专题02 全等三角形（期中真题汇编，广西专用）八年级数学上学期

专题02 全等三角形 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．C 2．C 3．B 4．A 5．【答案】d度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的性质解答即可得． 【详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：． 6．【答案】2 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 7．【答案】4或6或4 【分析】 本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】 解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 考点02 三角形全等的判定 1．D 2．B 3．A 4．A 5．D 6．A 7．B 8．D 9．D 10．C 11．D 12．A 13．D 14．D 15．C 16．D 17．D 18．D 19．B 20．C 21．B 22．【答案】（答案不唯一）． 【分析】 本题考查添加条件使三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据，找到最后一组对应边相等即可． 【详解】 解：． 在和中， , ． 故答案为：（答案不唯一）． 23．【答案】（1） 证明：在与中， ， ．     （2）6      【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：由（1）可知， ， ． 24．【答案】AC＝AE(答案不唯一) 【分析】 先根据∠BAE＝∠DAC，等号两边都加上∠EAC，得到∠BAC＝∠DAE，由已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADE，根据全等三角形的判定定理SAS：添上AC＝AE． 【详解】 解：补充的条件是：AC＝AE．理由如下： ∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE． ∵在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 故答案是：AC＝AE(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 25．【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，根据证明，即可证明． 【详解】 略 26．【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，然后由平行线的性质得到，即可由证明全等． 【详解】 略 27．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】 解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：． 28．【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，运用全等三角形的性质可得． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 29．【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作轴于点，     ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 30．【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ∴．     （2） 证明：由（1）知， ∴， ， ， ， ∵， ．      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据即可证明，即得结论； （2）证明得到，结合；可得，即可证明结论． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略． 31．【答案】（1）18；18；     （2） 证明： 由题意得：， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证明，得，即可解答． （2）同（1）的证明步骤． (1) 小问详解： 解：米，米， 米， 由题意得：， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 米， 教学楼高度为18米， 故答案为：18；18； (2) 小问详解： 略 32．【答案】（1） 证明：， ． ， ， 又∵， ；     （2）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，熟知这些判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，再结合垂直，得，用判定证明； （2）利用（1）的结论和三角形全等的性质，得，进而有，再用三角形的内角和定理求得的角度，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 又， ， ． 33．【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 由（1）得：，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．【答案】（1）=     （2） 解：猜想．    证明如下： ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴．     （3） 解：过点作于，于，则，    ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ 又∵，， ∴平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、互为“兄弟三角形”的定义，类比推理是关键： （1）根据互为“兄弟三角形”的定义得到，结合图形计算，得到答案； （2）证明，根据全等三角形的性质得到； （3）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：=； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 36．【答案】（1）     （2）仍成立，理由见解析     （3），证明见解析      【分析】 （1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． (1) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； (3) 小问详解： 解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 37．【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 38．【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 39．【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠CAD=∠2 +∠CAD， ∴∠BAC=∠DAE， 在△ADF 和△CBE 中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AB=AD． 【分析】 欲证明AB=AD，只要证明△ADF≌△CBE（AAS）即可. 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 40．【答案】（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 41．【答案】 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的中线与面积，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再根据的面积可得，由此即可得． 【详解】 解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 42．【答案】（1） 解：由题意得：，，，， ， ∴，， ， 在和中， ， ；     （2）两堵木墙之间的距离为      【分析】 此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 43．【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴；     （2）由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即．      【分析】 （1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 44．【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，从而得到答案； （2）由（1）可知，，，接着证明，得到，，结合中点，得到，接着证明，，得到，从而得证； （3）由（1）可知，，，，，接着证明，，得到再证明，从而得到，最后得出结论． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点，如图所示： 三角形是等腰直角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作轴于点，如图所示： 由（1）可知，， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 45．【答案】（1）EF＝BE+DF； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵2∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF， 又AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD； （3）14． 【分析】 （1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题； （3）延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可证△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解． 【详解】 证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°， ∴∠EAF＝∠FAG＝50°， 在△EAF和△GAF中， ∵ ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF+DG， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； （2） 略 （3）如图，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAH＝∠BCF＝90°， 又∵AH＝CF，AB＝BC， ∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF， ∴∠EBH＝∠EBF， 又∵BH＝BF，BE＝BE， ∴△EBH≌△EBF（SAS）， ∴EF＝EH， ∴EF＝EH＝AE+CF， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14． 【点睛】 本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 考点03 角的平分线 1．B 2．A 3．A 4．A 5．C 6．B 7．【答案】4 【分析】 本题考查了角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，准确理解并应用角平分线定理的内容是解题关键．根据角平分线定理可得点P到的距离等于的长，即可解答． 【详解】 解：如图：过P作，  是的角平分线，，， ， ， 点P到的距离是4． 故答案为：． 8．【答案】（1） 如图，画出的平分线，交于点． ．     （2） 证明：由题意，画图如下： ∵是的平分线，于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握尺规作图和角平分线的性质是解题关键． （1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）先画出图形，再根据角平分线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 9．【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 10．【答案】（1）如图，射线即为所求.         （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线及三角形内角和定理、外角性质，熟知尺规作图及相关性质是正确解答此题的关键. （1）根据作角平分线的作法作图即可：以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交和于，两点.分别以，两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点. （2）根据，即可求得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， . 平分， . . 11．【答案】（1） 解：如图线段即为所求；      （2）      【分析】 （1）根据题意作的角平分线，交于点； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据角平分线的定义得出，继而根据三角形的外角的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 【点睛】 本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，掌握基本作图以及三角形的内角和定理是解题的关键． 12．【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ， ， ；     （2）的度数为      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ． 13．【答案】（1）全等三角形的对应角相等； （2）由题意，在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 射线为的平分线； （3）36 【分析】 本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据作图，推出，得到，作答即可； （2）先证明，得到，再证明，得到即可； （3）过点作于，角平分线的性质得到，三角形的内角和定理结合等角对等边，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】 解：（1）由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故依据为：全等三角形的对应角相等； （2）略 （3）过点作于， 平分交于点， ，， ，， ， ， ， 的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，，则与相等的角是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据全等三角形的性质得出对应角相等即可． 【详解】 解：∵△ABC≌△ADC， ∴∠BAC=∠DAC， 故选：C． 【点睛】 此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角相等解答． 2．（25-26学年八上·广西柳州·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】 解：由图形可知边的夹角的度数为， 根据全等三角形的性质得． 故选：C． 3．（25-26学年八上·广西玉林·期中）如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【分析】 本题考查三角形全等的性质．根据可得，再根据等式的性质并结合图形即可求出答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵四个点，，，在同一直线上， ∴， 故选：B． 4．（25-26学年八上·广西大学附属中学·期中）如图，， ，， 则图中阴影部分的面积为（   ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，本题应将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影面积，   故选：A ． 5．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，，若，　　　　　　　　　　　． 【答案】d度 【分析】 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．根据全等三角形的性质解答即可得． 【详解】 解：∵，， ∴． 故答案为：． 6．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，，，，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查的是全等三角形的性质．由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差可得答案． 【详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 7．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为　　　　厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6或4 【分析】 本题考查了全等三角形的判定的应用，求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可． 【详解】 解：设经过x秒后，使与全等， ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米，∠ABC=∠ACB， ∴要使与全等，必须或， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）某同学把一块玻璃打碎成4块（如图），现在他打算带一块玻璃片到玻璃店去配一块与原来一样的玻璃，那么他应带（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可得到答案． 【详解】 解：第① 块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方法； 第② 、③ 块，仅保留了原三角形的一部分边，所以② ③ 不行； 第④ 块，不但保留了原三角形的两个角还保留了这两个角的夹边，符合全等三角形的判定方法“”； 他应该带第④ 块去. 故选：D． 2．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，和相交于点，若，用“”证明还需（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】 解：在和中，，， 若要用证明，则需要添加条件， 故选：． 3．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，点在的边上，用尺规作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；④作射线．下列结论不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及角的尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角的尺规作图是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】 解：由作图可知：， ∴， ∴， ∴， 综上所述：不一定成立； 故选A． 4．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，可以证明，因此测得的长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题主要考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 由已知可以得到，又，，由此根据角边角即可判定，那么． 【详解】 解：，, ， 又，, （） ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，已知，则的根据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有．根据题中已知，及公共角，利用证明即可． 【详解】 解：在与中， ， ∴， 故选：D． 6．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点、，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，测出米，则的长是（     ） A. 30米 B. 20米 C. 15米 D. 10米 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的应用. 根据证明，即可推出． 【详解】 解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， 故选：A． 7．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定， 根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】 解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是． 故选：B． 8．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形和全等时，的值为（　　） A. 1 B. 7 C. 1或2 D. 1或7 【答案】D 【分析】 分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】 解：因为，若，， 根据证得， 由题意得：， 所以， 因为，若，， 根据证得， 由题意得：， 解得． 所以，当的值为1或7秒时．和全等． 故选：D． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，． 9．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（       ） A. SAS B. AAA C. SSS D. ASA 【答案】D 【分析】 利用全等三角形的判定方法进行分析即可． 【详解】 解：在△ABC和△MBC中， ， ∴△MBC≌△ABC（ASA）， 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 10．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了尺规作图，平行线的判定．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】 解：A、根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； C、根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故符合题意； D、根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； 故选：C． 11．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】 解：在和中， ， ， 故选：D． 12．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】 解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 13．（25-26学年八上·广西柳州·期中）古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查三角形全等的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 根据证明，得到，即可解答． 【详解】 解：在和中 ∴， ∴． 故选：D． 14．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，与相交于点，连接，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了三角形全等的判定、对顶角相等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据定理即可得． 【详解】 解：由对顶角相等得：， 在和中， ， ∴， 故选：D． 15．（25-26学年八上·广西大学附属中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用SSS证得三角形全等得出答案即可． 【详解】 解：∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 【点睛】 此题考查三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 16．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】 解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 17．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】 解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 18．（25-26学年八上·广西玉林·期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定条件判断即可． 【详解】 解：由题意可知 在中 ∴(SSS) ∴ ∴就是的平分线 故选：D 【点睛】 本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 19．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据“角角边”证明，得到，，从而可得，即可求出答案． 【详解】 解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B与地面距离为， ， ， 即爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 故选：B． 20．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 由题意得：，，再证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】 解：由题意得：， ， ， ， 在和中， ， ； ∴， ，即两堵木墙之间的距离为． 故选C． 21．（25-26学年八上·广西柳州·期中）如图，，，要使，不可以添加下列选项中的（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 由可得，由可得，则还需要一边或一角，再结合选项可求得答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， A．当时，“边角边”可证，故该选项不符合题意； B．当时，“边边角”不能证明，故该选项符合题意； C．当时，“角边角”可证，故该选项不符合题意； D．当时，“角角边”可证，故该选项不符合题意．   故选： B． 22．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在和中，，，要使，还需增加的一个条件是　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】 本题考查添加条件使三角形全等，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据，找到最后一组对应边相等即可． 【详解】 解：． 在和中， , ． 故答案为：（答案不唯一）． 23．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ．     （2）6      【分析】 此题考查全等三角形的判定与性质； （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可解决问题； (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 解：由（1）可知， ， ． 24．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）（多选）如图AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是　　　　　　　　　　（写一个即可）． 【答案】AC＝AE(答案不唯一) 【分析】 先根据∠BAE＝∠DAC，等号两边都加上∠EAC，得到∠BAC＝∠DAE，由已知AB＝AD，要使△ABC≌△ADE，根据全等三角形的判定定理SAS：添上AC＝AE． 【详解】 解：补充的条件是：AC＝AE．理由如下： ∵∠BAE＝∠DAC， ∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE． ∵在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）． 故答案是：AC＝AE(答案不唯一)． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可． 25．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，在和中，，，，点，，，在一条直线上．求证：． 【答案】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】 本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据得到，根据证明，即可证明． 【详解】 略 26．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，已知，，，证明． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到，然后由平行线的性质得到，即可由证明全等． 【详解】 略 27．（25-26学年八上·广西玉林·期中）小茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，首先证明，可得，即可知与的周长相等，从而得整个金属框架所需这种材料的长度为的周长的2倍减去长度即可． 【详解】 解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 的周长为，， 制成整个金属框架所需这种材料的长度为， 故答案为：． 28．（25-26学年八上·广西柳州·期中）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，运用全等三角形的性质可得． 【详解】 解：在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 29．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：如图所示，过点作轴于点，     ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 30．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在中，，于点，点在上，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ∴．     （2） 证明：由（1）知， ∴， ， ， ， ∵， ．      【分析】 本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据即可证明，即得结论； （2）证明得到，结合；可得，即可证明结论． (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： 略． 31．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）【综合实践】八年级的数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量教学楼高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案示意图     测量步骤 ①在旗杆与教学楼之间选定一点；②测量旗杆顶的视线与楼顶的视线的夹角；③测量点到楼底的距离的长度；④测量旗杆的高度；⑤测量旗杆与教学楼之间的距离的长度． 测量数据 ，米，米 （1）根据兴趣小组测量方案及数据，点到旗杆底部的距离为________米，教学楼高度为________米． （2）请你证明以上测量方案的正确性． 【答案】（1）18；18；     （2） 证明： 由题意得：， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证明，得，即可解答． （2）同（1）的证明步骤． (1) 小问详解： 解：米，米， 米， 由题意得：， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 米， 教学楼高度为18米， 故答案为：18；18； (2) 小问详解： 略 32．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，四边形中，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， 又∵， ；     （2）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，熟知这些判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，再结合垂直，得，用判定证明； （2）利用（1）的结论和三角形全等的性质，得，进而有，再用三角形的内角和定理求得的角度，最后根据直角三角形的两锐角互余即可得解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：， ， ， ， 又， ， ． 33．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，通过“边角边”证明，根据全等三角形的性质可得，进而得到答案． 【详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（25-26学年八上·广西玉林·期中）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，，，，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点．过点作于点， 【数据测量】，， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；     （2）      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证，，即可得出结论； （2）先证，得出，即可得出答案． (1) 小问详解： 证明：略； (2) 小问详解： 解：由题意得：， 由（1）得：，， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．（25-26学年八上·广西玉林·期中）【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．则________（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分． 【答案】（1）=     （2） 解：猜想．    证明如下： ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴．     （3） 解：过点作于，于，则，    ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ 又∵，， ∴平分．      【分析】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、互为“兄弟三角形”的定义，类比推理是关键： （1）根据互为“兄弟三角形”的定义得到，结合图形计算，得到答案； （2）证明，根据全等三角形的性质得到； （3）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：=； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 36．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是   ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）     （2）仍成立，理由见解析     （3），证明见解析      【分析】 （1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． (1) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； (3) 小问详解： 解：，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【点睛】 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 37．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析     （2）证明见解析      【分析】 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． (1) 小问详解： 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 小问详解： 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 38．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）；     （2）；     （3） ，理由如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ．      【分析】 （1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． (1) 小问详解： 解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； (2) 小问详解： 解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． (3) 小问详解： 略 39．（25-26学年八上·广西柳州·期中）（多选）如图，已知 AC=AE，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：AB=AD． 【答案】证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠CAD=∠2 +∠CAD， ∴∠BAC=∠DAE， 在△ADF 和△CBE 中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AB=AD． 【分析】 欲证明AB=AD，只要证明△ADF≌△CBE（AAS）即可. 【详解】 略 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 40．（25-26学年八上·广西柳州·期中）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据            证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）； （2）； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【分析】 本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义构造全等三角形是解题的关键． （1）根据题意可得，，，据此根据全等三角形的性质与判定定理可得答案； （2）延长交于点，同理可得，则，根据三角形的外角的性质可得，由此即可求解； （3）延长、交于点，可证，得到，同理可证明得到，由此即可求解． 【详解】 解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3）略 41．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，的面积为垂直的平分线于点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的中线与面积，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．延长，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再根据的面积可得，由此即可得． 【详解】 解：如图，延长，交于点， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 42．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，，，． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1） 解：由题意得：，，，， ， ∴，， ， 在和中， ， ；     （2）两堵木墙之间的距离为      【分析】 此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）知， ，， 又根据题意由图可得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 43．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若，试说明： 【答案】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴；     （2）由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即．      【分析】 （1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 44．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点A，C分别在x轴、y轴上，斜边交y轴于点D，直角边交x轴于点E． （1）如图1，若，，求点B的坐标． （2）如图2，y轴正半轴上有一点F，连接，则．当E恰为的中点时，连接，求证． （3）若是的平分线，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）     （2） 证明：由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，从而得到答案； （2）由（1）可知，，，接着证明，得到，，结合中点，得到，接着证明，，得到，从而得证； （3）由（1）可知，，，，，接着证明，，得到再证明，从而得到，最后得出结论． (1) 小问详解： 解：过点作轴于点，如图所示： 三角形是等腰直角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：过点作轴于点，如图所示： 由（1）可知，， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 45．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　     　（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． 【答案】（1）EF＝BE+DF； （2）结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°， ∴∠ABG＝∠D， ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵2∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF， 又AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF． ∵EG＝BE+BG． ∴EF＝BE+FD； （3）14． 【分析】 （1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可证△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，即可证明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再证明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解题； （3）延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，由“SAS”可证△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可证△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解． 【详解】 证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°， ∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°， ∴∠EAF＝∠FAG＝50°， 在△EAF和△GAF中， ∵ ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝FG＝DF+DG， ∴EF＝BE+DF， 故答案为：EF＝BE+DF； （2） 略 （3）如图，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠BAH＝∠BCF＝90°， 又∵AH＝CF，AB＝BC， ∴△ABH≌△CBF（SAS）， ∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF， ∵∠EBF＝45°， ∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF， ∴∠EBH＝∠EBF， 又∵BH＝BF，BE＝BE， ∴△EBH≌△EBF（SAS）， ∴EF＝EH， ∴EF＝EH＝AE+CF， ∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14． 【点睛】 本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（       ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】 本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】 解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 2．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据作图得到，，以及为公共边，则可利用证明，即可求解． 【详解】 解:由作法得，，而为公共边， 所以． 所以． 3．（25-26学年八上·广西柳州·期中）如图，在中，，平分，于D，如果，，那么（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题主要考查了角平分线的性质，得出是解题关键． 直接利用角平分线的性质得出，进而得出答案． 【详解】 解：∵在中，平分于， ， 故选：A． 4．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，，，若，，，则为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】 解：∵，，，，且点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，已知，（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；（3）画射线．射线即为的平分线．这样画出的依据是（　　） A. ，全等三角形对应角相等 B. ，全等三角形对应角相等 C. ，全等三角形对应角相等 D. ，全等三角形对应角相等 【答案】C 【分析】 利用基本作图得到，加上为公共边，则根据“”可判断，然后根据全等三角形的性质得到，于是可对各选项进行判断． 【详解】 由作法得，而为公共边， 所以， 所以， 即射线即为的平分线． 故选：C． 6．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（       ） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【分析】 设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断① ；证明，得出即可判断② ；由平分，但与不一定相等即可判断③ ；在边上截取，连接，证明，，即可判断④ ；作于，于，由④ 可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤ ，从而得出答案． 【详解】 解：① 设，， ∵在中，，平分交于点，平分交于点， ∴，，， ∴， ∴，故① 正确； ② ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故② 正确； ③ ∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③ 错误； ④ 如图，在边上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④ 正确； ⑤ 如图，作于，于， ， 由④ 可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故⑤ 正确； 综上所述，正确的有① ② ④ ⑤ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 7．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，是的角平分线，点P在上，于点M，，则点P到的距离是　　　　　　　　　　．    【答案】4 【分析】 本题考查了角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，准确理解并应用角平分线定理的内容是解题关键．根据角平分线定理可得点P到的距离等于的长，即可解答． 【详解】 解：如图：过P作，  是的角平分线，，， ， ， 点P到的距离是4． 故答案为：． 8．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）已知：如图所示． （1）请用尺规作图法，画出的平分线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请用三角板，过点分别作于点，于点（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：． 【答案】（1） 如图，画出的平分线，交于点． ．     （2） 证明：由题意，画图如下： ∵是的平分线，于点，于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴．      【分析】 本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握尺规作图和角平分线的性质是解题关键． （1）根据角平分线的尺规作图即可得； （2）先画出图形，再根据角平分线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴．     （2）2      【分析】 （1）由角平分线的性质得到，利用证明即可证明． （2）设，则，同理得到利用证明得到，即，解方程即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则， ∵平分，于点E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，即， 解得，即． 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知利用证明三角形全等是解题的关键． 10．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在中，，．    （1）尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的度数． 【答案】（1）如图，射线即为所求.         （2）      【分析】 本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线及三角形内角和定理、外角性质，熟知尺规作图及相关性质是正确解答此题的关键. （1）根据作角平分线的作法作图即可：以点为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交和于，两点.分别以，两点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点. （2）根据，即可求得答案. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ，， . 平分， . . 11．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）如图，在中，，是边上的高， （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知，求的度数． 【答案】（1） 解：如图线段即为所求；      （2）      【分析】 （1）根据题意作的角平分线，交于点； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据角平分线的定义得出，继而根据三角形的外角的性质即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 【点睛】 本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，掌握基本作图以及三角形的内角和定理是解题的关键． 12．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； 【答案】（1） 证明：是的角平分线，，， ， ， ；     （2）的度数为      【分析】 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形内角和定理： （1）由角平分线的性质得到，再利用即可证明； （2）先由三角形内角和定理得到，则由全等三角形的性质可得，据此根据平角的定义可得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ． 13．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）综合与实践 【问题背景】小星利用尺规作角的平分线，作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求． （1）小星作角的平分线方法的依据是__________； 【操作发现】 （2）如图②，小红将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线．请你根据小红的作法，说明为的平分线； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，于点．若，，，，求的面积． 【答案】（1）全等三角形的对应角相等； （2）由题意，在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 射线为的平分线； （3）36 【分析】 本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据作图，推出，得到，作答即可； （2）先证明，得到，再证明，得到即可； （3）过点作于，角平分线的性质得到，三角形的内角和定理结合等角对等边，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】 解：（1）由作图可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线； 故依据为：全等三角形的对应角相等； （2）略 （3）过点作于， 平分交于点， ，， ，， ， ， ， 的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 3大高频考点概览 考点01 全等三角形及其性质 考点02 三角形全等的判定 考点03 角的平分线 考点01 全等三角形及其性质 1．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，，则与相等的角是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西柳州·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广西玉林·期中）如图，若，四个点，，，在同一直线上，，，则的长是（     ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 4．（25-26学年八上·广西大学附属中学·期中）如图，， ，， 则图中阴影部分的面积为（   ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 无法确定 5．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，，若，　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，，，，则　　　　　　． 7．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，已知中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为　　　　厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 考点02 三角形全等的判定 1．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）某同学把一块玻璃打碎成4块（如图），现在他打算带一块玻璃片到玻璃店去配一块与原来一样的玻璃，那么他应带（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 2．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，和相交于点，若，用“”证明还需（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，点在的边上，用尺规作图： ①以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；②以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点；④作射线．下列结论不一定正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再作出的垂线，可以证明，因此测得的长为，则的长为（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 5．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，已知，则的根据是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点、，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，测出米，则的长是（     ） A. 30米 B. 20米 C. 15米 D. 10米 7．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当以、、为顶点的三角形和全等时，的值为（　　） A. 1 B. 7 C. 1或2 D. 1或7 9．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（       ） A. SAS B. AAA C. SSS D. ASA 10．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取．移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（     ） A.  B.  C.  D. 无法确定 13．（25-26学年八上·广西柳州·期中）古人对全等三角形的认识源于测量，据史料记载，古希腊学者泰勒斯应该是第一个应用全等三角形的人．下面是人们测量池塘两端距离的一种方法：如图． A、B两点分别位于池塘的两端，以为边作 在 的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等中的 （       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，与相交于点，连接，不添加辅助线，判定的依据是（　　） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年八上·广西大学附属中学·期中）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，、是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年八上·广西玉林·期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（       ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年八上·广西柳州·期中）如图，，，要使，不可以添加下列选项中的（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在和中，，，要使，还需增加的一个条件是　　　　　　　　． 23．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）（多选）如图AB=AD，∠BAE=∠DAC，要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是　　　　　　　　　　（写一个即可）． 25．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，在和中，，，，点，，，在一条直线上．求证：． 26．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，已知，，，证明． 27．（25-26学年八上·广西玉林·期中）小茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知，，，其中的周长为，，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为　　　　　　　　． 28．（25-26学年八上·广西柳州·期中）如图，已知，，，求的度数． 29．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点B的坐标为　　　　　　． 30．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在中，，于点，点在上，，．求证： （1）； （2）． 31．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）【综合实践】八年级的数学兴趣小组开展了测量教学楼高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量教学楼高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案示意图     测量步骤 ①在旗杆与教学楼之间选定一点；②测量旗杆顶的视线与楼顶的视线的夹角；③测量点到楼底的距离的长度；④测量旗杆的高度；⑤测量旗杆与教学楼之间的距离的长度． 测量数据 ，米，米 （1）根据兴趣小组测量方案及数据，点到旗杆底部的距离为________米，教学楼高度为________米． （2）请你证明以上测量方案的正确性． 32．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）如图，四边形中，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的度数． 33．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则 　　　　　　　　　　　 34．（25-26学年八上·广西玉林·期中）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，，，，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点．过点作于点， 【数据测量】，， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 35．（25-26学年八上·广西玉林·期中）【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．    （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．则________（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分． 36．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是   ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 37．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 38．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． （1）如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； （2）如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； （3）如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 39．（25-26学年八上·广西柳州·期中）（多选）如图，已知 AC=AE，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：AB=AD． 40．（25-26学年八上·广西柳州·期中）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据            证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 41．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，的面积为垂直的平分线于点，则的面积为　　　　　　　　　　　． 42．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，，，． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 43．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． （1）和全等吗？请说明理由． （2）若，试说明： 44．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，在等腰直角三角形中，，点A，C分别在x轴、y轴上，斜边交y轴于点D，直角边交x轴于点E． （1）如图1，若，，求点B的坐标． （2）如图2，y轴正半轴上有一点F，连接，则．当E恰为的中点时，连接，求证． （3）若是的平分线，请直接写出，，之间的数量关系． 45．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　     　（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长． 考点03 角的平分线 1．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（       ） A. 三条高线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条中线的交点处 D. 三边垂直平分线的交点处 2．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，则说明为的平分线的依据是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广西柳州·期中）如图，在中，，平分，于D，如果，，那么（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）如图，，，若，，，则为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，已知，（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；（3）画射线．射线即为的平分线．这样画出的依据是（　　） A. ，全等三角形对应角相等 B. ，全等三角形对应角相等 C. ，全等三角形对应角相等 D. ，全等三角形对应角相等 6．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（       ） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④ D. ①②③④⑤ 7．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）如图，是的角平分线，点P在上，于点M，，则点P到的距离是　　　　　　　　　　．    8．（25-26学年八上·广西南宁天桃实验学校·期中）已知：如图所示． （1）请用尺规作图法，画出的平分线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，请用三角板，过点分别作于点，于点（要求：不写作法，标注直角标记）．求证：． 9．（25-26学年八上·广西柳州壶西实验中学·期中）如图，在中，平分，于点E，点F在上，． （1）求证：． （2）若，求的长． 10．（25-26学年八上·广西防城港防城区·期中）如图，在中，，．    （1）尺规作图：作的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的度数． 11．（25-26学年八上·广西南宁青秀区南宁第四十七中学·期中）如图，在中，，是边上的高， （1）尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知，求的度数． 12．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）如图，在中，，是的角平分线，于E，点F在边上，连接，且． （1）求证：； （2）若，求的度数； 13．（25-26学年八上·广西玉林玉州区·期中）综合与实践 【问题背景】小星利用尺规作角的平分线，作法如下：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点．③画射线，射线即为所求． （1）小星作角的平分线方法的依据是__________； 【操作发现】 （2）如图②，小红将两块相同的三角尺较短的直角边分别与的两边重合，且两个三角尺的斜边也重合，两个三角尺较长的直角边相交于点，则射线即为的平分线．请你根据小红的作法，说明为的平分线； 【问题解决】 （3）如图③，在中，平分交于点，于点．若，，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $