精品解析：广西南宁市龙堤路初级中学2026-2027学年上学期九年级数学开学质量监测

2026年秋季学期九年级数学开学质量监测 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几组数是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 1，， 2. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是( ) A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定 6. 如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （）班成绩比（）班成绩集中 B. （）班成绩的上四分位数是分 C. （）班有同学的成绩超过分 D. （）班的最低分低于（）班的最低分 7. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设内角和的度数与四边形外角和的度数分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 8. 顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 9. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发展之路，某电视台记者乘汽车赴360km外的新农村进行采访，路程的前一部分为高速公路，后一部分为省道．若汽车在高速公路和省道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 汽车在高速公路上的行驶速度为180km/h B. 省道总长为90km C. 汽车在省道上的行驶速度为60km/h D. 该记者在出发3.5h后到达采访地 12. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算的结果是__________. 14. 一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式：____________． 15. 如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为__________． 16. 如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 19. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： ______，______． 该调查统计数据的中位数是______，众数是______． 请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； 若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 20. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 21. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 22. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 23. 如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． （1）关于的方程组的解为_______． （2）求四边形的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期九年级数学开学质量监测 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几组数是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 1，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意； B、，正确，是勾股数，符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，不是正整数，错误，不是勾股数，不符合题意 故选：B． 2. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 3. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴要使有意义，需满足， 解不等式得． 4. 下列运算，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可． 【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项计算正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键． 5. 如图是三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是( ) A. 225 B. 144 C. 81 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144，由勾股定理求出BC2，即可得出结果． 【详解】如图所示： 根据题意得：∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144， ∴BC2=BD2-CD2=81， ∴图中字母A所代表的正方形面积=BC2=81； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 6. 如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（ ） A. （）班成绩比（）班成绩集中 B. （）班成绩的上四分位数是分 C. （）班有同学的成绩超过分 D. （）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 7. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设内角和的度数与四边形外角和的度数分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与的大小 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和为，的内角和为，则四边形的外角和为，再计算即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为，的内角和为， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的外角和定理，三角形的内角和定理的应用，注意多边形的外角和为是解答本题的关键． 8. 顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查的是三角形的中位线性质和菱形的判定．根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形． 【详解】解：如图，等腰梯形中，，，、、、分别是各边的中点，连接、， 、分别是、的中点， ， 同理， 又四边形是等腰梯形， ， ， 四边形是菱形， 故选：B． 9. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图，连， 则，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质． 10. 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到DF=4，根据BC= 14，由三角形中位线定理得到DE=7，解答即可． 【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点， ∴DF= AB=4， ∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点， ∴DE=BC=7， ∴EF=DE-DF=3， 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键． 11. 为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发展之路，某电视台记者乘汽车赴360km外的新农村进行采访，路程的前一部分为高速公路，后一部分为省道．若汽车在高速公路和省道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 汽车在高速公路上的行驶速度为180km/h B. 省道总长为90km C. 汽车在省道上的行驶速度为60km/h D. 该记者在出发3.5h后到达采访地 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、汽车在高速公路上的行驶速度为180÷2＝90（km/h），故本选项错误； B、省道总长为360−180＝180（km），故本选项错误； C、汽车在省道上的行驶速度为（270−180）÷（3.5−2）＝90÷1.5＝60（km/h），故选项正确； D、2＋（360−180）÷[（270−180）÷1.5]＝2＋3＝5h，故该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 12. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 计算的结果是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算即可. 【详解】解：， 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 14. 一台拖拉机在开始工作前，油箱中有油40L，开始工作后，每小时耗油6L，写出油箱中的剩余油量（单位：L）与工作时间（单位：h）之间的关系式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列函数关系，由剩余油量等于总油量减去消耗的油量可得答案； 【详解】解：由题意可得：， ． 故答案为： ． 15. 如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为__________． 【答案】x≤1 【解析】 【分析】将点P（m，3）代入y=x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解； 【详解】解：点P（m，3）代入y=x+2， ∴m=1， ∴P（1，3）， 结合图象可知x+2≤ax+c的解集为x≤1， 故答案为：x≤1． 【点睛】本题考查一次函数的交点坐标与一元一次不等式的关系；运用数形结合思想把一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键． 16. 如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等及正方形性质证得，再结合点H是的中点，利用直角三角形斜边上的中线性质求得的长度为解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴, , 在和中， , ∴, ∴, 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴由对顶角性质可得：, ∵在中，点H是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理、正方形以及直角三角形斜边中线，解题关键是熟练掌握相关定理． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式性质将化简为，合并同类二次根式即可． （2）根据二次根式性质将化简为，按从左到右的顺序计算乘除． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 用适当的方法解下列方程． （1）3x（x+3）＝2（x+3） （2）2x2﹣4x﹣3＝0． 【答案】(1)x1=−3,x2=(2) 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可. 【详解】(1)3x(x＋3)＝2(x＋3) 3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0 (x＋3) (3x-2) ＝0 3x-2＝0或 x＋3＝0 ∴x1＝，x2＝－3； (2)2x2－4x－3＝0 a=2，b=-4，c=-3， △=16+24=40＞0， ， ∴x1＝1＋，x2＝1－. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 19. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表 借阅图书的次数 0次 1次 2次 3次 4次及以上 人数 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： ______，______． 该调查统计数据的中位数是______，众数是______． 请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数； 若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 【答案】17、20；2次、2次；；人． 【解析】 【分析】(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值； (2)根据中位数和众数的定义求解； (3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得； (4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得． 【详解】解：被调查的总人数为人， ，，即， 故答案为17、20； 由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数， 而第25、26个数据均为2次， 所以中位数为2次， 出现次数最多的是2次， 所以众数为2次， 故答案为2次、2次； 扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为； 估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人． 【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法. 20. 如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点， ∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD， ∴∠OBE=∠ODF， 在△BOE和△DOF中， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴EO=FO， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），进而得出结论； （2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长. 【详解】（1）略 （2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF， 设BE=x，则 DE=x，AE=6-x， 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2， ∴x2=42+（6-x）2， 解得：x= ， ∵BD= =2， ∴OB=BD=， ∵BD⊥EF， ∴EO==， ∴EF=2EO=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键 21. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算： ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差和完全平方公式，正确进行分母有理化是解题的关键． （）直接进行分母有理化即可得出答案； （）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行二次根式加减即可得出答案； （）根据题意得出的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：因为， 所以， 所以，即， 所以， 所以． 22. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部； （2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，然后根据B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，可以求得A种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少． 【详解】解：（1）设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部， ， 解得，， 答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部； （2）设购进A种型号的手机x部，则购进B种型号的手机(30﹣x)部，获得的利润为w元， w＝(3400﹣3000)x+(4000﹣3500)(30﹣x)＝﹣100x+15000， ∵B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍， ∴30﹣x≤2x， 解得，x≥10， ∵w＝﹣100x+15000，k＝﹣100， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时w＝14000，30﹣x＝20， 答：营业厅购进A种型号的手机10部，B种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 23. 如图，已知一次函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象与轴交于点，且与轴以及一次函数的图象分别交于点，点的坐标为． （1）关于的方程组的解为_______． （2）求四边形的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）4 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据题目中的两个函数解析式可以求得点D的坐标、从而可以得到关于x、y的方程组的解； （2）根据点D在一次函数上，可以求得b的值，然后即可求得点C和点B的坐标，再根据图形可知四边形的面积的面积的面积，代入数据即可解答本题； （3）根据题意，画出相应的图形，可知有三种情况，然后分别进行讨论计算即可解答本题． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数上， ， ∴点D的坐标为， ∵一次函数的图象与一次函数的图象交于点D， 的解是， ∴关于x、y的方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵一次函数， ∴当时，， ∴点A的坐标为， ∵点D在一次函数上， ，得， ∴一次函数， 当时，，当时，， ∴点C的坐标为，点B的坐标为， ， ， 即四边形的面积是4； 【小问3详解】 解：存在， 如图，当点E为直角顶点时，过点D作轴于， ， ； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作交x轴于点， 设， ， ， ， ， 在中，， 在中，， 在中，， ． 解得． ； 由上可得，点E坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $