27.2 反比例函数的图象与性质（知识清单，知识点&7易错&10题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象与性质 🔷知识点一　的图象与性质 与研究一次函数和二次函数的图象性质时类似，我们也是通过列表、作图的方式探究当时的反比例函数图象与性质： 例：用描点法画出和的图象，并总结的图象性质。 … … … … … … 图象： 通过以上图象，不难观察到： 当时： （1）函数图象的两支分别位于第一、三象限； （2）在每一个象限内，随的增大而减小； （3）函数图象只会无限的逼近于轴、轴，但永远不会相交。 📌 归纳总结 对于反比例函数而言，函数图象分布在第一、三象限，关于其增减性的描述：在每一个象限内，随的增大而减小。 🔷知识点二　的图象与性质 与探究当时的反比例函数图象与性质类似，我们仍然使用列表、描点的方式，探究以下两个反比例函数的图象与性质： 例：用描点法画出和的图象，并总结的图象性质。 … … … … … … 图象： 通过以上图象，不难观察到： 当时： （1）函数图象的两支分别位于第二、四象限； （2）在每一个象限内，随的增大而增大； （3）函数图象只会无限的逼近于轴、轴，但永远不会相交。 ⚠️特别提醒 通过对比以上两幅图象，可以发现一些共同点： （1）反比例函数的图象由两条曲线构成，可以称反比例函数的图象为双曲线； （2）反比例函数的图象关于原点对称，因为且，所以反比例函数图象只会无限接近坐标轴但永不相交； （3）描述反比例函数的增减性时，必须要强调“在每一个象限内”，强调这句话的主要原因是：反比例函数图象分布在不同象限，当从轴负半轴逐渐趋近于，穿过原点后，再往轴正半轴移动时，反比例函数图象会出现“断层”的现象，这会导致反比例函数值出现反向跃迁的情况，在这种情况下，它并不符合“随的增大而增大/减小”的描述，而用“在每一个象限内，随的增大而增大/减小”描述增减性会更严谨。 💡 拓展延伸 ①反比例函数图象既是中心对称图形（以原点为对称中心），又是轴对称图形（对称轴为和直线）； ②反比例系数的几何意义：从图象上任意取一点并向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒等于；若过点作轴垂线，垂足为，连接，则 ③若正比例函数与反比例函数图象交于两点、，则、关于原点对称（因为反比例函数是中心对称图形）。由此可得：，。 📌 归纳总结 ①对于反比例函数而言，函数图象分布在第二、四象限，关于其增减性的描述：在每一个象限内，随的增大而增大； ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③从图象上任意取一点并向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒等于。 易错点 1 描述增减性时不分象限 · 错例：描述反比例函数的增减性时，直接说“随增大而减小”； · 错因：沿袭一次函数的“全局增减”思维，忽视了反比例函数图象的两支是断开的，不同象限之间无法比较； · 规避方法：要求写增减性时必须加“在每一象限内”或“当时……；当时……”。 易错点 2 忽略 · 错例：函数的图象是双曲线，直接说为任意实数； · 错因：只关注了分母，忘了比例系数是反比例函数存在的“身份前提”； · 规避方法：反比例函数存在的两个基础条件：①；②。列式时先写“由题意得”，不要想当然。 易错点 3 画图象时与坐标轴相交 · 错例：画的图象时，曲线画到了坐标轴上，或与坐标轴有交点； · 错因：没有理解且的意义，误以为曲线可以无限延伸至坐标轴； · 规避方法：强调图象无限接近但永不相交。画图时可以用虚线标出坐标轴，曲线两端向外延伸时要“停”在坐标轴附近，不接触。 易错点 4 的几何意义符号出错 · 错例：点在上，从点出发向两坐标轴作垂线，形成的矩形面积算成； · 错因：混淆了面积（恒正）与值（可正可负）的区别； · 规避方法：面积都是正数，无论是正是负，只要求面积，必须加上绝对值符号。 易错点 5 比较函数值时忽略象限前提 · 错例：点、在上，直接比较； · 错因：没有意识到两个点在不同象限，不能直接用增减性比较，可以代入计算； · 规避方法：若两点在不同象限，必须代入计算，不能直接用增减性；若在同象限，才可用增减性比较。 易错点 6 与一次函数综合时忽略符号一致性 · 错例：已知反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数中的符号判断错误； · 错因：只关注了反比例函数的象限，忘了两个函数中的是同一个字母，符号必须一致； · 规避方法：两个函数中的是同一个参数，符号必须一致。第二、四象限，则一次函数斜率也为负。 易错点 7 画图时取点不对称 · 错例：画的图象时，只取了第一象限的点，忘了第三象限也有一支； · 错因：对“双曲线两支”的结构认识不清，或取点时没有取正负对称的自变量； · 规避方法：列表时自变量取正负成对的值（如令），画出两支曲线，并用平滑曲线连接。 · 题型一：判断或画反比例函数图象 📝方法技巧 ①判断点是否在图象上：将点坐标代入，验证是否成立； ②画图步骤：列表（取关于原点对称的值）描点用平滑曲线连线（注意有两支曲线，且不与坐标轴相交）； ③若出现含绝对值的反比例函数：如，需分和两种情况进行讨论，分别得到（第四象限）和 （第三象限），图象为两支均位于轴下方的曲线。 注意：画图时曲线两端要无限接近坐标轴但不相交；含绝对值时注意分类讨论后图象的象限分布 1．（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意． 2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知实数满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解关于的分式方程得到的所有可能值，再根据反比例函数的性质：若点在图象上，则点横纵坐标的乘积等于，验证选项即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 整理得，， 即， 解得或， ∵反比例函数满足， ∴或， 、，不等于也不等于，故该选项不符合； 、，与的一个值相等，故该选项符合； 、，不等于也不等于，故该选项不符合； 、，不等于也不等于，故该选项不符合． 3．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，分别得到表达式即可求解． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符的是： ． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、第四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，故选项正确，选项错误； ∵， ∴图象经过点，故选项正确． 5．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 6．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）关于反比例函数下列说法不正确的是 (     ) A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据反比例函数性质，，图象在第二、四象限，关于原点对称，且在每个象限内随增大而增大，依次对各选项进行判断． 【详解】C3选项A: 当时，，则图象经过点，故A正确，不符合题意； 选项B: 反比例函数图象均关于原点对称，故B正确，不符合题意； 选项C: ，图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故C不正确，符合题意； 选项D: ，当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意； 故选C． 7．（25-26九年级上·河北·课后作业）（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】 （）①列表： ②描点并连线： （）上升，变大． 【详解】（）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （）根据反比例函数的图象即可求解； 本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质，正确画出反比例函数的图象是解题的关键． 解：（）略 （）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当由小变大时随之变大． 故答案为：上升，变大． 8．（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式； (2)画出它在第一象限的图象； (3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 【答案】(1) (2) 如下图所示： (3)y从6减小到3 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，涉及到待定系数法求反比例函数的解析式，画反比例函数的图像，反比例函数的增减性等知识． （1）设反比例函数的解析式为，利用待定系数法求解即可． （2）先求出两个反比例函数在第一象限内的点，根据这两个点画出反比例函数在第一象限的图像即可． （3）根据反比例函数的图像和性质求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：当时，则， 当时，则， （3）解：反比例函数中， 则反比例函数在第一象限内随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， 则当自变量x从2增大到4时，y从6减小到3． 9．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知反比例函数． (1)①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． (2)函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 【答案】(1)，，， (2)二、四，增大 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关键是画出函数图象． （1）分别把，，，代入函数解析式求出对应y的值即可； （2）用描点，连线的方法画出函数图象； （3）根据函数的图象和性质可以得出结论． 【详解】（1）①补全表格 ②图象如图： （2）函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大 故答案为：二、四，增大． 题型二：已知图象判断反比例函数解析式 📝方法技巧 ①由点求：图象上任意一点 ，则； ②由图象范围确定可能的值：观察图象上的临界点，计算的上下界。例如图象经过上方和下方，则说明反比例系数必然处在这两点各自所在的反比例函数的反比例系数之间，即，即，最后筛选合适的选项； ③由图象所在象限判断的符号：若图象位于第一、三象限，则；若图象位于第二、四象限，则。 注意区分“的几何意义”与“图象位置”——面积恒为正，只要算面积，外面必须带绝对值符号，但本身的符号是由图象所在的象限决定的。 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出系数，从而确定函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数图像过点， ， 反比例函数的表达式为． 2．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义求解即可，要注意图象所在的象限． 【详解】解：由反比例函数的比例系数的几何意义可知， ， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 4．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 5．（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， 观察图象得：， ∴k的值可能是5． 故选：D 6．（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形得出，根据的取值判断即可． 【详解】解：由题图可知，当时，，即， 当时，， 即， ． 选项中只有4在此范围内， ∴的值可能为4． 题型三：由对称性求点坐标 📝方法技巧 ①利用中心对称性：反比例函数图象关于原点对称。若正比例函数与反比例函数交于 、两点，则、关于原点对称，即，； ②利用轴对称性：反比例函数图象关于直线 和对称。若点在图象上，则和也在图象上。 ③验证点是否在图象上：只需验证横纵坐标乘积是否等于 。 注意：利用对称性可快速求另一交点坐标，无需代入计算，例如点与 都满足，但不满足。 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 2．（2026·重庆·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，结合图象上点的坐标满足，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中． ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，A错误． ∵， ∴只有在每个象限内，随的增大而增大，并非在整个的取值范围内随增大而增大，B错误． 若点在该函数图象上，则， 整理得， 配方得，等式左边恒大于0，无实数解， 因此该点不可能在函数图象上，C错误． 若点在函数图象上，则， 对于点，有，满足的关系， 因此点也在该函数图象上，D正确． 3．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． 4．（2026·安徽·模拟预测）已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的中心对称性，得到交点坐标的关系，再结合反比例函数图象上点的坐标特征计算即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称， ∴两函数的交点，关于原点对称， 可得，， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， 将，代入得： ． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的对称性问题，熟悉关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．先通过反比例函数求点坐标，再根据反比例函数与一次函数的对称性即可解答． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴点． ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴点坐标为． 故选：A． 6．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 7．（21-22九年级下·陕西咸阳·开学考试）已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点A（m,4）代入中，可得m=-1，根据正比例函数与反比例函数交点坐标关于原点对称可求． 【详解】解：将点A（m,4）代入中， 得： 解得：m=-1 ∴点A坐标为（-1，4） ∵A、B两点关于原点成中心对称 ∴点B坐标为（1，-4）． 故选：A． 【点睛】本题是反比例函数与正比例函数交点问题，掌握反比例函数图象的中心对称性，以及正比例函数图象上点坐标特征是解题的关键． 8．（2025·新疆伊犁·模拟预测）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质．先求得点的坐标为，再根据两函数的图象分别关于坐标原点对称，即可求解点A的对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 题型四：已知图象求参数范围 📝方法技巧 ①由图象象限定符号：图象位于第二、四象限；位于第一、三象限，据此列不等式求参数范围。 ②多函数图象比较的大小：在同一坐标系中，取作竖直线，与各图象的交点纵坐标即为的值。纵坐标越大，越大；或者也可以根据以下规律来判断，即越大，图象离原点越远。 ③综合判别式：若同时涉及一元二次方程根的情况，需联立判别式与的符号求解，必要时分类讨论。 注意：比较大小时，注意图象所在的象限——正在第一、三象限，负在第二、四象限，不能直接比较大小，有时需借助的竖直线辅助判断。 1．（2022·云南玉溪·二模）已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 2．（20-21九年级上·陕西汉中·期末）已知关于x的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象位于第二、四象限，那么m的值为（    ） A． B．3或 C． D．3 【答案】A 【分析】先根据方程有两个相等的实数根，利用判别式求出m的所有可能值，再根据反比例函数所在象限确定m的取值范围，筛选得到正确结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 其中，，，代入得： ， 整理得， 开方得， 解得或， 又∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数满足，即， ∴只有符合条件，即m的值为． 3．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 4．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，一元二次方程根的判别式的意义．根据反比例函数图象的位置确定的符号，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数()的图象位于第二、四象限， ∴． 对于方程， 判别式． ∵， ∴， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象位于第一、三象限，则，然后解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第一、三象限， ∴， ∴， 故选：． 6．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知矩形的顶点，，，若反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出矩形边界上的整点（含矩形顶点）共10个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围． 【详解】解：矩形边界上的整点有，共10个， 把每个点代入得到k的值从小到大分别为： ， ∵反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分， ∴图象下方有5个整点，图象上方有5个整点， ∴大于第5个值3，小于第6个值4， ∴． 7．（25-26九年级下·北京·开学考试）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象与系数之间的关系，由两支曲线的分界线在轴左侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【详解】解：∵， ∴， 从图象可知，函数图象在y轴右侧有渐近线，且渐近线在y轴右侧， ∴， 由图可知，当时的函数图象位于轴的下方， ∴当时，， 又∵当时，， ∴， 综上，选项A符合题意． 8．（20-21九年级上·重庆巴南·期末）已知实数使关于的反比例函数的图象在第二、四象限，且使关于的方程有实数解，若是整数，则所有满足条件的的值的和为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限和方程有实数根，确定m的取值范围，再取整数相加即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴m-3<0， 解得，m<3， 关于的方程有实数解， 当方程是一元一次方程时，m=2，有实数根； 当方程是一元二次方程时，， 解得m≥， ≠0，m≠2， 综上，m可取整数值有：-2，-1，0，1，2， 它们的和为0， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟知相关知识，并能够灵活运用，注意分类讨论思想． 题型五：已知增减性求参数 📝方法技巧 ①由增减性确定的符号：在每一个象限内，随增大而减小；在每一个象限内，随增大而增大，由此列不等式求参数； ②由两点大小关系确定象限：若且，说明函数图象在第二、四象限（）；若，则图象在第一、三象限（）。 ③同象限用增减性，异象限代数计算看正负：两点在同一象限内可直接用增减性；在不同象限，先判断各自的正负，再比较。 注意：增减性必须强调“在每一象限内”，不能笼统说“随增大而增大/减小”；不同象限之间不能直接用增减性比较。 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据y随x的变化趋势确定比例系数的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：∵x是设定温度，故，又x增大时y随之减小，对于反比例函数，当时，y随x增大而减小. 本题中比例系数， ∴， 解得， 选项中只有，符合要求． 3．（25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围． 【详解】解：由条件可知反比例函数图象在第二，四象限， ， 解得：． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的横坐标代入反比例函数得到对应函数值，再根据已知的函数值大小关系列不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 解得． 5．（22-23八年级下·河南新乡·期中）已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 6．（2022·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先要判断A、B两点是否在同一象限，然后根据得，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 7．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 题型六：比较函数值的相对大小 📝方法技巧 ①分象限讨论：先判断各点所在的象限，时，第一象限，第三象限；时，第二象限，第四象限 ②同象限用增减性：在同一象限内，时越大越小；时越大越大； ③含参分类讨论：若点坐标含参数，需根据参数范围确定各点所在象限，再比较大小。 注意：比较大小的核心是“先定象限，再比大小”；正负关系优先于增减性——正数一定大于负数，无需精确计算。 1．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 2．（2022·江西南昌·模拟预测）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点，，在的图象上， ∴，，． ∵， ∴， 即． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】先根据反比例函数系数判断图象位置和增减性，再结合m的范围确定三个点横坐标的范围，结合增减性比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， A、当时，可得，三点都在第二象限，根据增减性得，即，故该选项不符合题意； B、当时，可得，A、B在第二象限，C在第四象限，可得，且，，，即，故该选项符合题意； C、当时，可得，点A在第二象限，点B、C在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； D、当时，可得，三点都在第四象限，根据增减性得，故该选项不符合题意； 5．（2026·浙江嘉兴·二模）已知点，，均在反比例函数的图象上．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质求解，的反比例函数图象在一、三象限，每个象限内随的增大而减小，结合给定的的大小关系，判断三个点所在象限，列不等式组即可求出的取值范围． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小， ∵，且， 若三点同在第一或第三象限，根据函数的增减性，则纵坐标的大小关系应为，与题设矛盾， ∴三点必分布在两个象限． ∵第一象限点的纵坐标为正，第三象限点的纵坐标为负， ∴点、都在第三象限（纵坐标为负），点在第一象限（纵坐标为正）， 可得不等式组：， 解不等式组得， 因此的取值范围是． 6．（2026·浙江金华·二模）若函数的图象上有两点，，且，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】结合已知条件得到的表达式，根据反比例函数的性质，按的正负分类比较的大小，判断选项正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，． 分情况讨论： 当时，，，对，越大，越小， 选项A：若，则，得，A错误； 选项B：若，则，得，B正确； 当时，，，对，越大，越大， 选项C：若，则，得，C错误； 选项D：若，则，得，即，D错误． 7．（2026·浙江·模拟预测）已知点，都在反比例函数（）的图象上，，则当时，有关m，n的取值判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性，结合题干说明同号的条件，分和两种情况推导的大小关系，即可判断选项． 【详解】解：∵点，在上， ∴，， ∴ ， 由题意得，， 因此 ， ∵， ∴可得， 分情况讨论： 当时，可得，即，因此B正确； A只给出，遗漏了的情况，因此A错误； 当时，可得，即，因此D错误； C选项中，可得，不符合题干的条件，因此C错误． 题型七：的几何意义 📝方法技巧 ①矩形面积：过图象上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积； ②三角形面积：过图象上一点向轴（或轴）作垂线，垂足为，连接，则； ③组合图形面积：利用割补法，将不规则图形转化为矩形或三角形的面积差/和； ④由面积求：根据面积公式反推，再结合图象所在象限确定的符号。 注意：面积恒为正数，的符号由象限决定；涉及多个函数时，注意各函数的符号和绝对值大小关系。 1．（21-22八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由四边形的面积可求得，又因反比例函数的图象在第一象限，即可得，写出的值即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 2．（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 3．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】 利用反比例函数系数的几何意义求出的面积，再根据中心对称性和平行线分线段成比例得出与的面积关系，即可进行后续求解． 【详解】解：直线与双曲线交于，两点， 点与点关于原点对称， ， 轴，轴轴， 轴，即， ∴ ∴ 是的中点， ， ∵ ， 点在双曲线上，轴， ， ， ． 4．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 【答案】C 【分析】阴影部分的面积刚好等于以为斜边的大三角形的面积减去以为斜边的小三角形的面积，即可得． 【详解】解：如图， ∵点分别在反比例函数和位于第一象限的图象上， ∴，， 又阴影部分的面积为2， ∴, 解得：． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 7．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形和四边形是矩形，且，，，则，据此即可求出答案． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． 8．（2022·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 题型八：反比例函数与一次函数交点问题 📝方法技巧 ①求交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组求出交点坐标； ②求参数范围（线段有交点）：将一次函数与反比例函数联立，转化为一元二次方程，结合线段端点的范围，利用判别式和端点函数值列不等式求解； ③求不等式解集：观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方（或下方）的区间，这一做法和一次函数的交点问题一致。注意分和两种情况讨论； ④由交点求：将交点坐标代入反比例函数解析式即可。 注意：不等式解集的分界点是两图象交点的横坐标，注意“空心点”与“实心点”的区分，这关乎在该点的值是否能取到的问题；线段有交点问题需同时考虑判别式和端点约束。 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分和两种情况，联立反比例函数与直线的解析式，结合线段的取值范围确定的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， ∴直线的解析式为，线段的取值范围是， 联立， 整理得， 当时，反比例函数图象在第一、三象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得； ∴； 当时，反比例函数图象在第二、四象限，仅需考虑的情况， ∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在时，随增大而增大，且当时，， ∴当，时，方程在内有解， 解得， ∴； 综上，的取值范围是或． 2．（2022九年级·广西防城港·竞赛）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在直线上，先求出，再代入反比例解析式求即可. 【详解】解：∵反比例函数与直线交于点， ∴，即： ∴． 题型九：反比例函数与一次函数图象问题 📝方法技巧 ①先由一函数定参数符号：观察反比例函数图象所在象限，确定的符号； ②验证另一函数：将的符号代入一次函数，判断其斜率（的正负）和截距（ 或的正负），检查是否与选项图象一致； ③分类讨论：当参数符号不确定时，分和两种情况讨论，分别判断两函数的图象特征。 注意：两函数中的参数是同一个字母，符号必须一致；一次函数的截距符号要与的符号对应，不能只看斜率。 1．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 3．（2022·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 只有D选项满足题意． 题型十：反比例函数与二次函数图象问题 📝方法技巧 ①由反比例函数定参数符号：图象在第一、三象限；在第二、四象限； ②判断二次函数图象特征：由的符号确定开口方向（ 向上）；由解析式确定对称轴位置和与轴交点坐标（如与轴交于 ）； ③综合验证：将参数符号代入二次函数，逐项检查开口、对称轴、交点是否与选项一致。 注意：二次函数的顶点坐标（如 的顶点为 ）是判断图象位置的关键；注意的符号与顶点横坐标的关系。 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由反比例函数图象与性质确定参数范围，再由二次函数图象与性质判断选项中的图象即可． 【详解】解：反比例函数（）的图象在第一、三象限， ， 则对于二次函数，由知图象开口向上、对称轴为轴、且与轴交点在负半轴上， 观察四个选项中的图象，只有B选项符合要求． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的图像，根据象限得到系数的取值范围是解题的关键．根据题意得到即可得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 故二次函数开口向上，且交轴的负半轴， 故选D． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键． 由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴正半轴上， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 4．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）    A．     B．     C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了函数图象和性质，根据反比例函数图象和一次函数函数的图象得到， ，，再根据二次函数进行观察图象即可判断，解题的关键是根据函数图象确定，，的取值范围． 【详解】解：根据题意和已知图象关系，可知反比函数分布在第二象限， ∴ 又∵函数图像经过一、二、三象限， ∴，且， ∴的开口向上，对称轴为：，故D不符合题意； 将代入函数，可得到，故B和C不符合题意，A符合题意； 故选：A． 试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象与性质 🔷知识点一　的图象与性质 与研究一次函数和二次函数的图象性质时类似，我们也是通过列表、作图的方式探究当时的反比例函数图象与性质： 例：用描点法画出和的图象，并总结的图象性质。 … … … … … … 图象： 通过以上图象，不难观察到： 当时： （1）函数图象的两支分别位于第一、三象限； （2）在每一个象限内，随的增大而减小； （3）函数图象只会无限的逼近于轴、轴，但永远不会相交。 📌 归纳总结 对于反比例函数而言，函数图象分布在第一、三象限，关于其增减性的描述：在每一个象限内，随的增大而减小。 🔷知识点二　的图象与性质 与探究当时的反比例函数图象与性质类似，我们仍然使用列表、描点的方式，探究以下两个反比例函数的图象与性质： 例：用描点法画出和的图象，并总结的图象性质。 … … … … … … 图象： 通过以上图象，不难观察到： 当时： （1）函数图象的两支分别位于第二、四象限； （2）在每一个象限内，随的增大而增大； （3）函数图象只会无限的逼近于轴、轴，但永远不会相交。 ⚠️特别提醒 通过对比以上两幅图象，可以发现一些共同点： （1）反比例函数的图象由两条曲线构成，可以称反比例函数的图象为双曲线； （2）反比例函数的图象关于原点对称，因为且，所以反比例函数图象只会无限接近坐标轴但永不相交； （3）描述反比例函数的增减性时，必须要强调“在每一个象限内”，强调这句话的主要原因是：反比例函数图象分布在不同象限，当从轴负半轴逐渐趋近于，穿过原点后，再往轴正半轴移动时，反比例函数图象会出现“断层”的现象，这会导致反比例函数值出现反向跃迁的情况，在这种情况下，它并不符合“随的增大而增大/减小”的描述，而用“在每一个象限内，随的增大而增大/减小”描述增减性会更严谨。 💡 拓展延伸 ①反比例函数图象既是中心对称图形（以原点为对称中心），又是轴对称图形（对称轴为和直线）； ②反比例系数的几何意义：从图象上任意取一点并向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒等于；若过点作轴垂线，垂足为，连接，则 ③若正比例函数与反比例函数图象交于两点、，则、关于原点对称（因为反比例函数是中心对称图形）。由此可得：，。 📌 归纳总结 ①对于反比例函数而言，函数图象分布在第二、四象限，关于其增减性的描述：在每一个象限内，随的增大而增大； ②反比例函数的图象是双曲线，既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③从图象上任意取一点并向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积恒等于。 易错点 1 描述增减性时不分象限 · 错例：描述反比例函数的增减性时，直接说“随增大而减小”； · 错因：沿袭一次函数的“全局增减”思维，忽视了反比例函数图象的两支是断开的，不同象限之间无法比较； · 规避方法：要求写增减性时必须加“在每一象限内”或“当时……；当时……”。 易错点 2 忽略 · 错例：函数的图象是双曲线，直接说为任意实数； · 错因：只关注了分母，忘了比例系数是反比例函数存在的“身份前提”； · 规避方法：反比例函数存在的两个基础条件：①；②。列式时先写“由题意得”，不要想当然。 易错点 3 画图象时与坐标轴相交 · 错例：画的图象时，曲线画到了坐标轴上，或与坐标轴有交点； · 错因：没有理解且的意义，误以为曲线可以无限延伸至坐标轴； · 规避方法：强调图象无限接近但永不相交。画图时可以用虚线标出坐标轴，曲线两端向外延伸时要“停”在坐标轴附近，不接触。 易错点 4 的几何意义符号出错 · 错例：点在上，从点出发向两坐标轴作垂线，形成的矩形面积算成； · 错因：混淆了面积（恒正）与值（可正可负）的区别； · 规避方法：面积都是正数，无论是正是负，只要求面积，必须加上绝对值符号。 易错点 5 比较函数值时忽略象限前提 · 错例：点、在上，直接比较； · 错因：没有意识到两个点在不同象限，不能直接用增减性比较，可以代入计算； · 规避方法：若两点在不同象限，必须代入计算，不能直接用增减性；若在同象限，才可用增减性比较。 易错点 6 与一次函数综合时忽略符号一致性 · 错例：已知反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数中的符号判断错误； · 错因：只关注了反比例函数的象限，忘了两个函数中的是同一个字母，符号必须一致； · 规避方法：两个函数中的是同一个参数，符号必须一致。第二、四象限，则一次函数斜率也为负。 易错点 7 画图时取点不对称 · 错例：画的图象时，只取了第一象限的点，忘了第三象限也有一支； · 错因：对“双曲线两支”的结构认识不清，或取点时没有取正负对称的自变量； · 规避方法：列表时自变量取正负成对的值（如令），画出两支曲线，并用平滑曲线连接。 · 题型一：判断或画反比例函数图象 📝方法技巧 ①判断点是否在图象上：将点坐标代入，验证是否成立； ②画图步骤：列表（取关于原点对称的值）描点用平滑曲线连线（注意有两支曲线，且不与坐标轴相交）； ③若出现含绝对值的反比例函数：如，需分和两种情况进行讨论，分别得到（第四象限）和 （第三象限），图象为两支均位于轴下方的曲线。 注意：画图时曲线两端要无限接近坐标轴但不相交；含绝对值时注意分类讨论后图象的象限分布 1．（2026·重庆·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知实数满足，则下列点的坐标中，在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东济南·期中）对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 5．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 6．（25-26九年级上·湖南怀化·阶段检测）关于反比例函数下列说法不正确的是 (     ) A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 7．（25-26九年级上·河北·课后作业）（）画出函数的图象． ①列表： ②描点并连线． （）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 8．（25-26九年级上·北京延庆·期中）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点． (1)求出它的表达式； (2)画出它在第一象限的图象； (3)当自变量x从2增大到4时，函数值y是怎样变化的？ 9．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）已知反比例函数． (1)①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． (2)函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 题型二：已知图象判断反比例函数解析式 📝方法技巧 ①由点求：图象上任意一点 ，则； ②由图象范围确定可能的值：观察图象上的临界点，计算的上下界。例如图象经过上方和下方，则说明反比例系数必然处在这两点各自所在的反比例函数的反比例系数之间，即，即，最后筛选合适的选项； ③由图象所在象限判断的符号：若图象位于第一、三象限，则；若图象位于第二、四象限，则。 注意区分“的几何意义”与“图象位置”——面积恒为正，只要算面积，外面必须带绝对值符号，但本身的符号是由图象所在的象限决定的。 1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 4．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 5．（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 6．（2026·湖北十堰·模拟预测）反比例函数（，）的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 题型三：由对称性求点坐标 📝方法技巧 ①利用中心对称性：反比例函数图象关于原点对称。若正比例函数与反比例函数交于 、两点，则、关于原点对称，即，； ②利用轴对称性：反比例函数图象关于直线 和对称。若点在图象上，则和也在图象上。 ③验证点是否在图象上：只需验证横纵坐标乘积是否等于 。 注意：利用对称性可快速求另一交点坐标，无需代入计算，例如点与 都满足，但不满足。 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）点在函数图象上，下列说法正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 2．（2026·重庆·二模）关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．在自变量x的取值范围内，y随x的增大而增大 C．点可能在该函数图象上 D．若点在该函数的图象上，则点也在该函数的图象上 3．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 4．（2026·安徽·模拟预测）已知正比例函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知正比例函数（为常数）与反比例函数的图象交于点、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22九年级下·陕西咸阳·开学考试）已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为（      ） A． B． C． D． 8．（2025·新疆伊犁·模拟预测）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四：已知图象求参数范围 📝方法技巧 ①由图象象限定符号：图象位于第二、四象限；位于第一、三象限，据此列不等式求参数范围。 ②多函数图象比较的大小：在同一坐标系中，取作竖直线，与各图象的交点纵坐标即为的值。纵坐标越大，越大；或者也可以根据以下规律来判断，即越大，图象离原点越远。 ③综合判别式：若同时涉及一元二次方程根的情况，需联立判别式与的符号求解，必要时分类讨论。 注意：比较大小时，注意图象所在的象限——正在第一、三象限，负在第二、四象限，不能直接比较大小，有时需借助的竖直线辅助判断。 1．（2022·云南玉溪·二模）已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 2．（20-21九年级上·陕西汉中·期末）已知关于x的方程有两个相等的实数根，且反比例函数的图象位于第二、四象限，那么m的值为（    ） A． B．3或 C． D．3 3．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·二模）如图，已知矩形的顶点，，，若反比例函数的图象将矩形边界上的整点（含矩形顶点）恰好分成了整点数相等的两部分，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·北京·开学考试）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（20-21九年级上·重庆巴南·期末）已知实数使关于的反比例函数的图象在第二、四象限，且使关于的方程有实数解，若是整数，则所有满足条件的的值的和为（    ） A． B． C．0 D．1 题型五：已知增减性求参数 📝方法技巧 ①由增减性确定的符号：在每一个象限内，随增大而减小；在每一个象限内，随增大而增大，由此列不等式求参数； ②由两点大小关系确定象限：若且，说明函数图象在第二、四象限（）；若，则图象在第一、三象限（）。 ③同象限用增减性，异象限代数计算看正负：两点在同一象限内可直接用增减性；在不同象限，先判断各自的正负，再比较。 注意：增减性必须强调“在每一象限内”，不能笼统说“随增大而增大/减小”；不同象限之间不能直接用增减性比较。 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）某智能空调的制冷功率y（单位：W）与用户设定的温度x（单位：）成反比例关系，表达式为．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合设计要求，参数k可能是（     ） A．3 B．1 C．0 D． 3．（25-26九年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·河南新乡·期中）已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2022·江苏扬州·三模）若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·山东德州·中考真题）在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．或 D．或 题型六：比较函数值的相对大小 📝方法技巧 ①分象限讨论：先判断各点所在的象限，时，第一象限，第三象限；时，第二象限，第四象限 ②同象限用增减性：在同一象限内，时越大越小；时越大越大； ③含参分类讨论：若点坐标含参数，需根据参数范围确定各点所在象限，再比较大小。 注意：比较大小的核心是“先定象限，再比大小”；正负关系优先于增减性——正数一定大于负数，无需精确计算。 1．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2022·江西南昌·模拟预测）点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）已知点，，在反比例函数的图象上，若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建泉州·期末）已知，，三点都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（2026·浙江嘉兴·二模）已知点，，均在反比例函数的图象上．若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江金华·二模）若函数的图象上有两点，，且，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（2026·浙江·模拟预测）已知点，都在反比例函数（）的图象上，，则当时，有关m，n的取值判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 题型七：的几何意义 📝方法技巧 ①矩形面积：过图象上一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积； ②三角形面积：过图象上一点向轴（或轴）作垂线，垂足为，连接，则； ③组合图形面积：利用割补法，将不规则图形转化为矩形或三角形的面积差/和； ④由面积求：根据面积公式反推，再结合图象所在象限确定的符号。 注意：面积恒为正数，的符号由象限决定；涉及多个函数时，注意各函数的符号和绝对值大小关系。 1．（21-22八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级下·上海·期末）点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（2026·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与双曲线交于A、B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积为（     ） A． B． C．2 D．3 4．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 5．（25-26八年级下·四川内江·期中）如图，点，分别在反比例函数和位于第一象限的图象上．分别过点，向轴作垂线，若阴影部分的面积为2，则的值为（   ） A． B．5 C．7 D．4 6．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 7．（21-22九年级上·浙江温州·开学考试）如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 8．（2022·云南玉溪·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 题型八：反比例函数与一次函数交点问题 📝方法技巧 ①求交点坐标：联立两个函数解析式，解方程组求出交点坐标； ②求参数范围（线段有交点）：将一次函数与反比例函数联立，转化为一元二次方程，结合线段端点的范围，利用判别式和端点函数值列不等式求解； ③求不等式解集：观察图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方（或下方）的区间，这一做法和一次函数的交点问题一致。注意分和两种情况讨论； ④由交点求：将交点坐标代入反比例函数解析式即可。 注意：不等式解集的分界点是两图象交点的横坐标，注意“空心点”与“实心点”的区分，这关乎在该点的值是否能取到的问题；线段有交点问题需同时考虑判别式和端点约束。 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）已知点，，若反比例函数与线段有公共点时，的取值范围是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2022九年级·广西防城港·竞赛）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 4．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型九：反比例函数与一次函数图象问题 📝方法技巧 ①先由一函数定参数符号：观察反比例函数图象所在象限，确定的符号； ②验证另一函数：将的符号代入一次函数，判断其斜率（的正负）和截距（ 或的正负），检查是否与选项图象一致； ③分类讨论：当参数符号不确定时，分和两种情况讨论，分别判断两函数的图象特征。 注意：两函数中的参数是同一个字母，符号必须一致；一次函数的截距符号要与的符号对应，不能只看斜率。 1．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B．C． D． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·山东济南·模拟预测）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 题型十：反比例函数与二次函数图象问题 📝方法技巧 ①由反比例函数定参数符号：图象在第一、三象限；在第二、四象限； ②判断二次函数图象特征：由的符号确定开口方向（ 向上）；由解析式确定对称轴位置和与轴交点坐标（如与轴交于 ）； ③综合验证：将参数符号代入二次函数，逐项检查开口、对称轴、交点是否与选项一致。 注意：二次函数的顶点坐标（如 的顶点为 ）是判断图象位置的关键；注意的符号与顶点横坐标的关系。 1．（2026·安徽阜阳·二模）已知反比例函数（）的图象在第一、三象限，则二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则二次函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数在第二象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ）    A．     B．     C．   D．   试卷第2页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $