第三章 圆锥曲线的方程 章末练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 这份圆锥曲线章末同步练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖椭圆、双曲线、抛物线核心知识点，从概念运算到综合证明，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|双曲线离心率、轨迹方程、椭圆方程|单选为主，直接应用定义与公式，强化概念理解| |能力提升|抛物线与圆综合、新定义曲线性质|多选结合几何直观，考查知识迁移与推理能力| |综合应用|直线与圆锥曲线位置关系证明|解答题两问设计，从求方程到定点证明，深化模型应用|

第三章 圆锥曲线的方程 章末练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　 ） A.4 B.3 C.2 D. 2.已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　 ） A.＋＝1（y＞0） B.＋＝1（y＞0） C.＋＝1（y＞0） D.＋＝1（y＞0） 3.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　 ） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 4.（多选）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（　 ） A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，｜PQ｜＝ C.当｜PB｜＝2时，PA⊥AB D.满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个 5.（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于－2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（　 ） A.a＝－2 B.点（2，0）在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点在C上时，y0≤ 6.（多选）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，－1）的直线交C于P，Q两点，则（　 ） A.C的准线为y＝－1 B.直线AB与C相切 C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2 D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2 二、填空题 7.设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为 . 8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则△ADE的周长是 . 三、解答题 9.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴. （1）求C的方程； （2）过点P的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴. 10.已知A（0，3）和P为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上两点. （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 11.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－2，0），离心率为. （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 12.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率是，点A（－2，0）在C上. （1）求C的方程； （2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 解析版 一、选择题 1.已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　C　） A.4 B.3 C.2 D. 解析：由题意，设F1，F2，P， 则｜F1F2｜＝2c＝8，｜PF1｜＝＝10，｜PF2｜＝＝6， 则2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝10－6＝4，则e＝＝＝2.故选C. 2.已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　A　） A.＋＝1（y＞0） B.＋＝1（y＞0） C.＋＝1（y＞0） D.＋＝1（y＞0） 解析：设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0）， 因为M为PP'的中点，所以y0＝2y， 即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）上， 所以x2＋4y2＝16（y＞0），即＋＝1（y＞0）， 即点M的轨迹方程为＋＝1（y＞0）. 故选A. 3.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　C　） A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：如图，由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设｜PF2｜＝m， ∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝， 因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝， sin θ2＝，由正弦定理可得｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶， 则由｜PF2｜＝m，得｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝2c＝m， 由＝｜PF1｜·｜PF2｜＝m·2m＝8，得m＝2， 则｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，｜F1F2｜＝2c＝2，c＝， 由双曲线第一定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，a＝，b＝＝2， 所以双曲线的方程为－＝1.故选C. 4.（多选）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（　ABD　） A.l与☉A相切 B.当P，A，B三点共线时，｜PQ｜＝ C.当｜PB｜＝2时，PA⊥AB D.满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个 解析：A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1， ☉A的圆心（0，4）到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径， 故准线l和☉A相切，A选项正确； B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4， 由＝4xP，得到xP＝4，故P（4，4）， 此时切线长｜PQ｜＝＝＝，B选项正确； C选项，当＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P（1，2）或P（1，－2）， 当P（1，2）时，A（0，4），B（－1，2），kPA＝＝－2，kAB＝＝2， 不满足kPAkAB＝－1； 当P（1，－2）时，A（0，4），B（－1，2），kPA＝＝－6，kAB＝＝6， 不满足kPAkAB＝－1， 于是PA⊥AB不成立，C选项错误； D选项，方法一（利用抛物线定义转化）： 根据抛物线的定义，＝，这里F（1，0），于是＝时P点的存在性问题转化成＝时P点的存在性问题， 又A（0，4），F（1，0），AF中点为，AF中垂线的斜率为－＝， 于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136＞0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点， 即有且仅有两个P点，使得＝，D选项正确. 方法二（设点直接求解）： 设P，由PB⊥l可得B，又A（0，4），且＝， 根据两点间的距离公式，＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0， Δ＝162－4×30＝136＞0，则关于t的方程有两个解， 即有且仅有两个这样的P点，D选项正确. 故选ABD. 5.（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于－2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（　ABD　） A.a＝－2 B.点（2，0）在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点在C上时，y0≤ 解析：对于A：设曲线上的动点P，则x＞－2且×＝4， 因为曲线过坐标原点，故×＝4，解得a＝－2，故A正确. 对于B：又曲线方程为×＝4，而x＞－2， 故×＝4. 当x＝2，y＝0时，×＝8－4＝4， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得y2＝－（x－2）2，取x＝， 则y2＝－，而－－1＝－＝＞0，故此时y2＞1， 故C在第一象限点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得＝－≤， 故－≤y0≤，故D正确. 故选ABD. 6.（多选）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，－1）的直线交C于P，Q两点，则（　BCD　） A.C的准线为y＝－1 B.直线AB与C相切 C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2 D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2 解析：因为抛物线C过点A（1，1），所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线方程为y＝－，所以A错误； 易知kAB＝＝2，则直线AB的方程为y＝2x－1，联立消去y，得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以直线AB与C相切，所以B正确； 易知直线PQ的斜率存在，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，由Δ＝k2－4＞0，得k＞2或k＜－2，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，所以｜OP｜·｜OQ｜＝＝＝·x1x2＝＝＞2＝｜OA｜2，所以C正确； ｜BP｜·｜BQ｜ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝k2＋1＞5＝｜BA｜2， 所以D正确.故选BCD. 二、填空题 7.设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为　　. 解析：由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1， 得y＝±，即A，B，故＝＝10，＝＝5， 又－＝2a，得＝＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20， 故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝. 8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则△ADE的周长是　13　. 解析：∵椭圆的离心率为e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆的方程为＋＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，∵｜AF2｜＝a，｜OF2｜＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝，∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为， 直线DE的方程：x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得到13y2－6cy－9c2＝0， 判别式Δ＝＋4×13×9c2＝62×16×c2， ∴｜DE｜＝｜y1－y2｜＝2×＝2×6×4×＝6， ∴ c＝， 得a＝2c＝， ∵DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，｜AD｜＝｜DF2｜，｜AE｜＝｜EF2｜，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE周长为｜DF2｜＋｜EF2｜＋｜DE｜＝｜DF2｜＋｜EF2｜＋｜DF1｜＋｜EF1｜＝｜DF1｜＋｜DF2｜＋｜EF1｜＋｜EF2｜＝2a＋2a＝4a＝13. 三、解答题 9.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴. （1）求C的方程； （2）过点P的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴. 解：（1）设F，由题设有c＝1且＝，故＝，又因为a＞0，故a＝2，b＝， 故椭圆方程为＋＝1. （2）证明：直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k（x－4），A，B， 由可得x2－32k2x＋64k2－12＝0， 故Δ＝1 024k4－4＞0， 故－＜k＜， 又x1＋x2＝，x1x2＝， 而N， 故直线BN：y＝， 故yQ＝＝， 所以y1－yQ＝y1＋ ＝ ＝ ＝k ＝k ＝k＝0， 故y1＝yQ，即AQ⊥y轴. 10.已知A（0，3）和P为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上两点. （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 解：（1）由题意得解得 所以e＝＝＝. （2）方法一：kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0， ＝＝，由（1）知C：＋＝1， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为x＋2y＋C＝0， 则＝，解得C＝6或C＝－18， 当C＝6时，联立 解得或 即B或B， 当B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当C＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点. 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 方法二：同方法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 设B，则 解得或 即B或B，以下同方法一. 方法三：同方法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 设B，其中θ∈，则有＝， 联立cos2θ＋sin2θ＝1，解得 或 即B或B，以下同方法一. 方法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B， S△PAB＝×6×3＝9，符合题意，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋3， 联立椭圆方程有 则（4k2＋3）x2＋24kx＝0，其中k≠kAP，即k≠－， 解得x＝0或x＝，k≠0，k≠－， 令x＝，则y＝，则B， 同方法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 则＝，解得k＝， 此时B，则得到此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 方法五：当直线l的斜率不存在时，l：x＝3，B，＝3，点A到直线PB距离d＝3， 此时S△ABP＝×3×3＝≠9不满足条件. 当直线l的斜率存在时，设l：y－＝k（x－3）， 令P，B， 联立消y可得x2－x＋36k2－36k－27＝0， Δ＝－4（4k2＋3）（36k2－36k－27）＞0，且k≠kAP，即k≠－， ｜PB｜＝ ＝， 点A到直线PB距离d＝， 则S△PAB＝＝9， 所以k＝或，均满足题意，所以l：y＝x或y＝x－3，即3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 方法六：当直线l的斜率不存在时，l：x＝3，B，＝3，点A到直线PB距离d＝3， 此时S△ABP＝×3×3＝≠9不满足条件. 当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x－3）＋， 设直线l与y轴的交点为Q，令x＝0，则Q， 联立 则有x2－8kx＋36k2－36k－27＝0， 其中Δ＝8k2－4（3＋4k2）（36k2－36k－27）＞0，且k≠－， 则3xB＝， xB＝， 则S＝｜AQ｜｜xP－xB｜ ＝＝9， 解得k＝或k＝，经代入判别式验证均满足题意. 则直线l为y＝x或y＝x－3，即3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 11.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－2，0），离心率为. （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 解：（1）设双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0），由焦点坐标可知c＝2， 则由e＝＝，可得a＝2，b＝＝4， 故双曲线C的方程为－＝1. （2）证明：由（1）可得A1（－2，0），A2（2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）， 显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－＜m＜， 与－＝1联立可得（4m2－1）y2－32my＋48＝0，Δ＝64（4m2＋3）＞0， 则y1＋y2＝，y1y2＝， 直线MA1的方程为y＝（x＋2），直线NA2的方程为y＝（x－2）， 联立直线MA1与直线NA2的方程可得 ＝＝ ＝ ＝ ＝＝－， 由＝－可得x＝－1，即xP＝－1， 据此可得点P在定直线x＝－1上运动. 12.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率是，点A（－2，0）在C上. （1）求C的方程； （2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 解：（1）由题意可得解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）证明：由题意可知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y＝k（x＋2）＋3，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立方程组消去y得（4k2＋9）x2＋8k（2k＋3）x＋16（k2＋3k）＝0， 则Δ＝64k2（2k＋3）2－64（4k2＋9）（k2＋3k）＝－1 728k＞0，解得k＜0， 可得x1＋x2＝－， x1x2＝. 因为A（－2，0），所以可得直线AP的方程为y＝（x＋2）. 令x＝0，解得y＝， 即M（0，）. 同理可得N（0，）， 则 ＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝3，所以线段MN的中点是定点（0，3）. 页 学科网（北京）股份有限公司 $