第三章 圆锥曲线的方程 章末练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 章末练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

一、选择题

1.已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　   ）

A.4 B.3 C.2 D.

2.已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　   ）

A.＋＝1（y＞0） B.＋＝1（y＞0）

C.＋＝1（y＞0） D.＋＝1（y＞0）

3.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　   ）

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

4.（多选）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（　   ）

A.l与☉A相切

B.当P，A，B三点共线时，｜PQ｜＝

C.当｜PB｜＝2时，PA⊥AB

D.满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个

5.（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于－2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（　   ）

A.a＝－2

B.点（2，0）在C上

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点在C上时，y0≤

6.（多选）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B（0，－1）的直线交C于P，Q两点，则（　   ）

A.C的准线为y＝－1

B.直线AB与C相切

C.｜OP｜·｜OQ｜＞｜OA｜2

D.｜BP｜·｜BQ｜＞｜BA｜2

二、填空题

7.设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为                 .

8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，｜DE｜＝6，则△ADE的周长是                 .

三、解答题

9.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴.

（1）求C的方程；

（2）过点P的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.

 

 

 

 

 

 

 

 

10.已知A（0，3）和P为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上两点.

（1）求C的离心率；

（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.

 

 

 

 

 

 

 

 

11.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（－2，0），离心率为.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（－4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率是，点A（－2，0）在C上.

（1）求C的方程；

（2）过点（－2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析版

一、选择题

1.已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　C　）

A.4 B.3 C.2 D.

解析：由题意，设F1，F2，P，

则｜F1F2｜＝2c＝8，｜PF1｜＝＝10，｜PF2｜＝＝6，

则2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝10－6＝4，则e＝＝＝2.故选C.

2.已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（　A　）

A.＋＝1（y＞0）

B.＋＝1（y＞0）

C.＋＝1（y＞0）

D.＋＝1（y＞0）

解析：设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），

因为M为PP'的中点，所以y0＝2y，

即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）上，

所以x2＋4y2＝16（y＞0），即＋＝1（y＞0），

即点M的轨迹方程为＋＝1（y＞0）.

故选A.

3.双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2.△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（　C　）

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D.－＝1

解析：如图，由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设｜PF2｜＝m，

∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝，

因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，则＝－，即tan θ2＝，

sin θ2＝，由正弦定理可得｜PF1｜∶｜PF2｜∶｜F1F2｜＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，

则由｜PF2｜＝m，得｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝2c＝m，

由＝｜PF1｜·｜PF2｜＝m·2m＝8，得m＝2，

则｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，｜F1F2｜＝2c＝2，c＝，

由双曲线第一定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，a＝，b＝＝2，

所以双曲线的方程为－＝1.故选C.

4.（多选）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（　ABD　）

A.l与☉A相切

B.当P，A，B三点共线时，｜PQ｜＝

C.当｜PB｜＝2时，PA⊥AB

D.满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个

解析：A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，

☉A的圆心（0，4）到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，

故准线l和☉A相切，A选项正确；

B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，

由＝4xP，得到xP＝4，故P（4，4），

此时切线长｜PQ｜＝＝＝，B选项正确；

C选项，当＝2时，xP＝1，此时＝4xP＝4，故P（1，2）或P（1，－2），

当P（1，2）时，A（0，4），B（－1，2），kPA＝＝－2，kAB＝＝2，

不满足kPAkAB＝－1；

当P（1，－2）时，A（0，4），B（－1，2），kPA＝＝－6，kAB＝＝6，

不满足kPAkAB＝－1，

于是PA⊥AB不成立，C选项错误；

D选项，方法一（利用抛物线定义转化）：

根据抛物线的定义，＝，这里F（1，0），于是＝时P点的存在性问题转化成＝时P点的存在性问题，

又A（0，4），F（1，0），AF中点为，AF中垂线的斜率为－＝，

于是AF的中垂线方程为y＝，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，

Δ＝162－4×30＝136＞0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，

即有且仅有两个P点，使得＝，D选项正确.

方法二（设点直接求解）：

设P，由PB⊥l可得B，又A（0，4），且＝，

根据两点间的距离公式，＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，

Δ＝162－4×30＝136＞0，则关于t的方程有两个解，

即有且仅有两个这样的P点，D选项正确.

故选ABD.

5.（多选）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于－2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（　ABD　）

A.a＝－2

B.点（2，0）在C上

C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1

D.当点在C上时，y0≤

解析：对于A：设曲线上的动点P，则x＞－2且×＝4，

因为曲线过坐标原点，故×＝4，解得a＝－2，故A正确.

对于B：又曲线方程为×＝4，而x＞－2，

故×＝4.

当x＝2，y＝0时，×＝8－4＝4，

故在曲线上，故B正确.

对于C：由曲线的方程可得y2＝－（x－2）2，取x＝，

则y2＝－，而－－1＝－＝＞0，故此时y2＞1，

故C在第一象限点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.

对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得＝－≤，

故－≤y0≤，故D正确.

故选ABD.