广西南宁市青秀区凤岭北路中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

广西南宁市青秀区凤岭北路中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1．（3分）“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶．下列四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”四个节气．其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在Rt△ABC中，∠B是直角，∠C＝53°，那么∠A的度数是（　　） A．37° B．47° C．53° D．127° 3．（3分）如图，△ABC≌△ADC，则与∠BAC相等的角是（　　） A．∠ACD B．∠ADC C．∠DAC D．∠ACB 4．（3分）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆CD垂直平分AB，AC＝5cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 6．（3分）下列各组数中，能够组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，4，2 7．（3分）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝110°，则∠2等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 8．（3分）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（　　） A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55° 9．（3分）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对应点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥PQ B．AC∥BD C．CO＝CD D．△ABO≌△CDO 10．（3分）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（　　） A．40° B．75° C．85° D．140° 11．（3分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 12．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为（　　） A．1 B．7 C．1或2 D．1或7 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13．（3分）人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需要伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了三角形具有　 　 ． 14．（3分）如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝4，则点P到AC的距离是　 　 ． 15．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝ 　 　 °． 16．（3分）如图，等边三角形ABC，BC的高AD＝4cm，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的最小值 　 　 ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（10分）计算： （1）12÷4﹣6×（﹣1）； （2）． 18．（8分）解方程组：． 19．（10分）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，求证：△ABC≌△EFD． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）写出A1，B1，C1的坐标； （3）求△A1B1C1的面积． 21．（10分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED． （1）求证：ED∥BC； （2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数． 22．（12分）课本再现： （1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD　 　 ∠A+∠B，所以∠ACD　 　 ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在△ABC中，AC＞AB，求证：∠B＞∠C．”并作出了辅助线：作∠BAC的平分线AD，在AC上截取AE＝AB，连接DE．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． （3）从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法．类似地，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为　 　 ． ①在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠C＜∠B＜∠A； ②在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，那么△ABC是锐角三角形； ③在△ABC中，如果∠A＝54°，∠B＝72°，那么BC＝AB； ④在△ABC中，如果∠C＞∠B＞∠A，那么AB＞AC＞BC． 23．（12分）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）【操作判断】如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．在折叠等腰三角形ABC纸片的过程中，则DE，DF的数量关系是　 　 ． （2）【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点D为BC中点”改为“点D为三角形内部一点，满足点D到等腰三角形的两端点B，C的距离相等”，都能得到点D到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点D为三角形内部一点．求证：DE＝DF． （3）【拓展应用】已知△ABC是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当△DEB，△DFC是等腰直角三角形时，若点D在△ABC外部，请求出∠BDC的度数． 广西南宁市青秀区凤岭北路中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C B C D B D C C B 题号 12 答案 D 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1．（3分）“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶．下列四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”四个节气．其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在四个选项中，只有选项B能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项B的图形是轴对称图形， 故选：B． 2．（3分）在Rt△ABC中，∠B是直角，∠C＝53°，那么∠A的度数是（　　） A．37° B．47° C．53° D．127° 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝53°， 则∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣53°＝37°， 故选：A． 3．（3分）如图，△ABC≌△ADC，则与∠BAC相等的角是（　　） A．∠ACD B．∠ADC C．∠DAC D．∠ACB 【解答】解：∵△ABC≌△ADC， ∴∠BAC＝∠DAC， 故选：C． 4．（3分）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆CD垂直平分AB，AC＝5cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【解答】解：因为CD垂直平分AB，所以BC＝AC＝5cm． 故选：B． 5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4， ∴AB＝2AC＝2×4＝8， 即AB的长是8． 故选：C． 6．（3分）下列各组数中，能够组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，2，4 D．4，4，2 【解答】解：A、1+2＝3，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； B、1+2＜4，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； C、2+2＝4，不能够组成三角形，故此选项不符合题意； D、2+4＞4，能够组成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 7．（3分）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝110°，则∠2等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：由题意可得：∠2＝∠1﹣90°＝20°． 故选：B． 8．（3分）等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为（　　） A．70° B．40° C．70°或40° D．70°或55° 【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°； ②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°． 故选：D． 9．（3分）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对应点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（　　） A．AC⊥PQ B．AC∥BD C．CO＝CD D．△ABO≌△CDO 【解答】解：如图，连接AC、BD， ∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称， ∴△ABO≌△CDO，AC⊥PQ，PQ⊥BD， ∴AC∥BD， 故A、B、D选项正确， CO不一定等于CD，故C选项不一定正确， 故选：C． 10．（3分）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（　　） A．40° B．75° C．85° D．140° 【解答】解：如图， ∵AE，DB是正南正北方向， ∴BD∥AE， ∵∠DBA＝45°， ∴∠BAE＝∠DBA＝45°， ∵∠EAC＝15°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+15°＝60°， 又∵∠DBC＝80°， ∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 故选：C． 11．（3分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【解答】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 12．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当以A、B、P为顶点的三角形和△DCE全等时，t的值为（　　） A．1 B．7 C．1或2 D．1或7 【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2， 根据SAS证得△ABP≌△DCE， 由题意得：BP＝2t＝2， 所以t＝1， 因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2， 根据SAS证得△BAP≌△DCE， 由题意得：AP＝16﹣2t＝2， 解得t＝7． 所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等． 故选：D． 二、填空题（本大题共4题，每小题3分，共12分．） 13．（3分）人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需要伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了三角形具有　稳定性　 ． 【解答】解：人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需要伸出一只手抓住栏杆才能站稳，利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 14．（3分）如图，AD是∠BAC的角平分线，点P在AD上，PM⊥AB于点M，PM＝4，则点P到AC的距离是　4　 ． 【解答】解：过P作PN⊥AC于N点， ∵AD平分∠BAC，PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PM＝PN＝4， ∴点P到AC的距离是4． 故答案为：4． 15．（3分）如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1+∠2＝ 　90　 °． 【解答】解：由题意可得CO＝AO，BO＝DO， 在△COD和△AOB中， ∴△COD≌△AOB（SAS）， ∴∠1＝∠BAO， ∵∠2+∠BAO＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 故答案为：90． 16．（3分）如图，等边三角形ABC，BC的高AD＝4cm，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则BP+EP的最小值 　4cm ． 【解答】解：连接CE，交AD于点P，连接BP， ∵△ABC是等边三角形， ∴BP＝CP， ∴BP+PE＝CP+PE＝CE，此时PE+BP的值最小， ∵AD⊥BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴CE＝AD， ∵AD＝4cm， ∴CE＝4cm， ∴BP+PE的最小值为4cm， 故答案为：4cm． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（10分）计算： （1）12÷4﹣6×（﹣1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝3﹣（﹣6） ＝3+6 ＝9； （2）原式＝4﹣3+（﹣2） ＝1﹣2 ＝﹣1． 18．（8分）解方程组：． 【解答】解：， ②﹣①×2得：7y＝21， 解得：y＝3， 把y＝3代入②得：2x+9＝1， 解得：x＝﹣4， ∴方程组的解为． 19．（10分）如图，已知AC∥DE，AC＝DE，BD＝FC，求证：△ABC≌△EFD． 【解答】证明：∵BD＝FC， ∴BD+CD＝FC+CD， ∴BC＝DF， ∵AC∥DE， ∴∠ACD＝∠EDF， ∵在△ABC与△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（SAS）． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）写出A1，B1，C1的坐标； （3）求△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图即为所求； （2）∵A（0，1），B（2，0），C（4，3）， ∴A1（0，1），B1（﹣2，0），C1（﹣4，3）； （3）△A1B1C1的面积为：． 21．（10分）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，且BE＝ED． （1）求证：ED∥BC； （2）当∠A＝70°，∠ADE＝30°时，求∠EDB的度数． 【解答】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠DBC＝∠EBD， ∵BE＝ED， ∴∠EDB＝∠EBD（等边对等角）， ∴∠EDB＝∠CBD（等量代换）， ∴ED∥BC（内错角相等，两直线平行）； （2）解：∵∠A＝70°，∠ADE＝30°， ∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵ED∥BC， ∴∠ABC＝∠AED＝80°且∠DBC＝∠EDB， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∴∠EDB＝∠DBC＝40°． 22．（12分）课本再现： （1）由三角形内角和定理可以推导出三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，我们可以进一步推导：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角． 如图1，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD　＝　 ∠A+∠B，所以∠ACD　＞　 ∠B．（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）实验与探究： 三角形中边与角之间的不等关系 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 智慧小组把以上问题转化成如下证明题：“如图2，在△ABC中，AC＞AB，求证：∠B＞∠C．”并作出了辅助线：作∠BAC的平分线AD，在AC上截取AE＝AB，连接DE．请你结合智慧小组的探究思路完成该问题的证明过程． （3）从上面的过程可以看出，利用轴对称的特点，可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题．这是几何中研究不等问题时常用的方法．类似地，应用这种方法，我们可以说明“在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．”请你根据上述的结论判断下列说法中正确为　②③④　 ． ①在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠C＜∠B＜∠A； ②在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，那么△ABC是锐角三角形； ③在△ABC中，如果∠A＝54°，∠B＝72°，那么BC＝AB； ④在△ABC中，如果∠C＞∠B＞∠A，那么AB＞AC＞BC． 【解答】（1）解：如图1，∠ACD是△ABC的外角，则∠ACD＝∠A+∠B， 所以∠ACD＞∠B． 故答案为：＝；＞； （2）证明：∵AD是∠BAC 的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AE＝AB， 在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED， ∵∠AED＝∠C+∠CDE， ∴∠AED＞∠C， ∴∠B＞∠C； （3）解：①在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠C＜∠B＜∠A；错误，应该是∠C＞∠B＞∠A； ②在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，那么△ABC是锐角三角形；正确，理由是最大的角是∠C＜90°； ③在△ABC中，如果∠A＝54°，∠B＝72°，那么BC＝AB；正确，理由是∠A＝∠C＝54°； ④在△ABC中，如果∠C＞∠B＞∠A，那么AB＞AC＞BC．正确，理由是大角对大边． 故答案为：②③④． 23．（12分）在数学实验课上，学生以“折叠等腰三角形纸片”为主题开展探究活动． （1）【操作判断】如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．在折叠等腰三角形ABC纸片的过程中，则DE，DF的数量关系是　相等　 ． （2）【迁移探究】在动手操作探究过程中，小华发现，对于任意的等腰三角形，若将“点D为BC中点”改为“点D为三角形内部一点，满足点D到等腰三角形的两端点B，C的距离相等”，都能得到点D到两腰所在直线的距离相等，如图2所示，已知：在等腰△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点D为三角形内部一点．求证：DE＝DF． （3）【拓展应用】已知△ABC是等边三角形，在（2）中的其它条件不变，当△DEB，△DFC是等腰直角三角形时，若点D在△ABC外部，请求出∠BDC的度数． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，点D为BC的中点， ∴AD是∠BAC的角平分线． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF． 故答案为：相等； （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵点D到点B、C的距离相等， ∴BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠ABC﹣∠DBC＝∠ACB﹣∠DCB， ∴∠EBD＝∠FCD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF； （3）解：如图，△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵△DEB，△DFC是等腰直角三角形， ∴∠EBD＝∠FCD＝45°， ∴∠DBC＝180°﹣∠ABC﹣∠EBD＝75°，∠DCB＝180°﹣∠ACB﹣∠FCD＝75°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝30°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $