精品解析：广西百色市田东县2025-2026学年九年级上学期数学期中教学质量检测试卷

2025年秋季学期期中教学质量检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，将正确的选项填涂到答题卡上． 1. 在下列函数表达式中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的判断，根据二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数，不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 2. 二次函数的图象开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 【答案】B 【解析】 【分析】根据的性质，时，开口向上；时，开口向下，即可． 【详解】∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向下， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 3. 将等式化成以为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，将等式化为比例式，且为第四比例项，即比例式中应单独位于分母位置． 【详解】解：∵， ∴两边同除以（），得， 故选：B． 4. 将抛物线向上平移2个单位后得到新的抛物线，其对应的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可. 【详解】解：∵将抛物线向上平移 2 个单位， ∴新抛物线的函数表达式为. 又∵选项D为，即， ∴选项D正确； 故选D. 5. 如果线段，，那么a和b的比例中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设a和b的比例中项是c， 则 ， 解得（线段是正数，负值舍去）． 故选：C． 【点睛】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是解决问题的关键． 6. 函数是反比例函数，则的值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量的指数是-1，系数不为零解答即可. 【详解】由题意得 ， 解之得 . 故选D. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数. 7. 如图，D是的边上一点，连接，已知，，，则线段的长为（　　） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 8. 已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，先求出抛物线的对称轴，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点，进而求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数与轴的一个交点为， ∴二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程，即的解是，； 故选A． 9. 如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形的长边与短边的比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形的性质，根据相似图形的性质，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，矩形与矩形相似，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：对折后矩形的长边与短边的比是； 故选D． 10. 点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．点在反比例函数第三象限图象上，过作坐标轴垂线，形成直角三角形，利用三角形面积公式和反比例系数的几何意义求解． 【详解】解：如图 设点坐标为， ∵点在第三象限， ∴， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∵轴，垂足为， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11. 将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 12. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B．如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21，那么AB的长为（ ） A. 5 B. 12.5 C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【分析】可证明△ADE∽△ACB，且可求得其面积比，再利用面积比等于相似比的平方，可求得，代入计算可求得AB． 【详解】解：∵∠AED＝∠B，且∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB， ∴＝（）2， ∵S△ADE＝4，S四边形BCDE＝21， ∴S△ABC＝S△ADE+S四边形BCDE＝4+21=25， ∴， ∴AB＝5， 故选：A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计12分）将正确答案填到答题卡上． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据已知比例关系，设参数表示变量，代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，（）， ∴； 故答案为： 14. 已知二次函数与轴的一个交点是，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得， 解得； 故答案为：． 15. 两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比，由对应边长度求出相似比，再根据周长差列方程求解即可． 【详解】解：两个相似三角形的对应边分别为和， 则相似比为． 故两个三角形的周长比为． 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为 ．由题意， ， 解得． 故较小三角形的周长为． 故答案为：． 16. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面表格； x … … y … … 根据表格提供的信息，有下列结论：①该抛物线的对称轴是直线；②该抛物线与轴的交点坐标是；③；④若点是抛物线上一点，则．则所有正确结论的序号是___________． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．根据表格数据，利用二次函数的对称性、判别式及开口方向判断各结论的正确性． 【详解】解：由表格数据可知，当和时，值均为， 根据二次函数的对称性，对称轴为直线， 故结论①正确； 当与时，图象上的对应点关于对称轴对称，且时， 故时， 即抛物线与轴交点为，结论②正确； 抛物线与轴有两个交点（值有正有负），故判别式，结论③错误； 由表格数据可知抛物线开口向下， ∴当时，y随着x的增大而减小，，抛物线与轴交点为， 故，结论④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 已知函数是关于x的二次函数. （1）求k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最低点？ （3）当k为何值时，函数有最大值？ 【答案】（1）k的值为1或； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义得到，且，据此可以求得k的值； （2）根据二次函数图象的性质进行解答； （3）根据二次函数图象的性质进行解答． 【小问1详解】 ∵函数是关于x的二次函数， ∴k满足，且， 解得：， ∴k的值为1或； 【小问2详解】 ∵抛物线有最低点， ∴图象开口向上，即， ∴； 【小问3详解】 ∵函数有最大值， ∴图象开口向下，即， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值．解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零． 18. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AC2＝AD·AB． 求证：∠ADC＝∠ACB． 【答案】 证明：由AC2＝AD·AB得 在△ADC和△ACB中 又∵∠CAD=∠BAC， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠ADC＝∠ACB 【解析】 【分析】求∠ADC=∠ACB，可根据已知条件证两角所在的三角形相似，即证△ADC∽△ACB． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及其运用． 19. 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？ 【答案】（1）一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数的解析式为y=﹣； （2）当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值． 【解析】 【详解】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案． 解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（，0）和A（﹣2，1）， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3， 反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1）， ∴，解得m=﹣2， ∴反比例函数的解析式为y=﹣； （2），解得，或， ∴B（，﹣4） 由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值． 20. 学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； （3）当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 【答案】（1） （2）12.5 （3）10 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是： （1）观察表格发现：，然后设，把，代入求解即可； （2）把代入（1）中所求函数关系式，即可求解； （3）把代入（1）中所求函数关系式，然后结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：观察表格发现：， 则设， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∴学生的满意度为12.5； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 草图如下： 由图象知：当时，， ∴最多可以让学生等待10分钟． 21. 一种商品售价为10元，一周可卖出50件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件， 已知该商品进价每件8元． （1）写出周利润y与涨价x之间的函数表达式； （2）如果要求保证利润为正值，请写出x的取值范围； （3）问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？ 【答案】（1）y=；（2）； （3）涨价4元时，周利润最大是180元 【解析】 【分析】（1）根据利润的等量关系列出函数表达式即可； （2）根据利润为正值列出不等式，求出x的取值范围即可； （3）利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：（1）依题意有： y=(10+x)(50-5x)-8×(50-5x) =-5x2+40x+100 （2）由， 或由y==0x1=-2，x2=10， 抛物线开口向下，y＞0． （3） y= =-5(x-4)2+180 当x=4时，取最大值y最大=180元， 因此，当涨价4元时，周利润最大是180元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．理解题意等量关系准确列出二次函数关系式且熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 22. 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标； （3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值 【答案】（1） （2） （3） 的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设 且 记OA与对称轴的交点为Q，设直线为： 解得： 可得直线为： 则 利用列方程，再解方程即可； （3）如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P的坐标． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为： 【小问2详解】 解：如图，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限， 设 且 记OA与对称轴的交点为Q， 设直线为： 解得： 直线为： 解得：或 ∵ 则 【小问3详解】 如图，连接AB，延长AB交抛物线于P，则此时最大， 设AB为： 代入A、B两点坐标， 解得： ∴AB为： 解得： 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定最大时P的位置是解本题的关键． 23. 如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． （1）当t是多少时，； （2）四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． （3）能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）是，36 （3）或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据题意，列出方程进行求解即可； （2）用矩形的面积减去两个直角三角形的面积进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，， 由题意，， ∴， 当时，则，解得； 【小问2详解】 解：是定值； ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； 【小问3详解】 解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，能与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中教学质量检测试卷 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，将正确的选项填涂到答题卡上． 1. 在下列函数表达式中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象开口方向是（ ） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 3. 将等式化成以为第四比例项的比例式，下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移2个单位后得到新的抛物线，其对应的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 如果线段，，那么a和b的比例中项是（ ） A. B. C. D. 6. 函数是反比例函数，则的值是（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，D是的边上一点，连接，已知，，，则线段的长为（　　） A. 9 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知二次函数与轴的一个交点为，则方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如果一个矩形对折后和原矩形相似，则对折后矩形的长边与短边的比是（　　） A. B. C. D. 10. 点A是反比例函数在第三象限图象上一点，过作轴，垂足为，过作轴，若的面积为，则的值是（　　） A. 3 B. C. 6 D. 11. 将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B．如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为21，那么AB的长为（ ） A. 5 B. 12.5 C. 25 D. 二、填空题（每小题3分，共计12分）将正确答案填到答题卡上． 13. 已知，则___________． 14. 已知二次函数与轴的一个交点是，则___________． 15. 两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． 16. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面表格； x … … y … … 根据表格提供的信息，有下列结论：①该抛物线的对称轴是直线；②该抛物线与轴的交点坐标是；③；④若点是抛物线上一点，则．则所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（共7小题，共72分） 17. 已知函数是关于x的二次函数. （1）求k的值； （2）当k为何值时，抛物线有最低点？ （3）当k为何值时，函数有最大值？ 18. 如图，点D是△ABC的边AB上一点，且AC2＝AD·AB． 求证：∠ADC＝∠ACB． 19. 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？ 20. 学生去学校食堂就餐经常需要排队等待．经调查发现，学生的满意度y与等待时间x分钟成反比例关系，如下表： 等待时间x 1 2 5 10 20 满意度y 100 50 20 10 5 已知学生等待时间不超过30分钟． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）学生等待时间为8分钟，求学生的满意度； （3）当满意度不低于10时，学生才感觉比较满意，则学校食堂最多可以让学生等待多长时间？ 21. 一种商品售价为10元，一周可卖出50件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件， 已知该商品进价每件8元． （1）写出周利润y与涨价x之间的函数表达式； （2）如果要求保证利润为正值，请写出x的取值范围； （3）问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？ 22. 如图，已经抛物线经过点，，且它的对称轴为． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为15时，求的坐标； （3）在（2）的条件下，是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值 23. 如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且． （1）当t是多少时，； （2）四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由． （3）能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $