1.5 平面上的距离（分层作业练题型）数学苏教版高二选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖平面距离全知识点，梯度合理，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|两点距离、点线距离等基础公式应用|选择填空为主，夯实运算能力，如直接应用距离公式| |B组能力进阶|对称、反射等综合问题|解答题提升推理能力，如点关于直线对称点求解| |C组思维拔高|复杂情境下的最值探究|开放探究培养创新意识，如将军饮马问题| |拓展链接高考|高考真题对接|高考题强化应用意识，如距离坐标创新题型|

分层作业 1.5 平面上的距离 目 录 A组 巩固过关 题型01 求平面两点间的距离问题 题型02用两点间的距离公式求函数最值 题型03 求点到直线的距离或参数 题型04 求点关于直线的对称点 题型05 光线反射问题（直线关于直线对称） 题型06求平行线间的距离问题 题型07 求直线关于点的对称直线 题型08 将军饮马求最值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 求平面两点间的距离问题 题型01 1．点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 3．设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 用两点间的距离公式求函数最值 题型02 4．函数的最大值为__________. 5．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 6．函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 求点到直线的距离或参数 题型03 7．已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 8．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 9．已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 求点关于直线的对称点 题型04 10．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 11．（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为－1 D．点关于直线的对称点坐标为 12．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 光线反射问题（直线关于直线对称） 题型05 13．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 14．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 15．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 求平行线间的距离问题 题型06 16．已知直线，，则下列选项中不正确的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，，之间的距离为 17．已知直线，直线，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 18．已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 求直线关于点的对称直线 题型07 19．已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 20．直线关于点对称的直线方程为______. 21．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 将军饮马求最值问题题型08 22．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 23．已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 24．代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 1．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 2．已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 4．两平行直线与之间的距离为________． 5．（多选）已知直线，则下列表述正确的是（     ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D．原点到直线的距离最大值为2 6．（多选）下列说法正确的有（   ） A．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B．若过点的直线的斜率是2，则 C．两平行直线与之间的距离为，则或 D．直线关于直线对称的直线为 7．已知两条直线． (1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (2)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求． 8．若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 9．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 10．已知直线经过点． (1)若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 1．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 2．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范围是 3．若，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（多选）已知直线与，则下列选项正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若，则，之间的距离为 5．已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 2．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2003·全国·高考真题）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.5平面上的距离 参考答案 A组 巩固过关 题型01 求平面两点间的距离问题 1. 【答案】C 2. 【答案】C 3. 【答案】A 题型02 用两点间的距离公式求函数最值 4.【答案】V17 5. 【答案】A 6. 【答案】B 题型03 求点到直线的距离或参数 7. 【答案】C 8. 【答案】(1)x+6y-9=0,x+y-4=0(25 【答案】C 颗型04 求点关于直线的对称点 10. 【答案】B 11.【答案】AC 12.【答案】B 题型05 光线反射问题（直线关于直线对称） 13.【答案】A 14.【答案】x-y-3=0 15.【答案】B 1/4 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型06 求平行线间的距离问题 16.【答案】℃ 17.【答案】C 18. 【答案】C 题型07 求直线关于点的对称直线 1 19. 【答案】1)x-y+1=020,33)x-y-3=0 20. 【答案】2x-y-3=0 21. 【答案】BC 题型08 将军饮马求最值问题 22.【答案】ABCD 23. 【答案】(1)22)C(3,-1)3)32 24.【答案】B B组 能力进阶 5115311 1.【答案】 2’53’5 (只需写出其中一个值即可) 2.【答案】C 3.【答案】 4.【答案】V2 5.【答案】ABC 6.【答案】CD 7【容类】日理联见解，（1202文2华 3 8.【答案】c 9.【答案】(1)x-2y+4=0.(2)7x+2y-11=0或5x+4y-13=0. 5 10.【答案】（四x+y-7=02四2x+y-9=0:5 2/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.【答案】(1)x-y-7=0或11x+5y-29=0 a油慰意设Pu,0L.Q061,共中a6为正数，可设直线，的方程为后若-1， 12-1, 因为直线1，过点B(1,2),所以。+6= OP+200 a+2b, 由基木不等式得+2b-(+2日别-14+225+2合安 2b2a=9, a b a b 12-1 a b 当且仅当 2b2a即∫a=3时，取等号， ab b=3 此时直线，的方程为3+3 +=1,即x+y-3=0 点4到直线的距离4 2+3-3-2」 V1+1 点c到直线的距离4=4335， V1+1 所以SBMP=SACP, 故当OP+2O四取得最小值时，直线42平分△ABC的面积. 2.【答案】AC 3/4 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.【答案】D 4.【答案】BCD 5.【答案】D 拓展 链接高考 3 1.【答案】5/0.6 2.【答案】D 3.【答案】C 4.【答案】D 5.【答案】V2+3/W3+√2 414 分层作业 1.5 平面上的距离 目 录 A组 巩固过关 题型01 求平面两点间的距离问题 题型02用两点间的距离公式求函数最值 题型03 求点到直线的距离或参数 题型04 求点关于直线的对称点 题型05 光线反射问题（直线关于直线对称） 题型06求平行线间的距离问题 题型07 求直线关于点的对称直线 题型08 将军饮马求最值问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )求平面两点间的距离问题 1．点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 2．已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 3．设，直线过定点，直线过定点，则（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先求出两条直线的定点，再根据两点之间的距离公式求解即可. 【详解】直线过定点， 直线过定点， 则 故选：A ( 题型0 2 )用两点间的距离公式求函数最值 4．函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 5．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程有两个解 B．方程无解 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的值域，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为， 所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的 距离之和，即. 作点关于轴的对称点，则， 当三点共线时，取到最小值 ， 所以有最小值； 当点向轴正、负方向无限移动时，距离之和无限增大， 所以. 因为，所以方程有互为相反数的两个解，故A正确，B错误； 因为有最小值，故C错误；因为无最大值，故D错误. 故选：A 6．函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B ( 题型0 3 )求点到直线的距离或参数 7．已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 8．已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【答案】(1)， (2)5 【详解】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 9．已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. ( 题型0 4 )求点关于直线的对称点 10．直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用关于直线的对称点为求解. 【详解】设为所求直线上的任意一点， 关于直线的对称点为， 则在直线上， 则，整理得到即为所求. 故选：B. 11．（多选）下列说法正确的是（   ） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为－1 D．点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【分析】对于A，利用两条直线平行的公式求出的值，利用两平行线间的距离公式求解；对于B，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件的定义求解；对于C，求出直线恒过的定点，当直线与垂直时，点到直线的距离最大，利用两条直线垂直的斜率公式求解；对于D，求出过且与直线垂直的直线方程，两条直线方程联立方程组，求出交点坐标，设点关于直线对称点为，利用中点坐标公式求出的坐标. 【详解】解：对于A，由题可得：，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由题可得，，解得或， 则“” 是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 选项B错误； 对于C，直线，即为， 由得，则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时， 点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确； 对于D，与直线垂直的直线方程的斜率为， 又过， 则过且与直线垂直的直线方程为，即， 联立两直线，解得， 设点关于直线对称点为， 则有，解得，故选项D错误. 故选：AC. 12．点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. ( 题型0 5 )光线反射问题（直线关于直线对称） 13．一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反射光线所在直线与直线关于直线对称，利用对称性求出在反射光线上的两个点坐标，再由点斜式写出方程，即可得. 【详解】由题意，反射光线所在直线与直线关于直线对称， 联立，可得，则它们的交点为， 又点在直线上，令点关于的对称点为， 所以，可得，则点在反射光线所在直线上， 综上，点、均在反射光线所在直线上， 所以，所求直线为，即. 故选：A 14．已知光线通过点，经轴反射，反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，可知反射光线所在直线为直线，求出该直线的方程即可. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由题意可知，反射光线所在直线为直线，且该直线的斜率为， 故反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 15．一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出入射点坐标，以及关于直线对称的点的坐标，再根据反射光线经过所求两点即可求解反射光线所在直线方程． 【详解】入射光线所在直线的方程为，即， 由解得，即入射点的坐标为， 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为， 所以反射光线所在直线的方程为，即． 故选：B． ( 题型0 6 )求平行线间的距离问题 16．已知直线，，则下列选项中不正确的是（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，，之间的距离为 【答案】C 【分析】利用动直线过定点的判定方法可判定A；利用两直线平行，垂直的判定可判断BC；利用两平行线间的距离可判断D. 【详解】直线 的方程可整理为 ， 因此它恒过直线 与 的交点 ，故选项 A 正确； 当 时， 的方程为 ， 其斜率与 相同且截距不同，因此 ，选项 B 正确； 当 时， 的方程为 ， 即 ，为垂直于 轴的直线， 而 的斜率为 ，两者不垂直，故选项 C 错误； 当 时，得，解得 ， 此时 ，与 的距离为 ，选项 D 正确. 故选：C 17．已知直线，直线，则间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两平行线间的距离公式可求得直线间的距离. 【详解】因为的斜率都为，所以两直线平行； 所以间的距离为. 故选：C. 18．已知直线相互平行，则之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两平行直线，则之间的距离为，利用这个公式求出之间的距离. 【详解】变形为，， 之间的距离为. 故选：C. ( 题型0 7 )求直线关于点的对称直线 19．已知直线l过点，且直线l的倾斜角比直线的倾斜角大． (1)求直线l的方程（一般式表示）； (2)若点在直线l上，且，求的取值范围； (3)求直线l关于点对称的直线方程（一般式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先得到已知直线的斜率，则斜角为，继而得到所求直线倾斜角为，再由点斜式求出直线方程即可； （2）根据几何意义表示与点连线的斜率，结合图象求出范围即可； （3）由点关于对称后为在直线上，再代入求解即可． 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率， 又是直线l在部分上的动点，如下图示：    则，直线AB的斜率不存在，则， 即的取值范围为. （3）点关于对称后为在直线上， 则，即， 所以直线l关于点对称的直线方程为. 20．直线关于点对称的直线方程为______. 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 21．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在轴上的截距为 C．直线关于点对称的直线方程是 D．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 【答案】BC 【分析】根据直线点斜式方程的限制条件可判断A选项；利用直线截距的定义可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出对称的直线方程，可判断C选项；求出过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，点斜式不表示倾斜角为的直线，A错； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得， 所以，直线在轴上的截距为，B对； 对于C选项，直线关于点对称的直线方程为，其中， 则，可得，因为，解得， 所以，直线关于点对称的直线方程是，C对； 对于D选项，若所过直线过原点，该直线的斜率为，此时，所求直线方程为， 若所求直线不过原点，设所求直线方程为，则，解得， 此时，所求直线方程为， 综上所述，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是或，D错. 故选：BC. ( 题型0 8 )将军饮马求最值问题 22．（多选）下列结论错误的是（　　） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是6 【答案】ABCD 【分析】通过直线斜率、垂直条件、平行直线距离公式、对称点法，分别验证各选项的正确性，确定错误结论. 【详解】选项A： 过点、的直线斜率，倾斜角满足， 而，A选项错误. 选项B： 直线垂直的条件为斜率乘积为. 直线的斜率为， 直线的斜率为，故，解得，B选项错误. 选项C： 将直线化为， 两平行直线距离为，C选项错误. 选项D： 取关于轴的对称点， 的最小值为，D选项错误. 故选：ABCD 23．已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点距离公式求底边，由点到直线距离公式求高，代入面积公式计算； （2）由“垂直”、“平分”列式求解对称点坐标； （3）由求解. 【详解】（1）设边上的高为，则就是点到所在直线的距离， 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 因为， 所以的面积为； （2）因为，所以直线AB方程为， 设，则，解得， 所以点C的坐标为； （3）由（2）知，， 所以， 当C，P，Q三点共线时等号成立，的最小值为. 24．代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点之间距离公式分析出表示到、的距离之和，求出关于对称点为，连接交于点，此时最小. 【详解】由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离， 所以代数式表示， 由图象可知在上运动，所以易得关于对称点为， 连接交于点，此时最小，最小值为. 故选：B. 1．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________. 【答案】，，（只需写出其中一个值即可） 【分析】化简得到，然后根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为， 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线， 以及与直线平行的两条直线和 （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等， 注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 设点到的距离为， ①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数为，，； 故答案为：，，. 2．已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C. 3．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案. 【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以， 又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即. 故答案为：. 4．两平行直线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】先根据两直线平行可得，再根据平行直线之间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，， 所以两直线之间的距离为． 故答案为：. 5．（多选）已知直线，则下列表述正确的是（     ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当实数变化时，直线恒过点 C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 D．原点到直线的距离最大值为2 【答案】ABC 【分析】对于A，依据斜率求出倾斜角；对于B，将直线的方程化为即可；对于C，根据平行关系求出，再利用两条平行直线间的距离公式即可；对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大，求两点间距离即可. 【详解】对于A，当时，直线，则直线斜率为， 故直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线，当时，， 故直线恒过点，故B正确； 对于C，当直线与直线平行时，有，得， 此时直线， 则两条直线的距离为，故C正确； 对于D，当直线与过原点、的直线垂直时，原点到直线的距离最大， 最大值为，故D错误. 故选：ABC 6．（多选）下列说法正确的有（   ） A．若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B．若过点的直线的斜率是2，则 C．两平行直线与之间的距离为，则或 D．直线关于直线对称的直线为 【答案】CD 【分析】由直线方程求出截距，建立方程求得，判断A选项；由斜率公式建立方程求得，判断B选项；由平行线的性质得到，再由平行线间距离公式建立方程求得，判断C选项；先求得直线与对称轴的交点坐标，然后在直线上取一点，通过对称轴求得对称点坐标，由这两个点求得对称直线方程，判断D选项. 【详解】令，则，令，则，则，即，A选项错误； 由题意可知，直线斜率存在，，即，B选项错误； 因为两直线平行，所以，两直线的距离，所以或，C选项正确； 联立直线方程，解得，即直线与直线交于点，在直线上取点，则点关于对称的点坐标为， 设直线关于直线对称的直线为，则，∴， 即直线关于直线对称的直线为，D选项正确. 故选：CD. 7．已知两条直线． (1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (2)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求． 【答案】(1)证明见解析， (2)或． 【分析】（1）变形直线的方程，进而求出定点坐标即可. （2）由给定条件可得，进而求出值，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线变形得：， 对任意实数，当，即时，恒有， 所以直线过定点，该定点的坐标为. （2）由，不重合，且垂直于同一条直线，得， 因此，解得或， 当时，，则； 当，即，，则， 所以等于或． 8．若直线过点且与直线相互垂直，则原点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线垂直得出直线，再应用点到直线距离计算求解. 【详解】直线与直线相互垂直，所以直线的斜率为， 直线过点且斜率为，则直线， 则原点到直线的距离为. 故选：C. 9．已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 10．已知直线经过点． (1)若直线不经过原点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若直线与平行，求直线的方程，并求与之间的距离． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题目设的方程为，将点代入求出，即可得到直线方程. （2）根据两直线平行设方程为，将点代入求出，即可得到直线方程， 利用平行线间的距离公式即可求出与之间的距离. 【详解】（1）由直线不过原点，设直线的方程为， 则有，解得，即直线的方程为. （2）因为直线与平行， 所以设直线方程为， 又直线经过点，所以，所以， 所以直线的方程为 与之间的距离为. 1．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点是. (1)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，求证：当取得最小值直线平分的面积. 【答案】(1)或 (2)证明见解析 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出取得最小值时的直线的方程，然后分别计算两个三角形的面积即可. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， ， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，取等号， 此时直线的方程为，即， 点到直线的距离， 点到直线的距离， ， ， 所以， 故当取得最小值时，直线平分的面积. 2．（多选）下列说法正确的是（   ） A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率k的取值范围是 【答案】AC 【分析】由直线方向向量与斜率的关系求解可判定A；根据两直线的位置关系列出方程，求得的值，然后结合充要条件可判定B；根据直线过定点，结合垂直时距离最大，求得的值可判定C；根据直线的斜率公式，求得直线斜率的取值范围，可判定D. 【详解】对于A，因为直线的一个方向向量为， 所以该直线的斜率为，故A正确； 对于B，因为直线和互相垂直， 所以，解得或， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 所以B错误； 对于C，将直线方程变形为，由，可得， 所以直线过定点， 当直线与垂直时，点到的距离最大， 因为，则，所以C正确； 对于D，如图所示，由，， 所以由图知，或，所以斜率的取值范围是，所以D错误. 故选：AC. 3．若，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】令，利用点到直线的距离公式可求的最小值. 【详解】令，由，可得， 原点到直线的距离为， 所以， 联立，可得， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：D. 4．（多选）已知直线与，则下列选项正确的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．直线恒过点 D．若，则，之间的距离为 【答案】BCD 【分析】由两直线位置关系计算可得AB；令的系数为，计算可得C；借助平行线间距离公式计算可得D. 【详解】对A：若，则，解得或， 当时，两直线方程分别为，，符合题意； 当时，两直线方程分别为，， 此时两直线重合，不符合题意； 综上，，故A不正确； 对B：若，则， 解得或，故B正确； 对C：令，得，所以恒过点，故C正确； 对D：若，由A知，， 所以直线，的方程分别为，， 所以，之间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 5．已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果. 【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方， 直线与直线平行， ，的最小值为. 故选：D. 1．（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 2．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案. 【详解】解：①，若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确. ②，若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确. ③若，则，“距离坐标”为的点有且仅有4个，为，如图，故正确. 故正确的命题个数为3个. 故选：D 3．（2003·全国·高考真题）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，求出对称点，得出关系. 【详解】设为直线关于x轴对称的直线方程上任意一点，则 关于x轴对称的点在直线上， 即有，满足直线方程， 即，     化简得，. 故选：C. 4．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 5．（2018·上海·高考真题）已知常数、、、满足：，，，则的最大值为______ 【答案】/ 【分析】设点，，可得，，根据向量的数量积可得三角形OAB为等边三角形，的几何意义为点A，B两点到直线的距离之和，设，则，进而根据点到直线的距离公式以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】设点，，，， 由，，， 可得A，B两点在圆上，且， 即有，即三角形OAB为等边三角形，， 所求的的几何意义即A、B两点到直线的距离之和， 故设，则， 所以 ， 其中， 所以最大值为，当且仅当时，可取最大值. 故答案为： 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $