）若该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应降多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应降多少元？ 9．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 10．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 11．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）为庆祝国庆节，某地文旅部门设计了一款印有当地特色图案的文化衫，通过景区商店和线上平台同步销售，收益用于支持乡村文化振兴．已知文化衫的成本为30元/件，销售单价不低于成本价，且不高于50元/件．经市场调研发现，该文化衫每天的销售量（件）与销售单价x（元/件）之间的关系是一次函数（其图象如图所示）设每天的销售利润为w元． （1）请根据图象分别求出у与x，w与x的函数解析式； （2）为在国庆期间吸引游客，商家希望每天的销售利润达到800元，销售单价应定为多少元/件？ （3）国庆期间，能否通过调整单价使每天利润达到1260元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由 12．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）某地农民为响应2025年国家《促进农产品消费实施方案》中关于绿色健康、品质提升的政策要求，通过标准化种植某种农产品获得有机认证，成本价为20元/千克．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）为了提高销售量，销售单价定为多少元时，每天的销售利润可以达到150元． 13．（25-26学年九上·广西梧州·期中）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价（元） 70 74 78 日销售量（件） 200 160 120 日销售利润（元） 6000 4560 （1）根据以上信息，求日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式； （2）①填空：该产品的成本单价是_________元，表中的值是_________； ②求该商品日销售利润的最大值． 14．（25-26学年九上·广西梧州·期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 15．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 16．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 18．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． （2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 19．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）某直播间销售网红手工糕点，成本为5元/份，销售价格不高于20元/份，每销售1份需向平台支付2元服务费．每日销售量y（份）与销售价格x（元/份）的函数关系为．解答： （1）求日总利润W与销售价格x的函数关系式； （2）当销售价格定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ 20．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）综合与实践：某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 （1）请用含有h的式子表示新灯罩的口径； （2）把原灯罩的垂直截面图抽象为如图2所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知，，请求出点的坐标，并求出抛物线的解析式； （3）在（1）和（2）的条件下，求新灯罩的模型高度的值． 21．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线型建     造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于．     素材3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1：确定桥拱形状 在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 问题解决 任务2：探究悬挂范围 在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 问题解决 任务3：拟定设计方案 符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的方案． 22．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点05 二次函数与一元二次方程 考点06 实际问题与二次函数 考点01 二次函数的概念 1．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）下列函数，是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A．是一次函数，最高次数为1，故不是二次函数； B．是反比例函数，故不是二次函数； C．是根式函数，故不是二次函数； D．形如，且，是二次函数，符合题意． 故选D． 2．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）下列函数是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查的是二次函数的识别，根据二次函数的定义：形如进行判断即可． 【详解】 解：∵二次函数的标准形式为， A：，最高次项为一次，∴不是二次函数，不符合题意； B：，最高次项为二次，∴是二次函数，符合题意； C：，是分式函数，∴不是二次函数，不符合题意； D：，含根号，∴不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）二次函数的常数项是（     ） A.  B.  C. 2 D. 1 【答案】A 【分析】 根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】 ∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 4．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）下列函数中，y是x的二次函数的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得． 【详解】 解：A、不是二次函数，则此项不符合题意； B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意； C、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意； D、是二次函数，则此项符合题意； 故选：D． 5．（25-26学年九上·广西防城港·期中）下列函数中是二次函数的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，形如 （其中 为常数，且 ）的函数是二次函数．逐一判断各选项是否符合定义，即可解题． 【详解】 解：选项 A：中，，且为整式，∴它是二次函数，符合题意． 选项 B：的最高次项为一次，∴它不是二次函数，不符合题意． 选项 C：中含有分式，不是整式，∴它不是二次函数，不符合题意． 选项 D：中，可能为 0，∴它不一定是二次函数，不符合题意． 故选：A． 6．（25-26学年九上·广西梧州·期中）在下列关于的函数中，一定是二次函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查二次函数的定义，“一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】 解：A、是二次函数，故选项A符合题意； B、不是整式，不是二次函数，故选项B不符合题意； C、不是整式，不是二次函数，故选项C不符合题意； D、当时，不是二次函数，故选项D不符合题意； 故选：A． 考点02 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）若函数的图象经过点，则n的值为（     ） A. 3 B. 6 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象的点坐标．熟练掌握二次函数图象上的点坐标满足二次函数表达式是解题的关键． 将代入，计算求解即可． 【详解】 解：将代入得，， 故选：A． 2．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）抛物线y＝3x2的开口方向向　　　　　　（填“上”或“下”）． 【答案】上 【分析】 根据二次函数的开口方向和二次项系数的关系求解即可． 【详解】 解：∵抛物线y＝3x2， 二次项系数， ∴抛物线y＝3x2的开口方向向上． 故答案为：上． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口． 3．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合条件的a的值：　　　　　　　． 【答案】(答案不唯一) 【分析】 由二次函数图象的性质可得：时图象开口向上． 【详解】 解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴符合题意， 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；掌握二次函数中二次项系数与开口的关系是解题的关键． 考点03 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】 解：抛物线向上平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是， 故选：C． 2．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）抛物线的对称轴是（       ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式方程为，顶点坐标是，对称轴是直线．根据抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴直线方程． 【详解】 解：∵抛物线方程为 ， ∴对称轴为直线． 故选：A． 3．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）抛物线的顶点坐标是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 对于二次函数写成顶点式时，其顶点为，据此即可得到答案． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的顶点式，二次函数写成顶点式时，其顶点为，注意符号即可． 4．（25-26学年九上·广西防城港·期中）对于抛物线，下列说法正确的是（） A. 顶点坐标 B. 有最小值为1 C. 开口向下 D. 对称轴是直线 【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数顶点式中、、对应的开口方向、顶点坐标、最值及对称轴是解题的关键． 根据二次函数顶点式的性质，逐一分析各选项的正确性． 【详解】 ∵抛物线中，， ∴开口向下，故C正确．顶点坐标为，故A错误；对称轴为直线，故D错误； ∵， ∴有最大值1，故B错误． 故选：C． 5．（25-26学年九上·广西防城港·期中）二次函数的图象经过、两点，则，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D. 无法判定 【答案】B 【分析】 本题考查比较函数值的大小，通过直接代入函数计算，的值，然后比较大小． 【详解】 解：将、代入，得： ， ， ， ， 故选：B． 6．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到新抛物线的表达式是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】 解：抛物线y=5x2先向右平移2个单位得到解析式：y=5（x-2）2， 再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=5（x-2）2+3． 故选：B． 【点睛】 此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 7．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点，则平移后的函数解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查了二次函数的平移．根据二次函数的顶点式即可得到答案． 【详解】 解：∵平移二次函数的图象，其顶点刚好经过点， ∴平移后的函数解析式为， 故选：C． 8．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）对二次函数的图象下列叙述正确的是（     ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大． 【详解】 解：函数为， 故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误， 对称轴为，选项B中“”错误． ，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确． 开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误． 故选：C． 9．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为(　　) A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】解：把抛物线的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握左加右减，上加下减的平移规律是解题关键． 10．（25-26学年九上·广西梧州·期中）下列抛物线中，对称轴为直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】 解：A、抛物线的对称轴为直线，故符合题意； B、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； C、抛物线的对称轴为轴，故不符合题意； D、抛物线的对称轴为直线，故不符合题意； 故选：A． 11．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）将抛物线先向右平移a个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后的抛物线与抛物线重合，则a，b的值分别为（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】 本题主要考查了二次函数平移问题，根据平移后的抛物线的表达式为：，再根据平移后的抛物线与抛物线重合，得出，求出结果即可． 【详解】 解：抛物线的表达式为， 平移后的抛物线的表达式为： ， ∵平移后的抛物线与抛物线重合， ∴， 解得． 故选：A． 12．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】抛物线y=x2向左平移1个单位得到, 故选B. 13．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）将抛物线向下平移5个单位长度，得到新抛物线的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】 解：将抛物线向下平移5个单位所得直线解析式为：； 故选：B． 14．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）抛物线 的顶点坐标是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为是解答本题的关键． 根据顶点式二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴其顶点坐标为． 故选：B． 15．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）抛物线的顶点坐标是　　　　　　　． 【答案】(0，-2) 【分析】 抛物线的顶点坐标为：(0，k)， 从而可得答案． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是(0，-2)， 故答案为：(0，-2)． 【点睛】 本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键． 16．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）抛物线的对称轴是直线　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 直接根据顶点式可求得答案． 【详解】 解：∵ ∴对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为,顶点坐标为． 17．（25-26学年九上·广西防城港·期中）在直角坐标平面中，将抛物线先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了抛物线的平移变换，熟练掌握 “上加下减，左加右减” 的平移规则是解题的关键．根据抛物线平移的 “上加下减，左加右减” 规则，逐步对原抛物线进行平移变换． 【详解】 解：原抛物线为 ．向上平移1个单位后，得到 ． 再向右平移2个单位，得到 ． 故答案为 . 18．（25-26学年九上·广西梧州·期中）抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的解析式为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象的平移，先将原二次函数化为顶点式，再根据“左右平移横坐标相加减，上下平移纵坐标相加减”的平移规律求解即可． 【详解】 解：， 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 故得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）若点，在抛物线上，则，的大小关系为：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系．分别把，代入解析式求解即可． 【详解】 解：∵点，在抛物线上， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 考点04 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）抛物线的对称轴是，则b的值等于（       ） A. 6 B.  C. 4 D.  【答案】D 【分析】 由对称轴公式可得到关于的方程，可求得答案． 【详解】 解：， 抛物线对称轴为， ， 故选D． 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即的对称轴为． 2．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）抛物线的顶点坐标（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了抛物线顶点坐标的求法，理解抛物线的顶点式是解答关键． 先将抛物线的一般式化为顶点式来求解． 【详解】 解：， 抛物线的顶点坐标是． 故选：C． 3．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）二次函数的图象大致是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】B 【分析】 根据抛物线的开口方向、顶点所在象限进行判断即可． 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，故C、D错误； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的顶点在第二象限，故A错误，B正确； 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 4．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 把已知点的坐标代入函数解析式可分别求得，，的值，再比较大小即可． 【详解】 解： ∵点，，都在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 5．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 利用二次函数图象与性质逐项判断即可． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， 故① 正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故② 正确； ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根， 故③ 正确； ∵时，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故④ 正确， 故选：D 【点睛】 此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键． 6．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）二次的函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】 从图象中得到，，故一次函数的图象分布在第一，三，四象限，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标，一次函数图象分布，熟练掌握顶点坐标，一次函数图象分布是解题的关键． 【详解】 从图象中得到，， 故一次函数的图象分布在第一，三，四象限， 故选B． 7．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则 ， ∴ ， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 8．（25-26学年九上·广西防城港·期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的个数是（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握抛物线的相关性质． ① 根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点即可得结论；② 根据抛物线的对称轴即可得结论；③ 根据抛物线与轴的交点个数即可得结论；④ 根据抛物线的对称轴和等于1时小于0即可得结论；⑤ 根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论． 【详解】 解：① 观察图象得∶抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴位于y轴左侧， ∴， ∴， ，则① 错误； ② ∵对称轴，即， ， ．故② 正确； ③ ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③ 正确； ④ 当时，， 即，故④ 错误； ⑤ 当时，有最大值， ∴当时，的值最大， 当时，， ∴， 即，即，故⑤ 正确． ∴正确的有3个， 故选：C． 9．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④（为任意实数）；⑤若，，是抛物线上三点，则；⑥关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；其中正确的个数是（     ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系并数形结合是解题的关键． 由图象可知，，对称轴为直线，即，当时，最小，当时，随的增大而减小，当时，，则，可判断① 的正误；当时，，可判断② 的正误；当时，，可判断③ 的正误；由，可得（为任意实数），可判断④ 的正误；关于对称轴对称的点坐标为，由，可得，可判断⑤ 的正误；由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；可判断⑥ 的正误． 【详解】 解：由图象可知，，对称轴为直线，即， 当时，最小， 当时，随的增大而减小， 当时，， ∴，① 正确，故符合要求； 当时，，② 正确，故符合要求； 当时，，③ 错误，故不符合要求； ∵， ∴（为任意实数），④ 正确，故符合要求； 关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴，⑤ 正确，故符合要求； 由题意知，，有两个不同的交点，即关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；⑥ 正确，故符合要求； 故选：B． 10．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查函数图象和性质．解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的图象的性质． 根据二次函数的图象开口向下可知，，则，而根据反比例函数的图象性质可判断出a的正负；由一次函数的图象与性质可知和c的正负，即可得到答案． 【详解】 解∵二次函数的图象开口向下，交y轴于正半轴，对称轴在y轴左侧， ∴，， ∴， ∴． A、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴A不符合： B、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴B不符合： C、∵在反比例函数中，，在一次函数中， ，， ∴C符合： D、∵在反比例函数中，，在一次函数中，，， ∴D不符合． 故选：C． 11．（25-26学年九上·广西梧州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】 解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 12．（25-26学年九上·广西梧州·期中）已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最大值出现在端点处，再比较端点和顶点的函数值即可．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，函数值的最大值为． 故选：D． 13．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A.          B.      C.      D.      【答案】C 【分析】 x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】 x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 14．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可． 【详解】 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故选项A错误； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，故选项B错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故选项C正确； ∵二次函数图象过点，对称轴是直线， ∴二次函数图象过点， ∴，故选项D错误； 故选：C． 15．（25-26学年九上·广西南宁第十四中学·期中）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图像与性质，二次函数的最值问题，根据题意，可知二次函数开口向上，对称轴为，那么当时，函数取得最小值，结合时取得最大值，可判断的取值范围． 【详解】 解：∵， ∴对称轴为，开口向上，顶点为最小值点， 当时，， ∵当时取得最小值， ∴， ∴， ∵当时取得最大值， ， 令，则， 解得， 即， ∴， ， ． 故选：C． 16．（25-26学年九上·广西防城港·期中）抛物线的图像过点． （1）求抛物线解析式； （2）将该二次函数的解析式化为的形式； （3）x取什么值时，y的值随着x的增大而增大？ 【答案】（1）     （2）     （3）当时，y的值随着x的增大而增大      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，将一般式化为顶点式，解题的关键是正确求出函数解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法即可将一般式化为顶点式； （2）利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线过点， ∴， ∴解析式为； (2) 小问详解： 解： ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴对称轴为直线 ∵， ∴当时，y的值随着x的增大而增大． 17．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 6 0 0 … （1）求二次函数的表达式； （2）判断点是否在该抛物线上并说明理由． 【答案】（1）     （2）点不在该抛物线上， 理由：当时，．        ∵， ∴点不在该抛物线上．      【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把点的坐标代入计算即可． (1) 小问详解： 解：由题意，得       解得       ∴二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 略 18．（25-26学年九上·广西防城港·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，抛物线经过点A，B． （1）求A，B两点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；     （2）；     （3）．      【分析】 本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数解析式的求解、二次函数与一次函数的图象关系，熟练掌握函数图象上点的坐标特征及函数图象与不等式的关系是解题的关键． （1）分别令直线方程中、，求解对应的坐标； （2）将A、B坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数； （3）根据图象，确定抛物线在直线上方的x取值范围． (1) 小问详解： 解：令，代入得， 解得， ∴， 令，代入得， ∴； (2) 小问详解： 解：∵抛物线经过、， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； (3) 小问详解： 解：∵直线与坐标轴交于、， ∴由图象可知，不等式的解集是． 19．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）     （2）存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或      【分析】 本题主要考查待定系数法求二次函数，二次函数与特殊三角形的综合运用， （1）待定系数法求解析式即可； （2）根据根据两点之间距离的计算方法可得的值，根据等腰三角形的定义和性质分类讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；由此列式求解即可． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于点和点， ∴ ， 解得， ， ∴抛物线的解析式为：； (2) 小问详解： 解：存在，理由如下， 由（1）可得，， ∴，抛物线对称轴为， 当时，， ∴，且， ∴ ∴， ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点， ∴设， 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴或； 当时，是等腰三角形， 同理可得，或； 当时，是等腰三角形， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为或或． 20．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）已知抛物线（n为常数），当时，其对应的函数值最大为，则n的值为　　　　　　　　　． 【答案】7或 【分析】 本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】 解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：的值为7或． 故答案为：7或． 21．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式． 【答案】（1），顶点坐标为（2，1）． （2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2， 平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上． 【分析】 （1）利用交点式得出，从而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可． （2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=－x2，从而得出答案，答案不唯一． 【详解】 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）， ∴可设抛物线解析式为． 把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1． ∴抛物线解析式为，即． ∵， ∴顶点坐标为（2，1）． （2）略 22．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，抛物线（a，b，c为常数，且）的图象关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为，下列结论中：①；②关于x的一元二次方程的解是，；③；④．其中，正确的有　　　　　　．（填序号） 【答案】① ② ③ 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题等，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型． 利用抛物线的对称轴、开口方向则可对① 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对② 进行判断；由对称轴方程得到，当时，，则可对③ 进行判断；当时，，且是抛物线的最大值，则可对④ 进行判断． 【详解】 解：∵抛物线开口方向向下， ， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故① 正确； ∵抛物线（a，b，c为常数，且）关于直线对称，与x轴的其中一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解是，故② 正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ， 当时，，即， ∴， ∴，故③ 正确； 当时，，且是抛物线的最大值， 当时，，即 当时，， ∴， 综上所述：，故④ 不正确； ∴① ② ③ 是正确的， 故答案为：① ② ③ ． 23．（25-26学年九上·广西梧州·期中）二次函数与直线的图象交于点． （1）求的值； （2）写出二次函数的表达式，并指出取值何值时，随的增大而增大． 【答案】（1） ；     （2） ；      【分析】 本题考查了用待定系数法求解析式、二次函数的图象的性质，关键是利用二次函数的图象性质求解； （1）把点分别代入二次函数与直线的解析式，即可求出的值； （2）把代入二次函数解析式即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出的取值． (1) 小问详解： 解：∵二次函数与直线的图象交于点， ∴， ∴， ∴； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵， ∴开口向上，对称轴是， ∴当时，随的增大而增大． 24．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）项目式学习任务          南昌地铁减速运动建模 项目背景：南昌地铁1号线列车在进站时会启动减速程序，以确保平稳停靠．在某次运行中，南昌地铁1号线列车于距万寿宫站停车线196米处启动减速程序，快到站时播放提示音“列车即将到达万寿宫站…”．提示音全程持续23秒，提示音结束时，刚好列车停止． 核心问题： （1）列车从开始减速到完全停止，共需多少秒？ （2）列车开始播放提示音时，距离停车线多远？ 为了解决这些问题，附中项目小组同学通过建立函数模型，来探究列车离停车线的距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的函数关系： ．建立模型 ①收集数据 t（秒） 0 4 8 12 16 20 24 s（米） 196 144 100 64 36 16 4 ②为了观察s（米）与t（秒）的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．请将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接． ③观察这条曲线的形状，它可能是                   的图象． A． 一次函数        B．二次函数          C．反比例函数 ④利用③中的结论，求此函数解析式． Ⅱ．应用模型 请你应用模型解答核心问题中的两个问题． 【答案】（1）28秒；（2）132.25米； ② 立如图所示的平面直角坐标系．先根据表格描点并用平滑的曲线依次连接如下． ③B； ④ 【分析】 本题主要考查了二次函数的应用，涉及画函数图象、二次函数的性质、求函数值等知识点，求得二次函数解析式成为解题的关键． ．建立模型∶ ② 按照描点、连线的步骤画出函数图象即可；③ 根据函数图象确定函数类型即可解答；④ 运用待定系数法求得函数解析式即可． Ⅱ． 应用模型：（1）当时，求出对应的t即可解答；（3）先鸣笛在启动减速系统后的时间，然后将代入求解即可． 【详解】 解：．建立模型∶ ② 略； ③ 根据② 可知该函数图象是二次函数图象，即该函数可能是二次函数，即B选项符合题意． 故选B．         ④ 解：设 ，解得： ； 验证：当时，，故该函数表达式为； Ⅱ．应用模型 （1） 当时，则 ∴ ，解得：． ∴列车从开始减速到完全停止，共需28秒． ② 由提示音全程持续23秒，则鸣笛在启动减速系统后的时间， 当时， (米) 答：列车开始播放提示音时、距离体车线米． 25．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可． 【详解】 解：点到轴的距离小于2， ， 点在二次函数的图象上， ， 当时，有最小值为1． 当时，， 的取值范围为. 故答案为： 【点睛】 本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键． 26．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图1，已知抛物线经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点，其顶点为D，对称轴是直线，与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值； （3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S． ①试求S与m的函数关系式； ②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）＋ （3）①S＝；② 存在，S最大值为1，E(－2，－2) 【分析】 （1）设交点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线解析式； （2）利用配方法得到，从而得到，抛物线的对称轴为直线，连接交直线于，如图1，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，周长的最小值，然后利用勾股定理计算出和即可得到周长的最小值； （3）① 如图2，先利用待定系数法求出直线的解析式为，设，，则，则可表示出，根据三角形面积公式，利用得到； ② 先利用配方法得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】 解：（1）由题意得 ，解得 ∴该抛物线的表达式为 （2）∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC 又∵BC是定值 ∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小． ∵点A，点B关于对称轴l对称． ∴连接AC交l于点P，即点P为所求点． ∴AP＝BP ∴△PBC的周长最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC ∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3) ∴AC＝，BC＝ 故△PBC的周长最小值为＋    （3）① ∵抛物线的表达式为＝ ∴点D的坐标为(－1，－4) 设直线AD的表达式为，把点A(－3，0)，D(－1，－4)代入 得   ，解得 ∴直线AD的表达式为 ∵点E的横坐标为m． ∴E(m，－2m－6)，F(m，) ∴EF＝＝ ∴S＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ∴S与m的函数表达式为S＝ ② 存在． ∵S＝＝ ∴当m＝－2时，S最大，最大值为1． 此时点E的坐标为(－2，－2)． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与轴的交点坐标；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题． 27．（25-26学年九上·广西南宁第二中学·期中）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世.如图1，“空中飞人”是极具观赏性且深受观众好评的杂技表演节目，如图2所示，演员甲随着秋千绕固定点往复摆动，演员乙从浪桥旋转木梯的点抛出（将每个演员身体都看成一个点，身体摆动忽略不计），其运动轨迹可近似为抛物线的一部分.在表演过程中，为保护演员的安全，在其表演区域下方铺设一张平行于地面的保护网.建立如图2的平面直角坐标系，已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，秋千绳长为，与轴形成的夹角为. （1）某次表演中，当时，演员甲在点处接住了演员乙， ①点的坐标为_____ ②若抛物线经过点、、，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求演员乙能达到的最高高度是多少米； （3）在长期的训练过程中，演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，为预防表演时演员乙出现失误，主办方设置高为3米的保护网，若点在抛物线的对称轴上，求线段的长度至少为多少米. 【答案】（1）①②     （2）米     （3）至少为米      【分析】 （1）① 先得出，得，再结合点坐标为，求出，故点的坐标为； ② 理解题意，把，，分别代入，进行计算，即可作答． （2）先根据，得出开口方向向下，在对称轴处取得最大值，求出对称轴直线，代入，进行计算，即可作答． （3）理解题意，则把代入，得，即，因为主办方设置高为3米的保护网，得，整理得，结合，故，又因为，则，因为点在抛物线的对称轴上，则，即，考虑安全问题，即至少为米． (1) 小问详解： 解：① 过点B分别作轴，作轴，如图所示： ∵绳长为，与轴形成的夹角为，且， ∴， ∴，即， 则， ∵点坐标为， ∴， 则， 即， ∴点的坐标为； ② 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点、、，且点坐标为，点坐标为， ∴ ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； (2) 小问详解： 解：在（1）的条件下，抛物线的解析式为； ∵， ∴开口方向向下，在对称轴处取得最大值， 则对称轴为直线， 把代入，得， 即演员乙能达到的最高高度是米； (3) 小问详解： 解：∵演员乙从点抛出（抛射点不变）的运动路径都可近似看作（）的抛物线的一部分，且点坐标为， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵主办方设置高为3米的保护网， ∴， ∴， ∴， 则， ， 令，则在中，随着的增大而减小， ∴当时，则；当时，则， 即， 故， ∴， ∴， ∴， ∵若点在抛物线的对称轴上， ∴， 即． ∵预防表演时演员乙出现失误，安全问题， ∴至少为米． 【点睛】 本题考查了二次函数的其他应用，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 考点05 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④．正确的有（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数判断即可． 【详解】 解：① 由图象可知：，， ∴，故① 正确； ② 由图象可知：， ∴，故② 正确； ③ ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故③ 错误， ④ ∵抛物线对称轴为直线，， 又当时，， ∴当时，，故④ 错误； ∴正确的一共有2个， 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 2．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）如图，直线与抛物线交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为（       ）． A. 或 B.  C.  D. 或 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的图象性质，根据交点坐标确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合直线与抛物线交于点A，，且点A在y轴上，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】 解：∵点B在抛物线上，且点B在x轴上， ∴令则， ∴ 观察函数图象，得出点B在x轴的正半轴，即 ∵直线与抛物线交于点A，，且点A在y轴上， ∴结合函数图象，得不等式的解集为， 故选：B 3．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）关于函数的图象叙述正确的是（       ）． A. 抛物线的开口向上 B. 顶点坐标是 C. 与x轴有两个交点 D. 对称轴是直线 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数的图象和性质．根据题目中的函数和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】 解：∵函数，， ∴该函数图象开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线， 当时，，整理得，无实数解， ∴该函数图象与x轴没有两个交点， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 4．（25-26学年九上·广西梧州·期中）如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点的横坐标是3，则当时，自变量的取值范围是（     ） A.  B.  C. 或 D. 或 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】 解：∵直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点的横坐标是3， ∴当一次函数图象在抛物线图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， ∵， ∴， ∴当时，自变量的取值范围是， 故选：B． 5．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）抛物线与y轴的交点坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了求抛物线与y轴的交点坐标，求出当时的的值即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：在中，当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：B． 6．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）二次函数的图象如右图，当时，的取值范围是（        ） A.  B.  C.  D. 或 【答案】A 【详解】 由图象可以看出：二次函数与轴的两个交点 时，图象在轴的下方, 此时. 故选：A. 7．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 【答案】B 【分析】 根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解； 【详解】 若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键． 8．（25-26学年九上·广西梧州·期中）若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为(　　) A. k＞﹣1 B. k≥﹣1 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】C 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0， ∴k＞﹣1， ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数， ∴k≠0， 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0， 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断，熟练掌握抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的关系是解题的关键.注意二次项系数不等于0. 9．（25-26学年九上·广西自治区南宁·期中）如图，二次函数y＝﹣x2+x+2交x轴于点A、B（A在B的右侧），与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，则△ACD面积的最大值是（　　） A.  B.  C.  D. 1 【答案】D 【分析】 先计算当x＝0时的函数值得到C（0，2），解方程﹣x2+x+2＝0得A（2，0），易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2，作DE∥y轴交AC于E，如图，设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2），利用三角形面积公式得到△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】 解：当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2）， 当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝2，则A（2，0）， 易得直线AC的解析式为y＝﹣x+2， 作DE∥y轴交AC于E，如图， 设D（t，﹣t2+t+2），则E（t，﹣t+2）， ∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t， ∴△ACD面积＝×2×DE＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， 当t＝1时，△ACD面积有最大值为1． 故选D． 【点睛】 本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 10．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了二次函数的图象和性质．求出抛物线与直线的交点的横坐标即可． 【详解】 解：由图象可得，过点，且对称轴为直线直线， ∴点也在的图象上． ∴关于的方程的解是抛物线与直线交点的横坐标，即为，． 故答案是：，． 11．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可. 【详解】 解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：. 12．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图，已知二次函数的图像，回答以下问题： （1）关于的一元二次方程的解为_________； （2）求此二次函数的解析式； （3）当为何值时，？ （4）若直线与拋物线没有交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）或     （4）      【分析】 本题考查二次函数的图像和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，即可得出结果； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用图像法求出自变量的范围即可； （4）利用图像法求出的取值范围即可． (1) 小问详解： 解：由图可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的一个交点坐标为； ∴关于的一元二次方程的解为； (2) 小问详解： 由图像可知，对称轴为直线， ∴； 当时，， ∴抛物线的解析式为； (3) 小问详解： 由图像可知，或时，； (4) 小问详解： ∵， ∴顶点坐标为， ∵直线与拋物线没有交点， ∴． 13．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： （1）作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 4 8 3 0 0 0 8 则                ，                  ；        ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象 （2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是          ； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是          ； （3）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）①，3； ② 如图，          （2）①或或；② ：；     （3）函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象；      【分析】 本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，通过数形结合求解是解题的关键； （1）① 将和代入解析式求解；② 根据函数解析式及表格作图； （2）① 根据图象与轴的交点求解；② 根据图象求解； （3）由可得新函数图象是由函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位所得． (1) 小问详解： 解：① 将代入得， ， 将代入得， ， 故答案为：，3； ② 略 (2) 小问详解： 解：① 根据表格及图象可得或或时，， 故答案为：或或； ② 由图象可得当直线在轴下方，直线上方时，直线与函数图象有4个交点， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象， 如图，     由图象知当，的范围为：． 考点06 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（       ） A. 1 B.  C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】 解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大， 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 2．（25-26学年九上·广西防城港·期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A. 13米 B. 28米 C. 15米 D. 16米 【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数解析式与点坐标的对应关系是解题的关键． 先根据点、的高度确定其纵坐标，代入抛物线解析式求出对应的横坐标，再计算两点的水平距离． 【详解】 解：∵点、距水面高为米， ∴点、的纵坐标为， 将代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴水平距离（米）， 故选：． 3．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图1，点从等边三角形的顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（       ） A. 6 B. 3 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在上运动时，，，易知，当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4，可知，过点O作，求出，进而得出等边三角形的边长． 【详解】 解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B， 结合图象可知，当点P在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点P在上运动时，可知点P到达点B时的路程为4， ∴，即， ∴， 过点O作，垂足为D， ∴， 则， ， ∴， 即等边三角形的边长为． 故选：D． 4．（25-26学年九上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分两段来分析：① 点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 5．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园．其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．若设的长度为米，矩形菜园面积为平方米．下列说法错误的是（     ） A. 与的关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 当时，的最大值为 【答案】D 【分析】 本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． 对于A，由，可得，再根据三边一共用了米木栏建立方程，可得，最后由矩形的面积公式即可得； 对于B，由可知，，将代入中可得，解方程即可得的值； 对于C，由可知，，将代入中即可求解； 对于D，由可知，，将化为顶点式，可知二次函数图象开口向下，且对称轴为，进而可知当，随的增大而增大，故时，取得最大值，最后将代入求解即可． 【详解】 由题意可知，四边形为矩形， ，，且， A、， ， ， ， ， ． 故选项A正确； B、， ， ， ， 整理得，， 因式分解得，， 或， 解得，，， ， ． 故选项B正确； C、， ， 当时，． 故选项C正确； D、， ， 由A选项可知，， 二次函数的二次项系数，二次函数图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值， 把代入中得，， 当时，的最大值为． 故选项D错误． 故选：D． 6．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）某超市销售一批日用品，每个进价为10元，经市场调研发现：该日用品每个售价为15元时，每天的销售量为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减少8个，设销售单价为x（元），每天的销售量为y（个），每天的销售利润为W（元）． （1）直接写出销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （2）求当销售单价x定为多少元时，每天销售利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣8x+320     （2）销售单价定为x=25元时，每天销售利润W最大，最大利润是1800元      【分析】 （1）根据该日用品每个售价为15元时，每天的销售量为200个，销售单价每提高1元，销售量就会减少8个，列出函数关系即可； （2）根据利润等于单个日用品的利润乘以销售量求出W与x的关系式，再根据函数的性质解答． (1) 小问详解： 解：由题意得：y＝200﹣8（x﹣15）＝﹣8x+320， ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系式y＝﹣8x+320； (2) 小问详解： 解：由题意得：W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣8x+320） ＝﹣8x2+400x﹣3200 ＝﹣8（x﹣25）2+1800， ∵﹣8＜0， ∴当x＝25时，W有最大值，最大值为1800， ∴当销售单价定为25元时，每天销售利润W最大，最大利润是1800元． 【点睛】 此题考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． 7．（25-26学年九上·广西岑溪·期中）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面，水柱在距喷水头P水平距离4m处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． （1）求抛物线的表达式． （2）身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在x轴上的横坐标x的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； (2) 小问详解： 解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 8．（25-26学年九上·广西防城港·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本；若销售单价降x元． （1）该商品每月的销售量为          ，每件利润为          ；（用含x的代数式表示） （2）若该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应降多少元？ （3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应降多少元？ 【答案】（1） 件，元     （2） 30元     （3） 20元      【分析】 本题考查代数式表示、一元二次方程和二次函数的应用． （1）根据销售单价降低x元，销售量增加件，每件利润减少x元，直接写出代数式； （2）根据利润公式列方程，解方程后选择降价较多的解以满足顾客实惠； （3）设每月利润为，建立利润关于x的二次函数，通过顶点公式求最大值对应的x值． (1) 小问详解： 解：销售单价降低x元，则销售量为（件），每件利润为（元）， 故答案为：件；元； (2) 小问详解： 解：由题意得，， 整理得，， 解得 ，， ∵要求顾客获得更多实惠，即销售单价更低， ∴， 答：销售单价应降30元； (3) 小问详解： 解：设每月利润为， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 对称轴为直线， ∴当时，利润最大， 答：销售单价应降20元． 9．（25-26学年九上·广西来宾兴宾区·期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由； （3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？ 【答案】（1）20元； （2）不能达到1500元， 假设能达到，由题意，得， 整理，得， ， 即：该方程无解， 所以，商场平均每天盈利不能达到1500元； （3）平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【分析】 （1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天要盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能． （3）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【详解】 解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 即：， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20， 所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元； （2） 略 （3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得， ， ， ， 当元时，该函数取得最大值为1250元， 所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的应用，和二次函数的最值，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点有“根的判别式”和用“配方法”求函数的最大值． 10．（25-26学年九上·广西百色田阳区·期中）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】（1）     （2）销售产品所获利润是万元；     （3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元；      【分析】 （1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； (1) 小问详解： 解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； (2) 小问详解： 解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； (3) 小问详解： 解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点睛】 本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 11．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）为庆祝国庆节，某地文旅部门设计了一款印有当地特色图案的文化衫，通过景区商店和线上平台同步销售，收益用于支持乡村文化振兴．已知文化衫的成本为30元/件，销售单价不低于成本价，且不高于50元/件．经市场调研发现，该文化衫每天的销售量（件）与销售单价x（元/件）之间的关系是一次函数（其图象如图所示）设每天的销售利润为w元． （1）请根据图象分别求出у与x，w与x的函数解析式； （2）为在国庆期间吸引游客，商家希望每天的销售利润达到800元，销售单价应定为多少元/件？ （3）国庆期间，能否通过调整单价使每天利润达到1260元？若能，求出此时的单价；若不能，请说明理由 【答案】（1），     （2）40元/件     （3）不能通过调整单价使每天利润达到1260元      【分析】 本题主要考查了一次函数、二次函数以及一元二次方程在销售问题中的应用． （1）依据题意，运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）依据题意，根据每件的利润乘以销售量等于利润1260元，列出方程，再根据，即可得出结论． (1) 小问详解： 解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 又∵图象过点、， ∴ ， 解得 ， ∴函数关系式为， ∵销售单价不低于成本价30元，且不高于50元/件销售， ∴， ∴每天的销售利润为． ∴，； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元/件时，每天的销售利润为800元； (3) 小问详解： 解：不能，理由如下： 由题意得：， 整理得，， ∵，该方程无解， ∴不能通过调整单价使每天利润达到1260元． 12．（25-26学年九上·广西河池宜州区·期中）某地农民为响应2025年国家《促进农产品消费实施方案》中关于绿色健康、品质提升的政策要求，通过标准化种植某种农产品获得有机认证，成本价为20元/千克．经过市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元）． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）为了提高销售量，销售单价定为多少元时，每天的销售利润可以达到150元． 【答案】（1）     （2）单价定为25元时，每天的销售利润可以达到150元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合成本价为20元/千克．该产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）有如下关系：．且设这种产品每天的销售利润为w（元），进行列式化简，得，即可作答． （2）理解题意，得出，再解方程，因为销售单价定得比较低，能提高销售量，，所以当销售单价定为25元时，每天的销售利润可以达到150元，且能提高销售量，即可作答． (1) 小问详解： 解：由题意，得， ∴w与x之间的函数关系式为：． (2) 小问详解： 解：由（1）得w与x之间的函数关系式：， 令，则． 整理，得， 解得，． 当销售单价定得比较低时，能提高销售量，， 故当销售单价定为25元时，每天的销售利润可以达到150元，且能提高销售量． 13．（25-26学年九上·广西梧州·期中）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）] 销售单价（元） 70 74 78 日销售量（件） 200 160 120 日销售利润（元） 6000 4560 （1）根据以上信息，求日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式； （2）①填空：该产品的成本单价是_________元，表中的值是_________； ②求该商品日销售利润的最大值． 【答案】（1）；     （2）①，；② 该商品日销售利润的最大值为元．      【分析】 本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程的应用，二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式为，利用待定系数法求解即可； （2）① 设该产品的成本单价是元，根据日销售利润日销售量（销售单价成本单价）列方程，求出，再求出的值即可； ② 由题意可得，再根据二次函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式为， 则 ，解得： ， 则日销售量（件）关于销售单价（元）的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：① 设该产品的成本单价是元， 则， 解得：， 即该产品的成本单价是元， 则， 故答案为：，； ② 由题意可知，， ， 当，取最大值为， 即该商品日销售利润的最大值为元． 14．（25-26学年九上·广西梧州·期中）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 任务一 如图2，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 任务二 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时碗内水面的宽度． 【答案】任务一：碗体的抛物线解析式为；任务二： 【分析】 任务一：本题建立以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出、、的坐标，再利用待定系数法求解即可； 任务二：本题仍建立以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】 任务一： 解：以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ，， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 碗体的抛物线解析式为； 任务二： 解：以为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴， ， 设直线的解析式为， 则 ，解得 ， ， 联立方程组 ， 解得 或 ， ， ． 【点睛】 本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 15．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶? ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 【答案】（1）     （2）① 能；②      【分析】 本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键． （1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）① 求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；② 求出时，或，即可得出答案． (1) 小问详解： 解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴拋物线的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：① ∵， ∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，， 当时，， 当时，， 长绳能高过所有跳绳队员的头顶； ② 当时，， 解得或， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为， 两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全， 最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为， 最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为． 16．（25-26学年九上·广西钦州钦北区·期中）近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的应用，根据题意和平面直角坐标系，设函数关系式为，将带入即可求出函数解析式，进而问题可求解． 【详解】 解：由平面直角坐标系得，，， 设函数关系式为， ， 解得， ， 当时，则， 解得， 水面宽， 故答案为：． 17．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2），，144元 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得： ， 解得： ， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 18．（25-26学年九上·广西壮族自治区南宁青秀区第四十七中学·期中）小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． （2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 【答案】（1）     （2）小明此次试投的成绩能达到满分，理由： 令，即， 解得或（舍去）， ， ， 所以，小明此次试投的成绩能达到满分．      【分析】 （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，设抛物线解析式为，利用待定系数法代入求解即可； （2）令，即，解方程求解即可得出结论． (1) 小问详解： 由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点A， ， 解得， ∴抛物线解析式为； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 19．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）某直播间销售网红手工糕点，成本为5元/份，销售价格不高于20元/份，每销售1份需向平台支付2元服务费．每日销售量y（份）与销售价格x（元/份）的函数关系为．解答： （1）求日总利润W与销售价格x的函数关系式； （2）当销售价格定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）     （2）当销售价格定为13.5元时，日获利最大，最大利润为845元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据日总利润（销售价格成本服务费）销售数量即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解． (1) 小问详解： 解：∵ ∴W与x的函数关系式；； (2) 小问详解： 解：由（1）得 ∵， ∴当时，日获利最大，最大利润为845元， 答：当销售价格定为13.5元时，日获利最大，最大利润为845元． 20．（25-26学年九上·广西自治区柳州·期中）综合与实践：某次课外实践活动中，数学兴趣小组的同学研究如图1所示的某种简约型装饰吊灯的灯罩，它的垂直截面图形状近似抛物线，灯罩的口径（底面直径）为，高为． 【数学视角】经查阅相关资料，兴趣小组的同学认为：若灯罩的口径是高的倍，则口径与高的比更接近黄金分割数的近似值，将会给人带来更美的视觉效果． 【方案设计】为了检验视觉效果的真实性，需设计一个新的灯罩模型：灯罩的抛物线形状不变，高度为，它的口径等于高的倍． 【问题解决】 （1）请用含有h的式子表示新灯罩的口径； （2）把原灯罩的垂直截面图抽象为如图2所示的抛物线，并建立平面直角坐标系，抛物线顶点为原点，由题知，，请求出点的坐标，并求出抛物线的解析式； （3）在（1）和（2）的条件下，求新灯罩的模型高度的值． 【答案】（1）灯罩的口径为     （2），     （3）灯罩的高度的值为25      【分析】 本题考查列代数式，求二次函数的解析式，二次函数的应用． （1）根据“灯罩的高度为，它的口径等于高的倍”，即可求解； （2）设抛物线的解析式为，根据题意得点的坐标，代入，可得，即可得抛物线的解析式； （3）根据题意可得，为上一点，代入计算，即可得新灯罩的模型高度的值． (1) 小问详解： 解：根据题意可知，灯罩的口径为. (2) 小问详解： 解：设抛物线的解析式为（）. ∵，， ∴， ∴， 代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为． (3) 小问详解： 解：∵灯罩的抛物线形状不变，则. 由题意知，，. ∴. ∴， 代入得， 解得（舍去）或， ∴灯罩的高度h的值为25． 21．（25-26学年九上·广西南宁天桃实验学校·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 设计九拱桥景观灯的悬挂方案 图1是南湖九拱桥，每个桥拱都是按照抛物线型建     造的，图2是九拱桥正中间的桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面． 素材2 为迎元宵节，拟在图2桥洞的桥拱上悬挂高的灯笼，据调查，湖面水位在此基础上再涨达到最高水位．如图3为了小船在南湖中航行安全，灯笼底部距离最高水位不小于．     素材3 为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1：确定桥拱形状 在图2中以桥拱最高点为原点建立平面直角坐标系，求抛物线的函数解析式． 问题解决 任务2：探究悬挂范围 在图2中仅在保证航行安全的条件下（不考虑实效美观），确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 问题解决 任务3：拟定设计方案 符合素材2和素材3中所有悬挂条件时，需要准备多少盏灯笼，请写出符合条件的方案． 【答案】任务1：； 任务2：纵坐标的最小值是，横坐标的取值范围是：； 任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼， ∵，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼； 方案二：如图，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，， 若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，， ∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼， ∵灯笼挂满后成轴对称分布， ∴共可挂6盏灯笼． 【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键． 任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式； 任务2：根据该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，计算悬挂点的纵坐标的最小值是； 任务3：方案一：从顶点处开始悬挂灯笼，方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，分别求解即可． 【详解】 解：任务1： 以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：， 把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； 任务2： ∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离最高水位不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：； 任务3：略 22．（25-26学年九上·广西南宁隆安县·期中）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到l的距离为d（单位：）． 若，； （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围． 【答案】（1）；喷出水的最大射程为     （2）     （3）的取值范围是      【分析】 （1）根据图形及题意将数据转化成函数图像上点的坐标，设函数解析式为，将点代入求解，再令，再解方程即可得到答案； （2）根据（1）求出对称轴，根据轴对称性质求出点的对称点，结合函数的平移关系即可得到答案； （3）如图，先看上边缘抛物线，求解点的纵坐标为0.5．当抛物线恰好经过点时，可得．可得．求解的最大值为．再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，可得的最小值为2，从而可得答案． (1) 小问详解： 解：如图，时，， 由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； (2) 小问详解： 解：对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点的坐标为； (3) 小问详解： 解：如图，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $