第三章 圆锥曲线的方程 达标练习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第3章圆锥曲线的方程达标练习卷-2026-2027学年数学人教A版选择性必修第一册 一．选择题（共8小题） 1．（2020秋•绥滨县校级期末）椭圆的焦距是2，则m＝（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．2 2．（2026•南京模拟）抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，点P（b，a）在抛物线C上，且|PF|＝10，则a+b＝（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2025秋•石家庄期末）已知抛物线方程x＝2y2，则该抛物线的焦点坐标是（　　） A．（） B．（0，） C．（） D．（0，） 4．（2025秋•江阳区校级期末）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P，Q在C上，若，且∠PQF1＝∠PF1Q，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．（2026•模拟）双曲线C：的右支上一点P在第一象限，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若内切圆M的半径为1，则直线PF1的斜率为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•汝州市模拟）已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，过点A（7，1）作直线l；x+ay﹣2y﹣7a+4＝0的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则|PF|+|PB|的最小值为（　　） A． B． C．14 D． 7．（2026•蒸湘区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为O，经过点A（x0，2），且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝（　　） A． B．1 C． D．2 8．（2026春•青浦区校级期中）探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2＝4x，一条光线经过点M（10，y1），与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点N（8，y2）射出，则光线从点M到点N经过的总路程是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2026•蓬江区校级模拟）已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（　　） A．|AB|＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面积为 D．线段AB的中点到抛物线准线的距离为4 （多选）10．（2026•随州校级模拟）已知双曲线的离心率为，则（　　） A．m＝3 B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若F为双曲线的右焦点，P为双曲线右支上任意一点，则 （多选）11．（2025秋•巴彦淖尔校级月考）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使C的方程为的是（　　） A．C的离心率为 B．C的渐近线方程为 C．C的实轴长为 D．是C上的点 三．填空题（共3小题） 12．（2026•辽宁模拟）抛物线y＝4x2的准线方程为　 　 ． 13．（2026秋•方城县校级月考）若直线y＝kx+1与椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为　 　 ． 14．（2026•蕉城区校级模拟）已知F1，F2是焦点在x轴上的椭圆C1和双曲线C2公共的焦点，若椭圆C1和双曲线C2在第二象限的交点为P，点Q既在第一象限，又在双曲线C2上，且，若椭圆C1的离心率的取值范围为，则双曲线C2的离心率的取值范围为　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（2025秋•甘肃校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆：1的一个焦点重合． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：x＝my+4交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为原点，求证：⊥． 16．（2026春•南宁校级月考）已知焦点在x轴上的双曲线C，离心率等于2，实轴长为． （1）求此双曲线C的标准方程； （2）若直线y＝ax+1与双曲线C相交于M，N两点，O为坐标原点．如果OM⊥ON，求a的值． 17．（2025秋•雨花区校级期末）椭圆经过点，左、右焦点分别为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PB与x轴相交于点C，直线PA与y轴相交于点D． （i）过P点作椭圆的切线，当切线平行AB时，求：切线方程． （ii）求△PCD面积的最大值． 18．（2026•上海）已知双曲线Γ：，过点M（m，0）作不垂直于x轴的直线l交双曲线Γ于A、B两点． （1）求双曲线离心率； （2）若点，点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线l的斜率； （3）若m＞0，F1，F2分别是双曲线Γ的左右焦点，A′是A关于y轴的对称点，若存在直线l使得，求m的取值范围． 19．（2025秋•南关区校级期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线E于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当直线l的斜率为1时，|AB|＝16． （1）求抛物线E的方程； （2）已知点P（4，0），直线AP，BP分别交抛物线E于C，D两点． ①求证：直线CD过定点； ②求△PAB与△PCD面积和的最小值． 第3章圆锥曲线的方程达标练习卷-2026-2027学年数学人教A版选择性必修第一册 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2020秋•绥滨县校级期末）椭圆的焦距是2，则m＝（　　） A．3 B．5 C．3或5 D．2 【解答】解：由题意得2c＝2，得c＝1， 当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4， ∵a2＝b2+c2， ∴m＝4+1＝5， 当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m， ∵a2＝b2+c2， ∴4＝m+1，解得m＝3， 综上所述，m＝3或m＝5， 故选：C． 2．（2026•南京模拟）抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，点P（b，a）在抛物线C上，且|PF|＝10，则a+b＝（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【解答】解：由抛物线方程可得抛物线的准线方程为， 又点P（b，a）在抛物线C上， 则a2＝ab， 又a＞0， 所以a＝b． 又由|PF|＝10，有， 又由a＝b，可得a＝8， 则a+b＝16． 故选：C． 3．（2025秋•石家庄期末）已知抛物线方程x＝2y2，则该抛物线的焦点坐标是（　　） A．（） B．（0，） C．（） D．（0，） 【解答】解：∵抛物线的方程为x＝2y2， ∴化成标准方程，得y2x， 由此可得抛物线的2p，得 ∴抛物线的焦点坐标为（，0） 故选：A． 4．（2025秋•江阳区校级期末）已知椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P，Q在C上，若，且∠PQF1＝∠PF1Q，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，点P，Q在C上， 由，可得P，Q，F2在同一条直线上，|F1F2|＝2c， 设x，则2x， 由椭圆的定义，2a， 则2a﹣2x， ∵∠PQF1＝∠PF1Q，则，即2a﹣x＝3x，解得x， ∴ 在△F1PQ中，cos∠F1PQ， 在△F1PQ中，cos∠F1PF2， 则，化简得4c2，即e2，解得：e． 故选：B． 5．（2026•模拟）双曲线C：的右支上一点P在第一象限，F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若内切圆M的半径为1，则直线PF1的斜率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图， 由已知，a＝3，焦点F1（﹣5，0），F2（5，0）， 设圆M与△PF1F2三边PF1，F1F2，PF2分别相切于点R，N，Q， 则|PF1|﹣|PF2|＝|PR|+|RF1|﹣|QF2|﹣|PQ|＝|RF1|﹣|QF2|＝|NF1|﹣|NF2|＝2a＝6， 又|NF1|+|NF2|＝|F1F2|＝10，解得|NF2|＝2，|NF1|＝8，|ON|＝|OF2|﹣|NF2|＝3， 所以点N（3，0）， 因为MN⊥x轴，内切圆M的半径为1，所以M（3，1），， 所以直线PF1的斜率． 故选：D． 6．（2026•汝州市模拟）已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，过点A（7，1）作直线l；x+ay﹣2y﹣7a+4＝0的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则|PF|+|PB|的最小值为（　　） A． B． C．14 D． 【解答】解：已知抛物线C：y2＝16x的焦点为F，过点A（7，1）作直线l；x+ay﹣2y﹣7a+4＝0的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点， 又直线l的方程可变形为x﹣2y+4+a（y﹣7）＝0， 由， 得， 所以直线l过定点M（10，7）． 所以点A，M的中点坐标为， 连接AM， 则， 由题意知点B在以AM为直径的圆上， 所以点B的轨迹方程为（不包含点A（7，1））， 记圆的圆心为， 过点P，N分别作准线x＝﹣4的垂线，垂足分别为D，H， 则， 当且仅当P，D，N，H四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立， 所以|PF|+|PB|的最小值为． 故选：D． 7．（2026•蒸湘区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为O，经过点A（x0，2），且F为抛物线C的焦点，若|AF|＝3|OF|，则p＝（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：由|AF|＝3|OF|， 可得， 所以x0＝p， 则4＝2p2， 解得． 故选：C． 8．（2026春•青浦区校级期中）探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2＝4x，一条光线经过点M（10，y1），与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过点N（8，y2）射出，则光线从点M到点N经过的总路程是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【解答】解：设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为A，B，显然直线AB过焦点F， 如图，分别从A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1， 由抛物线C：y2＝4x的准线方程为x＝﹣1， 再由抛物线定义可得|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， 所以|MA|+|AB|+|BN|＝|MA|+|AA1|+|BB1|+|BN|＝|MA1|+|NB1|＝10+1+8+1＝20， 即因此光线从点M到点N经过的总路程为20． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2026•蓬江区校级模拟）已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（　　） A．|AB|＝8 B．OA⊥OB C．△AOB的面积为 D．线段AB的中点到抛物线准线的距离为4 【解答】解：由题意可得直线过抛物线的焦点（1，0），抛物线的准线方程为x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理可得x2﹣6x+1＝0，显然Δ＞0， 可得x1+x2＝6，x1x2＝1， A中，由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+2＝6+2＝8，所以A正确； B中，由题意可得y12•y22＝16x1x2，所以y1y24，所以x1x2+y1y2＝﹣3≠0，所以OA⊥OB不成立，所以B不正确； C中，O到直线x﹣y﹣1＝0的距离d，所以S△AOB|AB|•d82，所以C正确； D中，由题意可得AB的中点D的横坐标为3，所以D到准线的距离d'＝3+1＝4，所以D正确； 故选：ACD． （多选）10．（2026•随州校级模拟）已知双曲线的离心率为，则（　　） A．m＝3 B．双曲线的焦点坐标为和 C．点在双曲线上 D．若F为双曲线的右焦点，P为双曲线右支上任意一点，则 【解答】解：对于选项A，由双曲线的离心率为，可得，可得m＝3，故A选项正确； 对于选项B，由于，故焦点坐标为（﹣3，0）和（3，0），故B选项错误； 对于选项C，由，可得点T不在双曲线上，故C选项错误； 对于选项D，由双曲线的性质，有|PF|≥c﹣a，，故D选项正确． 故选：AD． （多选）11．（2025秋•巴彦淖尔校级月考）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使C的方程为的是（　　） A．C的离心率为 B．C的渐近线方程为 C．C的实轴长为 D．是C上的点 【解答】解：由双曲线的焦距为4，可知2c＝4，即c＝2，因此a2+b2＝4． 双曲线方程，可得． 对于选项A：若C的离心率，解得， 又∵a2+b2＝4，∴b＝1，符合题意，∴A选项正确； 对于选项B：若C的渐近线方程为，则，即， 又∵a2+b2＝4，易解得，与题意不符，∴B选项错误； 对于选项C：若C的实轴长为，即，则，与题意不符，∴C选项错误； 对于选项D：将代入，可得，又∵a2+b2＝4， 联立，可得，整理得：a4﹣15a2+36＝（a2﹣3）（a2﹣12）＝0，解得或（舍去，∵a2＜c2＝4）， 又∵a2+b2＝4，∴b＝1，符合题意，∴D选项正确． 故选：AD． 三．填空题（共3小题） 12．（2026•辽宁模拟）抛物线y＝4x2的准线方程为　　 ． 【解答】解：整理抛物线方程得x2y，∴p ∵抛物线方程开口向上， ∴准线方程是y 故答案为：． 13．（2026秋•方城县校级月考）若直线y＝kx+1与椭圆总有公共点，则实数m的取值范围为　[1，2）∪（2，+∞）　 ． 【解答】解：直线y＝kx+1恒过点（0，1）， 由直线y＝kx+1与椭圆恒有公共点， 所以（0，1）在椭圆上或椭圆内，所以，所以m≥1， 又椭圆，所以m＞0且m≠2． 故实数m的取值范围是[1，2）∪（2，+∞）． 故答案为：[1，2）∪（2，+∞）． 14．（2026•蕉城区校级模拟）已知F1，F2是焦点在x轴上的椭圆C1和双曲线C2公共的焦点，若椭圆C1和双曲线C2在第二象限的交点为P，点Q既在第一象限，又在双曲线C2上，且，若椭圆C1的离心率的取值范围为，则双曲线C2的离心率的取值范围为　　 ． 【解答】解：设椭圆的长半轴长为a'，双曲线的实半轴长为a，半焦距为c，双曲线的离心率为e， 延长PF1交双曲线于点T， 因为，由对称性得|TF1|＝2|F1P|， 设|PF1|＝x，则|TF1|＝2x， 由双曲线的定义得|PF2|＝x+2a，|TF2|＝2x+2a， 由cos∠PF1F2+cos∠TF1F2＝0， 知， 化简得， 所以， 则椭圆的离心率为， 又椭圆C1的离心率的取值范围为， 所以， 解得， 所以双曲线C2的离心率的取值范围为． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．（2025秋•甘肃校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆：1的一个焦点重合． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l：x＝my+4交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为原点，求证：⊥． 【解答】（1）解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点与椭圆：1的一个焦点（1，0）重合， 可得1，所以p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x； （2）证明：联立，整理可得：y2﹣4my﹣16＝0， 可得：y1y2＝﹣16，x1x216， 所以，•y1y2+x1x2＝﹣16+16＝0． 即⊥． 16．（2026春•南宁校级月考）已知焦点在x轴上的双曲线C，离心率等于2，实轴长为． （1）求此双曲线C的标准方程； （2）若直线y＝ax+1与双曲线C相交于M，N两点，O为坐标原点．如果OM⊥ON，求a的值． 【解答】解：（1）设双曲线方程为， 由题意得，解得， 所以双曲线C的标准方程为． （2）因为直线y＝ax+1与双曲线C相交于M，N两点， 设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由， 得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0， 则3﹣a2≠0且Δ＝4a2+8（3﹣a2）＞0，则a2≠3且a2＜6， 所以，， 所以 ， 因为OM⊥ON， 且，， 所以， 即， 解得a＝±1，符合题意， 所以a＝±1． 17．（2025秋•雨花区校级期末）椭圆经过点，左、右焦点分别为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C的左顶点为A，下顶点为B，P是椭圆C在第一象限上的一点，直线PB与x轴相交于点C，直线PA与y轴相交于点D． （i）过P点作椭圆的切线，当切线平行AB时，求：切线方程． （ii）求△PCD面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得c， 则，可得a＝2，b＝1， 所以椭圆C的标准方程为：y2＝1； （2）（i）由（1）可得：A（﹣2，0），B（0，﹣1）， 设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0， 可知直线AB方程为：， 设切线方程为， 代入，化简得， 则Δ＝m2﹣2（m2﹣1）＝0，解得， 因P在第一象限，切线斜率为负，故， 所以切线方程为：； （ii）直线lAB：x+2y+2＝0， 则P（x0，y0）到直线的距离为，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 因为P（x0，y0）在椭圆上，所以， 则， 令，则， 则，则， 则，， 则SABCD 2， 故四边形ABCD面积为定值2， 所以△PCD的面积， 所以△PCD面积的最大值为． 18．（2026•上海）已知双曲线Γ：，过点M（m，0）作不垂直于x轴的直线l交双曲线Γ于A、B两点． （1）求双曲线离心率； （2）若点，点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线l的斜率； （3）若m＞0，F1，F2分别是双曲线Γ的左右焦点，A′是A关于y轴的对称点，若存在直线l使得，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意知，a2＝b2＝2， 所以离心率． （2）因为M（m，0），，B为线段AM中点， 所以， 又B在Γ右支上，代入Γ得，且，解得， 所以直线l斜率． （3）由双曲线Γ知，F1（﹣2，0）、F2（2，0）， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则A'（﹣x1，y1）， 设过点M（m，0）的直线l：x＝ty+m（t≠0）， 联立，消去x得，（t2﹣1）y2+2mty+m2﹣2＝0，显然t2﹣1≠0，即t2≠1， 由韦达定理得，y1y2，其中Δ＝（2mt）2﹣4（t2﹣1）（m2﹣2）＝4（2t2+m2﹣2）＞0，即2t2+m2﹣2）＞0①， 所以（﹣x1+2，y1）•（x2﹣2，y2）＝（﹣x1+2）（x2﹣2）+y1y2 ＝（﹣ty1+2﹣m）（ty2+m﹣2）+y1y2 ＝（1﹣t2）y1y2﹣t（m﹣2）（y1+y2）﹣（m﹣2）2 ＝（1﹣t2）•t（m﹣2）•（m﹣2）2＝0， 整理得t2＝（m﹣1）2≠1②， 由①②解得m且m≠2， 所以实数m的取值范围为（ ，2）∪（2，+∞）． 19．（2025秋•南关区校级期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线E于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当直线l的斜率为1时，|AB|＝16． （1）求抛物线E的方程； （2）已知点P（4，0），直线AP，BP分别交抛物线E于C，D两点． ①求证：直线CD过定点； ②求△PAB与△PCD面积和的最小值． 【解答】解：（1）易知抛物线E的焦点坐标为， 当直线l的斜率为1时，直线l的方程为， 联立，消去y并整理得， 由韦达定理得x1+x2＝3p， 此时， 解得p＝4， 则抛物线E的方程为y2＝8x； （2）①证明：设直线l的方程为x＝my+2，C（x3，y3），D（x4，y4）， 联立，消去x并整理得y2﹣8my﹣16＝0， 由韦达定理得y1y2＝﹣16，y1+y2＝8m， 所以直线AP的方程为x＝ny+4， 联立，消去x并整理得y2﹣8ny﹣32＝0， 由韦达定理得y1y3＝﹣32，同理得y2y4＝﹣32， 所以， 当直线CD的斜率存在时，， 所以直线CD的方程为， 即8x﹣（y3+y4）y﹣64＝0，令y＝0，解得x＝8， 所以直线CD过定点N（8，0）． 当直线CD的斜率不存在时， 易知y4＝﹣y3＝8，解得x3＝x4＝8， 所以直线CD的方程为x＝8， 则直线CD过定点N（8，0）， 综上所述，直线CD过定点N（8，0）； ②由①知， ， 所以S△PAB+S△PCD＝|y1﹣y2|+4|y1﹣y2|＝5|y1﹣y2| 40， 当且仅当m＝0时，等号成立． 则△PAB与△PCD面积和的最小值为40． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $